Bài 5 tích của một số với một vectơ câu hỏi

PHẦN A LÝ THUYẾT I Định nghĩa     a k  Cho số thực vectơ 0 Tích số k vối vectơ a vectơ, kí hiệu ka , xác định sau:   - Cùng hướng với vectơ a k  , ngược hướng với vectơ a k  ;  - Có độ dài | k | | a |     a 0, k 0 Quy ước: Phép lấy tích số vối vectơ gọi phép nhân số với vectơ Ví dụ Cho B trung điểm đoạn thẳng AC Tìm số k trường hợp sau:   CA  kCB a)   b) CA k AB Giải     CA  CB a) Ta có: CA, CB hai vectơ hương   Suy CA2CB Vậy k 2   CA , AB | CA |  | AB | b) Ta có: hai vectơ ngược hướng   Suy CA  AB Vậy k  Ví dụ Vật thứ chuyển động thẳng từ A đến B với tốc độ m / s vật thứ hai chuyển động   v ,v thẳng từ B đến A với tốc độ m / s Gọi vectơ vận tốc vật thứ vật   v kv2 ? thứ hai Có hay không số thực k thoả mãn Giải  Do tỉ số tốc độ vật thứ vật thứ hai đồng thời hai vật chuyển động ngược hướnng nên  3 3 v1  v2 k Vậy hai vectơ vận tốc ngược hướng Suy II Tính chất   a , b hai số thực h, k , ta có: Với hai vectơ        k ( a  b )  ka  kb ; k ( a  b )  ka  kb    - (h  k )a ha  ka   - h(ka ) (hk )a     - 1a a;( 1)a  a     ka  a k  Nhận xét: 0 Ví dụ Cho ba điểm A, B, C Chứng minh:    AB  BC 2 AC a)     b) 3(5 AC )  CB  14 AC  AB Giải      AB  BC  2( AB  BC ) 2 AC a) Ta có:       AC )  CB  14 AC 15 AC  CB  14 AC b) Ta có: 3(5      15 AC  14 AC  CB  AC  CB  AB Trang III Một số ứng dụng Trung điểm đoạn thẳngm đoạn thẳngn thẳngng    Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB MA  MB 2MI với điểm M Trọng tâm tam giác     Nếu G trọng tâm tam giác ABC MA  MB  MC 3MG với điểm M Ví dụ Cho tứ giác ABCD có M , N trung điểm hai cạnh AB CD Gọi G trung điểm đoạn thẳng MN      Chứng minh GA  GB  GC  GD 0 Giải    GA M AB Vì trung điểm nên   GB2GM CD nên GC  GD 2GN Vì N là trung   điểm        GA  GB  GC  GD  GM  GN  2( GM  GN )  2.0 0 Suy Điều kiện để hai vectơ phương Điều kiện để ba điểm thẳng hàng       b ( b  0) a a k Điều kiện cẩn đủ để hai vectơ phương có số thực để kb   A , B , C AB  k AC k Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt thẳng hàng có số thực để AM  AB Ví dụ Cho tam giác OAB Điểm M thuộc cạnh AB cho Kẻ MH / / OB, MK / / OA    OA  a , OB  b Giả sử     OH OK b a a) Biểu thị theo theo    b) Biểu thị OM theo a b Giải a) Ta có: MK / /OA, MH / / OB suy OK AM OH BM   ,   OB AB OA AB  1 1   OH  OA  a OH  OA 3 Vì OH OA hướng nên   2 2   OK  OB OK  OB  b 3 Vì OK OB hướng nên b) Vì tứ giác OHMK hình bình hành nên    1 2 OM OH  OK  a  b 3    a b khơng phương Với vectơ c có cặp Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ    ( x ; y ) c  xa  yb số thoả mãn Trang PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG DỰNG VÀ TÍNH ĐỘ DÀI VÉC – TƠ Câu Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M,N trung điểm BC,CA Dựng véc – tơ sau tính độ dài chúng  1  1 AN  CB BC  2MN a) b) 3 1   MA  MB c) AB  AC d) Câu Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Dựng véc-tơ sau tính độ dài chúng  1  5 1  1 3 CB  MA BA  BC AB  AC MA  MB 2 a) b) c) d)   OAB OA  OB  a OA  4OB ; Cho tam giác vuông cân với Dựng tính độ dài véc-tơ 3 11  OA  OB Câu DẠNG PHÂN TÍCH VÉC-TƠ Cho tam giác ABC , cạnh ABC lấy M cho BM 3CM , đoạn AM lấy N cho AN 5MN G trọng tâm tam giác ABC     ; BN qua véc-tơ AB; AC a) Phân tích véc-tơ AM    GC ; MN qua véc-tơ GA GB b) Phân tích véc-tơ         Câu Cho ABC Lấy điểm M , N , P cho MB 3MC , NA  3NC 0 , PA  PB 0 Biểu      AN AP AM AB diễn vectơ , , theo vec tơ , AC      Câu Cho ABC Đặt a  AB , b  AC    AM  AB  a) Hãy dựng điểm M , N thỏa mãn , CN 2 BC      CM AN MN a b) Hãy phân tích , , theo vec tơ , b      Câu Cho ABC Gọi I , J hai điểm xác định IA 2 IB , 3JA  JB 0    IJ AB a) Tính theo AC IJ qua trọng tâm G tam giác ABC b) Chứng minh đường thẳng     ABC BC Câu Cho có trung tuyến AM , M trung điểm Hãy biểu diễn AM theo AB , AC     ABCD CD Câu Cho hình bình hành có E trung điểm Hãy biểu diễn AE theo u  AD ,    v  AB          Câu 10 Gọi G trọng tâm ABC Hãy biểu diễn AB , GC , BC , CA theo a GA , b GB  Câu 11 Cho ABC Điểm M cạnh BC cho MB 2MC Hãy phân tích AM theo hai vec tơ      u  AB , v  AC Câu Trang Câu 12 Cho ABC Điểm M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NA 2 NC Gọi    K trung điểm MN Phân tích vec tơ AK theo vec tơ AB AC Câu 13 Cho tam giác OAB Gọi M , N trung điểm cạnh OA , OB Tìm số m, n          đẳng thức OM mOA  nOB , MN mOA  nOB , MB mOA  nOB Câu 14 Một đường thẳng cắt cạnh DA, DC đường chéo DB hình bình hành ABCD      m, n    E , F DE  mDA DF  nDC M điểm Biết , Hãy biểu diễn DM qua  DB m, n   Câu 15 Điểm M gọi điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 MA k MB Chứng minh    OA  kOB OM  1 k với điểm O DẠNG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ  1  OI  OA  OB Câu 16 Gọi I trung điểm đoạn AB Chứng minh với điểm O ta có    Câu 17 Cho đoạn AB điểm I cho IA  3IB 0   k AI  k AB a) Tìm số mà  2  MI  MA  MB 5 b) Chứng minh với điểm M có   Câu 18 Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G đườn tròn ngoại tiếp O Chứng minh     a) HA  HB  HC 2 HO     OA  OB  OC OH b)    c) GH  2GO 0 Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi H điểm đối xứng với B qua G với G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh  2   1  AH  AC  AB CH  AB  AC 3 3 a)  1  MH  AC  AB 6 b) , với M trung điểm BC Câu 20 Cho tam giác ABC có trọng tậm G Chứng minh     M a) Với điểm  MA  MB  MC 3MG    b) Nếu MA  MB  MC 0 M trọng tâm G     Câu 21 Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh AM  BN  CP 0 Câu 22 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý          D , E , F MD  MC  AB ME  MA  BC a) Hãy xác định điểm cho , , MF MB  CA Chứng minh điểm D, E , F không phụ thuộc vào vị trí điểm M       b) Chứng minh MA  MB  MC MD  ME  MF Trang Câu 23 Cho tam giác ABC với cạnh AB c, BC a, CA b   a) Gọi CM đường phân giác góc C Hãy biểu thị véc-tơ CM theo véc-tơ CA  CB     b) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh aIA  bIB  cIC 0 Câu 24 Cho tam giác ABC đều, tâm O Gọi M điểm tùy ý bên tam giác ABC D, E, F lần     MD  ME  MF  MO BC , CA , AB lượt hình chiếu cạnh Chứng minh Câu 25 Cho tứ giác ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD, O trung điểm IJ Chứng minh    AC  BD 2 IJ a)      OA  OB  OC  OD 0 b)      c) MA  MB  MC  MD 4 MO với M điểm      Câu 26 Cho tứ giác ABCD Hãy xác định vị trí điểm G cho GA  GB  GC  GD 0 Chứng minh  1    OG  OA  OB  OC  OD với điểm O Điểm G gọi trọng tâm tứ giác ABCD   Câu 27 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh      MA  MB  MC  MD 4 MO a) Với điểm M ta có     b) AB  AC  AD 3 AC Câu 28 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD Chứng minh      2MN  AC  BD  AD  BC    Câu 29 Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho IA  3IB 0 Câu 30 Xác định điểm I, J, K, L biết        a) IA  IB 0 b) JA  JB  JC 0          c) KA  KB  KC BC d) LA  LB  3LC  AB  AC Câu 31 Cho tam giác ABC     KB CB a) Tìm điểm K cho KA     b) Tìm điểm M cho MA  MB  MC 0 Câu 32 Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M, N, P cho          a) 2MA  MB  MC 0 b) NA  NB  NC  ND 0      PA  PB  PC  PD 0 c) DẠNG CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC VÉC – TƠ KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐIỂM DI ĐỘNG Câu 33 Cho tam giác ABC       a) Với M điểm Chứng minh v MA  MB  3MC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Trang Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37        CD  v KA  KB  CD 3CK b) Gọi D điểm cho CD cắt AB K Chứng minh     v Cho tam giác ABC cố định điểm M di động Chứng minh MA  4MB  5MC không phụ thuộc vào vị trí điểm M       v MA  MB  MC không phụ Cho tam giác ABC điểm M Chứng minh   thuộc vào vị trí điểm M Dựng điểm D cho CD v     Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh v MA  MB  3MC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M      v Cho hình vng ABCD cạnh a Chứng minh MA  MB  3MC  MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M DẠNG CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU, HAI TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM   AB CD trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng Câu 38 Chứng minh    Câu 39 Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ là điểm xác định 2011 A ' B  2012 A ' C 0 ,      2011B ' C  2012 B ' A 0 ; 2011C ' A  2012C ' B 0 Chứng minh hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm Câu 40 Hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G, G’ Chứng minh     AA '  BB '  CC ' 3GG ' Từ suy “ Điều kiện cần đủ để hai tam giác ABC A’B’C’ có     trọng tâm AA '  BB '  CC ' 0 Câu 41 Cho tam giác ABC Gọi A điểm đối xứng với A qua B , B điểm đối xứng với B qua C C  điểm đối xứng với C qua A Chứng minh tam giác ABC ABC  có trọng tâm Câu 42 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB , BC , CA ta lấy điểm M , N , P cho AM BN CP   AB BC CA Chứng minh hai tâm giác ABC MNP có trọng tâm Câu 43 Cho hai hình bình hành ABCD ABC D có chung đỉnh A Chứng minh hai tam giác BC D BCD có trọng tâm G ,G ,G ,G Câu 44 Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G Gọi trọng tâm tam giác ABC , BCD, CDA, DAB Chứng minh G trọng tâm tứ giác G1G2G3G4 Câu 45 Cho tứ giác ABCD Các điểm M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Câu 46 Cho điểm G trọng tâm tứ giác ABCD A, B, C  , D trọng tâm tam giác BCD , ACD , ABD ABC a Chứng minh G điểm chung đoạn thẳng AA , BB , CC  DD b Điểm G chia đoạn thẳng AA , BB , CC  DD theo tỉ số nào? c Chứng minh G trọng tâm tứ giác ABC D Trang Câu 47 Cho lục giác ABCDEF Gọi M , N , P , Q , R , S trung điểm cạnh AB , BC , CD , DE , EF , FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm DẠNG 6: THẲNG HÀNG, CỐ ĐỊNH, ĐỒNG QUI Câu 48 Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điểm A, B cố định Chứng minh điểm M    OM  OA      OB d  thuộc dường thẳng có số cho Với điều kiện  M thuộc đoạn thẳng AB ? CI  CA cho , J Câu 49 Cho tam giác ABC Điểm I cạnh AC  1  BJ  AC  AB  3  BI  AC  AB a) Chứng minh b) Chứng minh B, I , J thẳng hàng điểm mà Câu 50 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , H trực tâm tam giác, D điểm đối xứng A qua O a) Chứng minh tú giác HCDB hình bình hành         HA  HB  HC  HO OA  OB  OC OH Suy ba điềm O, H , G thẳng b) Chứng minh ; hàng ( G trọng tâm tam giác ABC ) Câu 51 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC AK  AC cho Chứng minh ba điểm B, I , K thẳng hàng         AB  BC , CA  AB  ABC BC CA Chứng minh đường thẳng Câu 52 Cho tam giác Dựng AA, BB CC  đồng quy Câu 53 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý không thuộc đường thẳng AB, BC , CA Gọi A, B, C  theo thứ tự điểm đối xứng M qua trung điểm I , K , J cạnh BC , CA, AB Chứng minh a) Ba đường thẳng AA, BB, CC  đồng quy MM qua điểm cố định M di động b) Đường thẳng Câu 54 Cho tam giác ABC Các điểm M , N , P thuộc đoạn thẳng AB, BC , CA cho       MA mMB, NB nNC , PC  pPA ( m, n, p khác 1) Chứng minh rằng: a) M , N , P thẳng hàng mnp 1 (định lý Mê-nê-la-uýt) b) AN , CM , BP đồng quy song song mnp  (định lý Xê-va) Câu 55 Cho tam giác ABC Hai điểm M , N xác uuu r uuu r r uuu r uur uuu r r BC + MA = 0, AB - NA - AC = Chứng minh MN // AC định hệ thức Trang Câu 56 Cho ngũ giác ABCDE Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , CD, DE Gọi I , J trung điểm đoạn MP & NQ Chứng minh IJ // AE & IJ = AE C ; A;B Câu 57 Trên cạnh AB, BC , CA tam giác ABC lấy điểm tương ứng 1 cho k Trên cạnh A1 B1 ; B1C1 ; C1 A1 tam giác A1 B1C1 lấy C ;A ;B A C : C B = B1 A2 : A2C1 = C1B2 : B2 A1 = k Chứng minh rằng: điểm tương ứng 2 cho 2 A2C2 // AC ; C2 B2 // CB; B2 A2 // BA AC1 : C1 B = BA1 : A1C = CB1 : B1 A = AA1 ; BB1 ; CC1 đường tròn ( O ) Chứng minh trực tâm Câu 58 Cho ba dây cung song song ABC1 ; BCA1 & CAB1 nằm đường tròn tam giác DẠNG XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THOẢ MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ Để tìm tập hợp điểm M thoả nãm điều kiện vecto ta quy dạng sau:   MA  MB ,  Nếu với A, B phân biệt cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB   MC k AB ,  Nếu với A, B, C phân biệt cho trước M thuộc đường trịn tâm C , bán kính  k AB   MA  k BC , với A, B, C phân biệt k số thực thay đổi thì:  Nếu + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với k    + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC hướng với BC với k   + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng với BC với k    MA  k BC , B C với A, B, C thẳng hàng k thay đổi tập hợp điểm M đường  Nếu thẳng BC  Câu 59 Cho điểm O cố định hai vecto u , v cố định Với số m ta xác định điểm M cho    OM m.u    m  v Tìm tập hợp điểm M m thay đổi Câu 60 Cho hai điểm A, B Tập hợp điểm M cho uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur a) | MA + MB |=| MA - MB | b) | MA + MB |=| MA + MB | Câu 61 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện sau:     a) MA  MB MA  MC      MA  MB k MA  2MB  3MC , b) với k số thực thay đổi khác   Câu 62 Cho tam giác ABC     a) Chứng minh tồn điểm I thoả IA  3IB  IC 0      MA  3MB  MC  MB  MA b) Tìm quỹ tích điểm thoả mãn Câu 63 Cho ABC Tập hợp điểm M trường hợp sau: Trang a)     MA  3MB  3MB  2MC b)       4MA  MB  MC  2MA  MB  MC Câu 64 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau:           MA  MB  MA  MC a) MA MB b) MA  MB  MC 0 c)   Câu 65 Cho tam giác ABC ba vecto cố định u , v , w Với số thực t , ta lấy điểm A, B, C         AA  tu , BB tv , CC  tw Tìm quỹ tích trọng tâm G  tam giác ABC  t thay đổi cho     Câu 66 Cho tứ giác ABCD Với số k tuỳ ý, lấy điểm M , N cho AM k AB, DN k DC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN k thay đổi PHẦN C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG DỰNG VÀ TÍNH ĐỘ DÀI VÉC – TƠ Câu Câu Khẳng định sai?   A 1.a a   ka a B hướng k    C k a a hướng k       D Hai vectơ a b 0 phương có số k để a kb   Trên đường thẳng MN lấy điểm P cho MN  3MP Điểm P xác định hình vẽ sau đây: A Hình Câu B Hình C Hình D Hình   Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu AB  AC đẳng thức đúng?         BC  AC BC  AC BC  AC A B C D BC 4 AC Câu Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC Khẳng định sau uu r uur uu r uu r uu r uuur uuur uur A BI = IC B BI = IC C BI = IC D 2BI = IC Câu Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?  1       CN  AC A AB 2 AM B AC 2CN C BC  NM D       ON  4a Khi đó: Cho a 0 điểm O Gọi M , N hai điểm thỏa mãn OM 3a      MN  a MN  a MN  a A B C D MN  5a      a  5, b 15 Tìm giá trị m cho a mb , biết a, b ngược hướng Câu Câu A m 3 B m  C m D m  Trang Câu Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm AB Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức     MA  MB  2MC 0 A M trung điểm BC B M trung điểm IC C M trung điểm IA D M điểm cạnh IC cho IM 2MC Câu     ABCD 4AM  AB  AD  AC Khi điểm M là: M Cho hình bình hành , điểm thõa mãn A Trung điểm AC B Điểm C C Trung điểm AB D Trung điểm AD AM  AB Câu 10 Cho đoạn thẳng AB Gọi M điểm AB cho Khẳng định sau sai?  3  1     MA  MB AM  AB BM  BA 4 A B C D MB  3MA MA  AB Câu 11 Cho đoạn thẳng AB M điểm đoạn AB cho Trong khẳng định sau, khẳng định sai ?  1  1  4   AM  AB MA  MB MB  AB 5 A B C MB  4MA D Câu 12 Cho ba điểm A, B, C phân biệt Điều kiện cần đủ để ba điểm thẳng hàng là:         MA  MB 3MC ,  AB  AC  k  : AB  k AC AC  AB  BC A B C D điểm M    a  BC , b  AC Các cặp vectơ sau phương?  ABC Câu 13 Cho Đặt                 a  b , a  b a  b , a  b a  b ,  10 a  b a A B C D  b , a  b   a b Câu 14 Cho hai vectơ không phương Hai vectơ sau phương? 1  1       a  6b  a b A  3a  b B 2a  b 1  1  1    a b  a b a b C D a  2b   a b Câu 15 Cho hai vectơ không phương Hai vectơ sau phương?  1   3    3    v  a  3b u  a  3b v 2a  b 5 A u 2a  3b B  2    3  1 1    u  a  3b u 2a  b v  a  b C v 2a  9b D       Câu 16 Biết hai vec tơ a b không phương hai vec tơ 3a  2b ( x  1)a  4b phương Khi giá trị x là: A  B C D Trang 10       a  x  b   Câu 17 Biết hai vec tơ a b không phương hai vec tơ 2a  3b phương Khi giá trị x là: 3   A B C D      OA  OB  2OC  OA  OB Câu 18 Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC B Tam giác ABC cân C C Tam giác ABC vuông C D Tam giác ABC cân B  21  5 u  OA  OB Câu 19 Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA OB a Độ dài véc tơ là: a 140 A a 321 B a 520 C a 541 D Câu 20 Cho ngũ giác ABCDE Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , CD, DE Gọi I J trung điểm đoạn MP NQ Khẳng định sau đúng?  1  1  1  1 IJ  AE IJ  AE IJ  AE IJ  AE A B C D Câu 21 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC N trung điểm AM Đường thẳng BN   cắt AC P Khi AC xCP giá trị x là:     A B C D    Câu 22 Cho tam giác ABC Hai điểm M , N xác định hệ thức BC  MA 0 ,     AB  NA  AC 0 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A MN  AC B MN / / AC C M nằm đường thẳng AC D Hai đường thẳng MN AC trùng  11  3 v  OA  OB Câu 23 Cho tam giác vuông cân OAB với OA OB a Tính độ dài vectơ 6073 a 28 a a A 2a B C D       Câu 24 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính độ dài vectơ: u MA  2MB  3MC  MD     u 4a u a u 3a u 2a A B C D  21   u  OA  2,5OB Câu 25 Cho tam giác vuông cân OAB với OA OB a Tính độ dài vectơ A 541 a B 520 a C 140 a D 310 a Câu 26 Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung điểm BC Tính độ dài vectơ     u  MA  2,5MB Trang 11 a 127 A a 127 B a 127 a 127 C D         Câu 27 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính độ dài vectơ u 4 MA  3MB  MC  MD  a    u  u a u 3a u 2a A B C D  1 BH  HC Câu 28 Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi H chân đường cao hạ từ A cho     MA  GC BM  x.BC Tìm x cho độ dài vectơ Điểm M di động BC cho đạt giá trị nhỏ x x x x A B C D  1 AB  AC Câu 29 Cho ABC cạnh a M trung điểm BC Tính độ dài a 21 A a 21 B a 21 C a 21 D DẠNG PHÂN TÍCH VÉC-TƠ   Câu 30 Cho AK BM hai trung tuyến ABC Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AK  BM  2  AB  AK  BM A    B AB    1  3  2  AK  BM AB  AK  BM AB  AK  BM 3 C D        11  5 u  AB  AC Câu 31 Cho ABC vng cân, AB  AC Khi vectơ vẽ hình sau đây? A B C D    Câu 32 Cho tam giác ABC vuông cân A, vectơ u 3 AB  AC đưuọc vẽ hình đây? A Trang 12 B C D  Câu 33 Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Phân tích AB theo hai vectơ   BN CP  4   4  AB  BN  CP AB  BN  CP 3 3 A B  4   2  AB  BN  CP AB  BN  CP 3 3 C D    MB k MC  k 1  ABC Câu 34 Cho Diểm M nằm đường thẳng BC cho Phân tích AM theo   AB, AC             AB  k AC AB  k AC AB  k AC AB  k AC AM  AM  AM  AM  1 k 1 k 1 k 1 k A B C D Câu 35 Cho OAB với M, N trung điểm OA, OB Tìm số m, n thích hợp để    NA mOA  nOB A m  1, n  B m 1, n  C m 1, n  D m  1, n  Câu 36 Cho hình bình hành ABCD có E, N trung điểm BC, AE Tìm số p q cho    DN  p AB  q AC 4 p  ;q  p  ; q  p  ; q  p  ; q  4 3 3 4 A B C D   Câu 37 Trên đường thẳng chứa cạnh BC tam giác ABC lấy điểm M cho MB 3MC Khi đẳng thức sau đúng?       AM  AB  AC AM  AB  AC 2 A B  1     AM  ( AB  AC ) C AM  AB  AC D Câu 38 Cho tam giác ABC biết AB 8, AC 9, BC 11 Gọi M trung điểm BC N điểm đoạn AC cho AN  x (0  x  9) Hệ thức sau đúng?    x    x 1   MN    AC  AB MN    CA  BA 2  9  2 A B    x 1    x 1   MN    AC  AB MN    AC  AB 2  2  2 C D Câu 39 Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm H điểm đối xứng với B qua G Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? Trang 13   1  2  AH  AC  AB AH  AC  3 A B  2   2  AH  AC  AB AH  AB  3 C D AB AC Câu 40 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi điểm D, E , F trung điểm cạnh BC , CA AB Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?  1   3   2   1  AG  AE  AF AG  AE  AF AG  AE  AF AG  AE  AF 2 2 3 3 A B C D  2 BD  BC Câu 41 Cho tam giác ABC Gọi D điểm cho I trung điểm cạnh AD , M  2    AM  AC điểm thỏa mãn Vectơ BI phân tích theo hai vectơ BA BC Hãy chọn khẳng định khẳng định sau?     1 1 BI  BA  BC BI  BA  BC 2 A B       1 BI  BA  BC BI  BA  BC C D   Câu 42 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB , N điểm thuộc AC cho CN 2 NA K trung điểm MN Mệnh đề sau đúng?  1   1  AK  AB  AC AK  AB  AC A B  1   1  AK  AB  AC AK  AB  AC 3 C D Câu 43 Cho tứ giác ABCD , O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi G theo thứ tự trọng  tâm tam giác OAB OCD Khi GG  bằng:         AC  BD AC  BD AC  BD AC  BD A B C D  Câu 44 Cho tam giác ABC với phân giác AD Biết AB 5 , BC 6 , CA 7 Khi AD bằng: 5 7  5  5  7 AB  AC AB  AC AB  AC AB  AC 12 12 12 12 A 12 B 12 C 12 D 12         Câu 45 Cho AD BE hai phân giác tam giác ABC Biết AB 4 , BC 5 CA 6 Khi  DE bằng: 5 3 9 3 5 3 9 3 CA  CB CA  CB CA  CB CA  CB 5 A B C D     Câu 46 Cho hình bình hành ABCD Gọi K, L trung điểm BC, CD Biết AK a, AL b Biểu    diễn BA, BC theo a, b  4 2     1 2    BA  a  b, BC  a  b BA  a  b, BC  a  b 3 3 3 3 A B Trang 14      2 BA  a  b, BC  a  b 3 3 C      2 BA  a  b, BC  a  b 3 3 D Câu 47 Cho ABC có trọng tâm G Gọi I điểm BC cho 2CI 3BI J điểm BC kéo    dài cho JB 2 JC Tính AG theo AI AJ       15 35 AG  AI  AJ AG  AI  AJ 16 16 48 16 A B   1   1 15 35 AG  AI  AJ AG  AI  AJ 16 16 48 16 C D   nBM  mBC  n, m 0  Câu 48 Cho ABC Điểm M nằm đường thẳng BC cho Phân tích vectơ    AM theo AB, AC  m   1 m AM  AB  AC AM  AB  AC mn mn mn mn A B  n  m n n AM  AB  AC AM  AB  AC mn mn mn mn C D Câu 49 Một đường thẳng cắt cạnh DA, DC đường chép DB hình bình hành ABCD       m, n   điểm E, F M Biết rẳng DE mDA , DF nDC  Hãy biểu diễn DM qua DB m, n  m. n DM  DB m  n A  m DM  DB m  n B  n DM  DB m  n C  m.n DM  DB m  n D  1   BD  BC Câu 50 Cho ABC Trên BC lấy điểm D cho Khi phân tích AD theo vectơ AB  AC  1   2  AD  AB  AC AD  AB  AC 3 3 A B     5  AD  AB  AC AD  AB  AC 3 C D       Câu 51 Cho ABC Lấy điểm M, N, P cho MB 3MC , NA  3NC 0, PA  PB 0 Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để M, N, P thẳng hàng         MP  MN MP  MN MP  MN MP  3MN A B C D AM  AB Câu 52 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N điểm nằm cạnh AB CD cho ,   CN  CD Gọi G trọng tâm BMN Gọi I điểm xác định BI mBC Xác định m để AI qua G m 11 A 11 m B C m 18 m 11 D ABC Câu 53 Cho có trung tuyến AD.Xét điểm M,   1   1 AM  AB, AN  AC , AP mAD Tìm m để M, N, P thẳng hàng N, P cho Trang 15 m A B C D        Câu 54 Cho ABC M N hai điểm xác định thỏa mãn: MA  3MC 0 NA  NB  NC 0 Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để M, N, B thẳng hàng?  3  2  1   BM  BN BM  BN BM  BN BM  BN 2 A B C D m m m Câu 55 Cho ABC với H, O, G trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để H, O, G thẳng hàng?  1  3     OH  OG OG  GH HO  OG GO  3OH 2 A B C D Câu 56 Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để IJ / / AE ?  5  1   3 1 IJ  AE IJ  AE IJ  AE IJ  AE 4 A B C D  1   AI  AB, AI 3 AC Câu 57 Cho ABC Các điểm I, J thỏa mãn hệ thức Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để IC / / BJ ?    2 1 1   CI  BJ CI  BJ CI  BJ 3 A B CI 3BJ C D BN AM  MB,  NC Gọi I Câu 58 Cho ABC Trên cạnh AB, BC lấy điểm M, N cho AI CI giao điểm AN CM Tính tỉ số AN IM AI CI 21 AI CI  ;   ;  A AN IM B AN 11 IM AI CI  ;  C AN 23 IM AI CI 21  ;  D AN 23 IM Câu 59 Cho ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC BC D, E, F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG song song với AC Tính ED GB A B C D Câu 60 Cho tứ giác ABCD có hai đưuòng chéo cắt O Qua trung điểm M AB dựng đường CN OA  1, OB  2, OC  thẳng MO cắt CD N Biết , OD 4 Tính ND A B C D Trang 16 Câu 61 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N điểm nằm cạnh AB CD cho 1  AM  AB, CN  CD  BMN Gọi G trọng tâm Hãy phân tích AG theo hai vectơ     AB a, AC b           1 5 1 5 AG  a  b AG  a  b AG  a  b AG  a  b 18 18 18 18 A B C D Câu 62 Cho ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI 3BI J điểm tia đối BC        AI , AJ a cho JB 2 JC Tính theo  AB, b  AC       3 2    2 AI  a  b, AJ  a  b AI  a  b, AJ  a  b 5 3 5 3 A B           3 2 AI  a  b, AJ  a  b AI  a  b, AJ  a  b 5 3 5 3 C D     AM  k AB DN  k DC , Câu 63 Cho tứ giác ABCD Trên AB CD lấy điểm M, N cho ,    k 1 Hãy biểu diễn MN theo hai vectơ AD BC       MN k AD    k  BC MN   k  AD  k BC A  B      MN   k  AD  k BC MN  k AD   k  1 BC C D Câu 64 Cho ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm AC cho AK  AC Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để ba điểm B, I, K thẳng hàng  4  3  2   BK  BI BK  BI BK  BI 3 A B C BK 2 BI D Câu 65 Cho ABC , E trung điểm BC, I trung điểm AB Gọi D, I, J, K điểm thỏa     BE 2 BD, AJ  JC , IK mIJ mãn Tìm m để A, K, D thẳng hàng m A B C D        Câu 66 Cho ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức BC  MA 0 , AB  NA  AC 0 Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để MN / / AC         MN  AC MN  AC A MN 2 AC B C MN  AC D        ABC ; M MA  MB  NB  3NC 0 Trọng tâm ABC G Gọi Câu 67 Cho N xác định , m m m PA 4 PC P điểm cạnh AC cho Các đẳng thức sau điều kiện cần đủ để M, G, N, P thẳng hàng             0 3PG  PN 0 A 7GM  2GN B 5GM  2GN 0 3PG  PN 0             PQ  PN  GM  GN  GM  GN  PG  PN 0 C D Trang 17 Câu 68 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trọng tâm ADC BCD Đẳng thức điều kiện cần đủ để IJ / / AB  1  1   1 2 IJ  AB IJ  AB IJ  AB IJ  AB A B C D  3   AM  AB AN  AC Câu 69 Cho ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB; N  cạnh AC cho , Gọi ON OM O giao điểm CM BN Tính tỉ số OB OC tương ứng 1 1 A B C 1 D Câu 70 Cho hình bình hành ABCD M thuộc AC cho: AM kAC Trên cạnh AB, BC lấy điểm P, AN CN Q cho MP / / BC , MQ / / AB Gọi N giao điểm AQ CP Tính tỉ số AQ CP theo k AN k CN 1 k AN k CN 1 k  ;   ;  A AQ k  k  CP k  k  B AQ k  k  CP k  k  AN k CN 1 k  ;  C AQ k  k  CP k  k  AN k CN 1 k  ;  D AQ k  k  CP k  k  DẠNG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ Câu 71 Cho hai tam giác ABC A ' B ' C ' có trọng tâm G G ' Đẳng thức sau đúng?         ' B  C ' C 3GG ' AB '  BC '  CA ' 3GG ' A A ' A B B       C AC '  BA '  CB ' 3GG ' D AA '  BB '  CC ' 3GG ' Câu 72 Cho điểm A, B C, D, E Đẳng thức sau đúng?     1      AB  CD  EA  CB  ED AB  CD  EA 2 CB  ED A B     3      AB  CD  EA  CB  ED C D AB  CD  EA CB  ED     Câu 73 Cho ABC điểm M tùy ý Chọn hệ thức đúng?         MA  MB  MC  AC  BC A B MA  MB          MA  MB  MC  CA  CB C D MA  MB      3MC 2 AC  BC   3MC 2CB  CA Câu 74 Cho hình chữ nhật ABCD, I, K trung điểm BC CD Chọn đẳng thức        A AI  AK 2 AC B AI  AK  AB  AD       AI  AK  AC C AI  AK IK D A , B ,C Câu 75 Cho ABC có trọng tâm G Gọi 1 trung điểm BC, CA, AB Chọn đẳng thức sai               GA  GB  GC  AA  BB  CC  GC  2GC1 AG  BG  CG  1 1 1 A B C D Trang 18 Câu 76 Cho ABC với H, O, G trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm Hệ thức sau đúng?  1  3     OH  OG OG  GH 2 A B HO 3OG C D 2GO  3OH Câu 77 Cho điểm A, B, C,D Gọi I, J trung điểm AB CD Đẳng thức sau sai?             A AB  CD 2 IJ B AC  BD 2 IJ C AD  BC 2 IJ D IJ  DB  CA 0 Câu 78 Cho ABC , M điểm cạnh BC Khi đẳng thức sau đúng?   MB    MB MC MA AM  AB  AC BM  AC  BC AB AB BC BC A B    MB    MA MB MC 3CM  AB  AC AM  AB  AC BC BC AC AB C D Câu 79 Cho ABC , AM, BN, CP trung tuyến D, E, F trung điểm AM, BN CP Với O điểm Đẳng thức sau đúng?             OA  OB  OC 3 OD  OE  OF A OA  OB  OC OD  OE  OF B             OA  OB  OC 2 OD  OE  OF OA  OB  OC 3 OD  OE  OF C D         Câu 80 Cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hình chiếu M xuống ba cạnh D, E, F Hệ thức sau đúng?         MD  ME  MF  MO MD  ME  MF  MO A B         3 MD  ME  MF  MO MD  ME  MF  MO C D Câu 81 Cho tứ giác ABCD I, J trung điểm AB DC G trung điểm IJ Xét mệnh đề:           AB  AC  AD  AG IA  IC  IG (I) (II) (III) JB  ID JI Mệnh đề sai là: A (I) (II) B (II) (III) C Chỉ (I) D Tất sai MA NB m   Câu 82 Cho tứ giác ABCD, điểm M, N thuộc đoạn AD BC cho MD NC n Đẳng thức sau đúng?             n AB  mDC n AC  m AB nBC  mCD nCD  m AD MN  AM  BN  DM  mn mn mn mn A B C D S Sa , S MCA Sb , S MAB Sc Đẳng Câu 83 Cho ABC điểm M tam giác Đặt MBC thức sau đúng?         S MA  S MB  S MC  S AB  S BC  S CA 0 a b c a b c A B         C S a MC  Sb MB  Sc MA 0 D S a AC  Sb AB  Sc BC 0 Câu 84 Cho ABC với BC a, AC b, AB c I tâm đường tròn nội tiếp ABC , đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P Đẳng thức sau đúng?         A a.IM  b.IN  c.IP 0 B a.MA  b.NB  c.PC 0 Trang 19     a AB  b.BC  c.CA 0 D     C a AM  b.BN  c.CP 0 DẠNG XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN    Câu 85 Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho IA  IB 0 IB  AB A Điểm I đoạn AB cho IB  AB B Điểm I thuộc đoạn AB cho C Điểm I trung điểm đoạn AB IB  AB D Điểm I nằm khác phía với B A  Câu 86 Cho đoạn thẳng AB Hình sau biểu diễn điểm I cho A AI  3 BA B C D  MN  3MP Hình vẽ sau xác định vị trí Câu 87 Trên đường thẳng MN lấy điểm P cho điểm M  A B C D AM  AB Câu 88 Cho đoạn thẳng AB điểm M điểm đoạn AB cho Tìm k để   MA k MB 1 k k  4 A B k 4 C D k    Câu 89 Cho ABC Trên đường thẳng BC lấy điểm M cho MB 3MC Điểm M vẽ hình sau đây? A B Trang 20