Chuyên đề tích một vecto với một số

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website: tailieumontoan.com BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ I – LÝ THUYẾT Định nghĩa Tính chất Điều kiện để hai vectơ phương Điều kiện ba điểm thẳng hàng Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương Chú ý   Cho vectơ a số k ∈ R ka vectơ xác định sau:   + ka hướng với a k ≥ 0,   + ka ngược hướng với a k <   + ka = k a     k ( a + b ) = ka + kb ;    (k + l )a =ka + la ;   k ( la ) = (kl )a     ka = ⇔ k = a =       a vaøb ( a ≠ 0) cù ng phương ⇔ ∃k ∈ R : b =ka   A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: AB = kAC    Cho hai vectơ không phương a, b x tuỳ ý Khi ∃! m, n    ∈ R: = x ma + nb • Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:   M trung điểm AB ⇔  MA MB +    =  2OM (O tuỳ ý) ⇔ OA + OB = • Hệ thức trọng tâm tam giác:     G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC =     3OG (O tuỳ ý) ⇔ OA + OB + OC = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ II – DẠNG TOÁN  Dạng 1: Xác định vectơ k a Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình       Ví dụ 1: Cho a = AB điểm O Xác định hai điểm M N cho: OM = 3a; ON = −4a (Sai hình) Hướng dẫn giải:     a Vẽ d qua O // với giá a (nếu O ∈ giá a d giá a )    N O M − Trên d lấy điểm M cho OM=3| a |, OM a hướng   OM = 3a      − Trên d lấy điểm N cho ON= 4| a |, ON a ngược hướng nên ON = −4a Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB cho AM= AB Tìm k đẳng thức  sau:      = a )AM k= AB; b ) MA k MB; = c ) MA k AB Hướng dẫn giải: A M B      | AM | AM 1 a) AM= k AB ⇒| k=|  = , AM ↑↑ AB ⇒ k= = AB | AB | 5 c) k= −   Ví dụ 3: a) Chứng minh:vectơ đối 5a ( −5 ) a b) k= −     b) Tìm vectơ đối véctơ 2a + 3b , a − 2b Hướng dẫn giải:     a) −5a =− ( 1) 5a =( ( −1) ) a =− ( 5) a (   ) ( ) (   )       b) − 2a + 3b = ( −1) 2a + 3b = ( −1) 2a + ( −1) 3b = ( −2 ) a + ( −3 ) b = −2a − 3b Dạng 2: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng phương Ví dụ 4: Cho ∆ABC có trọng tâm G Chocác điểm E, F trung điểm các cạnh BC, CA,   D, AB I giao điểm AD EF Đặt = u AE; = v AF Hãy phân tích vectơ AI , AG,DE,DC theo  hai vectơ u,v Hướng dẫn giải:     1 1 Ta có AI = AD = ( AE + AF ) = u + v ) 2 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A TÀI LIỆU TOÁN HỌC C Website: tailieumontoan.com     = = AG AD u+ v 3    3  DE =FA =− AF =0.u + ( −1 )v       DC = FE = AE − AF =− u v  Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM     theo hai vectơ u AB, v AC = = Hướng dẫn giải:      Ta có AM =AB + BM =AB + BC    mà BC = AC − AB     1 2 ⇒ AM =AB + ( AC − AB ) = u + v 3 Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng     + A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương AC ⇔∃ 0≠k ∈  : AB = k AC   + Nếu AB = kCD hai đường thẳng AB CD phân biệt AB//CD Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K trung điểm AC AK = AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Hướng dẫn giải: Ta có      2BI =BA + BM =BA + BC    4BI = 2BA + BC ( ) Ta lại có      BK =BA + AK =BA + AC      =BA + ( BC − BA ) = BA + BC 3    3BK (2) = 2BA + BC     Từ (1)&(2)⇒ 3BK = 4BI ⇒ BK = BI ⇒ B, I, K thẳng hàng Ví dụ 7: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức:        BC + MA = , AB − NA − 3AC = Chứng minh MN//AC Hướng dẫn giải:       BC + MA + AB − NA − 3AC =       hay AC + MN − 3AC =⇔ MN = AC     MN / / AC Theo giả thiết BC = AM Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M hình bình hành ⇒ M không thuộc AC⇒ MN//AC Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích vectơ với số Ví dụ 8: Gọi M, N trung điểm hai đoạn thẳng AB CD Chứng minh:    2MN = AC + BD Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com M Hướng dẫn giải:         VP = AC + BD = AM + MN + NC + BM + MN + ND      = 2MN + AM + BM + ND + NC  = 2MN  B A   D N C  3AC Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: AB + AC + AD = Hướng dẫn giải:    Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC     ⇒ VT= AC + AC = 3AC = VP (đpcm) Ví dụ 10: Chứng minh G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’     3GG' = AA' + BB' + CC' Hướng dẫn giải:    VP = AA' + BB' + CC'          = AG + GG' + G' A' + BG + GG' + G' B' + CG + GG' + G' C'        = 3GG' + AG + BG + CG + G' A' + G' B' + G' C'        = 3GG' − ( GA + GB + GC ) + G' A' + G' B' + G' C'  = 3GG' Dạng 5: Xác định vị trí điểm nhờ đẳng thức véctơ   + AB = ⇔ A ≡ B    + Cho điểm A a Có M cho : AM = a     + AB= AC ⇔ B ≡ C; AD= BD ⇔ A ≡ B   Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí G biết AG = 2GD Hướng dẫn giải:   A AG = 2GD ⇒ A,G, D thẳng hàng AG=2GD G nằm A D G Vậy G trọng tâm tam giác ABC    B C I Ví dụ 12: Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho: IA + 2IB = Hướng dẫn giải:        A IA + 2IB = ⇔ IA = −2IB ⇒ IA = −2IB   hay IA=2IB, IA ↑↓ IB Vậy I điểm thuộc AB cho IB= AB      Ví dụ 13: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho: GA + GB + GC + GD = Hướng dẫn giải:    Ta có GA + GB = 2GI , I trung điểm AB    B Tương tự GC + GD = 2GK , K trung điểm CD       GA + GB + GC + GD = 2GI + 2GK I    hay GI + GK = B I C K A ⇒ G trung điểm IK Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Đẳng thức véctơ khơng dùng tính chất trung điểm, trọng tâm Nhận biết Câu Chọn phát biểu sai?   A Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng = AB k BC , k ≠   B Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng = AC k BC , k ≠   C Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng = AB k AC , k ≠   D Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB = k AC Hướng dẫn giải Chọn D Câu Câu Câu ( Câu   Ta có ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ∃ k ∈  ,k ≠ cho AB = k AC   Cho hai vectơ a b không phương Hai vectơ sau phương?      1 1  B − a − b 2a + b A −3a + b − a + 6b 2       1 1  C a − b − a + b D a + b a − 2b 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1     Ta có a − b =−  − a + b  nênchọn Đáp ánC     Cho hai vectơ a b không phương Hai vectơ sau phương?     1   3    3 B = A = u 2a + 3b và= v a − 3b u a + 3b = v 2a − b 5        3  2  1 C.= D = v 2a − 9b − a + b u 2a − b v = u a + 3b = Hướng dẫn giải Chọn D  1 1 1   1 Ta có v = − a+ b= −  2a − b  = − u 6    Hai vectơ u v phương       Cho a, b không phương, x = −2 a + b Vectơ hướng với x là:         A a − b B − a + b C a + b D − a + b Hướng dẫn giải Chọn B      Ta có − a + b = −2 a + b = x Chọn B 2   Cho hai vectơ a b không phương Hai vectơ sau phương? ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com  1   A − a + b a − 2b  1 1 1 D a + b a + b 2     D −3a + b − a + 100b B 1  1  a − b a + b 2 Hướng dẫn giải Chọn A  1   Ta có − a + b =− a − 2b nên chọn A 2 Thông hiểu        Câu Cho vectơ b ≠ 0, a = −2b , c = a + b Khẳng định sau sai?     A Hai vectơ b c B Hai vectơ b c ngược hướng     C Hai vectơ b c phương D Hai vectơ b c đối ( Hướng dẫn giải Chọn A  Câu )        Ta có a =−2b ⇒ c =a + b =−2b + b =−b   Vậy hai vectơ b c đối       Biết hai vectơ a b không phương hai vectơ 2a − 3b a + ( x − 1) b phương Khi giá trị x là: A B − 2 C − Hướng dẫn giải D Chọn C     x −1 ⇒ x =− Ta có 2a − 3b a + ( x − 1) b phương nên có tỉ lệ: = −3 2 Dạng 2: Dùng tính chất trung điểm, trọng tâm – ba điểm thẳng hàng Nhận biết Câu  Cho tam giác ABC với trung tuyến AM trọng tâm G Khi GA =     A 2GM B GM C − AM D AM 3 Hướng dẫn giải Chọn C A G B M C Ta có GA =    2  AM Mặt khác GA AM ngược hướng GA = − AM 3 Câu Cho tam giác ABC có trọng tâm G trung tuyến AM Khẳng định sau sai: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com       A GA + 2GM =     B MA + MB + MC= 3MG, ∀M   C GA + GB + GC =  D AM = −2MG Hướng dẫn giải Chọn D A G B C M     Ta có AM = 3MG Mặt khác AM MG ngược hướng ⇒ AM = −3MG Câu 10 Cho ba điểm A, B, C phân biệt Điều kiện cần đủ để ba điểm thẳng hàng       A ∀M : MA + MB + MC =   B ∀M : MA + MC = MB    = AB + BC C AC  D ∃k ∈ R : AB =k AC Hướng dẫn giải Chọn D Ta có tính chất: Điều kiện cần đủ để ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng   ∃k ∈ R : AB =k AC Câu 11 Điều kiện điều kiện cần đủ để điểm O trung điểm đoạn AB  A OA = OB  B OA = OB Chọn D      C AO = BO Hướng dẫn giải D OA + OB =  Điểm O trung điểm đoạn AB OA = OB; OA ngược hướng    Vậy OA + OB = Câu 12 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC Khẳng định sau   A BI = IC   B 3BI = 2IC     D 2BI = IC C BI = 2IC Hướng dẫn giải  Chọn A I trung điểm BC nên BI = CI BI    hướng với IC hai vectơ BI , IC hay   BI = IC Câu 13 Cho điểm O trung điểm đoạn AB Khẳng định sau đúng?     A OA = BO B OA = OB     C AO = BO D AB = 2OA Hướng dẫn giải Chọn A Câu 14 Đẳng thức sau mô tả hình vẽ bên:          A AI + AB = B 3BI + BA = C IA + 3IB = 0 I B    D BI + 3BA = A Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Chọn D    2  BI ; BI BA ngược hướng nên BA = − BI 3       BA = − BI ⇔ BI + 3BA =    Vậy BI + 3BA = Ta có BA = Câu 15 Phát biểu sai?       A Nếu AB = AC AB = AC B AB = CD A, B, C , D thẳng hàng        C Nếu AB + AC = A, B, C thẳng hàng D AB − CD = DC − BA Hướng dẫn giải Chọn B    AB / /CD Nên Đáp án B SAI AB = CD   AB ≡ CD Câu 16 Cho tam giác ABC , có trọng tâm G Gọi A1 , B1 , C1 trung điểm BC , CA, AB Chọn khẳng định sai?     A GA1 + GB1 + GC1 =     C AA1 + BB1 + CC1 =     B AG + BG + CG =   D GC = 2GC1 A B1 C1 G B A1 C Hướng dẫn giải Chọn D     Ta có GC = −2GC1 nên GC = 2GC1 sai Chọn D Câu 17 Nếu G trọng tâm tam giác ABC đẳng thức sau đúng?      3( AB + AC )  AB + AC A AG = B AG =      2( AB + AC )  AB + AC C AG = D AG = Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M trung điểm BC        AB + AC Ta có AG= AM= AB + AC ⇒ AG= 3 ( Câu 18 ) Xét phát biểu sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com   (1) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB BA = −2 AC   (2) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB CB = CA   (3) Điều kiện cần đủ để M trung điểm đoạn PQ PQ = PM Trong câu trên, thì: A Câu (1) câu (3) C Chỉ có câu (3) sai B Câu (1) sai D Khơng có câu sai Hướng dẫn giải Chọn A Ta có   (1) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB BA = −2 AC   (3) Điều kiện cần đủ để M trung điểm đoạn PQ PQ = PM   Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần đủ để C trung điểm đoạn AB CB = CA Do câu (1) câu (3) Thông hiểu Câu 19 Gọi CM trung tuyến tam giác ABC D trung điểm CM Đẳng thức sau đúng?                 A DA + DB + 2DC = B DA + DC + 2DB = C DA + DB + 2CD = D DC + DB + 2DA = Hướng dẫn giải A M D C B Chọn A Ta có      (   )   DA + DB + 2DC = 2DM + 2DC = DM + DC = 2.0 = Câu 20     Cho ∆ABC Tìm điểm M thỏa MA + MB + MC = A M trung điểm cạnh IC , với I trung điểm cạnh AB B M trùng với đỉnh C ∆ABC C M trọng tâm tam giác ABC D M đỉnh hình bình hành MCAB Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I trung điểm cạnh AB Ta có:        MA + MB + MC = ⇔ MI + MC =       ⇔ MI + MC = ⇔ MI + MC = ( ) Vậy M trung điểm cạnh IC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 28 A m = 1 ,n= 2 B m = – 1 1 ,n= C m = , n = – 2 2 Hướng dẫn giải D m = – 1 ,n=– 2 Chọn A Câu 89 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm đối xứng B qua G Các số m, n thích hợp    để= AI m AC + n AB là: 2 2 B m = C m = ; n = − D m = A.= − ;n = ;n m = − ;n = − 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Câu 90 Cho tam giác ABC Gọi H điểm đối xứng trọng tâm G qua B Số m thỏa mãn hệ thức    HA + HC = mHB là: A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải Chọn D Câu 91 Cho tam giác OAB Gọi M, N trung điểm hai cạnh OA OB Các số m, n thích hợp    để có đẳng thức = MN mOA + nOB là: 1 1 1 A m = , n = B m = 0, n = C m = , n = – D m = – , n = 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Câu 92 Cho tam giác OAB Gọi N trung điểm OB Các số m, n thỏa mãn đẳng thức    = AN mOA + nOB Khẳng định sau đúng? 1 1 −4 n = A m = B m = C m = D −1 n = − n = = m 1= n 2 Hướng dẫn giải Chọn A m = −1          AN = AO + AB = −OA + OB − OA = −OA + OB ⇒  2 n = ( Câu 93 ) ( )   Cho hình bình hành ABCD Gọi I điểm xác định BI = k BC (k ≠ 1) Hệ thức    AI , AB, AC là:       = = A AI (k-1) AB − k AC B AI (1-k) AB + k AC       (1 + k) AB − k AC (1 + k) AB + k AC C AI = D AI = Hướng dẫn giải Chọn B Câu 94      Cho tam giác ABC , điểm I thoả mãn: 5MA = MB Nếu= IA mIM + nIB cặp số ( m; n) bằng: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 29  3 B  ;   5 3 2 A  ;  5 5 3 2 D  ; −  5 5  2 C  − ;   5 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có             5MA= MB ⇔ MI + IA = MI + IB ⇔ IA= 3IM + IB ⇔ IA= IM + IB 5 ( Câu 95 ) ( ) Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC cho CM = MB I trung điểm AB Đẳng thức sau đúng?       A = B = IM AB + AC IM AB − AC 6       C = D = IM AB + AC IM AB + AC 3 Hướng dẫn giải Chọn A A I B C M Ta có           IM = IB + BM = AB + BC = AB + AC − AB = AB − AC 3 ( Câu 96 ) Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC cho BN = NC I trung điểm AB Đẳng thức sau đúng?       A NI = B.= NI AB − AC − AB − AC 6        C.= D NI = − AB + AC NI AB − AC 3 Hướng dẫn giải A I B N C Chọn B Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 30           Ta có NI =− − AB − AC − AB = AB − AC − AB − BC = BI BN = 3 ( Câu 97 ) Cho tam giác ABC có I , D trung điểm AB, CI Đẳng thức sau đúng?       B BD = A = BD AB − AC − AB + AC 2         3  C BD = D BD = − AB + AC − AB − AC 4 Hướng dẫn giải Chọn B A I D C B         BD = BI + ID = − AB + IC = − AB + IA + AC 2 2          1 1 1    = − AB + IA + AC = − AB − AB + AC = − AB + AC 2 2 4 Vận dụng thấp ( Câu 98  Cho tam giác ABC với phân giác AD Biết AB = , BC = , CA = Khi AD bằng:         B C D A AB + AC AB − AC AB − AC AB + AC 12 12 12 12 12 12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn C Vì AD phân giác tam giác ABC nên:   BD AB = = ⇒ BD = DC DC AC 7     ⇔ AD − AB= AC − AD    ⇔ AD= AB + AC 12 12 ( Câu 99 ) ) Cho AD BE hai phân giác tam giác ABC Biết AB = , BC = CA =  Khi DE bằng:         A CA − CB B CA − CB C CA − CB D CA − CB 5 5 Hướng dẫn giải Chọn A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 31 AD phân giác tam giác ABC nên   CD = ⇒ CD = CB CB 10   CE Tương tự: = ⇒ CE = CA CA      Vậy DE = CE − CD = CA − CB CD AC CD = = ⇒ = DB AB CD + DB + ⇒ Câu 100 Cho tam giác ABC biết AB = 8, AC = 9, BC = 11 M trung điểm BC, N điểm đoạn AC cho AN = x (0 < x < 9) Hệ thức sau đúng?   x      x    AC + AB MN = A MN =− B    −  CA + BA 2 2 9 9 2   x      x    C MN =+ D MN =−   AC − AB   AC − AB 2 9 2 9 2 Hướng dẫn giải Chọn D Câu 101 Cho tam giác ABC có I , D trung điểm AB, CI , điểm N thuộc cạnh BC cho BN = NC Đẳng thức sau đúng?         A AN = DN B AN = ND C AN = 3DN D AD = DN Hướng dẫn giải Chọn D Gọi K trung điểm BN  DN / / IK   A  Xét ∆CKI ta có  ⇒ DN = IK (1)  DN = IK Xét ∆ABN ta có  AN / / IK    IK (2) ⇒ AN =   AN = IK     Từ (1) (2) suy AN = 2= IK 2.2 DN = DN I D B K N C Dạng 5: Tính độ dài véctơ – tổ hợp vectơ Nhận biết Câu 102 Cho tam giác ABC Mệnh đề sau đúng?       A = B AB = AC = BC AB AC = BC    C AB + AC + BC = 3a     D AB + AC + BC = 3a Hướng dẫn giải Chọn A Câu 103 Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Hỏi đẳng thức đúng?         A MA = MB B AB = AC C MN = BC D BC = MN Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 32 Hướng dẫn giải Chọn D Phân tích:     A MA = MB sai chúng ngược hướng B AB = AC sai chúng khơng phương     C MN = BC sai MN = BC   D BC = MN Câu 104 Cho tam giác ABC vuông cân A có AB = AC = Vậy BC bằng: A B 16 Chọn A BC = BC = C 32 Hướng dẫn giải D AB + AC = 16 + 16 = Câu 105 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Giá trị AC + BD bao nhiêu? C 12 A B Hướng dẫn giải      Chọn A AC + BD = AO + 2OD = AD = AD = D Câu 106 Cho tam giác ABC cạnh a AB − AC có độ dài bằng: A a B Chọn A C 2a Hướng dẫn giải D a AB − AC = CB = a Câu 107 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = Vậy BC bằng: A B 16 Chọn A BC = BC = C 32 Hướng dẫn giải D AB + AC = 16 + 16 = Câu 108 Biết AB = a, BC = 2a (a độ dài cho trước) AC bằng: A Khơng tính B 3a Chọn A khơng có sở để tính C a Hướng dẫn giải D a Câu 109 Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = AC = Tìm độ dài vectơ AB + BC A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 33    AB + BC = AC = Câu 110 Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm độ dài vecơ AB + DC A 2a B a C Hướng dẫn giải Chọn A    AB + DC = AB = 2a D a Câu 111 Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = AC = Tìm độ dài vectơ AB − AC A B 41    CB Chọn A AB − AC = BC = AC − AB = C Hướng dẫn giải D ±3 52 − = Câu 112 Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = AC = Tìm độ dài vectơ AB + AD A B 49 D C Hướng dẫn giải Chọn A    Áp dụng quy tắc hình bình hành AB + AD = AC    AB + AD = AC = Câu 113 Cho tam giác ABC cạnh a Hãy chọn kết   AC A AB + AC = a B AB + BC = C   AB + AC = a D AB − AC = CB Chọn A Hướng dẫn giải   Câu 114 Gọi G trọng tâm tam giác vng ABC với cạnh huyền BC = 12 Tìm độ dài vectơ GB + GC A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn A  Câu 115 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = Tính độ dài vectơ CA     CA = CA = CA = 25 CA = B C D A Hướng dẫn giải Chọn A  CA =CA = AB + BC =5 HS tính  Câu 116 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = , BC = Tính độ dài vectơ AC Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 34 A B 25 C Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: AC =  AC = AC = AB2 + BC2 = 32 + 42 = B B 2a Hướng dẫn giải Chọn A Ta có AC = AB + BC =    AD + AB = AC = AC = a Chọn A C D A C a D A a +a = 2 B 2a Hướng dẫn giải B a 2a = a 2   Câu 118 Cho hình vng ABCD cạnh a Khi AB − DA A a   Câu 117 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AD + AB A a D D C C 2a D A a B AC = AB2 + BC2 = a + a = 2a = a      AB − DA = AB + AD = AC = AC = a Câu 119 Cho hình bình hành ABCD tâm O Đẳng thức sau sai?       A | AC |=| BD | B | BC |=| DA | C | AB |=| CD | D C   D | AO |= | CA | Hướng dẫngiải Chọn A   | AC |≠| BD | Câu 120 Cho tam giác ABC với đường cao AH Đẳng thức sau đúng?       HC B AC = HC C AH = A HB = HC Hướng dẫn giải Chọn B   D AB = AC Câu 121 Cho tam giác ABC cạnh a , trọng tâm G Phát biểu đúng?      A AB = AC B GA = GB = GC       C AB + AC = D AB + AC= AB − AC 2a Hướng dẫn giải Chọn D Câu 122 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức sau sai?   a        A AB − AC = B AB + AC = C GA + GB + GC = a a D GB + GC = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 35 Hướng dẫn giải Chọn D Thông hiểu    Câu 123 Cho tam giác ABC , tập hợp điểm M cho MA + MB + MC = là: A đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC B đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính C đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính D đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 18 Hướng dẫn giải Chọn C     Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta có MA + MB + MC = 3MG     Thay vào ta được: MA + MB + MC =⇔ 3MG =⇔ MG = , hay tập hợp điểm M đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính Câu 124 Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 Tổng hai vectơ GB + GC có độ dài bao nhiêu? B A Chọn A C Hướng dẫn giải GB + GC = −GA ⇒ GB + GC = GA = D 2 GM = = (M trung điểm BC) 3 Câu 125 Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm độ dài vecơ AB + AC A a B a Chọn A Hướng dẫn giải C a D a   Câu 126 Cho tam giác ABC có cạnh a Tìm độ dài vectơ AB − CA A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải Chọn A   Câu 127 Cho tam giác ABC cạnh Tính AB − CA A B C Hướng dẫn giải D Chọn A HS gọi D điểm thỏa ABDC hình bình hành H trung điểm BC tính      AB − CA = AB + AC = AD = AD = AH = =   Câu 128 Cho tam giác ABC cạnh 2a Khi độ dài vectơ AB + AC bằng: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A 2a B M TÀI LIỆU TOÁN HỌC D C Website: tailieumontoan.com 36 B 2a A 2a C 4a Hướng dẫn giải D a Chọn B Vẽ hình bình hành ABCD gọi M trung điểm BC     Ta có AB + AC = AD = AM = AB − BM = (2a ) − a = 2a   Câu 129 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính OA − CB  2 1 −  a   B a A Chọn A C a Hướng dẫn giải a2 D      BD a = HS tính OA − CB = OA + AD = OD = OD = 2  Câu 130 Cho hình thoi ABCD có cạnh a, BDA = 60   Tính AB + AD A a B 2a Chọn A C a Hướng dẫn giải D a    HS tính AB + AD = AC = AC Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a BD =⇒ a OD = Tam giác ABD nên Xét tam giác OCD vuông O: a 3a a OC =CD − OD =a − = ⇒ OC = ⇒ AC =a 4   Câu 131 Cho tam giác ABC vuông cân C, ΑΒ = Tính AB + AC A 2 B Chọn A Ta có ΑΒ = AM = C Hướng dẫn giải D A ⇒ AC = BC = AC2 + CM = 1+ =    AB + AC = AD = AD = 2.AM = = Câu 132 Cho tam giác ABC cạnh a Khi   a A AB − CA = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 M C B D TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 37   a B AB − CA =   a C AB − CA =   a D AB − CA = Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: AM = A a AB − BM = 2 a2 a − = 3a a =      a AB − CA = AB + AC = AD = AD = 2.AM = =a B a M C Câu 133 Cho hình thang ABCD có AB song song với CD Cho AB = 2a D , CD = a O trung điểm AD Khi đó:         3a A OB + OC = B OB + OC = C OB + OC = D OB + OC = a 2a 3a Hướng dẫn giải Chọn D    Gọi M trung điểm BC ta có OB + OC = 2OM mà OM đường trung bình hình thang   ABCD nên 2OM = AB + DC =3a suy OB + OC = 3a   Câu 134 Cho hình vng ABCD cạnh  a Tính S = AD + DB ? A A =  2a A B B A =  a C A =  a Hướng dẫn giải D A =  a D C Chọn A Ta có         = S 2= AD + DB AD + AD = + DB AD = + AB AC = a 2 = 2a   Câu 135 Cho hình vng L cạnh a , tâm O M trung điểm AB Tính độ dài vectơ OA + OB A a ANL = B sin  C AL a a ⇒ AL = AN sin  ANL = sin 600 = AN a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 38 D 2a Hướng dẫn giải Chọn A   Ta có AB = AB = a ; AC =AC = AB + BC =a  a  a OA AC = OA = = = OM = , OM 2 Gọi E điểm cho tứ giác OBEA hình bình hành hình vng Ta có AM Vận dụng thấp Câu 136 Cho hình thang ABCD có AB song song với CD Cho AB = 2a , CD = a Gọi O trung điểm AD Khi         3a 3a a A OB + OC = B OB + OC = C OB + OC = D OB + OC = Hướng dẫn giải a C D Chọn A       OB + OC = OA + AB + OD + DC  O (vì AB     = AB + DC = AB + DC B  A 2a DC hướng) = AB + DC = 2a + a = 3a Câu 137 Cho tam giác ABC vng cân A có BC = a , M trung điểm BC Khẳng định sau   a   a   a 10   A BA + BM = B BA + BM = C BA + BM = D BA + BM = a 2 Hướng dẫn giải Chọn D Dựng hình bình hành ABMN Ta có       BA + BM = BN nên BA + BM = BN = BN Tam giác BCN vng C có NC = AM = a = BC 2 2a a =       Học sinh nhầm lẫn BA + BM = AM nên chọn B; BA + BM = AC nên chọn A   Câu 138 Tam giác ABC vuông A, AB = AC = Độ dài vectơ AB − AC bằng: Suy BN = A 17 BC + NC = 2a − B 15 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C Hướng dẫn giải D 17 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 39 C B B' A C' D Chọn D     Vẽ AB ' = AB; AC ' = − AC Vẽ hình bình hành AC′DB′      Ta có: AB − AC = AB′ + AC ′ = AD = AD Do AD = AB′2 + AC ′2 = 82 + 22 = 17     Câu 139 Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Một điểm M di động cho MA + MB = MA − MB Gọi H hình chiếu M lên AB Tính độ dài lớn MH ? A a B a C a D 2a Hướng dẫn giải Chọn A Gọi N đỉnh thứ hình bình hành    MANB Khi MA + MB = MN       Ta có MA + MB = MA − MB ⇔ MN = BA hay MN = AB AMB = 90o Suy MANB hình chữ nhật nên  Do M nằm đường trịn tâm O đường kính AB MH lớn H trùng với tâm O hay AB a max MH = MO = = 2 Học sinh nhầm lẫn độ dài lớn bán kính lần bán kính, độ dài đường cao tam giác Câu 140 Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi H chân đường cao hạ từ A cho     BH = HC Điểm M di động nằm BC cho BM = xBC Tìm x cho độ dài   vectơ MA + GC đạt giá trị nhỏ A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Dựng hình bình hành AGCE Ta có      MA + GC = MA + AE = ME Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 40    Kẻ EF ⊥ BC ( F ∈ BC ) Khi MA + GC = ME = ME ≥ EF   Do MA + GC nhỏ M ≡ F Gọi P trung điểm AC , Q hình chiếu vng góc P lên BC ( Q ∈ BC ) BE   BQ BP hay BF = BQ Ta có ∆BPQ ∆BEF đồng dạng nên = = BF BE   Mặt khác, BH = HC   PQ đường trung bình ∆AHC nên Q trung điểm HC hay HQ = HC         Suy BQ = BH + HQ = HC + HC = HC = BC = BC 6    Do đó= BF = BQ BC Khi P trung điểm GE nên BP = Dạng 6: Tập hợp điểm thoả điều kiện cho trước Nhận biết Câu 141 Cho hai điểm cố định A, B ; gọi I trung điểm AB Tập hợp điểm M thoả:     MA + MB = MA − MB là: A Đường trịn đường kính AB C Đường trịn tâm I , bán kính AB B Trung trực AB D Nửa đường trịn đường kính AB Hướng dẫn giải Chọn A       BA Ta có MA + MB = MA − MB ⇔ MI = BA ⇔ MI = BA ⇔ MI = Vậy tập hợp điểm M đường trịn đường kính AB    Câu 142 Cho tam giác ABC , có điểm M thỏa MA + MB + MC = 5? A B Chọn C C vơ số Hướng dẫn giải D Khơng có điểm     Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta có MA + MB + MC = 3MG     Thay vào ta được: MA + MB + MC =⇔ 3MG =⇔ MG = , hay tập hợp điểm M đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính Câu 143 Cho hai điểm cố định A, B ; gọi I trung điểm AB Tập hợp điểm M thoả:     MA + MB = MA − MB là: A Đường trịn đường kính AB C Đường trịn tâm I , bán kính AB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 B Trung trực AB D Nửa đường trịn đường kính AB TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 41 Hướng dẫn giải Chọn A Thông hiểu Câu 144 Cho G trọng tâm tam giác ABC , a độ dài cho trước Tập hợp điểm M cho    MA + MB + MC = 3a là: A Đường thẳng AB C Đường tròn tâm G , bán kính a B Đường trịn tâm G , bán kính 3a D Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Chọn C     Ta có: MA + MB + MC =3a ⇔ 3MG =3a ⇔ GM =a Nên M thuộc đường tròn tâm G , bán kính a Câu 145 Cho I , J , K trung điểm cạnh AB, BC , CA tam giác ABC Giả sử M     điểm thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = Khi vị trí điểm M là: A M tâm hình bình hành BIKJ B M đỉnh thứ tư hình bình hành AIKM C M trực tâm tam giác ABC D M trọng tâm tam giác IJK Hướng dẫn giải         Chọn A MA + MB + MC =⇔ MA + MC + MB = 0       0 ⇔ M trung điểm ⇔ MK + MB =⇔ MK + MB = KB ⇔ M tâm hình bình hành BIKJ ( ) Câu 146 Cho hình chữ nhật ABCD Tập hợp điểm M thỏa mãn     MA + MB = MC + MD là: B Đường tròn đường kính BC A Đường trịn đường kính AB C Đường trung trực cạnh AD D Đường trung trực cạnh AB Hướng dẫn giảiChọn C Gọi E , F trung điểm AB DC       MA + MB = MC + MD ⇔ ME = MF ⇔ ME = MF Do M thuộc đường trung trực đoạn EF hay M thuộc đường trung trực cạnh AD Câu 147 Cho hình bình hành ABCD Tập hợp điểm     M thỏa mãn MA + MC = MB + MD là: A Một đường thẳng C Toàn mặt phẳng ( ABCD ) B Một đường tròn D Tập rỗng Hướng dẫn giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 42 Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có:       MA + MC = MB + MD ⇔ MO = MO ⇔ MO = MO (đúng với M ) Vậy tập hợp điểm M toàn mặt phẳng ( ABCD )      Câu 148 Cho tam giác ABC điểm M thỏa MA + MB + MC = MB + MC Tập hợp M là: A Một đường tròn B Một đường thẳng C Một đoạn thẳng Hướng dẫn giải D Nửa đường thẳng Chọn C    Câu 149 Cho tam giác ABC Có điểm M thỏa MA + MB + MC = A B C Hướng dẫn giải D Vô số Chọn D      Câu 150 Cho tam giác ABC điểm M thỏa 3MA − MB + MC = MB − MA Tập hợp M là: A Một đoạn thẳng B Một đường tròn C Nửa đường tròn Hướng dẫn giải D Một đường thẳng Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ I – LÝ THUYẾT Định nghĩa Tính chất Điều kiện để hai vectơ phương Điều kiện ba điểm thẳng hàng Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương Chú ý   Cho vectơ a số. .. HỌC Website: tailieumontoan.com BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ II – DẠNG TOÁN  Dạng 1: Xác định vectơ k a Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương,... word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Đẳng thức véctơ khơng dùng tính chất trung điểm,