Câu 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = √ 2 2, AD = 1 Tính góc giữa hai vectơ −−→ACAC→ và −−→BDBD→ A 89°; B 92°; C 109°; D 91° Đáp án C Tam giác ACD vuông tại D cosˆCAD=ADACcosCAD^=ADAC Tam giác ABC vuôn[.]
Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB = √ 2, AD = Tính góc hai vectơ −− →ACAC→ −− →BDBD→ A 89°; B 92°; C 109°; D 91° Đáp án: C Tam giác ACD vuông D: cosˆCAD=ADACcosCAD^=ADAC Tam giác ABC vuông B: cosˆCAB=ABACcosCAB^=ABAC Ta có −− →AC.−− →BD=−− →AC.(−− →AD−−− →AB)=−− →AC.−− →AD−−− →A C.−− →ABAC→.BD→=AC→.AD→−AB→=AC→.AD→−AC→.AB → =AC.AD.cosˆCAD−AC.AB.cosˆCAB=AC.AD.cosCAD^−AC.AB.c osCAB^ =AC.AD.ADAC−AC.AB.ABAC=AC.AD.ADAC−AC.AB.ABAC = AD2 – AB2 = – = –1 Vì ABCD hình chữ nhật nên ta có CD = AB = √ 2 AC = BD Tam giác ACD vuông D: AC2 = AD2 + CD2 (Định lý Pytago) ⇔AC2=12+(√ )2=3⇔AC2=12+22=3 ⇒AC=√ ⇒AC=3 Do BD = AC = √ 3 Lại có: −− →AC.−− →BD=AC.BD.cos(−− →AC,−− →BD)AC→.BD→=AC.B D.cosAC→,BD→ ⇔−1=√ √ cos(−− →AC,−− →BD)⇔−1=3.3.cosAC→,BD→ ⇔cos(−− →AC,−− →BD)=−13⇔cosAC→,BD→=−13 ⇒(−− →AC,−− →BD)≈109°28′⇒AC→,BD→≈109°28' Vậy ta chọn đáp án C Câu Cho tam giác ABC Tính (−− →AH,−− →BA)AH→,BA→ A 30°; B 60°; C 120°; D 150° Đáp án: D có đường cao AH Vẽ −− →AE=−− →BAAE→=BA→ Khi ta có (−− →AH,−− →BA)=(−− →AH,−− →AE)=ˆHAE=αAH→,BA→=AH→, AE→=HAE^=α Tam giác ABC có AH đường cao Suy AH đường phân giác tam giác ABC Tam giác ABC đều, suy ˆBAC=60°BAC^=60° Do ˆHAB=12ˆBAC=12.60°=30°HAB^=12BAC^=12.60°=30° Ta có: ˆHAE+ˆHAB=180°HAE^+HAB^=180° (hai góc kề bù) ⇔ˆHAE=180°−30°=150°⇔HAE^=180°−30°=150° Vậy ta chọn đáp án D Câu Cho →aa→ →bb→ hai vectơ hướng khác →00→ Mệnh đề sau đúng? A →a.→b=(→a).(→b)a→.b→=a→.b→; B →a.→b=0a→.b→=0; C →a.→b=−1a→.b→=−1; D →a.→b=−(→a).(→b)a→.b→=−a→.b→ Đáp án: A Ta có →a.→b=(→a).(→b).cos(→a,→b)a→.b→=a→.b→.cosa→,b→ Vì →aa→ →bb→ hai vectơ hướng khác →00→ nên (→a,→b)=0°a→,b→=0°, suy cos(→a,→b)=1cosa→,b→=1 Ta suy →a.→b=(→a).(→b)a→.b→=a→.b→ Vậy ta chọn đáp án A Câu Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để tích vơ hướng (−− →OA+−− →OB).−− →AB=0OA→+OB→.AB→=0 là: A Tam giác OAB đều; B Tam giác OAB cân O; C Tam giác OAB vuông O; D Tam giác OAB vuông cân O Đáp án: B Ta có (−− →OA+−− →OB).−− →AB=0⇔(−− →OA+−− →OB).(−− →OB−−− →O A)=0OA→+OB→.AB→=0⇔OA→+OB→.OB→−OA→=0 ⇔−− →OB2−−− →OA2=0⇔OB→2−OA→2=0 ⇔ OB2 – OA2 = ⇔ OB = OA Do tam giác OAB cân O Vậy ta chọn đáp án B Câu Cho hai vectơ →aa→ →bb→ thỏa mãn (→a)=3a→=3, (→b)=2b→=2 →a.→b=−3a→.b→=−3 Xác định góc α hai vectơ →aa→ →bb→ A α = 30°; B α = 45°; C α = 60°; D α = 120° Đáp án: D Ta có →a.→b=(→a).(→b).cos(→a,→b)a→.b→=a→.b→.cosa→,b→ ⇔cos(→a,→b)=→a.→b(→a).(→b)=−33.2=−12⇔cosa→,b→=a →.b→a→.b→=−33.2=−12 ⇒(→a,→b)=120°⇒a→,b→=120° Vậy ta chọn đáp án D Câu Cho M, N, P, Q bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai? A −− − →MN(−− →NP+−− →PQ)=−− − →MN.−− →NP+−− − →MN.−− →PQMN →NP→+PQ→=MN→.NP→+MN→.PQ→; B −−→MP.−− − →MN=−−− − →MN.−−→MPMP→.MN→=−MN→.MP→; C −− − →MN.−− →PQ=−− →PQ.−− − →MNMN→.PQ→=PQ→.MN→; D (−− − →MN−−− →PQ)(−− − →MN+−− →PQ)=MN2−PQ2MN→−PQ→M N→+PQ→=MN2−PQ2 Đáp án: B Đáp án A theo tính chất phân phối tích vơ hướng Đáp án B sai Sửa lại: −−→MP.−− − →MN=−− − →MN.−−→MPMP→.MN→=MN→.MP→ Đáp án C theo tính chất giao hốn tích vơ hướng Đáp án D đúng, ta sử dụng bình phương vơ hướng đẳng thức Câu Cho AB = 2cm, BC Tính −− →CA.−− →CBCA→.CB→ A −− →CA.−− →CBCA→.CB→ = 13; B −− →CA.−− →CBCA→.CB→ = 15; C −− →CA.−− →CBCA→.CB→ = 17; D −− →CA.−− →CBCA→.CB→ = 19 = 3cm, CA = 5cm Đáp án: B Ta có + = (cm) Ta suy AB + BC = AC Do ba điểm A, B, C thẳng hàng điểm B nằm hai điểm A C (A, B, C ba đỉnh tam giác khơng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) Suy ˆACB=0°ACB^=0° Do (−− →CA,−− →CB)=ˆACB=0°CA→,CB→=ACB^=0° Khi −− →CA.−− →CB=CA.CB.cos(−− →CA,−− →CB)=3.5.cos0°=15CA →.CB→=CA.CB.cosCA→,CB→=3.5.cos0°=15 Vậy ta chọn đáp án B Câu Cho hình vng ABCD cạnh Tính P=−− →AC.(−− →CD+−− →CA)P=AC→.CD→+CA→ A P = – 1; a B P = 3a2; C P = – 3a2; D P = 2a2 Đáp án: C Tam giác ABC vuông B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Pytago) ⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒AC=a√ ⇒AC=a2 Vì ABCD hình vng có AC đường chéo nên ˆACD=45°ACD^=45° Ta có P=−− →AC.(−− →CD+−− →CA)=−−− →CA.(−− →CD+−− →CA)=−−− →C A.−− →CD−−− →CA2P=AC→.CD→+CA→=−CA→.CD→+CA→=− CA→.CD→−CA→2 =−CA.CD.cos(−− →CA,−− →CD)−CA2=−a√ a.cos45°−2a2=−3a2 =−CA.CD.cosCA→,CD→−CA2=−a2.a.cos45°−2a2=−3a2 Vậy ta chọn đáp án C Câu Cho hình vng ABCD tâm O Tính tổng (−− →AB,−− →DC)+(−− →AD,−− →CB)+(−− →CO,−− →DC)AB→,DC →+AD→,CB→+CO→,DC→ A 45°; B 405°; C 315°; D 225° Đáp án: C Ta có −− →AB,−− →DCAB→,DC→ nên (−− →AB,−− →DC)=0°AB→,DC→=0° hướng Ta có −− →AD,−− →CBAD→,CB→ ngược hướng nên (−− →AD,−− →CB)=180°AD→,CB→=180° Vẽ −− →CE=−− →DCCE→=DC→ Khi ta có (−− →CO,−− →DC)=(−− →CO,−− →CE)=ˆOCECO→,DC→=CO→,C E→=OCE^ Vì ABCD hình vng có OC đường chéo nên ˆOCB=45°OCB^=45° Ta có BC ⊥ CD (ABCD hình vng) Suy BC ⊥ CE, ˆBCE=90°BCE^=90° Ta có ˆOCE=ˆOCB+ˆBCE=45°+90°=135°OCE^=OCB^+BCE^=45°+ 90°=135° Vậy (−− →AB,−− →DC)+(−− →AD,−− →CB)+(−− →CO,−− →DC)=0°+180° +135°=315°AB→,DC→+AD→,CB→+CO→,DC→=0°+180°+135 °=315° Vậy ta chọn đáp án C Câu 10 Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng −− →AB.−− →ACAB→.AC→ A −− →AB.−− →AC=2a2AB→.AC→=2a2; B −− →AB.−− →AC=−a2√ 2AB→.AC→=−a232; C −− →AB.−− →AC=−a22AB→.AC→=−a22; D −− →AB.−− →AC=a22AB→.AC→=a22 Đáp án: D Ta có (−− →AB,−− →AC)=ˆBAC=ˆAAB→,AC→=BAC^=A^ Tam giác ABC nên ˆA=60°A^=60° Do (−− →AB,−− →AC)=ˆA=60°AB→,AC→=A^=60° Suy −− →AB.−− →AC=AB.AC.cos(−− →AB,−− →AC)=a.a.cos60°=a22AB →.AC→=AB.AC.cosAB→,AC→=a.a.cos60°=a22 Vậy ta chọn đáp án D Câu 11.Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Tính P=(−− →AB+−− →AC).−− →BCP=AB→+AC→.BC→ A P = b2 – c2; B P=b2+c22P=b2+c22; C P=c2+b2+a23P=c2+b2+a23; D P=c2+b2−a22P=c2+b2−a22 Đáp án: A Ta có P=(−− →AB+−− →AC).−− →BC=(−− →AB+−− →AC)(−− →BA+−− →AC)P =AB→+AC→.BC→=AB→+AC→BA→+AC→ =(−− →AC+−− →AB)(−− →AC−−− →AB)=−− →AC2−−− →AB2=AC2−AB2 =b2−c2=AC→+AB→AC→−AB→=AC→2−AB→2=AC2−AB2=b2 −c2 Vậy ta chọn đáp án A Câu 12 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = Tính −− →AB.−− →BDAB→.BD→ A −− →AB.−− →BDAB→.BD→ = 62; B −− →AB.−− →BDAB→.BD→ = 64; C −− →AB.−− →BDAB→.BD→ = –62; D −− →AB.−− →BDAB→.BD→ = –64 Đáp án: D Vì giả thiết khơng cho góc nên ta phân tích vectơ −− →AB,−− →BDAB→,BD→ theo vectơ vng góc với Vì ABCD hình chữ nhật nên AB ⊥ BC Suy −− →AB⊥−− →BCAB→⊥BC→ Do −− →AB.−− →BC=0AB→.BC→=0 Theo quy tắc hình bình hành ta có: −− →BD=−− →BA+−− →BCBD→=BA→+BC→ Ta có −− →AB.−− →BD=−− →AB.(−− →BA+−− →BC)=−− →AB.−− →BA+−− →A B.−− →BCAB→.BD→=AB→.BA→+BC→=AB→.BA→+AB→.BC→ =−−− →AB.−− →AB+0=−−− →AB2=−AB2=−64=−AB→.AB→+0=−AB →2=−AB2=−64 Vậy ta chọn đáp án D Câu 13 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn −−→MA.−− →BC=0MA→.BC→=0 là: A điểm; B đường thẳng; C đoạn thẳng; D đường tròn Đáp án: B Ta có −−→MA.−− →BC=0⇔−−→MA⊥−− →BC⇔MA⊥BCMA→.BC→=0 ⇔MA→⊥BC→⇔MA⊥BC Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua A vng góc với BC Vậy ta chọn đáp án B Câu 14 Cho tam giác ABC vuông A AB = AC = a Tính −− →AB.−− →BCAB→.BC→ A −− →AB.−− →BC=−a2AB→.BC→=−a2; B −− →AB.−− →BC=a2AB→.BC→=a2; C −− →AB.−− →BC=−a2√ 2AB→.BC→=−a222>; D −− →AB.−− →BC=a2√ 2AB→.BC→=a222 Đáp án: A Vẽ −− →BD=−− →ABBD→=AB→ Ta có (−− →AB,−− →BC)=(−− →BD,−− →BC)=ˆCBDAB→,BC→=BD→,BC →=CBD^ Tam giác ABC vuông cân A Ta suy ˆABC=45°ABC^=45° Ta có ˆABC+ˆCBD=180°ABC^+CBD^=180° (hai góc kề bù) Khi ta ˆCBD=180°−45°=135°CBD^=180°−45°=135° Tam giác ABC vng cân A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pytago) ⇔ BC2 = 2a2 ⇒BC=a√ ⇒BC=a2 Do −− →AB.−− →BC=AB.BC.cos(−− →AB,−− →BC)=a.a√ cos135°=− a2AB→.BC→=AB.BC.cosAB→,BC→=a.a2.cos135°=−a2 Vậy ta chọn đáp án A Câu 15 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn −−→MA(−−→MB+−−→MC)=0MA→MB→+MC→=0 là: A điểm; B đường thẳng; C đoạn thẳng; D đường tròn Đáp án: D Gọi I trung điểm BC −−→MB+−−→MC=2−− →MIMB→+MC→=2MI→ Ta suy Ta có −−→MA(−−→MB+−−→MC)=0⇔−−→MA.2−− →MI=0⇔−−→MA.−− →MI=0⇔−−→MA⊥−− →MIMA→MB→+MC→=0⇔MA→.2MI→=0 ⇔MA→.MI→=0⇔MA→⊥MI→ (*) Biểu thức (*) chứng tỏ MA ⊥ MI hay M nhìn đoạn AI góc vng Do tập hợp điểm M đường trịn đường kính AI Vậy ta chọn đáp án D ... →AC.−− →BD=AC.BD.cos(−− →AC,−− →BD)AC→.BD→=AC.B D.cosAC→,BD→ ⇔−1=√ √ cos(−− →AC,−− →BD)⇔−1=3.3.cosAC→,BD→ ⇔cos(−− →AC,−− →BD)=−13⇔cosAC→,BD→=−13 ⇒(−− →AC,−− →BD)? ?109 °28′⇒AC→,BD→? ?109 °28'' Vậy ta... (−− →CA,−− →CB)=ˆACB=0°CA→,CB→=ACB^=0° Khi −− →CA.−− →CB=CA.CB.cos(−− →CA,−− →CB)=3.5.cos0°=15CA →.CB→=CA.CB.cosCA→,CB→=3.5.cos0° =15 Vậy ta chọn đáp án B Câu Cho hình vng ABCD cạnh Tính P=−− →AC.(−−... →a.→b=−(→a).(→b)a→.b→=−a→.b→ Đáp án: A Ta có →a.→b=(→a).(→b).cos(→a,→b)a→.b→=a→.b→.cosa→,b→ Vì →aa→ →bb→ hai vectơ hướng khác →00→ nên (→a,→b)=0°a→,b→=0°, suy cos(→a,→b)=1cosa→,b→=1 Ta suy →a.→b=(→a).(→b)a→.b→=a→.b→