ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG I PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY Mơn kiểm tra: Tốn Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (5,0 điểm) Cho P x y2 x y x y với x 0, y 0, x y 2 x x xy xy xy y x xy y a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x y 10 x 3y Tìm tất số nguyên tố p, q, r thỏa mãn (p 1)(q 1) r Bài (4,0 điểm) x x x Giải phương trình x x x Tìm cặp số nguyên dương (x ; y ) thỏa mãn xy 2xy x 9y Bài (4,0 điểm) Cho x y số nguyên dương thỏa mãn x y x y chia hết cho x y Chứng minh 2x 2y số phương Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 a b c Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB AC ) Vẽ đường cao AH (H BC ) Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC P Chứng minh tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC BCP Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BQH Tia AQ cắt BC I Chứng minh AH BC HB IB Bài (1,0 điểm) Xét tập T 1,2, 3, ,13 Lập tất tập hai phần tử T cho hiệu hai phần tử Cho M tập S 1, 2, 3, , 869 có tính chất hiệu hai số M không Hỏi M có nhiều phần tử ? -HẾT Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: …………………… PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG I ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Toán Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM Cho P ĐIỂM x y2 x y x y với 2 x x xy xy xy y x xy y x 0, y 0, x y 1,5 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P biết x , y thỏa mãn đẳng thức: x y 10 x 3y a) P x y2 x y x y 2 x x xy xy xy y x xy y 1.0 2 2 x y y x x y xy x y P x x xy y xy x y P x 2y xy y x x 2y xy x y x x xy y xy x y P 2 y x x xy y x y x x xy y xy x y P y x x xy 1,0 P 2y y x xy P x y với x 0, y 0, x y xy 0,5 BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM b)Tính giá trị biểu thức P biết x , y thỏa mãn đẳng thức: x y 10 x 3y Ta có x y 10 x 3y x 2x y 6y x 1 y 3 Vì x 1 2 x ; y 3 y 0,5 x x (TMĐK) y y Tại x 1, y 3 P Vậy P 3 1.3 x y 10 x 3y Tìm tất số nguyên tố p, q, r thỏa mãn (p 1)(q 1) r 0,5 2,5 Do vai trò p q nên ta giả sử p q Nếu p q lẻ vế trái chia hết cho Suy r chia cho dư 3: vơ lý 1,0 Do có số chẵn p q Suy p 2 Khi có 5(q 1) r 5q r 2 q r 24 : loại q r 49 r : thỏa mãn 0,5 0,5 q r 5q chia hết cho r 5q 49 : vô lý p 2; q 3; r Vậy p 3; q 2; r 0,5 ĐKXĐ: x 1 2,0 x x x x x x BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM C1 3x x x x x 2 x 1 x 1 3x x x 2 0,5 2 3 x 1 3x 9x x 3x 2x 4x x 3x 5x 5x 1,0 x 1 x x x x x x 1(tm ) VN 0,5 Vậy S 1 x x ;B = x Ta có A+B = ; A.B = tìm A = 1; B= C2 Đặt A = x x x ngược lại tìm x = Tìm cặp số nguyên dương (x ; y ) thỏa mãn : xy 2xy x 9y 2,0 xy 2xy x 32y x (y 1)2 9y Do y nguyên dương y x 9y (y 1)2 0,5 Vì (y, y 1) (y 1)2 U (9) 0,5 Do (y 1)2 số phương nên (y 1)2 0,5 (y 1)2 y 2; x x Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: y 2 Cho x y số nguyên dương thỏa mãn x y x y chia hết cho x y Chứng minh 2x 2y số phương 0,5 2,0 Đặt a (x ; y ) chứng minh a 3 2 x y x y (x y )(x xy y 1) x y x y x y 2x d x y(mod d ) Đặt d (x y, x y ) 2 x y d 2y d 2 0,5 0,5 BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Do (x ; y ) d 1;2 +) Nếu x y x y x x chia hết cho x y 2x Từ tìm x y Nếu d (x y, x y ) x xy y 1 x y xy 1 x y 0,5 Từ xy x y (x y, x y ) (0;2) loại Nếu d ( x y x y2 x y2 x y2 , ) x xy y 1 xy 1 2 2 Từ xy x y : thỏa mãn 0,5 Vậy x y 2x 2y số phương Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2,0 1 P a b c a2 a2 a 2 2a a 1 a 1 0,5 a2 a 0,5 Tương tự suy P a b2 c2 3 0,5 Suy Pmin 0,5 Dấu “=” xảy a b c I K B H Q 1 P C A a) PK / / AH CKP CAB Suy AKC BPC c.g c (1) CK CA CP CB 2,0 1,0 BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 450 Từ (1) K P 450 BAP vuông cân A AKH vuông cân H K 1 BP AB 0,5 BH AB Chứng minh BHA BAC AB BC BH AB BH AB BH AB AB BC AB BC AB BC BH BP BH BQ BP BQ BP BC BP BC 1,0 BH BQ ; PBC chung BHQ BPC c.g c BP BC BCP Suy BQH 0,5 BHQ BPC có: BAP vuông cân A, AQ trung tuyến nên phân giác AI phân giác IC AC (2) ABC IB AB AC AH ABC HBA (3) AB HB Từ (2) (3) ta có: IC AH IB BC AH BC AH 1 IB HB IB HB IB HB AH BC 1 dfcm HB IB Xét tập T 1,2, 3, 13 Lập tất tập hai phần tử T cho hiệu hai phần tử Cho M tập S 1, 2, 3, , 869 có tính chất hiệu hai số M 0,5 0,5 1,0 không Hỏi M có nhiều phần tử ? Xét T = {1, 2, 3, …, 13} có 13 tập {1,6} {2,7} {3,8} {4,9} {5,10} {6,11} {7,12} {8,13} {1,9} {2,10} {3,11} {4,12} {5,13} mà hiệu phần tử tập 0,25 Đồng thời phần tử T nằm tập Nếu N tập T có phần tử phần tử N nằm tập 13 tập kể Do phần tử nằm 14 tập Vậy phải có phần tử phần tử phải nằm tập 13 tập kể trên, hiệu phần tử 0,25 Do đó, T’ tập T có tính chất M T’ có nhiều phần tử, dễ thấy T’ = {1,2,4,5,8,11} có tính chất phần tử có hiệu khơng có phần tử 0,25 Chú ý 869 chia 13 thương 66 dư 11 nên M có nhiều 6*66 + = 402 phần tử 0,25