Một số dạng toán trong hình học affine

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— NGUYỄN ĐÌNH TUẤN MỘT SỐ DẠNG TỐN TRONG HÌNH HỌC AFFINE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khố luận: TS Hoàng Nhật Quy Đà Nẵng, 05/2023 Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Không gian Affine 1.1.1 Định nghĩa Không gian Affine 7 1.1.2 1.1.3 Một số ví dụ Một số tính chất đơn giản khơng gian Affine 1.1.4 Độc lập Affine phụ thuộc Affine Tọa độ Affine mục tiêu Affine 10 11 1.2.1 1.2.2 Mục tiêu Affine Tọa độ Affine 11 11 1.2.3 Công thức đổi mục tiêu Affine Tập lồi không gian Affine thực 13 15 1.3.1 Đoạn thẳng 15 1.3.2 1.3.3 Tập lồi Đơn hình m-chiều 16 16 1.3.4 Hình hộp m-chiều 18 Một số dạng tốn hình học Affine 2.1 2.2 19 Các toán liên quan tới tâm tỉ cự hệ điểm 2.1.1 Định nghĩa 19 19 2.1.2 2.1.3 Tính chất Ví dụ áp dụng 20 21 Các toán liên quan tới phẳng không gian Affine 2.2.1 Phẳng 37 37 2.2.2 2.3 2.4 Phương trình m-phẳng 39 2.2.3 Ví dụ áp dụng Các toán liên quan tới siêu mặt bậc hai không gian 41 Affine 2.3.1 Siêu mặt bậc hai 45 46 2.3.2 2.3.3 Dạng ma trận phương trình siêu mặt bậc hai Giao siêu mặt bậc hai với đường thẳng 46 47 2.3.4 2.3.5 Tâm siêu mặt bậc hai Ví dụ áp dụng 47 48 Các toán liên quan tới tiếp tuyến siêu tiếp diện siêu mặt bậc hai 2.4.1 Điểm kì dị siêu mặt bậc hai 2.4.2 2.4.3 2.4.4 51 51 Phương tiệm cận đường tiệm cận siêu mặt bậc hai 51 Tiếp tuyến siêu tiếp diện siêu mặt bậc hai Ví dụ áp dụng 52 53 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành gửi tri ân sâu sắc đến thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực Khóa Luận Tốt Nghiệp Thời gian vừa qua, nhờ có hướng dẫn tận tình hết lịng thầy TS Hồng Nhật Quy, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức khơng xoay quanh khóa luận cịn vấn đề thú vị Toán học Em xin chân thành cảm ơn thầy Với vốn kiến thức hạn hẹp thân thời gian hạn chế, việc hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên em mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q thầy để Khóa Luận Tốt Nghiệp em hoàn thành chỉnh chu Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Hình học sơ cấp mảng kiến thức quan trọng phong phú chương trình tốn học phổ thơng từ trước tới Chương trình phổ thơng năm 2018 xác định Hình học số yếu tố đo lường ba mạch kiến thức bên cạnh Số, đại số số yếu tố giải tích, thống kê xác suất Một cách tiếp cận khai thác mảng kiến thức "trào phú" cách có hiệu quả, bao quát toán diện dựa số kết sở lý thuyết hình học cao cấp Tuy nhiên, hình học sơ cấp cụ thể hóa hình học Euclid số chiều với vắng mặt khái niệm góc hai vectơ hình học Affine tính chất hình học Euclid bù lại có nhiều đối tượng hình học phong phú tổng quát Việc nghiên cứu hình học Affine n chiều giúp ta nắm khái niệm hình học dạng tổng quát hơn, khai thác cách phù hợp tính chất, kết tổng quát ứng dụng phong phú phép biến đổi hình học Affine n chiều ta hồn tồn chuyển tốn hình học cao cấp sang tốn với ngơn ngữ hình học sơ cấp để đưa vào giảng dạy cho học sinh phổ thơng Ngược lại, tốn hình học sơ cấp khái quát hóa trở thành tốn tổng qt khơng gian Affine n chiều Hơn nữa, không gian Affine với liên kết không gian vectơ xem cầu nối hình học đại số giúp giải tốn hình học cơng cụ đại số ngược lại hiệu Từ việc nhìn nhận tốn hình học sơ cấp góc nhìn hình học cao cấp giúp có khả định hướng, biết cách huy động kiến thức cách khoa học để giải vấn đề sáng tạo toán Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu luận văn nghiên cứu hình học Affine để có nhìn tổng qt hình học sơ cấp ngược lại, từ tốn, tính chất hình học sơ cấp xem xét để tổng quát hóa thành khái niệm kết tổng quát Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Hình học Affine số vấn đề hình học Affine Các khái niệm kết hình học sơ cấp tổng quát hóa thành khái niệm kết hình học cao cấp - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu hình học Affine áp dụng vào hình học sơ cấp nghiên cứu từ tốn hình học sơ cấp tổng qt lên thành tốn hình học Affine Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày khái niệm kết hình học Affine Các kiến thức chương bổ trợ cho phần nghiên cứu Chương Chương 2: Một số dạng tốn hình học Affine Nội dung chương trình bày số dạng tốn hình học Affine liên quan tới tâm tỉ cự hệ điểm, phẳng không gian Affine, siêu mặt bậc hai khơng gian Affine • Kết luận • Tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Chương giành để giới thiệu không gian Affine khái niệm khác liên quan tới hình học Affine Trong trình trình bày, chúng tơi có ý tới việc nêu phân tích liên hệ hình học Affine kết Đại số tuyến tính, liên hệ, tổng quát hóa từ khái niệm kết hình học bậc phổ thơng Các nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1 1.1.1 Không gian Affine Định nghĩa Không gian Affine Định nghĩa 1.1.1 Cho V không gian vectơ trường K (ở trường K trường số thực R trường số phức C) A tập hợp khác rỗng mà phần tử sau gọi điểm Các vectơ, để thuận tiện cho việc trình bày để có tính trực quan, thường kí hiệu chữ thường với mũi tên bên ⃗a, ⃗b, , ⃗x, ⃗y , ⃗z, ; điểm thường kí hiệu chữ hoa A, B , C , , M , N , X , Y , Giả sử có ánh xạ f : A × A → V thỏa mãn hai điều kiện sau: Với điểm M ∈ A vectơ ⃗v ∈ V, có điểm N ∈ A cho f (M, N ) = ⃗v Với ba điểm M , N , P tùy ý A ta ln có f (M, N ) + f (N, P ) = f (M, P ) Khi ta nói A khơng gian Affine, hay đầy đủ A không gian Affine trường K liên kết với không gian vectơ V ánh xạ liên kết f V gọi không gian vectơ liên kết với A thường kí hiệu → − A Cịn f gọi ánh xạ liên kết để thuận tiện trực quan −−→ ta thường kí hiệu f (M, N ) M N Khi điều kiện định nghĩa viết lại sau: −−→ → − ∀M ∈ A, ∀⃗v ∈ A ; ∃!N ∈ A, M N = ⃗v −−→ −−→ −−→ ∀M, N, P ∈ A; M N + N P = M P Đẳng thức điều kiện định nghĩa gọi hệ thức Chales Khi K = R ta nói A không gian Affine thực Khi K = C ta nói A khơng gian Affine phức Đơi ta nói A K-khơng gian Affine để nhấn mạnh trường → − Khi A khơng gian vectơ n-chiều ta nói A khơng gian Affine n-chiều dùng kí hiệu An để nhấn mạnh số chiều A Kí hiệu số chiều A dim A Như → − dim A = dim A 1.1.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.1.1 Gọi R tập số thực Xét R2 = {M (x; y) : x, y ∈ R} gọi tập − → hợp điểm mặt phẳng Gọi R2 khơng gian vectơ hình học (vectơ hình học hiểu đoạn thẳng đầu mút quy định − → điểm đầu đầu mút lại điểm cuối) Xét ánh xạ f : R2 × R2 → R2 , −−→ f (M, N ) = M N , ∀M, N ∈ R2 Khi đó, ta có R2 khơng gian Affine hai chiều hay cịn gọi mặt phẳng Affine Tương tự ta có R3 = {M (x; y; z) : x, y, z ∈ R} khơng gian Affine ba chiều Ví dụ 1.1.2 Cho V không gian vectơ trường K Xét ánh xạ f : V × V → V, f (⃗u, ⃗v ) = ⃗u − ⃗v , ∀⃗u, ⃗v ∈ V Khi đó, dễ thấy ánh xạ f thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.1.1 nên V khơng gian Affine liên kết với Ta nói f xác định cấu trúc Affine tắc không gian vectơ V hay V không gian Affine với cấu trúc Affine tắc 1.1.3 Một số tính chất đơn giản khơng gian Affine Sau số tính chất đơn giản suy từa định nghĩa không gian Affine Với M, N, P, Q ∈ A, ta có −−→ M N = ⃗0 M = N , −−→ −−→ M N = −N M , −−→ −→ −−→ −−→ 3.M N = P Q M P = N Q, −−→ −−→ −−→ M N = P N − P M Chứng minh Giả sử có M = N Thế theo hệ thức Chasles có −−→ −−→ −−→ MM + MM = MM Do −−→ ⃗ M M = −−→ Ngược lại, giả sử có M N = ⃗0 theo chứng minh ta −−→ có M M = ⃗0 Do đó, theo điều kiện thứ định nghĩa 1.1.1, ta có M = N Theo hệ thức Chasles ta có −−→ −−→ −−→ ⃗ M N + N M = M M = Do −−→ −−→ M N = −N M Ta có −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ M N =P Q ⇔ M N + N P = N P + P Q ⇔ M P = N Q Theo hệ thức Chasles, ta có −−→ −−→ −−→ MN = MP + P N Theo tính chất có −−→ −−→ −−→ MN = P N − P M 1.1.4 Độc lập Affine phụ thuộc Affine Các khái niệm độc lập Affine phụ thuộc Affine Hình học Affine khái niệm tương tự khái niệm độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Đại số tuyến tính Nếu khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính tổng qt hóa khái niệm không phương, phương vectơ hình học khái niệm độc lập phụ thuộc Affine tổng quát hóa khái niệm khơng thẳng hàng, thẳng hàng ba điểm hình học phổ thông Định nghĩa 1.1.2 Hệ m+1 điểm {A0 , A1 , , Amn} (m ≥ 1) không gian −−−→ −−−→ −−−→o Affine A gọi độc lập Affine hệ m vectơ A0 A1 , A0 A2 , , A0 Am → − A hệ vectơ độc lập tuyến tính Hệ điểm khơng độc lập Affine gọi phụ thuộc Affine Ví dụ 1.1.3 Dựa vào khái niệm độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ khơng gian vectơ ta có ví dụ sau hệ điểm độc lập tuyến tính Hệ hai điểm {P, Q} A độc lập P ̸= Q Hệ ba điểm {P, Q, R} A độc lập chúng không thuộc đường thẳng (không thẳng hàng) Hệ bốn điểm {P, Q, R, S} A độc lập chúng không thuộc mặt phẳng (không đồng phẳng) Tổng quát, hệ m + điểm {A0 , A1 , , Am } A độc lập chúng không thuộc (m − 1)-phẳng Định lý 1.1.1 Trong không gian Affine n chiều An , với số m thỏa mãn < m ≤ n + 1, tồn hệ gồm m điểm độc lập Mọi hệ gồm n + điểm phụ thuộc − → − − − Chứng minh Giả sử {→ e1 , → e2 , , → en } sở An Lấy A0 ∈ An Khi đó, theo Định nghĩa 1.1.1 ta có tồn điểm Ai cho 10 Vì I(4; 3; −6) cố định điểm M ∈ d nên M A + M B nhỏ M hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d Gọi (P ) mặt phẳng qua I vng góc với d nên phương trình mặt phẳng (P ) : 10x − 7y + 2z − = Điểm M giao điểm đường thẳng d (P ) Vì    x = 10 + 10t   M ∈ d : y = −8 − 7t ⇒ M (10 + 10t; −8 − 7t; + 2t)    z = + 2t Mặt khác M ∈ (P ) nên ta có: 10(10 + 10t) − 7(−8 − 7t) + 2(2 + 2t) − = ⇒ t = −1 ⇒ M (0; −1; 0) Ví dụ 2.1.3 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(3; 0; 1), B(7; −6; 5) mặt phẳng −−→ (P ) : 3x − 2y + z + = Tìm (P ) điểm thỏa mãn − − → M A + M B có giá trị nhỏ Phân tích Ta xét tốn với tâm tỉ cự I trung điểm AB Lời giải Gọi I(x; y; z) trung điểm AB ta có I(5; −3; 3) −−→ − −−→ →