24 hsg9 hà nội 22 23

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Hà Nội (5,0 điểm) Giải phương trình sau: x2  x   x2  x   x  a2 8b 2c b, c a 2 4b  Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện a  c  Tính giá trị biểu thức P a  b  c Câu (5,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n để 3n  12n  11 số phương Cho P  x  a0 x 2022  a1 x 2021  a2 x 2020  a2022 điều kiện Câu P k  đa thức với hệ số thực thỏa măn đồng thời k  , với k 0,1, 2,, 2022 Tính giá trị P  2023 (2,0 điểm) Với a, b, c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a  b  c 16 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Câu P a b b c a c   c a b (6,0 điểm) O Cho tam giác ABC vuông A( AB  AC ) nội tiếp đường tròn   Các tiếp tuyến A C đường tròn  O  cắt S Trên tia đối tia CA lấy điểm M  M C  Qua S O kẻ đường thẳng vng góc với OM , cắt đường tròn   hai điểm phân biệt E F ( E nằm S F ) O a) Chứng minh đường thẳng ME tiếp tuyến   b) Gọi D chân đường vng góc kẻ từ M xuống đường thẳng BC Chứng minh EC tia  phân giác góc FED c) Gọi P, Q giao điểm MD với hai đường thẳng BE BF Gọi K tâm   đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ Chứng minh SDK 90 Câu (2,0 điểm) 2 Tìm tất số nguyên tố m, n, p thỏa mãn m  3n  p  8mnp 0 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Cho đa giác A1 A2  A2023 Gọi S tập hợp gồm trung điểm đoạn thẳng Ai Aj (1 i  j 2023) M tổng độ dài tất đoạn thẳng có hai đầu mút hai A A (1 i  j 2023) điểm thuộc S Gọi N tổng độ dài tất đoạn thẳng i j Chứng minh M  1011 N CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (5,0 điểm) Giải phương trình sau: x2  2x   x2  2x   x  a2 8b 2c b, c a 2 4b  Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện a  c  Tính giá trị biểu thức P a  b  c Lời giải Giải phương trình sau: ĐKXĐ: x  Khi đó:    x2  x   x2  x   x  x2  x   x2  x   x  x2  x    x2  x   2x   x2  x  2x  2x   x  2x   ( x  1)( x  3) 2( x  1)   x    x  1  2x   x  2x     x    x  1   x 1  x 3   x2  (*) 2x    x  x   Ta thấy phương trình (¿), điều kiện x  nên VT  VP Do phương trình có nghiệm x 1 a2 8b 2c  b ,  c a 2 4b  Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện a  c  Tính giá trị biểu thức P a  b  c Từ giả thiết ta suy a, b, c 0 Nếu ba số a, b, c có số có giá trị 0, giả sử a 0 Khi b 0 kéo theo c 0 Ta có P 0   0 a, b, c   0, 0,  Tương tự, b 0 c 0 kéo theo  , dẫn đến P 0 Giả sử a, b, c  Khi đó, theo bất đẳng thức Cơ si ta có a 2c 2c  c c  2c 8b 8b c  2b 4b  4b CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 b a2 a2 a   a  2a Do ta có a c 2b a a 1, b  , c 1 P 2 Dấu " =" xảy Khi Vậy P 0 Câu P (5,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n để 3n  12n  11 số phương Cho P  x  a0 x 2022  a1 x 2021  a2 x 2020  a2022 điều kiện P k  đa thức với hệ số thực thỏa măn đồng thời k  , với k 0,1, 2, , 2022 Tính giá trị P  2023 Lời giải Tìm tất số nguyên dương n để 3n  12n  11 số phương 12n  4  3n  1 Ta có 3n  số phương nên số phương 2 Đặt 12n   x ;12n  11  y với x  y  N Ta x  y  x  y   x  y  15 nên x  y , x  y  U  15 x  y  x  y  Từ có TH sau:  x  y 15  TH1:  x  y 1 , giải y 7 nên n 5  x  y 5  TH2:  x  y 3 , giải y 1 nên n 1 Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy n   1;5 Cho P  x  a0 x 2022  a1 x 2021  a2 x 2020  a2022 điều kiện Xét đa thức P k  đa thức với hệ số thực thỏa măn đồng thời k  , với k 0,1, 2, , 2022 Tính giá trị P  2023 f  x   x  1 P  x   Đa thức f  x có bậc 2023, hệ số cao a0 f x Vì đa thức nhận x 0,1, , 2022 nghiệm nên đa thức   có dạng f  x  a0 x  x  1  x    x  2022  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Do ta có 2024 P  2023   f  2023 2023!a0 Bây ta tìm a0 Ta có: 1    1 P   1   f   1 a0   1    1    2022   a0 2023! Do Vậy Câu a0  1 f  2023 2023! 1 2023! Thế nên 2023! P  2023  1   2024 2024 1012 (2,0 điểm) Với a, b, c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a  b  c 16 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P a b b c a c   c a b Lời giải  1 1 P  16     a b c Ta có: 1 B   a b c Do đó, ta cần tìm min, max Khơng tính tổng quát giả sử a b c Từ giả thiết suy c 14 * Tìm giá trị nhỏ nhất: Khi B 4    a  b c 16  c c 17   Ta chứng minh: 16  c c 30 Thật vậy, BĐT tương đương với 3c  16 17   90c  480 272c  17c  17c  182c  480 0 c  16  c  30   c    17c  80  0 (đúng c 6 ) 16.17 91 P  3 30 15 Vậy giá trị nhỏ Dấu xảy a b 5, c 6 * Tìm giá trị lớn nhất: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 1  1  a  b  Thật vậy, BĐT tương đương với Ta chứng minh: a b a b a b   a  b  ab   a  1  b  1 0 (đúng) ab a b  1 1 B 1   B 2  c 15  c Ta tiếp tục chứng minh 14 BĐT tương đương với Khi đó, 1 15    c  15  c  14   c  14   c  1 0 c 15  c 14 (ln đúng, c 14 ) 16.29 211 P  3 14 Vậy giá trị lớn Dấu xảy a b 1, c 14 Câu (6,0 điểm) O Cho tam giác ABC vuông A( AB  AC ) nội tiếp đường tròn   Các tiếp tuyến A C đường tròn  O  cắt S Trên tia đối tia CA lấy điểm M  M C  Qua S O kẻ đường thẳng vng góc với OM , cắt đường tròn   hai điểm phân biệt E F ( E nằm S F ) O a) Chứng minh đường thẳng ME tiếp tuyến   b) Gọi D chân đường vng góc kẻ từ M xuống đường thẳng BC Chứng minh EC tia  phân giác góc FED c) Gọi P, Q giao điểm MD với hai đường thẳng BE BF Gọi K tâm   đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ Chứng minh SDK 90 Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 O a) Chứng minh đường thẳng ME tiếp tuyến   Gọi T giao điểm OS với AC , N giao điểm OM với EF OS ON  STM SNM   ONS #  OTM 90 nên Ta có Suy OM OT 2 Từ đó: ON OM OS OT OC OE OF   O suy OEM OFM 90 hay ME MF hai tiếp tuyến   b) Gọi D chân đường vng góc kẻ từ M xuống đường thẳng BC Chứng minh EC tia  phân giác góc FED Với P, Q giao điểm MD với BE , BF       Ta có: MEP 90  OEB 90  OBE EPM suy MP ME Tương tự MQ MF Suy CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 MP ME MQ MF  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023    Từ QEP 90 CEP Suy E , C , Q thẳng hàng Tương tự F , C , P thẳng hàng Ta thu tam giác BPQ có BD, QE , PF ba đường cao đồng quy C   DEP Từ đó: BEF # BQP # DEP , dẫn đến BEF   Cuối ta thu CEF DEF c) Gọi P, Q giao điểm MD với hai đường thẳng BE BF Gọi K tâm   đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ Chứng minh SDK 90 Ta có C trực tâm tam giác BPQ, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ nên BC 2 KM Suy OC KM    Do DCM OCT OSC , suy CDM # SCO CD SC SC   Từ đó: DM CO MK   Suy SCD # KMD (c.g.c), kéo theo SDC MDK    Từ đó: SDK CDM 90 Câu (2,0 điểm) 2 Tìm tất số nguyên tố m, n, p thỏa mãn m  3n  p  8mnp 0 Cho đa giác A1 A2  A2023 Gọi S tập hợp gồm trung điểm đoạn thẳng Ai A j (1 i  j 2023) M tổng độ dài tất đoạn thẳng có hai đầu mút hai A A (1 i  j 2023) điểm thuộc S Gọi N tổng độ dài tất đoạn thẳng i j Chứng minh M  1011 N Lời giải 2 Tìm tất số nguyên tố m, n, p thỏa mãn m  3n  p  8mnp 0 2 Ta viết lại giả thiết sau: m  3n  p 8mnp Xét tính chia hết cho hai vế biểu thức, ta thấy tồn ba số m, n, p phải số chẵn, nên số phải Xét tính chia hết cho hai vế biểu thức Nếu số khơng chia hết cho m , n , p 1  mod3  suy VT 1 chia hết cho 3,VP 1 không chia hết cho (vơ lý) Do tồn ba số CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 VP Nếu m 3 p 3 ,  1 chia hết m, p phải chia hết cho 3, dẫn đến m  p 3, n 2 Thử lại ta thấy không thỏa mãn Nếu n 3 , ta xét TH sau: TH1: m 2, n 3 Thay vào phương trình ta 31  p 48 p , phương trình khơng có nghiệm ngun TH2: n 3, p 2 Thay vào phương tình ta m  47 48m , suy m 47  m, n, p   47,3,  Vậy Cho đa giác A1 A2  A2023 Gọi S tập hợp gồm trung điểm đoạn thẳng Ai A j (1 i  j 2023) M tổng độ dài tất đoạn thẳng có hai đầu mút hai A A (1 i  j 2023) điểm thuộc S Gọi N tổng độ dài tất đoạn thẳng i j Chứng minh M  1011 N Gọi Eij M N trung điểm đoạn Ai Aj Ta có: 1   Eij Ehk 1i j 2023 1h k 2023  Ai Aj 1i j 2023 Xét tứ giác M Ai A j Ah Ak , ta có Eij Ehk   Ai Ah  Aj Ak  Suy ra: 1   Eij Ehk 1i j 2023 1h k 2023 1   Ai Ah 1i  h 2023 1i j 2023 1h k 2023     Ai Ah 1i j h k 2023  2021.2020  Ai Ah  10102 N 1i h2023 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 