PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG I Mơn kiểm tra: Tốn Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (5,0 điểm) Cho P = x ỉ x2 y2 - x2 y2 x +y ữ ỗ ữ + ỗ 2ữ ỗ ữ ỗx + xy xy xy + y ứ x + xy + y2 è với x ¹ 0, y ¹ 0, x ¹ - y a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 + y2 + 10 = 2( x - 3y) 2 2 Tìm tất số nguyên tố p,q, r thỏa mãn (p + 1)(q + 1) = r + Bài (4,0 điểm) Giải phương trình ỉ ưỉ - x ÷ 3- x÷ ç ÷ ÷ xç = ç çx + ÷ ữ ỗ ỗ x + 1ữ ốx + 1ữ ứố ø 2 Tìm cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn xy + 2xy + x = 9y Bài (4,0 điểm) 3 Cho x y số nguyên dương thỏa mãn x + y x + y chia hết cho x2 + y2 Chứng minh 2x + 2y số phương 2 2 Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 + + 2- a 2- b 2- c Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC ) Vẽ đường cao AH (H Ỵ BC ) Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho K H = HA Qua K kẻ đường P = thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC P Chứng minh tam giác AK C đồng dạng với tam giác BPC · · Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BQH = BCP AH BC = AQ IB Tia cắt BC I Chứng minh HB Bài (1,0 điểm) Xét tập T = { 1,2,3,K ,13} Lập tất tập hai phần tử T cho hiệu hai phần tử S = {1,2,3,K ,869} Cho M tập có tính chất hiệu hai số M khơng Hỏi M có nhiều phần tử ? -HẾT Họ tên thí …………………… sinh: ………………………………………………… Số báo danh: PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG I ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM P = æ x2 y2 - x2 y2 x +y ữ ỗ ữ + ỗ 2ữ ỗ ữx + xy + y2 ỗ xy xy + y ø èx + xy x Cho x ¹ 0, y ¹ 0, x ¹ - y ĐIỂM với 1,5 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: 1.0 x + y + 10 = 2( x - 3y) 2 P = a) æ x2 y2 - x2 y2 x +y ữ ỗ ữ + ỗ ữ 2 ỗ ữx + xy + y2 ç xy xy + y ø èx + xy x ( ) 2 2 x y + y - x ( x + y) - xy x +y P = x x + xy + y2 xy ( x + y) P = 3 1,0 2 x y + xy + y - x - x y - xy x +y x x + xy + y2 xy ( x + y) ( ) 2 ( y - x) x + xy + y x +y P = x x + xy + y2 xy ( x + y) P = y- x x xy P = 2y - y + x xy P = x +y xy với x ¹ 0, y ¹ 0, x ¹ - y 0,5 PHỊNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG I ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) b)Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x + y + 10 = 2( x - 3y) 2 Ta có x2 + y2 + 10 = 2( x - 3y) Û x2 - 2x + 1+ y2 + 6y + = 2 Û ( x - 1) + ( y + 3) = ( x - 1) Vì 2 ³ " x ; ( y + 3) ³ " y ïì x - = Þ ïí Þ ïï y + = ỵ Tại P = Vậy x = 1, y = - ïìï x = í ïï y = - ỵ (TMĐK) P = + ( - 3) 1.( - 3) = 2 x + y + 10 = 2( x - 3y) 0,5 2 Tìm tất số nguyên tố p,q, r thỏa mãn (p + 1)(q + 1) = r + Do vai trị p q nên ta giả sử p £ q Nếu p q lẻ vế trái chia hết cho Suy r chia cho dư 3: vô lý Do có số chẵn p q Suy p = 2 2 2 Khi có 5(q + 1) = r + Û 5q + = r q = Þ r = 24 : loại q = Þ r = 49 Þ r = : thỏa mãn q > Þ r = 5q2 + chia hết cho Þ r = Þ = 5q2 + > 49 : vô lý ép = 2;q = 3;r = ê êp = 3;q = 2;r = ë Vậy ê ĐKXĐ: x ¹ - ỉ ưỉ - x ữ 3- xữ ỗ ữ ữ xỗ =2 ç çx + ÷ ÷ ç ç x + 1÷ èx + 1÷ øè ø 0,5 2,5 1,0 0,5 0,5 0,5 2,0 PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG I ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian phát đề) C1 3x - x2 x2 + x - - x Û =2 x +1 x +1 Û ( 3x - x ) ( x 2 ( x + 1) 0,5 ) =2 +3 Þ 3x3 + 9x - x4 - 3x2 = 2x2 + 4x + Û x4 - 3x3 + 5x2 - 5x + = ( 1,0 ) Û ( x - 1) x2 - x + = éx - = Û ê êx2 - x + = Û ê ë Vậy éx = 1(tm) ê ê VN ê ë 0,5 S = { 1} ỉ ỉ 3- xữ 3- xữ ỗ ữ ữ xỗ x + ç ç çx + 1÷ ÷ ÷ x + 1÷ ứ;B = ỗ ố ứ Ta cú A+B = ; A.B = tìm A = 1; B= C2 Đặt A = è ngược lại tìm x = Tìm cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn : xy + 2xy + x = 9y xy2 + 2xy + x = 32y Û x(y + 1)2 = 9y Þ y +1ạ ị x = Do y nguyờn dng Vì (y, y + 1) = Þ (y + 1) Ỵ U (9) 9y (y + 1)2 2 Do (y + 1) > số phương nên (y + 1) = (y + 1)2 = Þ y = 2;x = ìï x = ï í ïy =2 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: ïỵ 3 Cho x y số nguyên dương thỏa mãn x + y x + y chia hết 2 cho x + y Chứng minh 2x + 2y số phương Đặt a = (x;y) Þ chứng minh a = ìï x + y3 Mx2 + y2 ï Þ (x - y)(x2 + xy + y2 - 1)Mx2 + y2 í ïï x + yMx2 + y2 ïỵ ìï x º y(modd) ìï 2x2 M d ï 2 d = (x - y, x + y ) Þ ïí Þ í ïï x + y2 M ï 2y2 M d d ïỵ ïỵï Đặt 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG I ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Toán Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) Do (x;y) = ị d ẻ {1;2} 3 2 +) Nếu x = y Þ x + y = x + x chia hết cho x + y = 2x Từ tìm x = y = 2 Nếu d = Þ (x - y, x + y ) = Þ x2 + xy + y2 - 1Mx2 + y2 Þ xy - 1Mx2 + y2 0,5 2 Từ xy - = Þ x = y = Þ (x - y, x + y ) = (0;2) = loại x - y x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 2 d = 2Þ ( , ) = Þ x + xy + y - 1M Þ xy - 1M 2 2 Nếu Từ xy - = Þ x = y = 1: thỏa mãn 0,5 Vậy x = y = Þ 2x + 2y = số phương 2 Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2,0 P = 1 + + 2- a 2- b 2- c a2 a2 2- a = ³ = 2 2a a +1 a +1 Þ 0,5 a2 + ³ 2- a 0,5 P ³ Tương tự suy Suy a2 + b2 + c2 + =3 0,5 Pmin = 0,5 Dấu “=” xảy a = b = c = I K B H Q 1 P PK / / AH CKP CAB a) Suy C A CK CA CP CB AKC BPC c.g.c (1) 0 AKH vuông cân H K1 45 Từ (1) K1 P1 45 BAP vng cân A 2,0 1,0 0,5 PHỊNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG I ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) BP AB BHA BAC Chứng minh BH AB AB BC BH AB BH AB BH AB AB BC AB BC AB BC BH BP BH BQ BP 2 BQ BP BC BP BC BH BQ ; PBC BHQ BPC c.g c BHQ BPC có: BP BC chung · · Suy BQH = BCP BAP vuông cân A, AQ trung tuyến nên phân giác AI phân IC AC ABC (2) IB AB giác AC AH ABC HBA (3) AB HB Từ (2) (3) ta có: IC AH IB BC AH BC AH IB HB IB HB IB HB AH BC 1 dfcm HB IB T = {1,2,3,K 13} Xét tập Lập tất tập hai phần tử T cho hiệu hai phần tử S = {1,2,3,K ,869} 2 Cho M tập có tính chất hiệu hai số M không Hỏi M có nhiều phần tử ? Xét T = {1, 2, 3, …, 13} có 13 tập {1,6} {2,7} {3,8} {4,9} {5,10} {6,11} {7,12} {8,13} {1,9} {2,10} {3,11} {4,12} {5,13} mà hiệu phần tử tập Đồng thời phần tử T nằm tập Nếu N tập T có phần tử phần tử N nằm tập 13 tập kể Do phần tử nằm 14 tập Vậy phải có phần tử phần tử phải nằm tập 13 tập kể trên, hiệu phần tử Do đó, T’ tập T có tính chất M T’ có nhiều phần tử, dễ thấy T’ = {1,2,4,5,8,11} có tính chất phần tử có hiệu khơng có phần tử Chú ý 869 chia 13 thương 66 dư 11 nên M có nhiều 6*66 + = 402 phần tử 1,0 0,5 0,5 0,5 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25