PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG II ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn kiểm tra: Tốn Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) Bài (5,0 điểm) x 7 x 3 Cho biểu thức A với x 0, x : x 2 x 2x x 5x 10 x a Rút gọn biểu thức A b Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Cho số thực a, b, c thỏa mãn 2a 3ab 2b 1, 4 b 3bc 4c c 3ca a Tính giá trị biểu thức B a b c Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 4x 5x x Tìm tất cặp số nguyên dương a;b thỏa mãn 7a chia hết cho 7ab a b số phương Bài (4,0 điểm) Cho số hữu tỉ x , y thỏa mãn x 2x y 2y Chứng minh x y Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3a ab abc Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo E điểm thuộc đoạn OB, tia đối tia EC lấy điểm F cho OF OC Đường thẳng qua F vng góc với FO cắt đường thẳng BD S Kẻ FH vng góc với BD (H BD ) Chứng minh SFB ∽ SDF SB SD SH SO 1 2 BE DE EF Kẻ ET vng góc với FD T Chứng minh FO, AH ST đồng quy Bài (1,0 điểm) Từ suy Chứng minh FE phân giác BFD Xét tập T 1, 2, 3, ,10 Chỉ tập U có phần tử T thỏa mãn với x , y U , x y x y khơng chia hết cho x y Cho M tập chứa n phần tử S 1, 2, 3, , 2023 Tìm n lớn để x , y M , x y x y khơng chia hết cho x y -HẾT Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: …………………… PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG II Mơn kiểm tra: Toán Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng tính thời gian phát đề) BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM x 7 x 3 Cho biểu thức A với x 0, : x 2 x 2x x 5x 10 x x 1,5 a Rút gọn biểu thức A 1,5 b Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên x 7 x 3 A : x 2 x 2x x 5x 10 x 2 x x x 5x 10 x x 3 x 2 x 1 x x 2 x 3 x x 22 x 1 x x 1,5 Vì x x 0;2 x A Mặt khác, xét A x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 0,5 x A 0,5 Vậy < A < Do A nguyên ⇔ A = A = A1 x x 1 mãn) A x x 1 x x x x 1 1 x (thỏa x 2(2 x 1) x x x 0,5 (loại) Vậy A x Cho số thực a, b, c thỏa mãn 2a 3ab 2b 1;b 3bc 4c c 3ca a Tính giá trị biểu thức B a b c 2,0 BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM Ta có : 2a 3ab 2b 2 b 3bc 4c c 3ca a ĐIỂM 2a 3ab 2b 2 2 b 3bc 4c 3a 3b 3c ab bc ca c 3ca a 3 a b c ab bc ca a b 2a 3ab 2b b 3bc 4c c 3ca a 2 b c c a a b c a b B c 0,5 Giải phương trình 4x 5x x 0,5 2,0 Đk: x 1 1,0 Pt (2x 1)2 x x 3(TM) TH1: 2x x x (TM) 0,5 TH2: 2x 3 x x 1(TM) 0,5 Vậy x 1; ; Chú ý: giải cách đặt y x đưa phương trình bậc phân tích Tìm tất cặp số nguyên dương a;b thỏa mãn: 7a chia hết cho 7ab 2,0 a b số phương Vì a, b số nguyên dương nên 7a 7ab số nguyên dương Vì 7a 1 7ab nên 7a 7ab 7a 7ab a b Lại 7a 7ab 7ab có: nên 7a 7ab 7ab 7a a b 7ab mà 7a, 7ab nên a b 7ab 0,5 0,5 BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM Nếu a b a b 7ab a 7b b điều vô lý 7b 0,1 b nên xảy a b ĐIỂM 0,5 Ta cần tìm a để a a số phương Nếu a a a a a 2a nên a a khơng thể số phương Với a a a 22 số phương 0,5 Vậy a b giá trị cần tìm Cho số hữu tỉ x , y thỏa mãn x 2x y 2y Chứng minh x y 2,0 Giả sử x y x xy y a c x , y với a, b, c, d *,(a, b ) (c, d ) b d 0,5 a a c c 2 2 2 a d abcd c b 2b d b b d d 0,5 (a, b) (a, x ) u (b, d ) b ux , d uy,(x , y ) Có (c, d ) (c, y ) x y x y b d u a 2y acxy c 2x 2x 2y y x a ac c 2u Nếu a chia hết cho c chia hết cho ngược lại Nếu a c khơng chia hết cho VT lẻ VP chẵn, vô lý Vậy a c chia hết cho Khi 2u a ac c chia hết cho Suy u chia hết cho Điều trái với (a, u ) (a, b) 0,5 0,5 Vậy x y Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3a ab abc P a(3 b) abc (a b)2 (7 c)2 abc abc 4 2,0 0,5 c 2(2ab 7)c 49 f (c) 4 Chứng minh f (x ) đa thức bậc hai với hệ số cao dương m x n P max f (x ) max f (m ); f (n ) 0,5 BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM Áp dụng: max f (c) max f (0); f (4) 49; f (4) ĐIỂM 0,5 f (4) 8ab 2(a b) 2(4 c) 41 max f (0); f (4) 49 Pmax 49 , a , b , c 2 0,5 Ta có OF OC OB OD BFD 90 ) Suy SFB SDF (cùng phụ với BFO OBF SBF∽SFD (g.g) SB.SD SF 1,0 1,0 Lại có: SH SO SF (hệ thức lượng) (đpcm) 1,0 FOB OFE FOA (góc ngồi đỉnh cân tam giác cân) Có OFD 2 AOB 45 Suy EFD Suy FE phân giác BFD 1,0 EF EF DF BF BD Suy (đpcm) BE DE BC BC BC 1,0 SDF SEF SFE Gọi I giao FO ST Từ câu a) SFB SE SF mà TE TF (do ETF vuông cân) TS trung trực EF mà I thuộc ST 0,5 IFS IES 90 IE ∥ FH Xét hình thang AOHF ( AO ∥ FH ) FI HE FH AO (Talet CO ∥ FH ) = IO EO OC FH 0,5 BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM A, I , H thẳng hang đpcm Xét tập T 1, 2, 3, ,10 Chỉ tập U có phần tử T thỏa mãn với x , y U , x y x y không chia hết cho x y 1,0 Cho M tập chứa n phần tử S 1, 2, 3, , 2023 Tìm n lớn để x , y M , x y x y khơng chia hết cho x y U 1, 4, 7,10 0,25 Xét M = {3k + với k = 0, 1, 2, , 674 A tập S A có 675 phần tử Dễ thấy hiệu số A bội tổng số M không chia hết cho Do với số M tổng chúng khơng chia hết cho hiệu chúng 0,25 Xét N tập S có 676 phần tử Chia S thành 675 tập sau {1, 2, 3} {4, 5, 6} … {2020, 2021, 2022} {2023} Khi có phần tử N, giả sử a b, thuộc tập phần tử kể 0,25 Chú ý hiệu phần tử tập phần tử kể khơng lớn Vậy ta có a – b = Nếu a – b = a + b chia hết cho a – b, a – b = a b tính chẵn lẻ nên a + b chẵn chia hết cho a – b Vậy N không thỏa mãn u cầu tốn Do n lớn = 675 0,25