PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG II ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (5,0 điểm) Mơn kiểm tra: Toán Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) x x 3 A : x 2 x 2x x 5x 10 x Cho biểu thức x với x 0, a Rút gọn biểu thức A b Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên 2 2 Cho số thực a,b,c thỏa mãn 2a 3ab 2b 1, b 3bc 4c 2 c2 3ca a2 Tính giá trị biểu thức B a4 b4 c4 Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 4x 5x x Tìm tất cặp số nguyên dương a;b thỏa mãn 7a chia hết cho 7ab a2 b số phương Bài (4,0 điểm) 3 Cho số hữu tỉ x, y thỏa mãn x 2x y 2y Chứng minh x y Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3a ab abc Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo E điểm thuộc đoạn OB, tia đối tia EC lấy điểm F cho OF OC Đường thẳng qua F vng góc với FO cắt đường thẳng BD S Kẻ FH vng góc với BD (H BD ) Chứng minh SFB ∽ SDF SB SD SH SO Chứng minh FE phân giác BFD Từ suy 1 BE DE EF Kẻ ET vng góc với FD T Chứng minh FO, AH ST đồng quy Bài (1,0 điểm) T 1,2,3, ,10 Chỉ tập U có phần tử T thỏa mãn với x, y U , x y x y khơng chia hết cho x y Xét tập S 1,2,3, ,2023 Cho M tập chứa n phần tử Tìm n lớn để x, y M , x y x y không chia hết cho x y -HẾT Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: …………………… PHỊNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG II ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn kiểm tra: Tốn Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) BÀI Ý 1 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM x x 3 A : x 2 x 2x x 5x 10 x Cho biểu thức x 0, x a Rút gọn biểu thức A b Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên x x 3 A : x 2 x 2x x 5x 10 x 2 x x x 5x 10 x x 3 x 2 x 1 x x 2 x 3 x x 2 x 1 x x với 1,5 1,5 1,5 Vì x x 0;2 x A A 3 Mặt khác, xét x x 1 x 1 x x 1 0 x A 0,5 0,5 Vậy < A < 0,5 Do A nguyên ⇔ A = A = A 1 x x 1 (thỏa mãn) A 2 x x 1 1 x x x 1 x 2(2 x 1) x 2 x 1 x x 2 x PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG II ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn kiểm tra: Tốn Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) (loại) Vậy A x 2a2 3ab 2b2 1;b2 3bc 4c2 2 a , b , c Cho số thực thỏa mãn 2 c 3ca a 2,0 4 Tính giá trị biểu thức B a b c Ta có : 2a2 3ab 2b2 1 2 b 3bc 4c c2 3ca a2 2a2 3ab 2b2 1 2 2 b 3bc 4c 3a 3b 3c ab bc ca c2 3ca a2 a2 b2 c2 ab bc ca a b b c c a 2a2 3ab 2b2 1 b2 3bc 4c2 2 c2 3ca a2 a b c a2 1 b 1 B c2 1 0,5 2,0 Giải phương trình 4x 5x x Đk: x Pt (2x 1)2 x 0,5 1,0 x 3(T M) 2x x x (T M) TH1: TH2: 2x x x 1(T M) 0,5 0,5 x 1; ;3 Vậy Chú ý: giải cách đặt y x đưa phương trình bậc phân tích Tìm tất cặp số nguyên dương a;b thỏa mãn: 7a chia hết cho 7ab a b số phương Vì a,b số nguyên dương nên 7a 7ab số 2,0 0,5 PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG II ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn kiểm tra: Tốn Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) 7a2 17ab Vì nên nguyên dương 7a 7ab 7a2 7ab a b Lại 7a2 7ab 7ab có: 7a2 7ab7ab 7a a b 7ab mà 7a,7ab 1 1 nên nên 0,5 a b 7ab a b 7ab a 7b b Nếu a b điều vơ lý 7b 0,1 b nên xảy a b Ta cần tìm a để a a số phương 2 2 Nếu a a a a a 2a nên a a khơng thể số phương 2 Với a 1 a a số phương Vậy a b 1 giá trị cần tìm 3 Cho số hữu tỉ x, y thỏa mãn x 2x y 2y Chứng minh x y 0,5 0,5 2,0 2 Giả sử x y x xy y 2 a c x ,y * b d với a,b,c,d ,(a,b) (c,d) 1 2 a a c c 2 2 2 a d abcd c b 2b d b b d d (a,b) 1 (a, x) 1 u (b,d) b ux,d uy,(x, y) 1 Có (c,d) 1 (c, y) 1 x y x y y x a2y2 acxy c2x2 2x2y2 b d u a2 ac c2 2u2 Nếu a chia hết cho c chia hết cho ngược lại Nếu a c không chia hết cho VT lẻ VP chẵn, vơ lý 2 Vậy a c chia hết cho Khi 2u a ac c chia hết cho Suy u chia hết cho Điều trái với (a, u) (a,b) 1 Vậy x y 0,5 Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn a b c Tìm 0,5 0,5 0,5 2,0 PHỊNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG II ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn kiểm tra: Tốn Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) giá trị lớn biểu thức: P 3a ab abc (a + + b)2 (7 - c)2 P = a(3 + b) + abc £ + abc = + abc 4 c2 + 2(2ab - 7)c + 49 f (c) Þ P £ = 4 Chứng minh f (x) đa thức bậc hai với hệ số cao dương max f (x) = max { f (m); f (n)} m£ x £ n Áp dụng: max f (c) = max { ff(0); f (4)} = { 49; (4)} 2 0,5 0,5 0,5 f (4) = + 8ab £ + 2(a + b) = + 2(4 - c) £ 41 Þ max { ff(0); (4)} = 49 Þ Pmax = 49 , a = ,b = ,c = 2 0,5 Ta có OF OC OB OD BFD 90 Suy SFB SDF (cùng phụ với BFO OBF ) SBF∽ SFD (g.g) SB SD SF 2 Lại có: SH SO SF (hệ thức lượng) (đpcm) 1 1 OFD FOB OFE FOA 2 Có (góc ngồi đỉnh cân tam giác cân) 1 EFD AOB 45 Suy 1,0 1,0 1,0 1,0 PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG II ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn kiểm tra: Tốn Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) Suy FE phân giác BFD EF EF DF BF BD 2 DE BC BC BC Suy BE (đpcm) 1,0 Gọi I giao FO ST Từ câu a) SFB SDF SEF SFE SE SF mà TE T F (do ET F vuông cân) T S trung trực EF mà I thuộc ST IFS IES 90 IE ∥ FH Xét hình thang AOHF ( AO ∥ FH ) FI HE FH AO IO EO OC (Talet CO ∥ FH ) = FH A, I , H thẳng hang đpcm 0,5 T 1,2,3, ,10 Chỉ tập U có phần tử T thỏa mãn với x, y U , x y x y khơng chia hết cho x y Xét tập 0,5 S 1,2,3, ,2023 1,0 Cho M tập chứa n phần tử Tìm n lớn để x, y M , x y x y không chia hết cho x y U 1,4,7,10 Xét M = {3k + với k = 0, 1, 2, , 674 A tập S A có 675 phần tử Dễ thấy hiệu số A bội tổng số M không chia hết cho Do với số M tổng chúng không chia hết cho hiệu chúng Xét N tập S có 676 phần tử Chia S thành 675 tập sau {1, 2, 3} {4, 5, 6} … {2020, 2021, 2022} {2023} Khi có phần tử N, giả sử a b, thuộc tập phần tử kể Chú ý hiệu phần tử tập phần tử kể không lớn Vậy ta có a – b = Nếu a – b = a + b chia hết cho a – b, a – b = a b tính chẵn lẻ nên a + b chẵn chia hết cho a – b Vậy N không thỏa mãn yêu cầu tốn Do n lớn = 675 0,25 0,25 0,25 0,25