Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC NĂM HỌC 2022 - 2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ HƯNG NGUYÊN - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN LĨNH VỰC: TỐN HỌC Nhóm tác giả MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II TÍNH MỚI, ĐĨNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU VI ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VI CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Tư 1.1 Khái niệm tư 1.2 Đặc điểm tư 1.3 Tư toán học 1.4 Năng lực tư toán học Năng lực tư lập luận toán học 2.1 Khái niệm lực lập luận toán học 2.2 Biểu lực tư lập luận toán học II CƠ SỞ THỰC TIỄN Thực trạng giảng dạy giáo viên Thực trạng học tập học sinh III MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Củng cố kiến thức liên quan tiếp cận dạng toán hình học khơng gian phương pháp vectơ từ hoàn thiện phương pháp giải dạng 1.1 Một số kiến thức vectơ không gian 1.2 Phương pháp chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp vectơ 1.3 Một số tốn hình học khơng gian giải phương pháp vectơ Rèn luyện thao tác tư cho học sinh thơng qua giải tốn hình học khơng gian phương pháp vectơ 11 2.1 Khai thác phương pháp vectơ để giải tốn hình học khơng gian t 12 2.2 Khai thác phương pháp vectơ để giải toán cực trị bất đẳng thức hình học khơng gian 21 2.2.1 Giải toán cực trị bất đẳng thức hình học khơng gian nhờ đánh độ dài vectơ 21 2.2.2 Giải toán cực trị bất đẳng thức hình học khơng gian thơng qua đánh giá tích vơ hướng 25 2.2.3 Giải toán cực trị bất đẳng thức hình học khơng gian nhờ khai thác tính chất thẳng hàng đồng phẳng 29 Phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh thơng qua hướng dẫn học sinh sáng tác toán 32 Phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh thơng qua vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ 40 4.1 Toạ độ hố chuyển tốn hình học sang tốn toạ độ 41 4.2 Toạ độ hoá chuyển toán đại số sang toán toạ độ 43 Khảo sát cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất 44 5.1 Mục đích khảo sát 44 5.2 Nội dung phương pháp khảo sát 44 5.2.1 Nội dung khảo sát 44 5.2.2 Phương pháp khảo sát thang đánh giá 44 5.3 Đối tượng khảo sát 45 5.4 Kết khảo sát cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất 45 5.4.1 Sự cấp thiết giải pháp đề xuất 45 5.4.2 Tính khả thi giải pháp đề xuất 46 Thực nghiệm sư phạm 47 6.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 47 6.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 47 6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 47 6.3.1 Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm 47 6.3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 47 6.3.3 Nội dung kiểm tra đánh giá 48 6.4 Đánh giá kết thực nghiệm 48 6.4.1 Một số nhận xét chung 48 6.4.2 Phân tích định tính 48 6.4.3 Phân tích định lượng 49 PHẦN III KẾT LUẬN 51 I KẾT LUẬN 51 Tính đề tài 51 Tính khoa học 51 Tính hiệu phạm vi áp dụng 51 Hướng phát triển đề tài 52 II NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT 52 Đối với giáo viên 52 Đối với học sinh 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT Từ viết tắt TT Từ đầy đủ ĐC Đối chứng GV Giáo viên HHKG Hình học khơng gian HS Học sinh HSG Học sinh giỏi SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông TN Thực nghiệm DANH MỤC BẢNG, BIỂU Bảng Bảng Khảo sát tính cấp thiết giáo viên mơn Tốn học sinh Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên 45 Bảng Đánh giá cấp thiết giải pháp đề xuất 45 Bảng Khảo sát tính khả thi giáo viên mơn Tốn học sinh lớp 12A1 12A2 trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên 46 Bảng Đánh giá tính khả thi giải pháp đề xuất 46 Bảng Phân bố tần số kết kiểm tra lớp thực nghiệm (TN) lớp đối chứng (ĐC) 49 Bảng Phân bố tần số (ghép lớp) kết kiểm tra 49 Bảng Phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra 49 Biểu Biểu đồ Biểu đồ hình cột phân bố tần số điểm kiểm tra 50 Biểu đồ Biểu đồ phân bố tần suất điểm kiểm tra 50 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mục tiêu chung giáo dục phổ thông 2018 mơn Tốn nói riêng giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông bảo đảm phát triển phẩm chất lực người học thông qua nội dung giáo dục với kiến thức, kỹ bản; trọng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ học để giải vấn đề học tập đời sống Điều địi hỏi học sinh khơng cần phải tích cực chủ động tiếp thu lĩnh hội kiến thức mà phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức học biết kết nối kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức Vì lẽ việc đổi phương pháp dạy học dạy học mơn Tốn trở nên quan trọng thiết “Năng lực tư lập luận toán học” ba thành phần cốt lõi biểu lực toán học học sinh Đây lực đòi hỏi trình giáo dục cần phải hình thành cho em muốn đáp ứng đầy đủ yêu cầu chương trình giáo dục phổ thơng nói chung đổi mơn Tốn nói riêng Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2018) xác định lực tư lập luận toán học yếu tố cốt lõi lực toán học với yêu cầu: “Thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát tương đồng khác biệt tình tương đối phức tạp lí giải kết việc quan sát; Sử dụng phương pháp lập luận, quy nạp suy diễn để nhìn cách thức khác việc giải vấn đề; Nêu trả lời câu hỏi lập luận, giải vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh giải pháp thực phương diện toán học” (Bộ Giáo dục Đào tạo, 2018) Trong chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng, Hình học khơng gian (HHKG) đóng vai trị quan trọng Nó thường xuất câu khó đề thi học kỳ lớp 11, thi học sinh giỏi, câu vận dụng, vận dụng cao đề thi tốt nghiệp THPT Không mà chủ đề đa dạng dạng tốn hay, có nhiều cách giải Đặc biệt nhiều toán HHKG giải cách áp dụng kiến thức vectơ thể rõ ưu điểm độc đáo Khai thác ứng dụng vectơ khơng gian để giải tốn cách nghiên cứu giải tập hình học phương pháp vectơ tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng lực trí tuệ như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng chủ yếu lực tư mà đặc trưng lực tư độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng hiểu biết học để giải vấn đề đặt cách tốt Góp phần phát triển lực tư lập luận toán học cho HS Mặc dù tầm quan trọng kiến thức vectơ không gian lớn thế, khơng trình bày kỹ SGK Hơn SGK, sách tập tài liệu tham khảo chưa đưa phương pháp cụ thể cho phần mà đưa số ví dụ giải Chính HS khơng học cách bản, không xâu chuỗi kiến thức nội dung kiến thức chuyên đề xuyên suốt chương trình mơn Tốn nhà trường phổ thơng Với lí trên, lựa chọn đề tài: “Phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng vectơ khơng gian” II TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Thứ nhất, đề tài sử dụng cách tiếp cận hồn tồn khai thác kiến thức vectơ để giải toán HHKG theo hướng phát triển lực tư lập luận toán học cho HS Thứ hai, đề tài trình bày sở lý luận tư duy, lực tư lập luận toán học; hệ thống hố kiến thức vectơ , trình bày phương pháp chung để giải toán HHKG phương pháp vectơ Thứ ba, đề tài xây dựng lớp toán HHKG định hướng xử lý lớp toán HHKG phương pháp vectơ Đặc biệt khai thác kiến thức vectơ để giải toán cực trị, bất đẳng thức HHKG tập luyện cho HS thói quen khai thác đề để sáng tạo toán giúp em tự tin học tập Thứ tư, luyện tập cho HS thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để HS phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà HS phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải tốn Thứ năm, đề tài góp phần phát triển lực tư lập luận toán học cho HS Đặc biệt em học sinh lớp 12 có thêm tài liệu hữu ích để ơn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 học sinh giỏi cấp tỉnh năm III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Điều tra thực trạng tình hình dạy học vấn đề vectơ không gian trường THPT Nghiên cứu kiến thức tảng liên quan đến vấn đề vectơ không gian qua SGK tài liệu tham khảo Triển khai đề tài trình dạy học cách lựa chọn kiến thức toán HHKG giải phương pháp sử dụng kiến thức vectơ không gian phù hợp đưa vào tiết học khố, tiết học thêm buổi chiều buổi bồi dưỡng HSG Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với HS, đồng nghiệp qua thấy hiệu việc áp dụng đề tài đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung vectơ cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề nói riêng học mơn tốn nói chung VI ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh bậc trung học phổ thơng - Giáo viên dạy tốn bậc trung học phổ thơng - Tài liệu phương pháp dạy học, hình học không gian V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp phân tích - tổng hợp - Phương pháp điều tra, phân tích - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu - Phương pháp vấn - Phương pháp thực nghiệm VI CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần I Đặt vấn đề Phần II Nội dung Phần III Kết luận PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Tư 1.1 Khái niệm tư Tư sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, q trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đốn, lí luận,… (dẫn theo [3]) Trong Đề tài này, thống với quan điểm tư tác giả Phạm Minh Hạc [2]: “Tư trình tâm lí phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật tượng thực khách quan mà trước chủ thể nhận thức chưa biết” 1.2 Đặc điểm tư Tư nảy sinh gặp hồn cảnh có vấn đề; Tư có tính khái qt; Tư có tính gián tiếp; Quá trình tư hành động trí tuệ: q trình tư diễn cách chủ thể tiến hành thao tác trí tuệ định Có nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào trình tư cụ thể với tư cách hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá, (dẫn theo [4]) 1.3 Tư toán học Trong Đề tài này, sử dụng định nghĩa tư tốn học: Tư tốn học hiểu hình thức biểu lộ tư biện chứng trình người nhận thức khoa học toán học hay q trình áp dụng tốn học vào khoa học khác kĩ thuật, kinh tế,… Tư toán học có tính chất đặc thù quy định tính chất khoa học tốn học có áp dụng phương pháp toán học để nhận thức tượng giới thực, phương thức chung tư mà sử dụng 1.4 Năng lực tư toán học Năng lực tư toán học tổng hợp khả cá nhân ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải vấn đề, xử lý linh cảm trình phản ánh, phát triển tri thức vận dụng vào thực tiễn Năng lực tư lập luận toán học 2.1 Khái niệm lực lập luận tốn học Mơn Tốn vừa có tính trừu tượng cao tính thực tiễn phổ dụng, vừa có tính logic tính thực nghiệm; mơn Tốn có vai trị quan trọng phát triển lực trí tuệ cho HS: lý thuyết học Khơng giáo viên chưa thực quan tâm để giúp HS làm bật lên mối quan hệ tập với tập khác chưa giúp học sinh xâu chuỗi kiến thức với - GV chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ vấn đề cần giải Nhiều GV cịn khơng có thói quen để HS tự tranh luận Các hoạt động trao đổi, thảo luận tiến hành nhanh, gấp gáp, dẫn đến khơng kích thích HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp giải pháp độc đáo cho vấn đề Do khơng phát huy yếu tố để rèn luyện phát triển tư lập luận toán học cho HS Thực trạng học tập học sinh Thông qua khảo sát điều tra HS học tập trường trường bạn địa bàn tỉnh huyện Hưng Nguyên vùng phụ cận thu thông tin: - Rất nhiều HS ngại học hình học khơng gian, phần lớn học sinh yếu kiến thức vecto; hạn chế lực tư lập luận tốn học: nhìn đối tượng tốn học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố toán học, thường yếu việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ quen, không linh hoạt điều chỉnh hướng suy nghĩ gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn việc kiến tạo nên hệ thống tri thức tri thức cũ bị hạn chế - Hầu hết HS thường có thói quen giải xong tốn xem hồn thành cơng việc giao dừng lại đó, HS biết chủ động, khai thác, tìm tịi, suy nghĩ, vận dụng để giải số tốn khác Vì đứng trước tốn mới, tốn chưa có thuật giải hay tốn nâng cao HS thường có tâm lí sợ ngại, thiếu tự tin vào khả mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc kiến thức liên kết kiến thức cũ để giải vấn đề có liên quan - Đa số HS có kiến thức yếu không hứng thú học chủ đề vectơ trừu tượng tâm lý nghĩ chủ đề khó nên khơng thể chinh phục - Đứng trước toán HHKG học sinh thường không ưu tiên lựa chọn công cụ vectơ để khai thác, HS lúng túng không theo hướng Vậy làm để khắc phục thực trạng đó? Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm, mạnh dạn đề xuất số giải pháp cụ thể áp dụng có hiệu đơn vị - trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên III MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN Trong nội dung chúng tơi củng cố kiến thức liên quan đến vectơ , định hướng giúp HS vận dụng kiến thức vectơ để giải số toán HHKG tìm cách khai thác mở rộng thành tốn mức độ vận dụng, vận dụng cao; giúp HS nắm quy trình tổng thể, phương pháp giải số tốn HHKG phương pháp vectơ Thơng qua giúp học sinh có thêm phương pháp để giải tốn HHKG từ mức độ thơng hiểu đến mức độ vận dụng, vận dụng cao có chương trình Tốn THPT cấu trúc đề thi TNTHPT đề thi HSG Qua việc phân tích, khai thác giúp cho học sinh có thói quen, kỹ ln tìm nguồn gốc tốn nhìn tốn dạng động, ln có ý thức tìm tịi, khai thác tốn nhiều khía cạnh Từ hình thành, phát triển tư lập luận toán học cho HS Củng cố kiến thức liên quan tiếp cận dạng tốn hình học khơng gian phương pháp vectơ từ hồn thiện phương pháp giải dạng 1.1 Một số kiến thức vectơ không gian   , , ,        Quy tắc trừ: , , , Quy tắc ba điểm:    Quy tắc hình bình hành: Tứ giác     Qui tắchình     hộp: hình bình hành     Nếu     trung điểm      điểm khơng gian) Nếu trung điểm , trung điểm               hình  hộp ( thì ta có  trọng tâm          ( điểm khơng gian)          trọng tâm tứ diện             ( điểm không gian)      Nếu khơng gian ta có   với điểm              phương với     ta ln có      thẳng hàng                     với điểm M Đẳng thức xảy   phương đó:      ,   Cho ba vectơ ,        , , , hai vectơ không phương Khi đồng phẳng có số thực    Cho ba vectơ , ,            , ,  , , cho        cho ba số thực mà ba vectơ khơng đồng phẳng với vectơ Nếu , , tìm số khơng đồng phẳng Nếu ,  bất kì, ta Hơn số , , 1.2 Phương pháp chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp vectơ Bước Chọn vectơ không đồng phẳng làm sở Bước Biểu diễn vectơ cần tính tốn hệ vectơ sở Bước Dựa vào hệ thức biểu diễn ta tìm mối quan hệ vectơ cần xét vectơ Sau chúng tơi xin đưa số tốn HHKG giải phương pháp 1.3 Một số toán hình học khơng gian giải phương pháp vectơ Bài toán 1: Chứng minh điểm Phương pháp giải Cách Ta chứng minh Để nhận vectơ trung gian     ,   bất kì, ta có:      phân biệt thẳng hàng  , , ta tính vectơ Cách Với điểm   ,       Cho       thông qua tổ hợp   Hay , , thẳng hàng     Bài toán 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phương pháp giải      khơng phương Khi            đồng phẳng (Với m, n xác định nhất) Bài toán 3: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp giải Cho hai đường thẳng phân biệt Khi đó:     Bài tốn 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp giải Cho hai vectơ Khi đó: thuộc  không phương thuộc mặt phẳng (P)       , không ( x, y ) Bài toán 5: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp giải Cho hai mặt phẳng phân biệt (ABC) (MNP) Khi đó: (ABC)                 Bài toán 6: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải Cho hai đường thẳng phân biệt Để chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng ta có quy trình sau: Bước 1: Chọn vectơ sở, đường thẳng chọn hai vectơ   Bước 2: Biểu thị hai vectơ theo vectơ sở Bước 3: Xét tích vơ hướng    ,    kết luận Bài tốn 7: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải Cho đường thẳng mặt phẳng (ABC) Để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) ta có quy trình sau: Bước 1: Chọn ba vectơ sở, đường thẳng Bước 2: Biểu thị ba vectơ    Bước 3: Xét tích vơ hướng   ta chọn vectơ  theo ba vectơ sở với        ,      Bài tốn 8: Tính góc hai vectơ Phương pháp giải   Góc  hai đường thẳng tính theo công thức:       Bài tốn 9: Tính góc hai đường thẳng Phương pháp giải Góc  hai đường thẳng tính theo cơng thức:         Bài tốn 10: Tính góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải Để tính góc ta thực sau Đặt         , gọi hình chiếu lên  ,       Khi đó:                   Do nên              góc Nếu góc          , Bài tốn 11: Tính góc hai mặt phẳng Phương pháp giải Gọi   , hai vectơ vng góc với hai mặt phẳng (P) , (Q) Khi   góc  hai mặt phẳng (P) (Q) tính theo cơng thức     Bài tốn 12 Tính khoảng cách hai điểm Phương pháp giải     Khoảng cách hai điểm là: Bài tốn 13: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp giải Cho điểm đường thẳng  có vectơ phương Tính khoảng cách từ đến  Đặt    , gọi hình chiếu  , điểm thuộc  lên  10 PHỤ LỤC Phụ lục Một số hình ảnh triển khai đề tài 54 Phụ lục Phiếu điều tra tính khả thi giải pháp đề tài giáo viên học sinh Thầy(Cơ) em vui lịng cho ý kiến vấn đề sau: Đánh dấu X vào mức độ thang đánh giá giải pháp Thang đánh giá giải pháp TT Các giải pháp Khơng Ít khả Khả Rất khả thi thi thi khả thi Củng cố kiến thức liên quan tiếp cận dạng toán HHKG phương pháp vectơ từ hồn thiện phương pháp giải dạng Rèn luyện thao tác tư cho HS thơng qua giải tốn HHKG phương pháp vectơ Phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua hướng dẫn HS sáng tác toán Phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh thơng qua vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ 55 Phụ lục Phiếu điều tra tính cấp thiết giải pháp đề tài giáo viên học sinh Thầy(Cơ) em vui lịng cho ý kiến vấn đề sau: Đánh dấu X vào mức độ thang đánh giá giải pháp Thang đánh giá giải pháp TT Các giải pháp Khơng Ít cấp Cấp cấp thiết thiết thiết Rất cấp thiết Củng cố kiến thức liên quan tiếp cận dạng toán HHKG phương pháp vectơ từ hồn thiện phương pháp giải dạng Rèn luyện thao tác tư cho HS thơng qua giải tốn HHKG phương pháp vectơ Phát triển lực tư lập luận toán học cho HS thông qua hướng dẫn HS sáng tác toán Phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh thơng qua vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ 56 Phụ lục Đề kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm đối chứng Bài Cho lăng trụ tam giác C' Gọi trọng tâm tứ diện cho Bài Cho hình chóp Tính trung điểm đối xứng với , qua , thuộc có cosin góc hai đường thẳng       Tính 57