Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
PHẦN A LÝ THUYẾT I Định nghĩa a k Cho số thực vectơ 0 Tích số k vối vectơ a vectơ, kí hiệu ka , xác định sau: - Cùng hướng với vectơ a k , ngược hướng với vectơ a k ; - Có độ dài | k | | a | a 0, k 0 Quy ước: Phép lấy tích số vối vectơ gọi phép nhân số với vectơ Ví dụ Cho B trung điểm đoạn thẳng AC Tìm số k trường hợp sau: CA kCB a) b) CA k AB Giải CA CB a) Ta có: CA, CB hai vectơ hương Suy CA2CB Vậy k 2 CA , AB | CA | | AB | b) Ta có: hai vectơ ngược hướng Suy CA AB Vậy k Ví dụ Vật thứ chuyển động thẳng từ A đến B với tốc độ m / s vật thứ hai chuyển động v ,v thẳng từ B đến A với tốc độ m / s Gọi vectơ vận tốc vật thứ vật v kv2 ? thứ hai Có hay không số thực k thoả mãn Giải Do tỉ số tốc độ vật thứ vật thứ hai đồng thời hai vật chuyển động ngược hướnng nên 3 3 v1 v2 k Vậy hai vectơ vận tốc ngược hướng Suy II Tính chất a , b hai số thực h, k , ta có: Với hai vectơ k ( a b ) ka kb ; k ( a b ) ka kb - (h k )a ha ka - h(ka ) (hk )a - 1a a;( 1)a a ka a k Nhận xét: 0 Ví dụ Cho ba điểm A, B, C Chứng minh: AB BC 2 AC a) b) 3(5 AC ) CB 14 AC AB Giải AB BC 2( AB BC ) 2 AC a) Ta có: AC ) CB 14 AC 15 AC CB 14 AC b) Ta có: 3(5 15 AC 14 AC CB AC CB AB Trang III Một số ứng dụng Trung điểm đoạn thẳngm đoạn thẳngn thẳngng Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB MA MB 2MI với điểm M Trọng tâm tam giác Nếu G trọng tâm tam giác ABC MA MB MC 3MG với điểm M Ví dụ Cho tứ giác ABCD có M , N trung điểm hai cạnh AB CD Gọi G trung điểm đoạn thẳng MN Chứng minh GA GB GC GD 0 Giải GA M AB Vì trung điểm nên GB2GM CD nên GC GD 2GN Vì N là trung điểm GA GB GC GD GM GN 2( GM GN ) 2.0 0 Suy Điều kiện để hai vectơ phương Điều kiện để ba điểm thẳng hàng b ( b 0) a a k Điều kiện cẩn đủ để hai vectơ phương có số thực để kb A , B , C AB k AC k Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt thẳng hàng có số thực để AM AB Ví dụ Cho tam giác OAB Điểm M thuộc cạnh AB cho Kẻ MH / / OB, MK / / OA OA a , OB b Giả sử OH OK b a a) Biểu thị theo theo b) Biểu thị OM theo a b Giải a) Ta có: MK / /OA, MH / / OB suy OK AM OH BM , OB AB OA AB 1 1 OH OA a OH OA 3 Vì OH OA hướng nên 2 2 OK OB OK OB b 3 Vì OK OB hướng nên b) Vì tứ giác OHMK hình bình hành nên 1 2 OM OH OK a b 3 a b khơng phương Với vectơ c có cặp Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ ( x ; y ) c xa yb số thoả mãn Trang PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG DỰNG VÀ TÍNH ĐỘ DÀI VÉC – TƠ Câu Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M,N trung điểm BC,CA Dựng véc – tơ sau tính độ dài chúng 1 1 AN CB BC 2MN a) b) 3 1 MA MB c) AB AC d) Câu Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Dựng véc-tơ sau tính độ dài chúng 1 5 1 1 3 CB MA BA BC AB AC MA MB 2 a) b) c) d) OAB OA OB a OA 4OB ; Cho tam giác vuông cân với Dựng tính độ dài véc-tơ 3 11 OA OB Câu DẠNG PHÂN TÍCH VÉC-TƠ Cho tam giác ABC , cạnh ABC lấy M cho BM 3CM , đoạn AM lấy N cho AN 5MN G trọng tâm tam giác ABC ; BN qua véc-tơ AB; AC a) Phân tích véc-tơ AM GC ; MN qua véc-tơ GA GB b) Phân tích véc-tơ Câu Cho ABC Lấy điểm M , N , P cho MB 3MC , NA 3NC 0 , PA PB 0 Biểu AN AP AM AB diễn vectơ , , theo vec tơ , AC Câu Cho ABC Đặt a AB , b AC AM AB a) Hãy dựng điểm M , N thỏa mãn , CN 2 BC CM AN MN a b) Hãy phân tích , , theo vec tơ , b Câu Cho ABC Gọi I , J hai điểm xác định IA 2 IB , 3JA JB 0 IJ AB a) Tính theo AC IJ qua trọng tâm G tam giác ABC b) Chứng minh đường thẳng ABC BC Câu Cho có trung tuyến AM , M trung điểm Hãy biểu diễn AM theo AB , AC ABCD CD Câu Cho hình bình hành có E trung điểm Hãy biểu diễn AE theo u AD , v AB Câu 10 Gọi G trọng tâm ABC Hãy biểu diễn AB , GC , BC , CA theo a GA , b GB Câu 11 Cho ABC Điểm M cạnh BC cho MB 2MC Hãy phân tích AM theo hai vec tơ u AB , v AC Câu Trang Câu 12 Cho ABC Điểm M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NA 2 NC Gọi K trung điểm MN Phân tích vec tơ AK theo vec tơ AB AC Câu 13 Cho tam giác OAB Gọi M , N trung điểm cạnh OA , OB Tìm số m, n đẳng thức OM mOA nOB , MN mOA nOB , MB mOA nOB Câu 14 Một đường thẳng cắt cạnh DA, DC đường chéo DB hình bình hành ABCD m, n E , F DE mDA DF nDC M điểm Biết , Hãy biểu diễn DM qua DB m, n Câu 15 Điểm M gọi điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 MA k MB Chứng minh OA kOB OM 1 k với điểm O DẠNG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ 1 OI OA OB Câu 16 Gọi I trung điểm đoạn AB Chứng minh với điểm O ta có Câu 17 Cho đoạn AB điểm I cho IA 3IB 0 k AI k AB a) Tìm số mà 2 MI MA MB 5 b) Chứng minh với điểm M có Câu 18 Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G đườn tròn ngoại tiếp O Chứng minh a) HA HB HC 2 HO OA OB OC OH b) c) GH 2GO 0 Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi H điểm đối xứng với B qua G với G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh 2 1 AH AC AB CH AB AC 3 3 a) 1 MH AC AB 6 b) , với M trung điểm BC Câu 20 Cho tam giác ABC có trọng tậm G Chứng minh M a) Với điểm MA MB MC 3MG b) Nếu MA MB MC 0 M trọng tâm G Câu 21 Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh AM BN CP 0 Câu 22 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý D , E , F MD MC AB ME MA BC a) Hãy xác định điểm cho , , MF MB CA Chứng minh điểm D, E , F không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Chứng minh MA MB MC MD ME MF Trang Câu 23 Cho tam giác ABC với cạnh AB c, BC a, CA b a) Gọi CM đường phân giác góc C Hãy biểu thị véc-tơ CM theo véc-tơ CA CB b) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh aIA bIB cIC 0 Câu 24 Cho tam giác ABC đều, tâm O Gọi M điểm tùy ý bên tam giác ABC D, E, F lần MD ME MF MO BC , CA , AB lượt hình chiếu cạnh Chứng minh Câu 25 Cho tứ giác ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD, O trung điểm IJ Chứng minh AC BD 2 IJ a) OA OB OC OD 0 b) c) MA MB MC MD 4 MO với M điểm Câu 26 Cho tứ giác ABCD Hãy xác định vị trí điểm G cho GA GB GC GD 0 Chứng minh 1 OG OA OB OC OD với điểm O Điểm G gọi trọng tâm tứ giác ABCD Câu 27 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh MA MB MC MD 4 MO a) Với điểm M ta có b) AB AC AD 3 AC Câu 28 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD Chứng minh 2MN AC BD AD BC Câu 29 Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho IA 3IB 0 Câu 30 Xác định điểm I, J, K, L biết a) IA IB 0 b) JA JB JC 0 c) KA KB KC BC d) LA LB 3LC AB AC Câu 31 Cho tam giác ABC KB CB a) Tìm điểm K cho KA b) Tìm điểm M cho MA MB MC 0 Câu 32 Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M, N, P cho a) 2MA MB MC 0 b) NA NB NC ND 0 PA PB PC PD 0 c) DẠNG CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC VÉC – TƠ KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐIỂM DI ĐỘNG Câu 33 Cho tam giác ABC a) Với M điểm Chứng minh v MA MB 3MC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Trang Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 CD v KA KB CD 3CK b) Gọi D điểm cho CD cắt AB K Chứng minh v Cho tam giác ABC cố định điểm M di động Chứng minh MA 4MB 5MC không phụ thuộc vào vị trí điểm M v MA MB MC không phụ Cho tam giác ABC điểm M Chứng minh thuộc vào vị trí điểm M Dựng điểm D cho CD v Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh v MA MB 3MC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M v Cho hình vng ABCD cạnh a Chứng minh MA MB 3MC MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M DẠNG CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU, HAI TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM AB CD trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng Câu 38 Chứng minh Câu 39 Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ là điểm xác định 2011 A ' B 2012 A ' C 0 , 2011B ' C 2012 B ' A 0 ; 2011C ' A 2012C ' B 0 Chứng minh hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm Câu 40 Hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G, G’ Chứng minh AA ' BB ' CC ' 3GG ' Từ suy “ Điều kiện cần đủ để hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm AA ' BB ' CC ' 0 Câu 41 Cho tam giác ABC Gọi A điểm đối xứng với A qua B , B điểm đối xứng với B qua C C điểm đối xứng với C qua A Chứng minh tam giác ABC ABC có trọng tâm Câu 42 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB , BC , CA ta lấy điểm M , N , P cho AM BN CP AB BC CA Chứng minh hai tâm giác ABC MNP có trọng tâm Câu 43 Cho hai hình bình hành ABCD ABC D có chung đỉnh A Chứng minh hai tam giác BC D BCD có trọng tâm G ,G ,G ,G Câu 44 Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G Gọi trọng tâm tam giác ABC , BCD, CDA, DAB Chứng minh G trọng tâm tứ giác G1G2G3G4 Câu 45 Cho tứ giác ABCD Các điểm M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Câu 46 Cho điểm G trọng tâm tứ giác ABCD A, B, C , D trọng tâm tam giác BCD , ACD , ABD ABC a Chứng minh G điểm chung đoạn thẳng AA , BB , CC DD b Điểm G chia đoạn thẳng AA , BB , CC DD theo tỉ số nào? c Chứng minh G trọng tâm tứ giác ABC D Trang Câu 47 Cho lục giác ABCDEF Gọi M , N , P , Q , R , S trung điểm cạnh AB , BC , CD , DE , EF , FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm DẠNG 6: THẲNG HÀNG, CỐ ĐỊNH, ĐỒNG QUI Câu 48 Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điểm A, B cố định Chứng minh điểm M OM OA OB d thuộc dường thẳng có số cho Với điều kiện M thuộc đoạn thẳng AB ? CI CA cho , J Câu 49 Cho tam giác ABC Điểm I cạnh AC 1 BJ AC AB 3 BI AC AB a) Chứng minh b) Chứng minh B, I , J thẳng hàng điểm mà Câu 50 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , H trực tâm tam giác, D điểm đối xứng A qua O a) Chứng minh tú giác HCDB hình bình hành HA HB HC HO OA OB OC OH Suy ba điềm O, H , G thẳng b) Chứng minh ; hàng ( G trọng tâm tam giác ABC ) Câu 51 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC AK AC cho Chứng minh ba điểm B, I , K thẳng hàng AB BC , CA AB ABC BC CA Chứng minh đường thẳng Câu 52 Cho tam giác Dựng AA, BB CC đồng quy Câu 53 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý không thuộc đường thẳng AB, BC , CA Gọi A, B, C theo thứ tự điểm đối xứng M qua trung điểm I , K , J cạnh BC , CA, AB Chứng minh a) Ba đường thẳng AA, BB, CC đồng quy MM qua điểm cố định M di động b) Đường thẳng Câu 54 Cho tam giác ABC Các điểm M , N , P thuộc đoạn thẳng AB, BC , CA cho MA mMB, NB nNC , PC pPA ( m, n, p khác 1) Chứng minh rằng: a) M , N , P thẳng hàng mnp 1 (định lý Mê-nê-la-uýt) b) AN , CM , BP đồng quy song song mnp (định lý Xê-va) Câu 55 Cho tam giác ABC Hai điểm M , N xác uuu r uuu r r uuu r uur uuu r r BC + MA = 0, AB - NA - AC = Chứng minh MN // AC định hệ thức Trang Câu 56 Cho ngũ giác ABCDE Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , CD, DE Gọi I , J trung điểm đoạn MP & NQ Chứng minh IJ // AE & IJ = AE C ; A;B Câu 57 Trên cạnh AB, BC , CA tam giác ABC lấy điểm tương ứng 1 cho k Trên cạnh A1 B1 ; B1C1 ; C1 A1 tam giác A1 B1C1 lấy C ;A ;B A C : C B = B1 A2 : A2C1 = C1B2 : B2 A1 = k Chứng minh rằng: điểm tương ứng 2 cho 2 A2C2 // AC ; C2 B2 // CB; B2 A2 // BA AC1 : C1 B = BA1 : A1C = CB1 : B1 A = AA1 ; BB1 ; CC1 đường tròn ( O ) Chứng minh trực tâm Câu 58 Cho ba dây cung song song ABC1 ; BCA1 & CAB1 nằm đường tròn tam giác DẠNG XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THOẢ MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ Để tìm tập hợp điểm M thoả nãm điều kiện vecto ta quy dạng sau: MA MB , Nếu với A, B phân biệt cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB MC k AB , Nếu với A, B, C phân biệt cho trước M thuộc đường trịn tâm C , bán kính k AB MA k BC , với A, B, C phân biệt k số thực thay đổi thì: Nếu + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với k + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC hướng với BC với k + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng với BC với k MA k BC , B C với A, B, C thẳng hàng k thay đổi tập hợp điểm M đường Nếu thẳng BC Câu 59 Cho điểm O cố định hai vecto u , v cố định Với số m ta xác định điểm M cho OM m.u m v Tìm tập hợp điểm M m thay đổi Câu 60 Cho hai điểm A, B Tập hợp điểm M cho uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur a) | MA + MB |=| MA - MB | b) | MA + MB |=| MA + MB | Câu 61 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện sau: a) MA MB MA MC MA MB k MA 2MB 3MC , b) với k số thực thay đổi khác Câu 62 Cho tam giác ABC a) Chứng minh tồn điểm I thoả IA 3IB IC 0 MA 3MB MC MB MA b) Tìm quỹ tích điểm thoả mãn Câu 63 Cho ABC Tập hợp điểm M trường hợp sau: Trang a) MA 3MB 3MB 2MC b) 4MA MB MC 2MA MB MC Câu 64 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau: MA MB MA MC a) MA MB b) MA MB MC 0 c) Câu 65 Cho tam giác ABC ba vecto cố định u , v , w Với số thực t , ta lấy điểm A, B, C AA tu , BB tv , CC tw Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC t thay đổi cho Câu 66 Cho tứ giác ABCD Với số k tuỳ ý, lấy điểm M , N cho AM k AB, DN k DC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN k thay đổi PHẦN C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG DỰNG VÀ TÍNH ĐỘ DÀI VÉC – TƠ Câu Câu Khẳng định sai? A 1.a a ka a B hướng k C k a a hướng k D Hai vectơ a b 0 phương có số k để a kb Trên đường thẳng MN lấy điểm P cho MN 3MP Điểm P xác định hình vẽ sau đây: A Hình Câu B Hình C Hình D Hình Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu AB AC đẳng thức đúng? BC AC BC AC BC AC A B C D BC 4 AC Câu Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC Khẳng định sau uu r uur uu r uu r uu r uuur uuur uur A BI = IC B BI = IC C BI = IC D 2BI = IC Câu Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? 1 CN AC A AB 2 AM B AC 2CN C BC NM D ON 4a Khi đó: Cho a 0 điểm O Gọi M , N hai điểm thỏa mãn OM 3a MN a MN a MN a A B C D MN 5a a 5, b 15 Tìm giá trị m cho a mb , biết a, b ngược hướng Câu Câu A m 3 B m C m D m Trang Câu Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm AB Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA MB 2MC 0 A M trung điểm BC B M trung điểm IC C M trung điểm IA D M điểm cạnh IC cho IM 2MC Câu ABCD 4AM AB AD AC Khi điểm M là: M Cho hình bình hành , điểm thõa mãn A Trung điểm AC B Điểm C C Trung điểm AB D Trung điểm AD AM AB Câu 10 Cho đoạn thẳng AB Gọi M điểm AB cho Khẳng định sau sai? 3 1 MA MB AM AB BM BA 4 A B C D MB 3MA MA AB Câu 11 Cho đoạn thẳng AB M điểm đoạn AB cho Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? 1 1 4 AM AB MA MB MB AB 5 A B C MB 4MA D Câu 12 Cho ba điểm A, B, C phân biệt Điều kiện cần đủ để ba điểm thẳng hàng là: MA MB 3MC , AB AC k : AB k AC AC AB BC A B C D điểm M a BC , b AC Các cặp vectơ sau phương? ABC Câu 13 Cho Đặt a b , a b a b , a b a b , 10 a b a A B C D b , a b a b Câu 14 Cho hai vectơ không phương Hai vectơ sau phương? 1 1 a 6b a b A 3a b B 2a b 1 1 1 a b a b a b C D a 2b a b Câu 15 Cho hai vectơ không phương Hai vectơ sau phương? 1 3 3 v a 3b u a 3b v 2a b 5 A u 2a 3b B 2 3 1 1 u a 3b u 2a b v a b C v 2a 9b D Câu 16 Biết hai vec tơ a b không phương hai vec tơ 3a 2b ( x 1)a 4b phương Khi giá trị x là: A B C D Trang 10 a x b Câu 17 Biết hai vec tơ a b không phương hai vec tơ 2a 3b phương Khi giá trị x là: 3 A B C D OA OB 2OC OA OB Câu 18 Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC B Tam giác ABC cân C C Tam giác ABC vuông C D Tam giác ABC cân B 21 5 u OA OB Câu 19 Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA OB a Độ dài véc tơ là: a 140 A a 321 B a 520 C a 541 D Câu 20 Cho ngũ giác ABCDE Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , CD, DE Gọi I J trung điểm đoạn MP NQ Khẳng định sau đúng? 1 1 1 1 IJ AE IJ AE IJ AE IJ AE A B C D Câu 21 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC N trung điểm AM Đường thẳng BN cắt AC P Khi AC xCP giá trị x là: A B C D Câu 22 Cho tam giác ABC Hai điểm M , N xác định hệ thức BC MA 0 , AB NA AC 0 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A MN AC B MN / / AC C M nằm đường thẳng AC D Hai đường thẳng MN AC trùng 11 3 v OA OB Câu 23 Cho tam giác vuông cân OAB với OA OB a Tính độ dài vectơ 6073 a 28 a a A 2a B C D Câu 24 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính độ dài vectơ: u MA 2MB 3MC MD u 4a u a u 3a u 2a A B C D 21 u OA 2,5OB Câu 25 Cho tam giác vuông cân OAB với OA OB a Tính độ dài vectơ A 541 a B 520 a C 140 a D 310 a Câu 26 Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung điểm BC Tính độ dài vectơ u MA 2,5MB Trang 11 a 127 A a 127 B a 127 a 127 C D Câu 27 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính độ dài vectơ u 4 MA 3MB MC MD a u u a u 3a u 2a A B C D 1 BH HC Câu 28 Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi H chân đường cao hạ từ A cho MA GC BM x.BC Tìm x cho độ dài vectơ Điểm M di động BC cho đạt giá trị nhỏ x x x x A B C D 1 AB AC Câu 29 Cho ABC cạnh a M trung điểm BC Tính độ dài a 21 A a 21 B a 21 C a 21 D DẠNG PHÂN TÍCH VÉC-TƠ Câu 30 Cho AK BM hai trung tuyến ABC Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AK BM 2 AB AK BM A B AB 1 3 2 AK BM AB AK BM AB AK BM 3 C D 11 5 u AB AC Câu 31 Cho ABC vng cân, AB AC Khi vectơ vẽ hình sau đây? A B C D Câu 32 Cho tam giác ABC vuông cân A, vectơ u 3 AB AC đưuọc vẽ hình đây? A Trang 12 B C D Câu 33 Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Phân tích AB theo hai vectơ BN CP 4 4 AB BN CP AB BN CP 3 3 A B 4 2 AB BN CP AB BN CP 3 3 C D MB k MC k 1 ABC Câu 34 Cho Diểm M nằm đường thẳng BC cho Phân tích AM theo AB, AC AB k AC AB k AC AB k AC AB k AC AM AM AM AM 1 k 1 k 1 k 1 k A B C D Câu 35 Cho OAB với M, N trung điểm OA, OB Tìm số m, n thích hợp để NA mOA nOB A m 1, n B m 1, n C m 1, n D m 1, n Câu 36 Cho hình bình hành ABCD có E, N trung điểm BC, AE Tìm số p q cho DN p AB q AC 4 p ;q p ; q p ; q p ; q 4 3 3 4 A B C D Câu 37 Trên đường thẳng chứa cạnh BC tam giác ABC lấy điểm M cho MB 3MC Khi đẳng thức sau đúng? AM AB AC AM AB AC 2 A B 1 AM ( AB AC ) C AM AB AC D Câu 38 Cho tam giác ABC biết AB 8, AC 9, BC 11 Gọi M trung điểm BC N điểm đoạn AC cho AN x (0 x 9) Hệ thức sau đúng? x x 1 MN AC AB MN CA BA 2 9 2 A B x 1 x 1 MN AC AB MN AC AB 2 2 2 C D Câu 39 Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm H điểm đối xứng với B qua G Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? Trang 13 1 2 AH AC AB AH AC 3 A B 2 2 AH AC AB AH AB 3 C D AB AC Câu 40 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi điểm D, E , F trung điểm cạnh BC , CA AB Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? 1 3 2 1 AG AE AF AG AE AF AG AE AF AG AE AF 2 2 3 3 A B C D 2 BD BC Câu 41 Cho tam giác ABC Gọi D điểm cho I trung điểm cạnh AD , M 2 AM AC điểm thỏa mãn Vectơ BI phân tích theo hai vectơ BA BC Hãy chọn khẳng định khẳng định sau? 1 1 BI BA BC BI BA BC 2 A B 1 BI BA BC BI BA BC C D Câu 42 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB , N điểm thuộc AC cho CN 2 NA K trung điểm MN Mệnh đề sau đúng? 1 1 AK AB AC AK AB AC A B 1 1 AK AB AC AK AB AC 3 C D Câu 43 Cho tứ giác ABCD , O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi G theo thứ tự trọng tâm tam giác OAB OCD Khi GG bằng: AC BD AC BD AC BD AC BD A B C D Câu 44 Cho tam giác ABC với phân giác AD Biết AB 5 , BC 6 , CA 7 Khi AD bằng: 5 7 5 5 7 AB AC AB AC AB AC AB AC 12 12 12 12 A 12 B 12 C 12 D 12 Câu 45 Cho AD BE hai phân giác tam giác ABC Biết AB 4 , BC 5 CA 6 Khi DE bằng: 5 3 9 3 5 3 9 3 CA CB CA CB CA CB CA CB 5 A B C D Câu 46 Cho hình bình hành ABCD Gọi K, L trung điểm BC, CD Biết AK a, AL b Biểu diễn BA, BC theo a, b 4 2 1 2 BA a b, BC a b BA a b, BC a b 3 3 3 3 A B Trang 14 2 BA a b, BC a b 3 3 C 2 BA a b, BC a b 3 3 D Câu 47 Cho ABC có trọng tâm G Gọi I điểm BC cho 2CI 3BI J điểm BC kéo dài cho JB 2 JC Tính AG theo AI AJ 15 35 AG AI AJ AG AI AJ 16 16 48 16 A B 1 1 15 35 AG AI AJ AG AI AJ 16 16 48 16 C D nBM mBC n, m 0 Câu 48 Cho ABC Điểm M nằm đường thẳng BC cho Phân tích vectơ AM theo AB, AC m 1 m AM AB AC AM AB AC mn mn mn mn A B n m n n AM AB AC AM AB AC mn mn mn mn C D Câu 49 Một đường thẳng cắt cạnh DA, DC đường chép DB hình bình hành ABCD m, n điểm E, F M Biết rẳng DE mDA , DF nDC Hãy biểu diễn DM qua DB m, n m. n DM DB m n A m DM DB m n B n DM DB m n C m.n DM DB m n D 1 BD BC Câu 50 Cho ABC Trên BC lấy điểm D cho Khi phân tích AD theo vectơ AB AC 1 2 AD AB AC AD AB AC 3 3 A B 5 AD AB AC AD AB AC 3 C D Câu 51 Cho ABC Lấy điểm M, N, P cho MB 3MC , NA 3NC 0, PA PB 0 Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để M, N, P thẳng hàng MP MN MP MN MP MN MP 3MN A B C D AM AB Câu 52 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N điểm nằm cạnh AB CD cho , CN CD Gọi G trọng tâm BMN Gọi I điểm xác định BI mBC Xác định m để AI qua G m 11 A 11 m B C m 18 m 11 D ABC Câu 53 Cho có trung tuyến AD.Xét điểm M, 1 1 AM AB, AN AC , AP mAD Tìm m để M, N, P thẳng hàng N, P cho Trang 15 m A B C D Câu 54 Cho ABC M N hai điểm xác định thỏa mãn: MA 3MC 0 NA NB NC 0 Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để M, N, B thẳng hàng? 3 2 1 BM BN BM BN BM BN BM BN 2 A B C D m m m Câu 55 Cho ABC với H, O, G trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để H, O, G thẳng hàng? 1 3 OH OG OG GH HO OG GO 3OH 2 A B C D Câu 56 Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để IJ / / AE ? 5 1 3 1 IJ AE IJ AE IJ AE IJ AE 4 A B C D 1 AI AB, AI 3 AC Câu 57 Cho ABC Các điểm I, J thỏa mãn hệ thức Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để IC / / BJ ? 2 1 1 CI BJ CI BJ CI BJ 3 A B CI 3BJ C D BN AM MB, NC Gọi I Câu 58 Cho ABC Trên cạnh AB, BC lấy điểm M, N cho AI CI giao điểm AN CM Tính tỉ số AN IM AI CI 21 AI CI ; ; A AN IM B AN 11 IM AI CI ; C AN 23 IM AI CI 21 ; D AN 23 IM Câu 59 Cho ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC BC D, E, F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG song song với AC Tính ED GB A B C D Câu 60 Cho tứ giác ABCD có hai đưuòng chéo cắt O Qua trung điểm M AB dựng đường CN OA 1, OB 2, OC thẳng MO cắt CD N Biết , OD 4 Tính ND A B C D Trang 16 Câu 61 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N điểm nằm cạnh AB CD cho 1 AM AB, CN CD BMN Gọi G trọng tâm Hãy phân tích AG theo hai vectơ AB a, AC b 1 5 1 5 AG a b AG a b AG a b AG a b 18 18 18 18 A B C D Câu 62 Cho ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI 3BI J điểm tia đối BC AI , AJ a cho JB 2 JC Tính theo AB, b AC 3 2 2 AI a b, AJ a b AI a b, AJ a b 5 3 5 3 A B 3 2 AI a b, AJ a b AI a b, AJ a b 5 3 5 3 C D AM k AB DN k DC , Câu 63 Cho tứ giác ABCD Trên AB CD lấy điểm M, N cho , k 1 Hãy biểu diễn MN theo hai vectơ AD BC MN k AD k BC MN k AD k BC A B MN k AD k BC MN k AD k 1 BC C D Câu 64 Cho ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm AC cho AK AC Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để ba điểm B, I, K thẳng hàng 4 3 2 BK BI BK BI BK BI 3 A B C BK 2 BI D Câu 65 Cho ABC , E trung điểm BC, I trung điểm AB Gọi D, I, J, K điểm thỏa BE 2 BD, AJ JC , IK mIJ mãn Tìm m để A, K, D thẳng hàng m A B C D Câu 66 Cho ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức BC MA 0 , AB NA AC 0 Đẳng thức sau điều kiện cần đủ để MN / / AC MN AC MN AC A MN 2 AC B C MN AC D ABC ; M MA MB NB 3NC 0 Trọng tâm ABC G Gọi Câu 67 Cho N xác định , m m m PA 4 PC P điểm cạnh AC cho Các đẳng thức sau điều kiện cần đủ để M, G, N, P thẳng hàng 0 3PG PN 0 A 7GM 2GN B 5GM 2GN 0 3PG PN 0 PQ PN GM GN GM GN PG PN 0 C D Trang 17 Câu 68 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trọng tâm ADC BCD Đẳng thức điều kiện cần đủ để IJ / / AB 1 1 1 2 IJ AB IJ AB IJ AB IJ AB A B C D 3 AM AB AN AC Câu 69 Cho ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB; N cạnh AC cho , Gọi ON OM O giao điểm CM BN Tính tỉ số OB OC tương ứng 1 1 A B C 1 D Câu 70 Cho hình bình hành ABCD M thuộc AC cho: AM kAC Trên cạnh AB, BC lấy điểm P, AN CN Q cho MP / / BC , MQ / / AB Gọi N giao điểm AQ CP Tính tỉ số AQ CP theo k AN k CN 1 k AN k CN 1 k ; ; A AQ k k CP k k B AQ k k CP k k AN k CN 1 k ; C AQ k k CP k k AN k CN 1 k ; D AQ k k CP k k DẠNG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ Câu 71 Cho hai tam giác ABC A ' B ' C ' có trọng tâm G G ' Đẳng thức sau đúng? ' B C ' C 3GG ' AB ' BC ' CA ' 3GG ' A A ' A B B C AC ' BA ' CB ' 3GG ' D AA ' BB ' CC ' 3GG ' Câu 72 Cho điểm A, B C, D, E Đẳng thức sau đúng? 1 AB CD EA CB ED AB CD EA 2 CB ED A B 3 AB CD EA CB ED C D AB CD EA CB ED Câu 73 Cho ABC điểm M tùy ý Chọn hệ thức đúng? MA MB MC AC BC A B MA MB MA MB MC CA CB C D MA MB 3MC 2 AC BC 3MC 2CB CA Câu 74 Cho hình chữ nhật ABCD, I, K trung điểm BC CD Chọn đẳng thức A AI AK 2 AC B AI AK AB AD AI AK AC C AI AK IK D A , B ,C Câu 75 Cho ABC có trọng tâm G Gọi 1 trung điểm BC, CA, AB Chọn đẳng thức sai GA GB GC AA BB CC GC 2GC1 AG BG CG 1 1 1 A B C D Trang 18 Câu 76 Cho ABC với H, O, G trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm Hệ thức sau đúng? 1 3 OH OG OG GH 2 A B HO 3OG C D 2GO 3OH Câu 77 Cho điểm A, B, C,D Gọi I, J trung điểm AB CD Đẳng thức sau sai? A AB CD 2 IJ B AC BD 2 IJ C AD BC 2 IJ D IJ DB CA 0 Câu 78 Cho ABC , M điểm cạnh BC Khi đẳng thức sau đúng? MB MB MC MA AM AB AC BM AC BC AB AB BC BC A B MB MA MB MC 3CM AB AC AM AB AC BC BC AC AB C D Câu 79 Cho ABC , AM, BN, CP trung tuyến D, E, F trung điểm AM, BN CP Với O điểm Đẳng thức sau đúng? OA OB OC 3 OD OE OF A OA OB OC OD OE OF B OA OB OC 2 OD OE OF OA OB OC 3 OD OE OF C D Câu 80 Cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hình chiếu M xuống ba cạnh D, E, F Hệ thức sau đúng? MD ME MF MO MD ME MF MO A B 3 MD ME MF MO MD ME MF MO C D Câu 81 Cho tứ giác ABCD I, J trung điểm AB DC G trung điểm IJ Xét mệnh đề: AB AC AD AG IA IC IG (I) (II) (III) JB ID JI Mệnh đề sai là: A (I) (II) B (II) (III) C Chỉ (I) D Tất sai MA NB m Câu 82 Cho tứ giác ABCD, điểm M, N thuộc đoạn AD BC cho MD NC n Đẳng thức sau đúng? n AB mDC n AC m AB nBC mCD nCD m AD MN AM BN DM mn mn mn mn A B C D S Sa , S MCA Sb , S MAB Sc Đẳng Câu 83 Cho ABC điểm M tam giác Đặt MBC thức sau đúng? S MA S MB S MC S AB S BC S CA 0 a b c a b c A B C S a MC Sb MB Sc MA 0 D S a AC Sb AB Sc BC 0 Câu 84 Cho ABC với BC a, AC b, AB c I tâm đường tròn nội tiếp ABC , đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P Đẳng thức sau đúng? A a.IM b.IN c.IP 0 B a.MA b.NB c.PC 0 Trang 19 a AB b.BC c.CA 0 D C a AM b.BN c.CP 0 DẠNG XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN Câu 85 Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho IA IB 0 IB AB A Điểm I đoạn AB cho IB AB B Điểm I thuộc đoạn AB cho C Điểm I trung điểm đoạn AB IB AB D Điểm I nằm khác phía với B A Câu 86 Cho đoạn thẳng AB Hình sau biểu diễn điểm I cho A AI 3 BA B C D MN 3MP Hình vẽ sau xác định vị trí Câu 87 Trên đường thẳng MN lấy điểm P cho điểm M A B C D AM AB Câu 88 Cho đoạn thẳng AB điểm M điểm đoạn AB cho Tìm k để MA k MB 1 k k 4 A B k 4 C D k Câu 89 Cho ABC Trên đường thẳng BC lấy điểm M cho MB 3MC Điểm M vẽ hình sau đây? A B Trang 20