CHỦ đề 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN

THẦY NGUYỄN PHƢƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10 -11-12 Đăng ký học vui lòng liên hệ trực tiếp với Thầy Phương_ĐT:0963.756.323 Hãy kết nối với Thầy qua Facebook: “Thầy Nguyễn Phương” để nhận kho tài liệu miễn phí CHƯƠNG 3- VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN - QUAN HỆ VUÔNG GÓC CHỦ ĐỀ 1- VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Định nghĩa phép tốn  Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng  Lưu ý:    + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC    + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC     + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hê thức trung điểm đoạn I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý  thẳng:   Cho    Ta có: IA  IB  ; OA  OB  2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có:         GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có:           GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG       + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a  0)  !k  R : b  ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có:      OA  kOB MA  k MB; OM  1 k Sự đồng phẳng ba vectơ  Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng       Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , a b khơng       phương Khi đó: a , b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb      Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý     Khi đó: ! m, n, p  R: x  ma  nb  pc Tích vơ hướng hai vectơ  Góc hai vectơ khơng gian:         AB  u , AC  v  (u , v )  BAC (0  BAC  1800 )  Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian:         + Cho u , v  Khi đó: u v  u v cos(u , v )      + Với u  hoaëc v  Qui ước: u v     + u  v  u v  Các dạng toán thường gặp: a) Chứng minh đẳng thức vec tơ b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng bốn điểm đồng phẳng, phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: - Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng       - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n  R: c  ma  nb a, b , c đồng phẳng     + Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a, b , c khơng đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho:     x  ma  nb  pc c) Tính tích vơ hướng cuả hai véc tơ khơng gian d) Tính độ dài đoạn thẳng, véctơ “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 2   2 + Để tính độ dài đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng sở a  a  a  a Vì để tính độ dài đoạn MN ta thực theo bước sau:    - Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a , b , c so cho độ dài chúng tính góc chúng tính     - Phân tích MN  ma  nb  pc      - Khi MN  MN  MN  ma  nb  pc   2 2 2        m a  n2 b  p c  2mn cos a , b  2np cos b , c  2mp cos c , a       e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng bốn điểm để giải tốn hình khơng gian Sử dụng kết     A , B, C , D bốn điểm đồng phẳng  DA  mDB  nDC  A , B, C , D bốn điểm đồng phẳng với điểm O ta có     OD  xOA  yOB  zOC x  y  z  B – BÀI TẬP       Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC ABC , M trung điểm BB Đặt CA  a , CB  b , AA  c Khẳng định sau đúng?             A AM  b  c  a B AM  a  c  b C AM  a  c  b D 2     AM  b  a  c Hướng dẫn giải: A' C' Chọn D B' Ta phân tích sau:       AM  AB  BM  CB  CA  BB M       A C  b  a  AA  b  a  c 2 B Câu 2: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành      A OA  OB  OC  OD  B OA  OC  OB  OD 1 1 C OA  OB  OC  OD D OA  OC  OB  OD 2 2 O Hướng dẫn giải: Chọn B Trước hết, điều kiện cần đủ để ABCD hình bình hành là: A    D BD  BA  BC Với điểm O khác A , B , C , D , ta có:          B BD  BA  BC  OD  OB  OA  OB  OC  OB C      OA  OC  OB  OD       Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA  a ; SB  b ; SC  c ;   SD  d Khẳng định sau đúng?                  A a  c  d  b B a  b  c  d C a  d  b  c D a  b  c  d  “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta phân tích sau:     SA  SC  SO  (do tính chất đường trung tuyến)     SB  SD  SO          SA  SC  SB  SD  a  c  d  b S  b  a  c  d A D O B C Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB  b ,     AC  c , AD  d Khẳng định sau đúng?         A MP  c  d  b B MP  d  b  c 2         C MP  c  b  d D MP  c  d  b 2 Hướng dẫn giải: A Chọn A  Ta phân tích:  b    M d MP  MC  MD (tính chất đường trung tuyến)  c        B  AC  AM  AD  AM  c  d  AM 2 P        c  d  AB  c  d  b C 2                   D   Câu 5: Cho hình hộp ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC   u ,       CA '  v , BD  x , DB  y Khẳng định sau đúng?           A 2OI   u  v  x  y  B 2OI    u  v  x  y  2           C 2OI   u  v  x  y  D 2OI    u  v  x  y  4 Hướng dẫn giải: A'   D' x Chọn D v Ta phân tích: B'            C' y u I u  v  AC   CA  AC  CC   CA  AA  AA           A x  y  BD  DB  BD  DD  DB  BB  BB  AA D        O  u  v  x  y  AA  4 AA  4.2OI B C       2OI    u  v  x  y  Câu 6: Cho hình hộp ABCD ABC D Gọi I K tâm hình bình hành ABBA A' BCC B Khẳng định sau sai? D'    A IK  AC  AC  2 B' C' B Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng    I C BD  IK 2 BC K   A D D Ba vectơ BD ; IK ; BC  không đồng phẳng Hướng dẫn giải:         B C “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” Chọn D A tính chất đường trung bình BAC tính chất hình bình hành ACC A B IK // AC nên bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng C việc ta phân tích:          BD  IK  BC  CD  AC  BC  CD  AD  DC     BC  BC  BC    D sai giá ba vectơ BD ; IK ; BC  song song trùng với mặt phẳng  ABCD  Do đó, theo định nghĩa đồng phẳng vectơ, ba vectơ đồng phẳng Câu 7: Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “ G trọng tâm tứ diện ABCD      GA  GB  GC  GD  ” Khẳng định sau sai? A G trung điểm đoạn IJ ( I , J trung điểm AB CD ) B G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD C G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC D Chưa thể xác định Hướng dẫn giải: A Chọn D Ta gọi I J trung điểm AB CD Từ giả thiết, ta biến đổi sau:            I GA  GB  GC  GD   2GI  2GJ   GI  GJ   G trung điểm đoạn IJ G Bằng việc chứng minh tương tự, ta chứng minh B D phương án B C phương án đúng, phương án D sai J C       Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt x  AB ; y  AC ; z  AD Khẳng định sau đúng?         A AG   x  y  z  B AG    x  y  z  3         C AG   x  y  z  D AG    x  y  z  3 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi M trung điểm CD A Ta phân tích:          AG  AB  BG  AB  BM  AB  AM  AB  x z 3              y  AB   AC  AD  AB   AB  AC  AD   x  y  z  2  B D       G M C “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”     Câu 9: Cho hình hộp ABCD ABC D có tâm O Đặt AB  a ; BC  b M điểm xác định    OM  a  b Khẳng định sau đúng? A M tâm hình bình hành ABBA B M tâm hình bình hành BCC B C M trung điểm BB D M trung điểm CC  Hướng dẫn giải: Chọn C A' Ta phân tích:         B' C' OM  a  b  AB  BC  AB  AD  DB 2 2 O  M trung điểm BB A        D'  a D  b B C             Câu 10: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x  2a  b; y  4a  2b; z  3b  2c Chọn khẳng định đúng?     A Hai vectơ y; z phương B Hai vectơ x; y phương      C Hai vectơ x; z phương D Ba vectơ x; y; z đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B     + Nhận thấy: y  2 x nên hai vectơ x; y phương Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trong khẳng định sau, khẳng định sai?      A Nếu ABCD hình bình hành OA  OB  OC  OD       B Nếu ABCD hình thang OA  OB  2OC  2OD       C Nếu OA  OB  OC  OD  ABCD hình bình hành      D Nếu OA  OB  2OC  2OD  ABCD hình thang Hướng dẫn giải: Chọn B Câu 12: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định đúng?       A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng       C CD1 , AD, A1C đồng phẳng D AB, AD, C1 A đồng phẳng Hướng dẫn giải: D Chọn C C  M , N , P, Q trung điểm AB, AA1 , DD1 , CD Ta có CD1 / /( MNPQ); AD / /  MNPQ  ; A1C / /( MNPQ )     CD1 , AD, A1C đồng phẳng A B D1 A1 C1 B1 “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”              Câu 13: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x  2a  b; y  a  b  c; z  3b  2c Chọn khẳng định đúng?    A Ba vectơ x; y; z đồng phẳng   C Hai vectơ x; b phương Hướng dẫn giải: Chọn A       Ta có: y  x  z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng Câu 14: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Tìm giá trị     AB  B1C1  DD1  k AC1 A k  B k  Hướng dẫn giải: Chọn B    B Hai vectơ x; a phương    D Ba vectơ x; y; z đôi phương         + Ta có: AB  B1C1  DD1  AB  BC  CC1  AC1 Nên k  k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: C k  D k  D C A B D1 C1 A1 B1   Câu 15: Cho hình hộp ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC   u ,       CA  v , BD  x , DB  y Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng?           A 2OI   (u  v  x  y ) B 2OI   (u  v  x  y )           C 2OI  (u  v  x  y ) D 2OI  (u  v  x  y ) Hướng dẫn giải: D Chọn A + Gọi J , K trung điểm AB , CD +Ta có: J            A 2OI  OJ  OK  OA  OB  OC  OD   (u  v  x  y )   K C B O D’ A’ C’ B’ “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”         Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt AA1  a, AB  b, AC  c, BC  d , đẳng thức sau, đẳng thức đúng?          A a  b  c  d  B a  b  c  d Hướng dẫn giải: Chọn C         + Dễ thấy: AB  BC  CA   b  d  c      C b  c  d     D a  b  c A C B A1 C1 B1 Câu 17: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hành BCGF Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?       A BD, AK , GF đồng phẳng B BD, IK , GF đồng phẳng       C BD, EK , GF đồng phẳng D BD, IK , GC đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B D  IK //( ABCD)     + GF //( ABCD)  IK , GF , BD đồng phẳng BD  (ABCD)  + Các véctơ câu A, C , D khơng thể có giá song song với mặt phẳng C A B K I H E G F Câu 18: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?    A Nếu giá ba vectơ a, b, c cắt đơi ba vectơ đồng phẳng     B Nếu ba vectơ a, b, c có vectơ ba vectơ đồng phẳng    C Nếu giá ba vectơ a, b, c song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng    D Nếu ba vectơ a, b, c có hai vectơ phương ba vectơ đồng phẳng “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” Hướng dẫn giải: Chọn A + Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng Câu 19: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?        A AC1  A1C  AC B AC1  CA1  2C1C        C AC1  A1C  AA1 D CA1  AC  CC1 Hướng dẫn giải: Chọn A D + Gọi O tâm hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra A C B O D1 C1 A1 B1 Câu 20: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây:      A Tứ giác ABCD hình bình hành AB  BC  CD  DA  O   B Tứ giác ABCD hình bình hành AB  CD     C Cho hình chóp S ABCD Nếu có SB  SD SA  SC    tứ giác ABCD hình bình hành D Tứ giác ABCD hình bình hành AB  AC  AD Hướng dẫn giải: Chọn C            SB  SD  SA  SC  SA  AB  SA  AD  SA  SA  AC     AB  AD  AC  ABCD hình bình hành   Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Ta có AB.EG bằng? A a 2 B a C a D a2 Hướng dẫn giải: Chọn B         AB.EG  AB EF  EH  AB.EF  AB.EH         AB  AB AD ( EH  AD)  a (Vì AB  AD )   “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” Câu 22: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là:         A OA  OB  OC  OD B OA  OC  OB  OD 2      2    C OA  OC  OB  OD D OA  OB  OC  OD  Hướng dẫn giải: Chọn C            OA  OC  OB  OD  OA  OA  AC  OA  AB  OA  BC     AC  AB  BC Câu 23: Cho hình hộp ABCD ABC D Gọi I K tâm hình bình hành ABB’ A’ BCC B Khẳng định sau sai ?    A Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng B IK  AC  AC    2    C Ba vectơ BD; IK ; B C  không đồng phẳng D BD  IK  BC Hướng dẫn giải: Chọn C   A Đúng IK , AC thuộc  BAC             B Đúng IK  IB  B ' K  a  b   a  c  b  c  AC  AC  2 2          C Sai IK  IB   B ' K  a  b   a  c  b  c 2      2    BD  IK  b  c  b  c  2c  2BC   ba véctơ đồng phẳng          D Đúng theo câu C  BD  IK  b  c  b  c  2c  BC   2BC Câu 24: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M , N cho AM  3MD , BN  NC Gọi P, Q trung điểm AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai?       A Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng B Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng       C Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng D Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng Chọn A                     MN  MA  AC  CN  MN  MA  AC  CN A Sai           MN  MD  DB  BN 3MN  3MD  3DB  3BN         4MN  AC  3BD  BC  BD, AC , MN khơng đồng phẳng B Đúng           MN  MP  PQ  QN      2MN  PQ  DC  MN  PQ  DC MN  MD  DC  CN     MN , DC , PQ : đồng phẳng   “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ”     C Đúng Bằng cách biểu diễn PQ tương tự ta có PQ  AB  DC    D Đúng Biểu diễn giống đáp án A ta có MN  AB  DC 4 Câu 25: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây:        a2 A AD  CB  BC  DA  B AB.BC         C AC AD  AC.CD D AB  CD hay AB.CD  Hướng dẫn giải: Chọn C   Vì ABCD tứ diện nên tam giác ABC , BCD, CDA, ABD tam giác          A Đúng AD  CB  BC  DA  DA  AD  BC  CB      a B Đúng AB.BC   BA.BC  a.a.cos 600  C Sai     a   a2 AC AD  a.a.cos 600  ; AC.CD  CA.CD  a.a.cos 600     2  D Đúng AB  CD  AB.CD        Câu 26: Cho tứ diện ABCD Đặt AB  a, AC  b, AD  c, gọi G trọng tâm tam giác BCD Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng?     A AG  a  b  c  B AG   D AG      C AG  a  b  c Hướng dẫn giải: Chọn B      a  b  c    a  b  c Gọi M trung điểm BC         AG  AB  BG  a  BM  a  BC  BD 3              a  AC  AB  AD  AB  a  2a  b  c  a  b  c 3         Câu 27: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Gọi M trung điểm AD Chọn đẳng thức “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 10          Do AD  D1C1  D1 A1  AD  D1 B1  A1 D1  D1 B1  A1 B1  DC nên     AD  D1C1  D1 A1  DC nên B       Do BC  BA  BB1  BD  DD1  BD1 nên C Câu 52: Cho tứ diện ABCD Gọi P , Q trung điểm AB CD Chọn khẳng định đúng?       A PQ  BC  AD B PQ  BC  AD       C PQ  BC  AD D PQ  BC  AD Hướng dẫn giải: : Chọn B.        Ta có : PQ  PB  BC  CQ PQ  PA  AD  DQ             nên 2PQ  PA  PB  BC  AD  CQ  DQ  BC  AD Vậy PQ  BC  AD Câu 53: Cho hình hộp ABCD ABC D M điểm AC cho AC  3MC Lấy N đoạn C D cho xCD  CN Với giá trị x MN //D 1 A x  B x  C x  D x  3 Hướng dẫn giải: : Chọn A             Câu 54: Cho hình hộp ABCD ABC D Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     BD  DD  BD  k BB A k  Hướng dẫn giải: : Chọn C B k  C k  D k      Ta có BD  DD  DB  BB nên k  Câu 55: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 19    A Vì I trung điểm đoạn AB nên từ O ta có: OI  OA  OB      B Vì AB  BC  CD  DA  nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng    C Vì NM  NP  nên N trung điểm đoạn NP       D Từ hệ thức AB  AC  AD ta suy ba vectơ AB , AC , AD đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn B     Do AB  BC  CD  DA  với điểm A, B, C , D nên câu B sai Câu 56: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai?    A Ba véctơ a, b, c đồng phẳng ba véctơ có giá thuộc mặt phẳng B Ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi ba tia khơng đồng phẳng      C Cho hai véctơ không phương a b Khi ba véctơ a, b, c đồng phẳng có    cặp số m, n cho c  ma  nb , cặp số m, n        D Nếu có ma  nb  pc  ba số m, n, p khác ba véctơ a, b, c đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn A    Ba véctơ a, b, c đồng phẳng ba véctơ có giá song song thuộc mặt phẳng Câu A sai Câu 57: Gọi M , N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng      thức vectơ: IA  (2k  1) IB  k IC  ID  A k  B k  C k  D k  Hướng dẫn giải: : Chọn C      Ta chứng minh IA  IB  IC  ID  nên k     Câu 58: Cho ba vectơ a, b, c Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?        A Nếu a, b, c không đồng phẳng từ ma  nb  pc  ta suy m  n  p         B Nếu có ma  nb  pc  , m  n  p  a, b, c đồng phẳng        C Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m  n  p  ta có ma  nb  pc  a, b, c đồng phẳng       D Nếu giá a, b, c đồng qui a, b, c đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn D Câu D sai Ví dụ phản chứng cạnh hình chóp tam giác đồng qui đỉnh chúng không đồng phẳng       Câu 59: Cho hình lăng trụ ABCABC  , M trung điểm BB’ Đặt CA  a , CB  b , AA '  c Khẳng định sau đúng?             A AM  a  c  b B AM  b  c  a C AM  b  a  c D 2     AM  a  c  b Hướng dẫn giải: : Chọn C          Ta có AM  AB  BM  CB  CA  BB  b  a  c 2   “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 20         Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác ABCABC  Đặt AA  a , AB  b, AC  c, BC  d Trong biểu thức véctơ sau đây, biểu thức                A a  b  c B a  b  c  d  C b  c  d  D a  b  c  d Hướng dẫn giải: Chọn C          Ta có: b  c  d  AB  AC  BC  CB  BC  Câu 61: Cho tứ diện ABCD I trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức         A 6SI  SA  SB  SC B SI  SA  SB  SC         C SI  SA  SB  SC D SI  SA  SB  SC 3 Hướng dẫn giải: Chọn D         Vì I trọng tâm tam giác ABC nên SA  SB  SC  3SI  SI  SA  SB  SC 3 Câu 62: Trong mệnh đề sau, mệnh đề A Ba véctơ đồng phẳng ba véctơ nằm mặt phẳng       B Ba véctơ a, b, c đồng phẳng có c  ma  nb với m, n số      C Ba véctơ không đồng phẳng có d  ma  nb  pc với d véctơ D Ba véctơ đồng phẳng ba véctơ có giá song song với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn D Câu A sai ba véctơ đồng phẳng ba véctơ có giá song song với mặt phẳng   Câu B sai thiếu điều kiện véctơ a, b không phương         Câu C sai d  ma  nb  pc với d véctơ khơng phải điều kiện để véctơ a, b, c đồng phẳng Câu 63: Cho hình hộp ABCD ABC D Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:      AC  BA  k DB  C ' D      A k  B k  C k  D k  Hướng dẫn giải: Chọn B             Với k  ta có: AC  BA '  DB  C ' D  AC  BA '  C 'B  AC  C 'A'  AC  CA    “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 21 Câu 64: Cho hình chóp S ABC Lấy điểm A, B, C  thuộc tia SA, SB, SC cho SA  a.SA, SB  b.SB , SC  c.SC  , a, b, c số thay đổi Tìm mối liên hệ a, b, c để mặt phẳng  ABC   qua trọng tâm tam giác ABC A a  b  c  B a  b  c  C a  b  c  Hướng dẫn giải: Chọn A Nếu a  b  c  SA  SA, SB  SB , SC  SC  nên  ABC    ABC   D a  b  c  Suy  ABC   qua trọng tâm tam giác ABC => a  b  c  đáp án         Câu 65: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA  a , SB  b, SC  c, SD  d Khẳng định sau                  A a  c  d  b B a  c  d  b  C a  d  b  c D a  b  c  d Hướng dẫn giải: Chọn A          a  c  SA  SC  2SO Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có:       => a  c  d  b b  d  SB  SD  SO Câu 66: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai         A AG  AB  AC  AD B AG  AB  AC  AD           C OG  OA  OB  OC  OD D GA  GB  GC  GD  Hướng dẫn giải: Chọn A      Theo giả thuyết với O điểm ta ln có: OG  OA  OB  OC  OD Ta thay điểm O điểm A ta có:          AG  AA  AB  AC  AD  AG  AB  AC  AD 4     Do AG  AB  AC  AD sai Câu 67: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 với tâm O Chọn đẳng thức sai         A AB  AA1  AD  DD1 B AC1  AB  AD  AA1            C AB  BC1  CD  D1 A  D AB  BC  CC1  AD1  D1O  OC1 Hướng dẫn giải: Chọn A             Ta có AB  AA1  AB1 , AD  DD1  AD1 mà AB1  AD1 nên AB  AA1  AD  DD1 sai     Câu 68: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB  b , AC  c ,   AD  d Khẳng định sau         A MP  (c  d  b) B MP  (d  b  c ) 2         C MP  (c  b  d ) D MP  (c  d  b) 2 Hướng dẫn giải: Chọn D               “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 22              Ta có c  d  b  AC  AD  AB  AP  AM  MP  MP  (c  d  b) Câu 69: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định       A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B BA1 , BD1 , BD đồng phẳng       C BA1 , BD1 , BC đồng phẳng D BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn C    Ta có véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng chúng có giá nằm mặt phẳng  BCD1 A1        Câu 70: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt x  AB; y  AC ; z  AD Khẳng định sau đúng?         A AG  ( x  y  z ) B AG   ( x  y  z ) 3         C AG  ( x  y  z ) D AG   ( x  y  z ) 3 Hướng dẫn giải: Chọn A          Ta có: AG  AB  BG; AG  AC  CG ; AG  AD  DG               3AG  AB  AC  AD  BG  CG  DG  AB  AC  AD  x  y  z     Vì G trọng tâm tam giác BCD nên BG  CG  DG  Câu 71: Cho hình chóp S ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai?     A Nếu ABCD hình bình hành SB  SD  SA  SC     B Nếu SB  SD  SA  SC ABCD hình bình hành     C Nếu ABCD hình thang SB  SD  SA  SC     D Nếu SB  SD  SA  SC ABCD hình thang Hướng dẫn giải: Chọn C Đáp án C sai ABCD hình thang có đáy AD BC ta có     SD  SB  SC  SA Câu 72: Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k    thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN  k AD  BC    A k  B k   D k  C k  Hướng dẫn giải: Chọn B            MN  MA  AD  DN  Ta có:       MN  AD  BC  MA  MB  DN  CN MN  MB  BC  CN        Mà M N trung điểm AB CD nên MA  BM   MB; DN  NC  CN       Do 2MN  AD  BC  MN  AD  BC       Câu 73: Cho tứ diện ABCD Đặt AB  a , AC  b, AD  c, gọi M trung điểm BC Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?         A DM  a  b  2c B DM  2a  b  c 2       “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 23         C DM  a  2b  c D DM  a  2b  c 2 Hướng dẫn giải: Chọn A            Ta có: DM  DA  AB  BM  AB  AD  BC  AB  AD  BA  AC 2           1 1  AB  AC  AD  a  b  c  a  b  2c 2 2 Câu 74: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tìm giá trị k thích hợp điền vào     đẳng thức vectơ: DA  DB  DC  k DG 1 A k  B k  C k  D k  Hướng dẫn giải: Chọn C     Chứng minh tương tự câu 61 ta có DA  DB  DC  3DG     Câu 75: Cho tứ diện ABCD Gọi E , F điểm thỏa nãm EA  kEB , FD  kFC P , Q , R       điểm xác định PA  lPD , QE  lQF , RB  lRC Chứng minh ba điểm P , Q , R thẳng hàng.Khẳng định sau đúng? A P, Q, R thẳng hàng B P, Q, R không đồng phẳng C P, Q, R không thẳng hàng D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải:         Chọn C     Ta có PQ  PA  AE  EQ 1     PQ  PD  DF  FQ       Từ   ta có l PQ  l PD  l DF  lFQ  3 A Lấy 1   3 theo vế ta có E    1 l  PQ  AE  lDF p   l   PQ  AE  DF Q 1 l 1 l B      l Tương tự QR  EB  FC R 1 l 1 l D     F Mặt khác EA  k EB, FD  k FC nên C    l   k  kl  PQ  AE  DF  EB  FC   kQR 1 l 1 l 1 l 1 l Vậy P, Q, R thẳng hàng Câu 76: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD , G trung điểm IJ    a) Giả sử a.IJ  AC  BD giá trị a là? A B C 1 D b) Cho đẵng thức sau, đẵng thức đúng?           A GA  GB  GC  GD  B GA  GB  GC  GD  2IJ           C GA  GB  GC  GD  JI D GA  GB  GC  GD  2 JI “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 24     c) Xác định vị trí M để MA  MB  MC  MD nhỏ A Trung điểm AB B Trùng với G Hướng dẫn giải:         IJ  IA  AC  CJ a)      IJ  AC  BD  IJ  IB  BD  DJ         b) GA  GB  GC  GD  GA  GB  GC  GD    C Trung điểm AC A  I       2GI  2GJ  GI  GJ       c) Ta có MA  MB  MC  MD  MG nên     MA  MB  MC  MD nhỏ M  G  D Trung điểm CD  G B R D J C Câu 77: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định vị trí điểm M , N AC DC ' MN bằng? BD ' B cho MN  BD ' Tính tỉ số Hướng dẫn giải: A C D Chọn A       BA  a, BC  b, BB '  c     Giả sử AM  x AC , DN  y DC '        Dễ dàng có biểu diễn BM  1  x  a  xb BN  1  y  a  b  yc     Từ suy MN   x  y  a  1  x  b  yc 1      Để MN  BD ' MN  zBD '  z a  b  c         Từ 1   ta có:  x  y  a  1  x  b  yc =z a  b  c       x  y  z  a  1  x  z  b   y  z  c =0    D' A'   x  x  y  z      1  x  z    y  y  z     z   C' D' N D C M A B     Vậy điểm M , N xác định AM  AC , DN  DC ' 3    MN Ta có MN  zBD '  BD '   BD ' Câu 78: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a góc    B ' A ' D '  600 , B ' A' A  D ' A ' A  1200 a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A ' D ; AC ' với B ' D “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 25 A  AB, A ' D   600 ;  AC ', B ' D   900 C  AB, A ' D   400 ;  AC ', B ' D   900 B  AB, A ' D   500 ;  AC ', B ' D   900 D  AB, A ' D   300 ;  AC ', B ' D   900 b) Tính diện tích tứ giác A ' B ' CD ACC ' A ' A S A' B 'CD  a ; S AA' C 'C  a 2 B S A ' B 'CD  a ; S AA' C 'C  a 2 C S A ' B ' CD  a ; S AA' C 'C  2a 2 D S A ' B 'CD  a ; S AA' C 'C  a 2 c) Tính góc đường thẳng AC ' với đường thẳng AB, AD, AA ' A  AC ', AB   AC ', AD   AC ', AA '  arccos B  AC ', AB   AC ', AD   AC ', AA '  arccos C  AC ', AB   AC ', AD   AC ', AA '  arccos D  AC ', AB   AC ', AD   AC ', AA '  arccos                         Hướng dẫn giải:      a) Đặt AA '  a, A ' B '  b, A ' D '  c    Ta có A ' D  a  c nên   cos  AB, A ' D  cos AB, A ' D     D'      a ac AB.A ' D        AB A ' D a ac    a2   Để ý a  c  a , a a  c  Từ cos  AB, A ' D    AB, A ' D   600        Ta có AC '  b  c  a, B ' D  a  b  c , từ tính        AC 'B ' D  b  c  a a  b  c    AC ', B ' D   900   A'    C' B' D C    A  B                 b) A ' C  a  b  c, B ' D  a  b  c  A ' C B ' D  a  b  c a  b  c    A ' C  B ' D nên S A ' B ' DC    A ' C B ' D Dễ dàng tính A ' C  a 2, B ' D  a  S A ' B ' CD  a 2a  a 2   S AA' C ' C  AA ' AC sin AA ', AC , AA '  a, Ac  a       Tính sin AA ', AC   cos AA ', AC      “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 26   Vậy S AA' C 'C  AA ' AC sin AA ', AC  a.a  a2 c) ĐS:  AC ', AB   AC ', AD   AC ', AA '  arccos         Câu 79: Cho tam giác ABC , cơng thức tính diện tích sau AB AC  BC 2 1   AB AC  AB AC C S  2 Hướng dẫn giải:  1   AB AC  AB AC 2   D S  AB AC  AB.AC  B S  A S      Chọn D 1 ABAC sin A  AB AB sin A  AB AC 1  cos A  2     AB AC  AB AC Câu Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M , N , P, Q thuộc AB, BC , CD, DA cho         AM  AB , BN  BC , AQ  AD, DP  k DC 3 Hãy xác định k để M , N , P, Q đồng phẳng 1 1 A k  B k  C k  D k  Hướng dẫn giải: Chọn A A Cách      Ta có AM  AB  BM  BA   BA M 3   Q  BM  BA   Lại có BN  BC MN  AC B Vậy Nếu M , N , P, Q đồng phẳng S ABC     MNPQ    ACD   PQ  AC N    PC QA 1 C    hay DP  DC  k  PD QD 2       Cách Đặt DA  a, DB  b, DC  c khơng khó khăn ta có biểu diễn       2 1 1 1 MN   a  b , MP   a  b  kc , MN   a  b 3 3    Các điểm M , N , P, Q đồng phẳng vec tơ MN , MP , MQ đồng phẳng     x, y : MP  xMN  yMQ 2 1          a  b  kc  x   a  c   y   a  b  3       Do vec tơ a, b,c không đồng phẳng nên điều tương đương với D P “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 27   x  y      x  , y  1, k   y    2 3 x  k    CSA    Gọi    mặt phẳng Câu 80: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  a ,  ASB  BSC qua A trung điểm SB, SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng    a2 cos   16cos   a2 C S  cos2   6cos   Hướng dẫn giải: a2 cos2   6cos   a2 D S  cos   16cos   A S  B S  Chọn D Gọi B ', C ' trung điểm SB, SC Thiết diện tam giác AB ' C '   Theo tập S AB 'C '  AB '2 AC '2  AB ' AC ' S      Ta có AB '  SB '  SA  SB  SA  B'  AB '2  SB  SA2  SASB C' a    cos   Tính tương tự, ta có B   a AB ' AC '    3cos    Vậy SAB' C '   2 a4 a4  cos      cos    16 16 A C a2  cos2   16cos   Câu 81: Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng   cắt tia SA, SB, SC , SG ( G trọng tâm tam giác ABC ) điểm A ', B ', C ', G ' Ta có A Hướng dẫn giải: B SA SB SC SG   k Hỏi k bao nhiêu? SA ' SB ' SC ' SG ' C D S Chọn A Do G trọng tâm ABC nên         GA  GB  GC   3SG  SA  SB  SC SG  SA  SB  3 SG '  SA '  SB ' SG ' SA ' SB ' SC   SC ' SC ' Mặt khác A ', B ', C ', G ' đồng phẳng nên A' B' G' C' A B G C “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 28 SA SB SC SG   3 SA ' SB ' SC ' SG ' Chú ý: Ta có kết quen thuộc hình học phẳng :     Nếu M điểm thuộc miền tam giác ABC S a MA  Sb MB  Sc MC  S a , Sb , Sc diện tích tam giác MBC , MCA, MAB Vì ta có tốn tổng qt sau: Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng   cắt tia SA, SB , SC , SM ( M điểm thuộc miền tam giác ABC ) điểm A ', B ', C ', M ' S a SA Sb SB Sc SC S SM    ( Với S a , Sb , Sc diện tích tam giác SA ' SB ' SC ' SM ' MBC , MCA, MAB S diện tích tam giác ABC ) Chứng minh: Câu 82: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng   cắt cạnh SA, SB, SC , SD A ', B ', C ', D ' Đẳng thức sau đúng? SA SC SB SD SA SC SB SD A 2  2 B    SA ' SC ' SB ' SD ' SA ' SC ' SB ' SD ' SA SC SB SD SA SC SB SD C    D    SA ' SC ' SB ' SD ' SA ' SC ' SB ' SD ' Hướng dẫn giải: S      Gọi O tâm hình bình hành ABCD SA  SC  SB  SD  2SO SA  SB  SB  SC   SA '  SC '  SB '  SC ' Do A ', B ', C ', D ' đồng phẳng SA ' SB ' SB ' SC ' D' SA SC SB SD A' nên đẳng thức     SA ' SC ' SB ' SD ' C' B' C D O A B Câu 83: Cho hình chóp S ABC có SA  a, SB  b, SC  c Một mặt phẳng   qua trọng tâm tam giác ABC , cắt cạnh SA, SB, SC A ', B ', C ' Tìm giá trị nhỏ 1   2 SA ' SB ' SC '2 2 A B C D 2 2 2 a b c a b c a b c a  b2  c Hướng dẫn giải: Chọn D     Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có 3SG  SA  SB  SC SA  SB  SC   SA '  SB '  SC ' SA ' SB ' SC ' SA SB SC a b c Mà G , A ', B ', C ' đồng phẳng nên   3   3 SA ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC ' Theo BĐT Cauchy schwarz: 1  b c    a Ta có    a  b2  c2       2   SA ' SB ' SC '   SA ' SB ' SC '  “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 29 1    2 SA ' SB ' SC ' a  b2  c2 Đẳng thức xảy 1 a b c   kết hợp với    ta aSA ' bSB ' cSC ' SA ' SB ' SC ' a  b2  c a  b2  c2 a  b2  c SA '  , SB '  , SC '  3a 3b 3c 1 Vậy GTNN   2 SA ' SB ' SC ' a  b2  c Câu 84: Cho tứ diện ABCD , M điểm nằm tứ diện Các đường thẳng AM , BM , CM , DM  cắt mặt  BCD  ,  CDA ,  DAB  ,  ABC  A ', B ', C ', D ' Mặt phẳng   qua M song song với  BCD  cắt A ' B ', A ' C ', A ' D ' điểm B1 , C1 , D1 Khẳng định sau Chứng minh M trọng tâm tam giác B1C1 D1 A M trọng tâm tam giác B1C1 D1 B M trực tâm tam giác B1C1 D1 C M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B1C1 D1 D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác B1C1 D1 Hướng dẫn giải: Chọn D Vì M nằm tứ diện ABCD nên      tồn x, y , z , t  cho xMA  yMB  zMC  tMD  1 Gọi   mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng  BCD      BCD   Ta có  BB ' A '      MB1  MB1  BA '   BB ' A '    BCD   BA ' MB1 MB '  MB '  Do   MB1  BA '   BA ' BB ' BB ' Trong 1 , chiếu vec tơ lên đường thẳng BB ' theo phương A B' M B1 B A'  ACD  ta được:         xMB '  yMB  zMB '  tMB '    x  y  z  MB '  yMB    MB ' y   x  y  z  t  MB '  yBB '   BB ' x  y  z  t   y BA '  3 Từ   suy MB1  x y z t   z CA '   Tương tự ta có MC1  x y zt    z MD1  DA '   x y  z t C “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 30 D Mặt khác chiếu vec tơ 1 lên mặt phẳng  BCD  theo phương AA ' tì thu     y A ' B  z A ' C  t A ' D  Vậy từ  3 ,   ,   ta có        MB1  MC1  MD1  yBA '  zCA '  t DA '  , hay M trọng tâm tam giác B1C1 D1 x y  z t Câu 85: Cho tứ diện ABCD có BC  DA  a , CA  DB  b , AB  DC  c Gọi S diện tích tồn phần ( tổng diện tích tất mặt) Tính giá trị lớn 1  2 2 2 ab bc c a 2 A B C D S S S S Hướng dẫn giải: Do tứ diện ABCD có BC  DA  a, CA  DB  b, AB  DC  c nên BCD  ADC  DAB  CBA abc Gọi S ' diện tích R bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt S  S '  , nên bất R 1 đẳng thức cần chứng minh 2  2  2   a  b  c  R ab bc c a S Theo cơng thức Leibbnitz: Với điểm M G trọng tâm tam giác ABC MA2  MB  MC  GA2  GB  BC  3MG   a  b  c  9MG  Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta R  aa  b  c  9OG  a  b  c Câu 86: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' điểm M , N , P xác định       MA  k MB '  k   , NB  xNC ', PC  yPD ' Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N , P thẳng hàng k 2k  2k 1 k A x  ,y B x  ,y C x  ,y D x  ,y  2k k  2k 2k 2k 2k 1 k k Hướng dẫn giải:   Chọn D       Đặt AD  a, AB  b, AA '  c Từ giả thiết ta có :  k   AM  b  c 1 k 1      y   x   c  b  3 AN  b  a  c   AP  a  b  x 1 y 1 Từ ta có    x    x k  MN  AN  AM  a b  c x 1 k   x 1 k    x y    c  x 1 y 1      y   y k  MP  AP  AM  a  (  )b    c y 1 k 1  y 1 k 1  Ba điểm M , N , P thẳng hàng tồn  cho  P      D' C' B' A' D C M A B N “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 31   MN   MP *       1 k Thay vec tơ MN , MP vào  * lưu ý a, b, c không đồng phẳng ta tính x  ,y  1 k k Câu 87: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Một đường thẳng  cắt đường thẳng AA ', BC , C ' D ' lần   MA lượt M , N , P cho NM  NP Tính MA ' MA MA A 1 B  MA ' MA ' Hướng dẫn giải: C MA 2 MA ' D MA  MA ' Chọn C       Đặt AD  a, AB  b, AA '  c    Vì M  AA ' nên AM  k AA '  kc      N  BC  BN  lBC  la , P  C ' D '  C ' P  mb        Ta có NM  NB  BA  AM  la  b  kc         NP  BN  BB '  B ' C '  C ' P  (1  l ) a  mb  c         Do NM  NP  la  b  kc  2[ 1  l  a  mb  c ] l  1  l   MA   1  2m  k  2, m   , l  Vậy MA ' k   A D C B N D' A' P B' C' M Câu 88: Giả sử M , N , P ba điểm nằm ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC Gọi I giao điểm ba mặt phẳng  BCM  ,  CAN  ,  ABP  J giao điểm ba mặt phẳng  ANP  ,  BPM  ,  CMN  Ta S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức sau đúng? MS NS PS JS MS NS PS JS A     B     MA NB PC JI MA NB PC JI MS NS PS JS MS NS PS JS C     D   1  MA NB PC JI MA NB PC JI Hướng dẫn giải: Chọn D S Goi E  BP  CN , F  CM  AP, T  AN  BM Trong  BCM  có I  BF  CT  ANP  có NF  PT  J       Đặt SA  a, SB  b, SC  c       SM  xMA, SN  y NB , Sp  z PC  x   y   z  a, SN  b, SP  c  x  0, y  0, z   Ta có SM  x 1 y 1 z 1 M P F T N J E I A B “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 32 C     ST   SM  1    SB     T  AN Do T  AN  BM nên         SM  1    SB   SN  1    SA T  BM  ST   SN  1    SA  y     x   a  1    b  b  1    a Vì a, b khơng phương nên ta có x 1 y 1 x   x       x    x  y   x y    ST  a b  y y x  y 1 x  y 1     1  x  y 1  y  Hồn tồn tương tự ta có :       y z z x SE  b c, SF  c a y  z 1 y  z 1 z  x 1 z  x 1 Làm tương tự hai giao điểm I  BF  CT NF  PT  J ta :         1 SI  xa  yb  zc , SJ  xa  yb  zc x  y  z 1 x y z2  x  y  z     SI  SJ   x  y  z  1 IJ Suy SJ  x y z2 SI SM SN SP Vậy S , I , J thẳng hàng  x  y  z 1     IJ MA NB PC     “Sứ mệnh Thầy Phương làm cho học sinh thấy HỌC TOÁN LÀ NIỀM VUI GIẢI TOÁN LÀ NIỀM ĐAM MÊ” 33 ...    A Sai B1M  B1 B  BM  BB1  BA  BD  BB1  B1 A1  B1D1 2         BB1  B1 A1  B1 A1  B1C1  BB1  B1 A1  B1C1 2 B Đúng   ...     C1M  C1C  CM  C1C  CA  CD  C1C  C1 A1  C1D1 2         C1C  C1 B1  C1 D1  C1 D1  C1C  C1D1  C1B1 2 C Sai theo câu B suy... Do AD  D1C1  D1 A1  AD  D1 B1  A1 D1  D1 B1  A1 B1  DC nên     AD  D1C1  D1 A1  DC nên B       Do BC  BA  BB1  BD  DD1  BD1 nên C Câu