Hh10 c1 b3 tich mot số với mot vecto

BÀI 3: TÍCH MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO Định nghĩa r r r r Cho số k ¹ vectơ a ¹ Tích vectơ a với số k vectơ, kí hiệu ka, r r r hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài k a Tính chất r r Với hai vectơ a b bất kì, với số h k, ta có    r r r r k a + b = ka + kb ( ) r r r ( h+ k) a = + ka r r h( ka) = ( hk) a ; ; ; r r r r 1.a = a, ( - 1) a = - a  Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác a) Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có uuur uuur uuu r MA + MB = MI b) Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có uuu r uuu r uuu r uuur GA +GB +GC = 3MG Điều kiện để hai vectơ phương r r Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b r r ( b ¹ 0) r r a = kb phương có số k để Nhận xét Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k khác để uuu r uuur AB = k AC Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương r r r Cho hai vectơ a b khơng phương Khi vectơ x phân tích r r cách theo hai vectơ a b, nghĩa có cặp số h, k cho r r r x = + kb II – DẠNG TOÁN  Dạng 1: Xác định vectơ k a Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình    Ví dụ 1: Cho a  AB điểm O Xác định hai điểm M N cho:     OM 3a; ON  4a (Sai hình)  a N Hướng dẫn giải: O M    Vẽ d qua O // với giá a (nếu O  giá a d giá a )       Trên d lấy điểm M cho OM=3| a |, OM a hướng OM 3a       Trên d lấy điểm N cho ON= 4| a |, ON a ngược hướng nên ON  4a Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB cho AM= AB Tìm k đẳng thức sau:       a )AM k AB; b )MA k MB; c )MA k AB Hướng dẫn giải: A M B    | AM | AM 1   AM k AB  | k |    AB AM  AB | AB | a) ,  k= b) k=  c) k=     5 a  5a Ví dụ 3: a) Chứng minh:vectơ đối  là   b) Tìm vectơ đối véctơ 2a  3b , a  2b Hướng dẫn giải:      5a   1 5a    1  a    a a)            2a  3b   1 2a  3b   1 2a    1 3b    a     b  2a  3b b)       Dạng 2: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng phương Ví dụ 4: Cho ABC có trọng tâm G Cho điểm D, E, F A trung điểm cạnh BC, CA, AB I      u giao điểm AD EF Đặt  AE; v  AF Hãy phân tích      vectơ AI , AG,DE,DC theo hai vectơ u,v Hướng dẫn giải:   1   1 AI  AD  ( AE  AF )  u  v ) C 2 2 Ta có    2 2 AG  AD  u  v  3    DE FA  AF 0.u  (  )v      DC FE  AE  AF u  v Ví dụ 5: Cho tam giác ABC ĐiểmM nằm  cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân   tích vectơ AM theo hai vectơ u  AB, v  AC Hướng dẫn giải:      AM  AB  BM  AB  BC Ta có    mà BC  AC  AB    2   AM  AB  ( AC  AB )  u  v 3  Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng     AB phương AC  0≠k k   : AB k AC + A, B, C thẳng hàng   AB  kCD hai đường thẳng AB CD phân biệt AB//CD + Nếu Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K trung AK  AC điểm AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Hướng dẫn giải: Ta có      2BI BA  BM BA  BC    4BI 2BA  BC ( ) Ta lại có      BK BA  AK BA  AC     2 BA  ( BC  BA )  BA  BC 3   3 3BK 2BA  BC (2)     3BK 4BI  BK  BI Từ (1)&(2)  B, I, K thẳng hàng Ví giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức:  dụ  7: Cho tam    BC  MA 0 , AB  NA  3AC 0 Chứng minh MN//AC Hướng dẫn giải:       BC  MA  AB  NA  AC 0       hay AC  MN  3AC 0  MN 2 AC     MN / / AC Theo giả thiết BC  AM Mà A,B,C khơng thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M hình bình hành  M không thuộc AC MN//AC Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích vectơ với số Ví dụ 8: CD Chứng minh:  Gọi  M, N trung điểm hai đoạn thẳng AB M 2MN  AC  BD B A Hướng dẫn giải:         D VP  AC  BD  AM  MN  NC  BM  MN  ND N      C 2MN  AM  BM  ND  NC  2MN     AB  AC  AD 3AC Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: Hướng dẫn giải:    AB  AD  AC Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có      VT= AC  AC 3AC VP (đpcm) Ví dụ 10: Chứng   minh  G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ 3GG'  AA'  BB'  CC' Hướng dẫn giải:    VP  AA'  BB'  CC'           AG  GG'  G' A'  BG  GG'  G' B'  CG  GG'  G' C'        3GG'  AG  BG  CG  G' A'  G' B'  G' C'        3GG'  ( GA  GB  GC )  G' A'  G' B'  G' C'  3GG' Dạng 5: Xác  định vị trí điểm nhờ đẳng thức véctơ + AB 0  A  B    a AM a + Cho   điểm A và  Có M cho : + AB  AC  B  C; AD BD  A  B Ví  dụ  11: Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí G biết AG 2GD Hướng dẫn giải:   A AG 2GD  A,G, D thẳng hàng AG=2GD G nằm A D G Vậy G trọng tâm tam giác ABC B C I Ví dụ 12: Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho:    IA  2IB 0 Hướng dẫn giải:        IA  2IB 0  IA  2IB  IA   2IB   IA  IB Vậy I điểm thuộc AB cho IB= hay IA=2IB, AB A I B      Ví dụ 13: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho: GA  GB  GC  GD 0 Hướng dẫn giải:    Ta có GA GB 2GI  , I trung điểm AB B GC  GD  2GK C Tương tự , K trung điểm CD       I GA  GB  GC  GD 2GI  2GK K    hay GI  GK 0  G trung điểm IK A D BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Đẳng thức véctơ không dùng tính chất trung điểm, trọng tâm Nhận biết Câu Chọn phát biểu sai? A Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng B Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng C Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  AB  AC  AB  k BC , k   k BC , k   k AC , k  Câu Câu Câu   A, B, C D Ba điểm phân biệt thẳng hàng AB = k AC Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  k   ,k  cho AB = k AC   Cho hai vectơ a b không phương Hai vectơ sau phương? 1  1       a  6b  a b A  3a  b B 2a  b 1  1  1    a b  a b a b a 2 C D  2b Hướng dẫn giải Chọn C 1     a  b    a  b    nênchọn Đáp ánC Ta có   Cho hai vectơ a b không phương Hai vectơ sau phương?  1   3    3    v  a  3b u  a  3b v 2a  b 5 A u 2a  3b B  2    3  1 1    u  a  3b u 2a  b v  a  b C v 2a  9b D Hướng dẫn giải Chọn D  1 1    1 v  a  b   2a  b   u 6  Ta có   Hai vectơ u v phương       a , b x  a  b Cho không phương, Vectơ hướng với x là:  1        a  b A a  b B C a  b D  a  b Hướng dẫn giải Chọn B   1    a  b  2 a  b  x 2 Chọn B Ta có   Cho hai vectơ a b không phương Hai vectơ sau phương? 1    1  1   ab a b a b A a  2b B  1 1 1 a  2b a b D      a  100b D  3a  b Hướng dẫn giải Chọn A  Câu  Ta có Thơng hiểu  1    a  b  a  2b 2 nên chọn A          b  0, a  2b , c a  b Khẳng định sau sai? Câu Cho vectơ     b v c b v c A Hai vectơ B Hai vectơ     ngược hướng C Hai vectơ b c phương D Hai vectơ b c đối Hướng dẫn giải Chọn A         Ta có a  2b  c a  b  2b  b  b   b v c Vậy hai vectơ đối     Câu Biết hai vectơ a b không phương hai vectơ 2a  3b   a   x  1 b phương Khi giá trị x là: 3   A B C D Hướng dẫn giải Chọn C x 1       x  a  x  b   phương nên có tỉ lệ:  Ta có 2a  3b Dạng 2: Dùng tính chất trung điểm, trọng tâm – ba điểm thẳng hàng Nhận biết  ABC G GA  AM Câu Cho tam giác với trung tuyến trọng tâm Khi    2  GM  AM AM A 2GM B C D Hướng dẫn giải Chọn C A G B M  2 GA  AM C   GA  AM GA Ta có Mặt khác AM ngược hướng Câu Cho tam giác ABC có trọng tâm G trung tuyến AM Khẳng định sau sai:        A GA  2GM 0 B MA  MB  MC 3MG, M       C GA  GB  GC 0 D AM  2MG Hướng dẫn giải Chọn D A G B M    AM  3MG C   Ta có AM 3MG Mặt khác AM MG ngược hướng Câu 10 Cho ba điểm A, B, C phân biệt Điều kiện cần đủ để ba điểm thẳng hàng   là      MB  MC 0 MB A M : MA B M : MA MC   C AC  AB  BC D k  R : AB k AC Hướng dẫn giải Chọn D A, B, C phân biệt thẳng Ta có tính chất:Điều  kiện cần đủ để ba điểm hàng k  R : AB k AC Câu 11 Điều kiện điều kiện cần đủ để điểm O trung điểm đoạn AB        A OA OB B OA OB C AO BO D OA  OB 0 Hướng dẫn giải Chọn D  OA  OB; OA O AB Điểm trung điểm đoạn và ngược hướng    Vậy OA  OB 0 Câu 12 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC Khẳng định sau         BI  IC 3BI  2IC BI  2IC 2BI IC A B C D Hướng dẫn giải CI I Chọn A trung điểm BC nên BI     BI hướng với IC hai vectơ BI ,    IC hay BI IC Câu 13 Cho điểm O trung điểm đoạn AB Khẳng định sau đúng?     OB A OA  BO B OA   C AO BO D AB 2OA Hướng dẫn giải Chọn A Câu 14 Đẳng thức sau đâymô vẽ bên:  tả hình      AI  AB  BI  BA  IA  3IB 0 A B C  I B A Hướng dẫn giải Chọn D   2  BA  BI ; BI BA  BI 3 Ta có BA ngược hướng nên    BI  3BA 0 D     BI  BI  3BA 0 3   Vậy BI  3BA 0 BA  2 Câu 15 Phát biểu sai?       AB  AC AB  AC A Nếu B AB CD A, B, C , D thẳng hàng        C Nếu AB  AC 0 A, B, C thẳng hàng D AB  CD  DC  BA Hướng dẫn giải Chọn B  AB / / CD    AB CD  AB CD Nên Đáp án B SAI A , B ,C Cho tam giác ABC , có trọng tâm G Gọi 1 trung điểm BC , CA, AB Chọn khẳng định sai?         GA  GB  GC  1 A B AG  BG  CG 0       AA  BB  CC  GC  2GC1 1 C D Câu 16 A B1 C1 G B A1 C Hướng dẫn giải Chọn D    GC  GC GC 2GC1 sai nên Ta có Chọn D Nếu G trọng tâm tam giác ABC đẳngthức  sau đúng?     3( AB  AC ) AB  AC AG  AG  A B       2( AB  AC ) AB  AC AG  AG  C D Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M trung điểm BC    2 2 1  AB  AC AG  AM  AB  AC  AG  3 Ta có Câu 17  Câu 18 Xét phát biểu sau:    BA  AB (1) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn   AC CA (2) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB CB   (3) Điều kiện cần đủ để M trung điểm đoạn PQ PQ 2 PM Trong câu trên, thì: A Câu (1) câu (3) B Câu (1) sai C Chỉ có câu (3) sai D Khơng có câu sai Hướng dẫn giải Chọn A Ta có   (1) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB BA  AC   PQ PQ  PM M (3) Điều kiện cần đủ để trung điểm đoạn Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB   CB CA Do câu (1) câu (3) Thông hiểu Câu 19 Gọi CM trung tuyến tam giác ABC D trung điểm CM Đẳng thức sau đúng?          DC  2DB 0 A DA DB 2DC B DA  0     C DA  DB  2CD 0 D DC  DB  2DA 0 Hướng dẫn giải A M D B C Chọn A Ta có          DA  DB  2DC 2DM  2DC 2 DM  DC 2.0 0       MA  MB  2MC 0 Cho ABC Tìm điểm M thỏa M trung điểm cạnh IC , với I trung điểm cạnh AB M trùng với đỉnh C ABC M trọng tâm tam giác ABC M đỉnh hình bình hành MCAB Hướng dẫn giải Chọn A I trung điểm cạnh AB Ta có: Gọi        Câu 20 A B C D MA  MB  MC 0  MI  MC 0      MI  MC 0  MI  MC 0     Vậy M trung điểm cạnh IC Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Sai dùng tính chất M trọng tâm tam giác ABC I B A M C     MA  MB  MC 0        MA  MB  MC  MC 0  MC 0  M C Phương án C: Sai HS dùng khơng hiểu tính chất M trọng tâm ABC tam giác     MA  MB  MC 0  M trọng tâm tam giác ABC Phương án D: Sai HS dùng sai tính chất trung điểm             MA  MB  2MC 0  AB  2MC 0  AB  MC 0  MC BA Nên M đỉnh hình bình hành MCAB Câu 21 Cho tam giác ABC, D trung điểm cạnh AC Gọi I điểm thỏa mãn:    IA  IB  3IC 0 Câu sau đúng? A I trực tâm BCD B I trọng tâm ABC C I trọng tâm CDB D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải Chọn C     Câu 22 Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa AM  AB  AC  AD Khi điểm M là: A trung điểm AC B điểm C C trung điểm AB D trung điểm AD Hướng dẫn giải Chọn A  Câu 23 Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Đẳng thứcnào sau đúng?       GG '  A ' A  B ' B  C ' C GG '  AB '  BC '  CA ' A  B        C 3GG '  AC '  BA '  CB ' D 3GG '  AA '  BB '  CC ' Hướng dẫn giải Chọn D Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M trung điểm BC Phân tích  vectơ AG theo hai vectơ hai cạnh tam giác Khẳng định sau đúng?  2   1  AG  AB  AC AG  AB  AC 3 A B  2   2  AG  AC  BC AG  AB  BC 3 3 C D Hướng dẫn giải Chọn D  2  2   2 AG  AM   AB  AC   AB  AC 3 Sai qui tắc hình bình hành Câu 24 Câu 25 Cho hai tam giác ABC ABC  có trọng tâm G G Đẳng thứcnào  sau  đây sai?     GG '  AA '  BB '  CC ' GG '  AB '  BC '  CA ' A     B     C 3GG '  AC '  BA '  CB ' D 3GG '  A ' A  B ' B  C ' C Hướng dẫn giải Chọn D Do G G là trọng tam giác ABC ABC  nên    tâm     AG  BG  CG 0 A ' G '  B ' G '  C ' G ' 0            AA '  BB '  CC '  AG  BG  CG  GA  GB  GC  0  3GG ' A            AB '  BC '  CA '  AG  BG  CG  GA  GB  GC  0  3GG ' B            AC '  BA '  CB '  AG  BG  CG  GA  GB  GC  0  3GG ' C            A ' A  B ' B  C ' C  A ' G '  B ' G '  C ' G '  G ' A  G ' B  G ' C 0  3G ' G D (SAI)                