Kntt c4 b9 p2 tich cua mot vecto voi mot so

9 TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ ❶ Giáo viên Soạn: Nguyễn Thị Ngọc Linh FB: Ngoc Linh Nguyen ❷ Giáo viên phản biện: Hà Việt Hoa FB: Ha Viet Hoa Ví dụ     Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M để MA  3MB  2MC 0 Giải (H.4.29) Hình 4.29    Để xác định vị trí M , trước hết ta biểu thị AM (với gốc A biết) theo hai vectơ biết AB, AC Đẳng thức vectơ cho tương đương với:             1 MA  MA  AB  MA  AC 0  MA  AB  AC 0  AM  AB  AC     AF  AC Lấy điểm E trung điểm AB điểm F thuộc cạnh AC cho  1  1    AE  AB AF  AC Khi Vì AM  AE  AF Suy M đỉnh thứ tư hình bình hành EAFM Ta trở lại vấn đề nêu phần đầu học Điểm khối tâm M hệ chất điểm A1 , A2 , , An với khối lượng tương ứng m1 , m2 , , mn xác định đẳng thức vectơ     m1 MA1  m2 MA2   mn MAn 0 Vì vậy, việc xác định điểm khối tâm quy xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vec tơ tương ứng Chương Hình học ⓾ BÀI TẬP  4.11 Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC Hãy biểu thị AM theo hai vectơ   AB AD Lời giải  1     1  AM  AB  AC  AB   AB  AD  AB  AD 2 2 4     4.12 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N tương ứng trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh      BC  AD 2MN  AC  BD Lời giải A D B M C N                 BC  AD BM  MN  NC  AM  MN  ND 2MN  BM  AM  NC  ND 2MN   2MN                     BC  AD BA  AC  AB  BD  BA  AB  AC  BD 0  AC  BD  AC  BD   4.13 Cho hai điểm phân biệt A B    a) Hãy xác định điểm K cho KA  KB 0  1  OK  OA  OB 3 b) Chứng minh với điểm O , ta có Lời giải            KA  KB 0  KA  KA  AB 0  3KA  AB  AK  AB a)      KA  KB   KA  KB b) Ta có: 2 1    2     2  1 OA  OB  OK  KA  OK  KB OK  KA  KB OK   2KB  KB OK 3 3 3 3         4.14 Cho tam giác ABC Chương Hình học ⓾     a) Hãy xác định điểm M để MA  MB  2MC 0     b) Chứng minh với điểm O , ta có OA  OB  2OC 4OM Lời giải a)     MA  MB  MC 0        MA  MA  AB  MA  AC 0     4MA  AB  AC  1   AM  AB  AC           OA  OB  OC  OM  MA  OM  MB  OM  MC  OM b)    F1 , F2 , F3 Hình 4.30 trạng thái cân (tức 4.15 Chất điểm A chịu tác động ba lực        F1  F2  F3 0 ) Tính độ lớn lực F2 , F3 , biết F1 có độ lớn 20 N     Hình 4.30 Lời giải    F1  F2 F4         F1  F2  F3 0  F4  F3   F3  F4     F1 20 40 F2  F1 tan 30  ; F4   cos30 ; Ta có: Chương Hình học ⓾  Vậy F2   20 40 N, F3  N 3 Em có biết ? Mặc dù dựa vào lực đẩy gió, cách theo đường dích dắc, thuyền buồm di chuyển tới vị trí ngược hướng gió so với vị trí xuất phát Ta dùng kiến thức vectơ để phân tích lực tác động tới chuyển động thuyền buồm   p phương trường hợp Lực F gió tác động vào cánh buồm phân tích thành lực   với cánh buồm lực q vng góc với cánh buồm Do cánh buồm mỏng nên lực p trượt mà   không tác động lên cánh buồm Ta lại phân tích lực q thành lực a phương với sống thuyền lực  b có phương vng góc với sống thuyền Thuyền buồm có sống thuyền sâu (mũi nhọn) nên chịu  lực cản b ' đáng kể nước, vng góc với sốngthuyền Người ta điều chỉnh hướng thuyền (hướng sống thuyền), phương cánh buồm để lực cản b ' nước (lực không phụ thuộc vào điều   b a chỉnh) thắng lực (có thể điều chỉnh độ lớn) Cuối cùng, tác động lực thuyền di chuyển sau khoảng thời gian, lại điều chỉnh hướng, để đến đích theo đường dích dắc Chương Hình học ⓾ BÀI TẬP THÊM TỰ LUẬN Cho tứ giác ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD , O trung điểm IJ Chứng minh rằng: uuur uuur uu r a) AC + BD = 2IJ uuu r uuu r uuur uuur r b) OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC + MD = MO c) với M điểm Lời giải a) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uur uu r uur uu r uur AC = AI + IJ = AI + IJ + J C uuur uur uu r uur BD = BI + IJ +J D Tương tự uur uur r uur uur r AI + BI = 0, J C + J D = Mà I, J trung điểm AB CD nên uuur uuur uur uur uur uur uu r uu r AC + BD = ( AI + BI ) + ( J C + J D ) + 2IJ = 2IJ Vậy (đpcm) uuu r uuu r uur uuur uuu r uur OA + OB = OI , OC + OD = OJ b) Theo hệ thức trung điểm ta có uur uur r O IJ OI +OJ = Mặt khác trung điểm nên uuu r uuu r uuur uuu r uur uur r OA + OB + OC + OD = OI + OJ = Suy (đpcm) uuu r uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD = c) Theo câu b ta có với điểm M uuu r uuu r uuur uuur r OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Û OM + MA + OM + MB + OM + MC + OM + MD = ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur Û MA + MB + MC + MD = 4MO (đpcm) Cho hai tam giác ABC A1B1C có trọng tâm G Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam uuuur uuuu r uuuu r r BCA , ABC , ACB GG + GG + GG 1 1 = giác Chứng minh Lời giải Chương Hình học ⓾ uuuu r uuu r uuur uuur G BCA GG = GB +GC +GA1 1 Vì trọng tâm tam giác nên Tương tự G2, G trọng tâm tam giác ABC 1, ACB1 suy uuuu r uuu r uuur uuuu r uuuur uuu r uuur uuur 3GG2 = GA +GB +GC 3GG3 = GA +GC +GB1 Công theo vế với vế đẳng thức ta có uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuuu r GG1 +GG2 +GG = GA +GB +GC + GA1 +GB1 +GC ( ) ( ) Mặt khác hai tam giác ABC A1B1C có trọng tâm G nên uuur uuur uuuu r uuu r uuu r uuur r GA + GB + GC GA +GB +GC = 1 uuuu r uuuu r uuuur r GG + GG +GG = Suy Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB Chứng minh uuuu r uuur uuu r r a) AM + BN +CP = uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r OA + OB + OC = OM + ON + OP b) với O điểm Lời giải uuur uuur uuur uuu r uur uuu r r uuuu r uuur uuu r AB + AC + BC + BA + CA +CB = 2 a) AM + BN +CP = ( ) ( ) ( ) uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r OB +OC + OC +OA + OA +OB uuu r uuu r uuur = OA +OB +OC 2 b) OM +ON +OP =      ABC MA  MB  MC 2CA  CB M Cho tam giác điểm tùy ý Chứng minh Lời giải           VT 2 MA  MB  3MC 2 MC  CA  MC  CB  3MC 2CA  CB VP Ta có ( )  A, B, C , D Gọi Cho  4 điểm   AB  AI  JA  DA 3DB  I, J ( )    ( ) trung điểm BC , CD Chứng minh  Lời giải Chương Hình học ⓾             AB  AI  JA  DA 2 DB  AI  JA 2 DB  JI 2 DB  JI 3DB    uuur   uuur  uuur r Xác định điểm M biết MA + 2MB + 3MC = Lời giải Gọi I , J trung điểm AC BC Khi ta có uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r MA + 2MB + 3MC = Û MA + MC + MB + MC = ( ) ( ) uuu r uuur r uuur uuur Û 2MI + 4MJ = Û MI = - 2MJ Vậy điểm M cần tìm thuộc đoạn IJ cho MI 2MJ  ABC AM  MB CM M AB Cho tam giác có thuộc cạnh cho Phân tích vectơ theo hai vectơ  CA CB Lời giải C A M B        3   CM CA  AM CA  AB CA  AC  CB  CA  CB 4 4 Ta có   N thuộc cạnh BC cho BN 2 NC I trung điểm AB Phân tích Cho tam giác ABC   có  NI theo vectơ AB, AC A I B C N Lời giải   1    1 1 2  NI BI  BN  AB  BC  AB  AC  AB  AB  AC 3 Ta có    AB , CI I , D ABC BD AB Cho tam giác có trung điểm Phân tích qua hai vectơ AC  Chương  Hình học ⓾ A I D C B Lời giải      1 1 1 BD BI  ID  AB  IC  AB  IA  AC 2 2       1 1 1 1 3  AB  IA  AC  AB  AB  AC  AB  AC 2 2   10 Cho ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm thuộc AC cho AK  AC Chứng minh ba điểm B, I , K thẳng hàng Lời giải A K I B C M      1   BI BA  BM BA  BC  BI 2 BA  BC (1) Ta có           BK BA  AK BA  AC BA  ( BC  BA)  BA  BC 3 3 Ta có     3BK 2 BA  BC (2)     3BK 4 BI  BK  BI  B, I, K thẳng hàng Từ (1)&(2) 11 Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh uuu r uuur uuur uuur a) HA + HB + HC = 2HO uuu r uuu r uuur uuur b) OA + OB + OC = OH uuur uuur r c) GH + 2GO = Lời giải Chương Hình học ⓾ uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = HO a) Dễ thấy tam giác ABC vuông Nếu tam giác ABC không vuông gọi D điểm đối xứng A qua O BH / /DC (vì vng góc với AC) BD / /CH (vì vng góc với AB) uuur uuur uuur Suy BDCH hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành HB + HC = HD (1) uuur uuur uuur HA + HD = HO Mặt khác O trung điểm AD nên (2) uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = HO Từ (1) (2) suy b) Theo câu a) ta có uuu r uuur uuur uuur HA + HB + HC = 2HO uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur Û HO + OA + HO + OB + HO + OC = 2HO ( ) ( ) ( ) uuu r uuu r uuur uuur Û OA + OB + OC = OH đpcm uuu r uuu r uuur uuur OA + OB + OC = OG c) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uuu r uuur uuur OA + OB + OC = OH Mặt khác theo câu b) ta có uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r OH = 3OG Û OG +GH - 3OG = Û GH + 2GO = Suy ( Bài ) BÀI TẬP TRẮC   NGHIỆM Trên đường thẳng MN lấy điểm P cho MN  3MP Điểm P xác định hình vẽ sau đây: A Hình B Hình C Hình Chương D Hình Hình học ⓾ Bài Lời giải Chọn C   MN  3MP nên M nằm N , P MN 3MP Vì Đẳng thức sau mơ tả hình vẽ bên: I    A AI  AB 0 B A    C BI  3BA 0    B 3IA  IB 0    D AI  AB 0 Lời giải Chọn A Bài    I , B Vì A nằm AB 3IA nên 3AI AB0 Cho đoạn thẳng AB điểm I thỏa mãn IB  3IA 0 Hình sau mơ tả giả thiết này? A Hình Bài Bài B Hình C Hình D Hình Lời giải Chọn D    Vì IB  3IA 0 nên I nằm A, B IB 3IA        2b , c a  b Khẳng định sau sai? Cho vectơ b 0, a     b v c b v c A Hai vectơ B Hai vectơ ngược hướng     C Hai vectơ b c phương D Hai vectơ b c đối Lời giải Chọn A          a  b , c  a  b  c  b  b  b Vì   Do đó: Hai vectơ b c khẳng định sai Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình bình hành ABCD Đẳng thức sau đây đẳng     thức sai?      OB  OD  OB AC  AO CB  CD  CA A B C D DB 2 BO Lời giải Chọn D 10 Chương Hình học ⓾ A B O D C      OB  OD OB   OB 2OB   AC 2AO CB   CD  CA DB  BO  Bài  Cho hình vng ABCD cạnh a Tính A A 2a   S  AD  DB ? C A a B A a D A a Lời giải Chọn A A B O D      AD  DB 2 AD  DO 2 AO     AD  DB 2 AO 2 AO 2a Bài C    ABCD M Cho hình bình hành , điểm thoả mãn: MA  MC  AB Khi M trung điểm của: A AB B BC C AD D CD Lời giải Chọn C A B O  Bài D C   MA  MC  AB       MD  DA  MD  DC  AB     2MD  DB  AB     2MD  AB  DB    2MD  AD Nên M trung điểm AD Cho tam giác ABC có G trọng tâm M trung điểm BC Khẳng định sau sai ?  2          GA  AM AB  AC  AG GA  BG  CG GB  GC 2GM A B C D 11 Chương Hình học ⓾ Lời giải Chọn B A G B C M  Bài     AB  AC 2 AM 2 AG 3 AG Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm BC Khẳng định sau ?    A AM MB MC     B MB MC C MB  MC Lời giải   BC AM  D Chọn C A B C M   MB  MC Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Khẳng định sau sai ?  1       CN  AC A AB 2 AM B AC 2 NC C BC  MN D Lời giải Chọn C A N M C B Bài 11 MN // BC , MN  BC Vì MN đường trung bình tam giác ABC nên   Suy BC 2 MN   AB  AC Cho tam giác ABC cạnh a Tính     a AB  AC  AB  AC a A B 12 Chương Hình học ⓾  C  AB  AC 2a D   AB  AC 2a Lời giải Chọn A A B Bài 12 C H       a AB  AC 2 AH  AB  AC 2 AH 2 a   AB  AC Cho tam giác ABC vng cân A có AB a Tính     a AB  AC  AB  AC a 2 A B     AB  AC 2a AB  AC a C D Lời giải Chọn A C H B A  Bài 13      a AB  AC 2 AH  AB  AC 2 AH 2 a 2   AB  AC  Tam giác ABC có AB  AC a BAC 120 Tính       a AB  AC  AB  AC a AB  AC a A B C Lời giải Chọn B  D  AB  AC 2a B H C A  Bài 14      AB  AC 2 AH  AB  AC 2 AH 2 AB.cos 60 2.a a   CA  HC Cho tam giác ABC cạnh a, H trung điểm BC Tính 13 Chương Hình học ⓾   a CA  HC  A   3a CA  HC  C   3a CA  HC  B   a CA  HC  D Lời giải Chọn D A M B C H Gọi M trung điểm AH a a AH  ; CH   CM  2         CA  HC CA  CH 2CM   a   a 2 a         2 CA  HC  2CM 2  Bài 15 a a     F F F F Cho hai lực có điểm đặt O vng góc với Cường độ hai lực 80 N , 60 N Cường độ tổng hợp lực hai lực A 100N B 100 3N C 50N D 50 3N Lời giải Chọn A         F1  F1  AB  AC 2 AM  F1  F1  AM BC  802  602 100 N 14 Chương Hình học ⓾ ... dựa vào lực đẩy gió, cách theo đường dích dắc, thuyền buồm di chuyển tới vị trí ngược hướng gió so với vị trí xuất phát Ta dùng kiến thức vectơ để phân tích lực tác động tới chuyển động thuyền