9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠVỚI MỘT SỐ ❶ Giáo viên Soạn: Ngô Tùng Hiếu FB: Ngo Tung Hieu ❷ Giáo viên phản biện : Trần Oanh FB: Oanh Trần THUẬT NGỮ Tích vectơ với số Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Thực phép nhân vectơ với số Mô tả mối quan hệ phương, hướng vectơ Với cặp vật đặt hai đầu cánh tay địn AB , ln có điểm M thuộc AB để đặt trụ đỡ M cánh tay địn trạng thái cân (H.4.20) Điều trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn thay ván hình đa giác n đỉnh A1 , A2 , , An , đỉnh Ai có đặt vật mi (kg) Ở đây, ta coi cánh tay địn, ván khơng có trọng lượng Trong Vật lý, điểm M gọi điểm khối tâm hệ chất điểm A1 , A2 , , An ứng với khối lượng m1 , m2 , , mn (kg) Qua học này, ta thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm hệ chất điểm Hình 4.20 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ HĐ1: Cho vectơ AB a Hãy xác định điểm C cho BC a a) Tìm mối quan hệ AB a a a b) Vectơ a có mối quan hệ hướng độ dài vectơ a ? Giải a a AB BC AC a AB a) Ta có AB , AC Do đó, hướng độ dài vectơ AC gấp đơi độ dài vectơ AB Chương Hình học ⓾ AB , a a a a Hay hướng độ dài vectơ gấp đôi độ dài vectơ AB AB , AC b) Do hướng độ dài vectơ AC gấp đôi độ dài vectơ AB Suy vectơ a a hướng với vectơ a độ dài vectơ a a gấp đôi độ dài vectơ a Ý kiến chủ quan gv Oanh Trần: Ý a b bị trùng lặp câu hỏi trả lời Phải nên thay câu hỏi HĐ1 thành: Cho a 0 a) Hãy dựng a a a b) Nhận xét mối quan hệ hướng độ dài vectơ a vectơ a Giải AB a, BC a a) Lấy điểm A Dựng a Khi đó: a AB BC AC b) Do AC hướng với AB độ dài vectơ AC gấp đôi độ dài vectơ AB Suy vectơ a a hướng với vectơ a độ dài vectơ a a gấp đôi độ dài vectơ a a Tích vectơ 0 với số thực k k a a vectơ, kí hiệu , hướng với có độ dài ka 1a a có hay khơng? Hình 4.21 Giải: 1a a có nên 1a a HĐ2: Trên trục số, gọi O, A, M , N tương ứng biểu thị số 0;1; 2; Hãy nêu mối quan hệ hướng độ dài OM , ON với vectơ a OA Viết đẳng thức thể vectơ OM OA mối quan hệ hai vectơ Hình 4.22 Giải: OM a Ta hướng với vectơ độ có vectơ dài vectơ OM lần độ dài vectơ a Vectơ ON ngược a ON hướng với vectơ độ dài vectơ lần độ dài Chương Hình học ⓾ vectơ a OM OA Ta có Tích vectơ a 0 với số thực k k a a vectơ, kí hiệu , ngược hướng với có độ dài k a Chú ý: Ta quy ước k a 0 a 0 k 0 Trong Hình 4.24, hai trung tuyến AM BN tam giác ABC cắt G GA 2GM ; MN AB Ta có Hình 4.23 Hình 4.24 k a k a có độ dài Nhận xét: Vectơ và hướng với a k 0 , ngược hướng a a 0 k a a có mối quan hệ gì? Giải 1 a a Vectơ có hướng độ dài a 1 a Nên Ví dụ b 0 a b Chứng phương tồn số k minh hai vectơ để a kb Giải a kb a b Thật vậy, phương Ngược lại, giả sử a a k k b b Ta lấy a b hướng lấy a a b phương b ngược hướng Khi a kb Luyện tập Cho đường thẳng d qua hai điểm phân biệt A B (H.4.25) Những khẳng định sau đúng? Hình 4.25 Chương Hình học ⓾ a) Điểm M thuộc đường thẳng d tồn số t để AM t AB AM AM AB AB b) Với điểm M bất kì, ta ln có t M AB c) Điểm thuộc tia đối tia tồn số để AM t AB Giải Những khẳng định a); c) CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ HĐ3: u Với 0 hai số thực k , t , khẳng định sau đúng? k tu kt u kt u a) Hai vectơ có độ dài k tu kt u b) Nếu kt 0 hai vectơ , hướng với u k tu kt u kt c) Nếu hai vectơ , ngược hướng với u Giải Những khẳng định a); b); c) HĐ4: Hãy hình 4.26 hai vectơ 3u 3v u v 3u 3v Từ đó, nêu mối quan hệ u v Giải 3 u v 3OM OC u v 3u 3v Ta có: 3u 3v OA OB OC Với hai vectơ a , b hai số thực k , t , ta ln có: k ta kt a ; k a b k a kb k a b ka kb ; ; k t a k a ta ; a a 1a a ; Ví dụ O Hình 4.26 Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có: OA OB 2OI Chương Hình học ⓾ Giải Vì I trung điểm AB nên IA IB 0 (Ví dụ 3a, Bài 8) OA OB OI IA OI IB 2OI IA IB 2OI Do Luyện tập Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có OA OB OC 3OG Giải G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0 (Ví dụ 3b, Bài 8) OA OB OC OG GA OG GB OG GC 3OG GA GB GC 3OG Ta có: Nhận xét: Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB 0 G ABC GA GB GC 0 Điểm trọng tâm tam giác Luyện tập u , v a Trong hình 4.27, biểu thị vectơ theo hai vectơ , b , tức tìm số x, y , z, t để u xa yb , v ta zb Giải Ta có: u a 2b v 2a 3b a Chú ý: Cho hai vectơ khơng phương , b (H.4.28) Khi đó, vectơ u biển thị (phân tích) a cách theo hai vectơ , b , nghĩa có x; y u xa yb cặp số cho Hình 4.27 Hình 4.28 Chương Hình học ⓾ ... hiệu , hướng với có độ dài ka 1a a có hay khơng? Hình 4. 21 Giải: 1a a có nên 1a a HĐ2: Trên trục số, gọi O, A, M , N tương ứng biểu thị số 0 ;1; 2; Hãy nêu mối quan hệ hướng độ... , ngược hướng a a 0 k a a có mối quan hệ gì? Giải 1? ?? a a Vectơ có hướng độ dài a 1? ?? a Nên Ví dụ b 0 a b Chứng phương tồn số k minh hai vectơ... vectơ a Ý kiến chủ quan gv Oanh Trần: Ý a b bị trùng lặp câu hỏi trả lời Phải nên thay câu hỏi H? ?1 thành: Cho a 0 a) Hãy dựng a a a b) Nhận xét mối quan hệ hướng độ dài vectơ