Bộ đề thi chính thức vào 10 công lập chuyên sở hà nội

MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Đề Đáp án ĐỀ CHUNG NỘI DUNG TRANG Đề Đáp án ĐỀ CHUYÊN Năm học 2000 – 2001 39 Năm học 2016 – 2017 (Chuyên Toán) 25 120 Năm học 2001 – 2002 42 Năm học 2017 – 2018 (Chuyên Toán) 26 126 Năm học 2002 – 2003 46 Năm học 2017 – 2018 (Chuyên Tin) 27 131 Năm học 2003 – 2004 49 Năm học 2018 – 2019 (Chuyên Toán) 28 136 Năm học 2004 – 2005 53 Năm học 2018 – 2019 (Chuyên Tin) 29 141 Năm học 2006 – 2007 56 Năm học 2019 – 2020 (Chuyên Toán) 30 144 Năm học 2007 – 2008 59 Năm học 2019 – 2020 (Chuyên Tin) 31 148 Năm học 2008 – 2009 10 61 Năm học 2020 – 2021 (Chuyên Toán) 32 152 Năm học 2009 – 2010 11 65 Năm học 2020 – 2021 (Chuyên Tin) 33 157 Năm học 2010 – 2011 12 68 Năm học 2021 – 2022 (Chuyên Toán) 34 161 Năm học 2011 – 2012 13 71 Năm học 2021 – 2022 (Chuyên Tin) 35 166 Năm học 2012 – 2013 14 74 Năm học 2022 – 2023 (Chuyên Toán) 36 170 Năm học 2013 – 2014 15 78 Năm học 2022 – 2023 (Chuyên Tin) 37 174 Năm học 2014 – 2015 16 82 Năm học 2015 – 2016 17 86 Năm học 2016 – 2017 18 90 Năm học 2017 – 2018 19 94 Năm học 2018 – 2019 20 98 Năm học 2019 – 2020 21 102 Năm học 2020 – 2021 22 107 Năm học 2021 – 2022 23 111 Năm học 2022 – 2023 24 116 www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2000 – 2001 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang -A Lý thuyết: Học sinh chọn hai đề sau: Đề 1: Thế phép khử mẫu biểu thức lây Viết công thức tổng quát 2 1  2 Đề 2: Phát biểu chứng minh định lí góc có đỉnh bên đường trịn B Bài tốn bắt buộc: Áp dụng tính:   x 4   x 2 x   :   Câu I Cho biểu thức: P    x    x x   x x    a) Rút gọn P   b) Tính giá trị P biết x   c) Tìm giá trị n đề có x thoả mãn P   x 1  x  n Câu II Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một ca nơ chạy sơng giờ, xi dịng 81km ngược dịng 105km Một lần khác chạy khúc sơng đó, ca nơ chạy giờ, xi dịng 54km ngược dịng 42km Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dịng nước vận tốc riêng ca nơ khơng đổi Câu III Cho đường trịn  O  đường kính AB  2R , dây MN vng góc với dây AB I cho IA  IB Trên đoạn MI lấy điểm E (E khác M I) Tia AE cắt đường tròn điểm thứ hai K a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp b) Chứng minh tam giác AME, AKM đồng dạng AM2  AE.AK c) Chứng minh AE.AK  BI.BA  4R2 d) Xác định vị trí điểm I cho chu vi tam giác MIO đạt giá trị lớn - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2001 – 2002 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang -A Lý thuyết: Học sinh chọn hai đề sau: Đề 1: Phát biếu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Áp dụng: Cho hai hàm số bậc y  0,2x  y   6x Hỏi hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, sao? Đề 2: Nêu dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường trịn B Bài tốn bắt buộc:  x2   x x 4 Câu I Cho biểu thức P   x     :  x    x  1  x   a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P  c) Tìm giá trị nhỏ P Câu II Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một cơng nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định Sau làm với suất dự kiến, người cải tiến thao tác nên tăng suất sản phẩm hoàn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính suất dự kiến ban đầu Câu III Cho đường tròn  O  đường kính AB cố định đường kính EF ( E khác A, B) Tiếp tuyến B với đường tròn cắt tia AE, AF H, K Từ A kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt HK M a) Chứng minh tứ giác AEBF hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác EFKH nội tiếp đường tròn c) Chứng minh AM trung tuyến tam giác AHK d) Gọi P, Q trung điểm tương ứng HB, BK , xác định vị trí đường kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2002 – 2003 Môn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang -A Lý thuyết: Học sinh chọn hai đề sau: Đề 1: Phát biểu viết dạng tổng quát qui tắc khai phương tích Áp dụng tính: P  50  Đề 2: Định nghĩa đường trịn Chứng minh đường kính dây lớn đường trịn B Bài tốn bắt buộc:  x 8x   x     Câu I Cho biểu thức P   :  2 x  x  x2 x x     a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P  1 c) Tìm m để với giá trị x  ta có: m   x  P  x  Câu II Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức 18% , tổ II vượt mức 21% , thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch? Câu III Cho đường trịn  O  , đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN , cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E AI  a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM AM2  AE.AC c) Chứng minh AE.AC  AI.IB  AI2 d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2003 – 2004 Môn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang -A Lý thuyết: Học sinh chọn hai đề sau: Đề 1: Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số nghiệm Hỏi tập nghiệm chung phương trình: x  4y  x  3y  4 Đề 2: Phát biểu định lý góc có đỉnh bên ngồi đường tròn Chứng minh định lý trường hợp hai cạnh góc cắt đường trịn B Bài tốn bắt buộc:    x 1  x   Câu I Cho biểu thức P   x   : x   x x  x   a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x  2 c) Tìm giá trị x thoả mãn P x  x   x  Câu II Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai bị điều làm việc khác, tổ hồn thành nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau hồn thành cơng việc Câu III Cho đường tròn  O; R  , đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm phân biệt A, B Từ điểm C d ( C nằm ngồi đường trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN tới đường tròn (M, N thuộc O) Gọi H trung điểm AB , đường thẳng OH cắt tia CN K a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N thuộc đường tròn b) Chứng minh KN.KC  KH.KO c) Đoạn thẳng CO cắt  O  I , chứng minh I cách đường thẳng CM, CN, MN d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí điểm C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2004 – 2005 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang -A Lý thuyết: Học sinh chọn hai đề sau: Đề 1: Nêu điều kiện để A có nghĩa Áp dụng: Với giá trị x 2x  có nghĩa Đề 2: Phát biểu chứng minh định lý góc có đỉnh bên đường trịn B Bài tốn bắt buộc:  x 4 2 x x  Câu I Cho biểu thức P     :   x 2 x x  x x      a) Rút gon P b) Tính giá trị P x  3 c) Tìm m để có x thỏa mãn P  mx x  2mx  Câu II Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Theo kế hoạch, cơng nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm thời gian định Nhưng cải tiến kỹ thuật nên người cơng nhân làm thêm sản phẩm Vì vậy, hồn thành kế hoạch sớm dự định 30 phút mà vượt mức sản phẩm Hỏi theo kế hoạch, người phải làm sản phẩm? Câu III Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M tùy ý A B Đường trịn đường kính BM cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Các đường thẳng CM, AE cắt đường tròn điểm thứ hai H K a) Chứng minh tứ giác AMEC tứ giác nội tiếp   KHM  b) Chứng minh ACM c) Chứng minh đường thẳng BH, EM AC đồng quy d) Giả sử AC  AB , xác định vị trí M để tứ giác AHBC hình thang cân - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2006 – 2007 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang   P  Câu I Cho biểu thức    a3 a 2 a 2  a 1    a a  1  :    a 1 a 1 a 1    a) Rút gọn biểu thức P a 1   P Câu II Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một ca nơ xi dịng khúc sơng từ bến A đến bến B dài 80km , sau lại ngược dịng b) Tìm a để đến bến C cách bến B dài 72km , thời gian ca nô xuôi dịng thời gian ngược dịng 15 phút Tính vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dịng nước 4km/h Câu III Tìm tọa độ giao điểm A B đồ thị hàm số y  2x  y  x2 Gọi D C hình chiếu vng góc A B trục hồnh Tính diện tích tứ giác ABCD Câu IV Cho đường trịn  O  đường kính AB  2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính tích AH.AK theo R c ) Xác định vị trí K để tồng KM  KN  KB  đạt giá trị lớn tính giá trị lớn   Câu V Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y  Chứng minh x2 y2 x2  y  - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007 – 2008 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang -Câu I Cho biều thức P  x   x 4 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biều thức P b) Tìm x để P  Câu II Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B A , người tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B Câu III Cho phương trình x2  bx  c  a) Giải phương trình b  3, c  b) Tìm b, c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng Câu IV Cho đường tròn  O; R  tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với A AH  R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d , đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B ( E nằm B H )   EAH  tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH a) Chứng minh ABE b) Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC , đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh tứ giác AHEK tứ giác nội tiếp c) Xác định vị trí H để AB  R Câu V Cho đường thẳng d : y   m   x  Tìm m để khoảng cách từ gốc độ đến đường thẳng lớn - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang  x  x  Câu I Cho biểu thức P   :  x  x x  x   a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x  13 c) Tìm x để P  Câu II Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I sản xuất vượt mức 15% tổ II sản xuất vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy? Câu III Cho Parabol  P  : y  x2 đường thẳng  d  : y  mx  a ) Chứng minh với giá trị m , đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt b) Gọi A, B hai giao điểm  d   P  Tính diện tích tam giác OAB theo m ( O gốc tọa độ) Câu IV Cho đường trịn  O  có đường kính AB  2R E điểm đường trịn ( E  cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn O điểm khác A B ) Đường phân giác AEB   thứ hai K a) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA b) Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE , chứng minh đường tròn I  bán kính IE tiếp xúc với đường trịn  O  E tiếp xúc với đường thẳng AB F c) Chứng minh MN // AB , M N giao điểm thứ hai AE, BE với đường tròn I  d) Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn  O  , với P giao điểm NF AK ; Q giao điểm MF BK Câu V Tìm giá trị nhỏ A   x     x     x    x   4 2 - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 10  Từ (2) (3)  x2    x  x     x2        1   x  1      x  1  3      x   x2     2 2  x2     x2    x2  x    x2    x x x 2  Mà:  bc 2 7a 2) 2a  2ab  abc  2a  ab(c  2)  2a  a    2a  2ab  abc  2a  a       Ta chứng minh: 2a  a  a2  14a  49  18  a3  14a2  57a  72   (a  3)2 (a  8)  với  a    60 AB  AC Các đường Câu IV Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  , với BAC thẳng BO, CO cắt đoạn thẳng AC, AB M, N Gọi F điểm cung BC lớn 1) Chứng minh năm điểm A, N, O, M F thuộc đường tròn 2) Gọi P, Q giao điểm thứ hai hai tia FN, FM với đường tròn  O  Gọi J giao  điểm đường thẳng BC đường thẳng PQ Chứng minh tia AJ tia phân giác BAC 3) Gọi K giao điểm đường thẳng OJ đường thẳng CF Chứng minh AB vng góc với AK Lời giải 1) Chứng minh năm điểm A, N, O, M F thuộc đường tròn   BAC  (góc nội tiếp góc tâm) BOC www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 163   60  BOC   120  Tứ giác AMON nội tiếp (1) Mà BAC   NMO  (cùng chắn ON  ) NAO   MNO  (cùng chắn OM  ) MAO   NBO  (do OA  OB  OAB cân) Mà NAO   MCO  (do OA  OC  OAC cân) MAO   NMB   MBN cân N  NM  NB Nên NBM   MCN   MCN cân M  MN  MC  NB  MC MNC Xét FNB FMC có:   MCF  (cùng chắn AF ) ; NB  MC (chưng minh trên); NBF  ) FB  FC ( F điểm BC FN  FM  FNB  FMC  c.g.c      NFB  MFC o    MFB   BFC   BAC   60  NFB   MFB   60  NFM  60 Mà MFC  o NAM  60 Tứ giác NAFM nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm A, N, O, M , F thuộc đường tròn   AF   BP  , QJMC BJNP tứ giác nội tiếp 2) Ta có CQ   BAC   60 suy BFC F điểm cung BC nên BFC   MQC   FAC   60 Suy MQC   60 suy MCQO tứ giác nội tiếp Lại có MOC Suy điểm M, C, Q, J, O thuộc đường tròn Chứng minh tương tự B, N, O, J, P thuộc đường tròn   COM   60  BAC  Suy CJM    MBJ   30  BAC Suy AMJB tứ giác nội tiếp  MAJ  Suy AJ tia phân giác góc BAC 3) Theo chứng minh ta có PBQC hình thang cân, OJ đường trung trực CP    CAP   BAC  CAP   30      JKP  Mặt khác JAP JOP  OCF JOP  OPK Suy tứ giác AKJP nội tiếp   JPK   KCJ   60  BAK   BAJ   KAJ   30  60  90 Suy KAJ Hay AK  AB Câu V Cho A tập hợp có 100 phần tử tập hợp 1;2;3;;178 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 164 2) Chứng minh với số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4,,22} , tồn hai phần tử A có hiệu n Lời giải 1) Gọi phần tử tập A A  a1 , a2 , a3 , a100  Không tính tổng quát giả sử a1  a2  a3    a100 Giả sử tập A khơng có hai số tự nhiên liên tiếp ta có a2  a1  2; a3  a2  2.; a100  a99  Suy a100  a100  a90    a3  a2  a2  a1  a1  99.2  a1  178 a100 không thuộc tập hợp 1,2,3,178 (trái với giả thiết) suy điều giả sử sai từ ta có điều phải chứng minh 2) Với n  2,3,4 ,22 giả sử không tồn hai phần tử A có hiệu bẳng n    Ta có a  a  kn (k   ) i, j  1,2,3,100 i j Với phần tử a1 , a2 , a3 , a12  Ta có a1  79 tập A khơng thể có phần tử có dạng a1  k, n k   *  178  a1 99  4 n 22 Vậy có số thuộc tập {1,2,3 178} không thuốe A Xét bất phương trình a1  k.n  178  k  Tưong tự với a2 , a3 a12 trường hợp có có số thuộc tập 1,2,3,178 không thuộc A ( số bỏ trương hợp khác nhau) Với phần tử a13 , a14 , a15 a34  Ta có a13  91 tập A khơng thể có phần tử có dạng a13  k.n k   *  178  a13 87  3 n 22 Vậy có số thuộc tập {1,2,3,178} khơng thuộc A Xét bất phương trình a13  kn  178  k  Tương tự với a14 , a15 a34 trường hợp có có số thuộc tập 1,2,3,178 khơng thuộc A ( số bỏ trường họp khác nhau) Suy tập A không nhiều 178  114  64 phẩn tử ( trái với giả thiết) điều giả sử    sai tử ta có điều phải chứng minh - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 165 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (CHUN TIN) Đề thi gồm 01 trang (Không kể thời gian giao đề) Thời gian làm bài: 150 phút -4  2x  x2  x  Câu I 1) Giải phương trình x3   3y 2) Giải hệ phương trình  y   3x Lời giải 1) Từ phương trình ban đầu, ta suy ra:  2x  x2   x     2x  x2  x2  x   2x2  6x   x  x  Thử lại vào phương trình ban đầu, ta thấy có x  thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  2) Trừ phương trình (1) cho phương trình (2), vế theo vế, ta được:   x  y   y  x     x  y  x2  xy  y      y  3y 2  x  y  Do x  xy  y    x      0, x, y      2    Thay x  y vào (1), ta có x3  3x    (x  1)2  x     x  x  2 Thử lại ta thấy Vậy hệ phương trình có nghiệm  x, y   1,1  ;  2, 2  Câu II 1) Chứng minh với số nguyên n , ta ln có n2  3n  16 khơng chia hết cho 25 2) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn: x2  xy  2y  x  y   Lời giải 1) Ta có n2  3n  16   n   n    20 Giả sử n2  3n  16 chia hết cho 25 , suy n2  3n  16 chia hết cho Khi đó, 20 chia hết  n   n   chia hết cho  n  n  chia hết cho Mà  n     n    nên n  n  chia hết cho Khi đó,  n   n   chia hết cho 25 , dẫn đễn  n   n    20 không chia hết cho 25 (vô lý) Vậy n2  3n  16 khơng chia hết cho 25 2) Phương trình tương đương với:  x  y  x  2y   x  y     x  y  x  2y    Vì x, y số nguyên, nên x  y x  2y  ước Từ ta có bảng giá trị sau: xy x  2y  x y 1 www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 166 10 (loại) 1 5  5 1 (loại) 4 1 Vậy, cặp nghiệm  x, y  thỏa mãn  2, 1  ;  4; 1  Câu III 1) Cho a, b, c ba số thực đôi phân biệt  a  bb  c   b  c  c  a   c  a a  b   1  a  bb  c  b  c  c  a  c  a a  b  Chứng minh 2) Xét số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2  b2  c2  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  2bc  b  2ca c   2ab Lời giải 1) Cộng vào phân số bên vế trái, điều cần chứng minh tương đương với:  a  b b  c    a  bb  c   b  c  c  a  b  c  c  a  c  a a  b    c  a a  b    a  b  b  c  b  c  c  a  c  aa  b    ab  bc bc  ca ca  ab   1 a  b  b  c  b  c  c  a  c  a a  b  b  a  c  c  a   c  b  a a  b   a  c  b  b  c     a  b b  c  c  a   1   b c  a2  c a2  b2  a b2  c   a  b  b  c  c  a   ab  b  a   bc  c  b   ca  a  c    a  b  b  c  c  a  Khi VT *   ab  b  a   bc  c  b   ca  a  b  b  c    a  b  ca  ab    b  c  ca  bc    a  a  b  c  b   c b  c  a  b    a  b b  c  c  a   VP *  Đẳng thức chứng minh 2) Ta có: a  2bc  a 2 a  (b  c)  a abc (BĐT cuối a2   b  c    (a  b  c)2 , a, b, c      b c c  ,  2ca a  b  c  2ab a  b  c a  a  b  c   Do đó, P   Dấu xảy  hoán vị abc b  c   Chứng minh tương tự, ta có: b www.facebook.com/mathexpress.vn  1900 633551 167 a   Vậy GTNN P , đạt  hoán vị b  c   Câu IV Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  AB  AC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn  O  điểm thứ hai M (M khác A) Gọi D, E F hình chiếu vng góc điểm I đường thẳng BC, CA AB 1) Chứng minh tam giác MBI tam giác cân 2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn  O  diểm thứ hai P (P khác A) Chứng minh P, M D ba điểm thẳng hàng 3) Gọi H giao điểm đường thẳng IP đường thẳng EF Chứng minh HD song song với AM Lời giải  ta có 1) Sử dụng góc ngồi tam giác góc nội tiếp, ý AM phân giác BAC   IAB   IBA   BAC   ABC    MAC   IBC    MBC   IBC   IBM  nên tam giác MBI cân M  BIM 2   AFI   90 nên điểm A, E, I, F nằm đường trịn đường kính AH 2) Do AEI   180  PFA   180  PEA   PEC  BPF Ta có:  nên tam giác PFB PEC đồng dạng   PBF  PCE PB BF DB    Dẫn đến: , suy PD phân giác BPC PC CE DC  Mặt khác, điểm M điểm cung BC nên PM phân giác BPC Từ suy tia PD, PM trùng nhau, hay P, D, M thẳng hàng  3) Do tứ giác PEIF nội tiếp, IE  IF nên PI tia phân giác EPF  , suy ra: HE  PE Dẫn đến PH phân giác EPF HF PF PE EC   AFE  nên suy BFH   BEH   Mà theo câu ta có Ngồi AEF PF BF www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 168 Từ tam giác BFH CEH đồng dạng  c.g.c  , suy HB FB DB   HC FC DC  Nên HD phân giác BHC   FHB   BHD   EH     EHC  ta có: FHD Kết hợp với FHB C  CH D  90, hay HD  EF Mà AI  EF nên AI // DH , hay HD // AM (đpcm) Câu V Trên bàn có n viên kẹo Hai bạn An Bình chơi trị chơi sau: Hai bạn luân phiên lấy kẹo bàn, lần lấy 1, 2, 3, viên kẹo phải lẫy số viên kẹo khác với số viên kẹo bạn lại vừa lấy trước Bạn khơng thể thực lượt chơi người thua Nếu An người trước, 1) Với n  , chiến thuật chơi Bình khiến An người thua 2) Với n  22 , chiến thuật chơi An khiến Bình người thua Lời giải 1) Bình có chiến thuật thắng sau: + Nếu lượt An bốc k viên kẹo, với k  , Bình bốc số kẹo  k Khi số kẹo bàn hết nên Bình thắng + Nếu lượt An bốc viên kẹo, Bình bốc viên kẹo Khi bàn cịn viên kẹo An khơng thể bốc hết viên Nên lượt dù An bốc hay viên Bình cần bốc số kẹo cịn lại thắng 2) An có chiến thuật thắng sau: + Ở lượt An bốc viên kẹo Khi đó, số kẹo cịn lại 20 Bình khơng bốc viên kẹo + Ở lượt tiếp theo, ta có trường hợp xảy ra: Trường hợp 1.1: Nếu Bình bốc viên kẹo, An bốc tiếp viên kẹo Lúc Bình bốc viên kẹo An bốc viên (và ngược lại), Bình bốc viên An bốc viên (và ngược lại) Số kẹo sau lượt An bốc cịn 13 viên Trường hợp 1.2: Nếu Bình bốc k  viên kẹo, An bốc  k viên kẹo Số kẹo sau lượt An bốc 13 viên + Rõ ràng đến lượt Bình bốc mà cịn viên kẹo, theo ý ), An có chiến thuật để thắng Ta cần xét trường hợp đến lượt Bình cịn 13 viên kẹo Trường hợp 2.1: Nếu Bình bốc k  viên kẹo, An bốc  k viên kẹo để đưa viên kẹo Theo ý 1) An có chiến thuật thắng Trường hợp 2.2: Nếu Bình bốc viên kẹo, An bốc viên kẹo để đưa viên kẹo + Đến đây, Bình khơng thể bốc viên kẹo, nên Bình bốc k  viên kẹo, An bốc  k viên kẹo dành chiến thắng - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 169 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (CHUN TỐN) Đề thi gồm 01 trang (Khơng kể thời gian giao đề) Thời gian làm bài: 150 phút -Câu I 1) Giải phương trình x2  x  2x    2) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  Tính giá trị biểu thức P Lời giải 1) Điều kiện: x  a b c    2 a  b  c  abc 1a 1b 1c Phương trình cho viết lại thành  x  1    2x   Từ đây, ta có x   2x   x    2x  Bằng cách xét trường hợp cụ thể, ta thấy phương trình cho có nghiệm x  a a a 2) Do ab  bc  ca  nên   a  a  ab  bc  ca  a  b  a  c  b b c c   b   b  c  b  a  c   c  a  c  b  Chứng minh tương tự, ta có Ngồi ra, ab  bc  ca  nên 2   a  b  c  abc  a  b  c  ab  bc  ca   abc  a  b  b  c  c  a  Từ kết trên, ta suy P   a  b c   a  ba  c  b  c  b  a  c  a c  b    ab  bc  ca  1     a  bb  c  c  a  a  b b  c c  a Vậy P  Câu II 1) Chứng minh n số tự nhiên lẻ, 32n1  chia hết cho 20     2) Tìm tất cặp số nguyên dương  x, y  thỏa mãn y x2  x    x   y  Lời giải 1) Đặt n  2k  với k tự nhiên, ta có 32n1   34 k 3   81k  27   27   mod 20          2) Dễ thấy x2  x  1, x   x  x    1, x   Từ phương trình, ta suy y x2  x  chia   hết cho x  Mà x2  x  1, x   nên y chia hết cho x  Đặt y  k  x   với k nguyên dương Khi đó, từ phương trình cho, ta suy   k x2  x   y   k2 (x  1)2  www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 170   Do  k2 (x  1)2  k x2  x   k2 (x  1)2  k(x  1)2  k  k  (x  1)2  4k  k   Suy k  Mà k số nguyên dương nên k  , hay ta có y  x  Thay trở lại phương trình cho, ta x2  x   (x  1)2   x2  2x Từ x  y  Vậy có cặp số nguyên dương  x, y  thỏa mãn yêu cầu đề 1,2  Câu III m3 n3 số nguyên tố mn mn 2) Xét số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a  b  c  , tìm giá trị lớn biểu thức P  ab  2bc  3ca  3abc Lời giải 1) Khơng tính tổng quát, giả sử m  n Đặt m3  p  m  n  với p số nguyên tố 1) Tìm tất số nguyên dương m n thỏa mãn Từ đây, ta suy m chia hết cho p m3 m3 m2 p2    , hay p  Mà p số nguyên tố nên p  m  n 2m 2 Như vậy, dấu đẳng thức dãy đánh giá phải xảy ra, tức ta phải có m  n  p  Thử lại, ta thấy thỏa mãn Vậy có cặp số nguyên dương  m, n  thỏa mãn yêu cầu đề  2,2  Kết hợp với m  n , ta có p  2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 abc c ab 27 P  ab  2bc  3ca  a  b  c   2c  a  b      2   2     27 27 Mặt khác, với a  c  b  P  Vậy maxP  4 Câu IV Cho tam giác ABC nhọn với AB  AC Đường tròn I  nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với ba cạnh BC, CA AB ba điểm D, E F 1) Gọi M giao điểm hai đường thẳng AI DF Chứng minh đường thẳng CM vng góc với đường thẳng AI 2) Gọi N giao điểm hai đường thẳng AI DE Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh tam giác KMN tam giác cân 3) Các tiếp tuyến điểm M N đường tròn K, KM  cắt điểm S Chứng minh đường thẳng AS song song với đường thẳng ID Lời giải www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 171 1) Do I  đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên ta có AI, BI, CI đường phân giác tam giác ABC; ID  BC, IE  CA IF  AB Do BD, BF tiếp tuyến I  nên tam giác BDF cân B    BFD   180  ABC Suy BDF      BFD   MAF   180  ABC  BAC  ACB Xét tam giác AMF , có AMF 2     Suy IMD  ICD Do đó, tứ giác CIDM nội tiếp Suy IMC  IDC  90 Vì CM  AI 2) Gọi L trung điểm CA Do tam giác AMC vng M có đường trung tuyến ML nên   LAM   MAB  Suy ML // AB LA  LM  LC Suy tam giác LAM cân L Do LMA Ta có KL đường trung bình tam giác ABC nên KL // AB Do vậy, ba điểm M, K , L thẳng hàng   BFD   BDF   KDM  Chú ý MK // AB tam giác BDF cân B , ta có KMD Suy tam giác KMD cân K Do đó, ta có KM  KD Chứng minh tương tự, ta có KN // AC KN  KD Vậy KM  KN  KD 3) Gọi H hình chiếu A đường thẳng BC    MAC   BAC   AMC   90 nên tứ giác AHMC nội tiếp Suy MHC Ta có AHC    BAC    BAC Vì thế, MHN Chứng minh tương tự, ta có NHC   BAC   CLK   NKL  Suy tứ giác HMKN nội tiếp Chú ý KN // AC KL // AB , ta có MHN   SNK   90 Do SM, SN tiếp tuyến K, KM nên ta có SMK   Suy S , M, K, N thuộc đường trịn đường kính SK Từ (1) (2), ta suy H, S, M, K, N thuộc đường trịn đường kính SK   90 Suy HS  BC Do SHK Do AH  BC HS  BC nên A, H, S thẳng hàng Do AS  BC ID  BC nên AS // ID Ta có điều phải chứng minh www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 172 Câu V Cho tập hợp A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 Gọi B tập hợp gồm số có dạng x  y với x  A y  A (x, y không thiết phân biệt) 1) Chứng minh 68  B 2) Chứng minh tập B chứa 91 số nguyên liên tiếp Lời giải 1) Giả sử 68  B Xét cặp số 1,67  ,  2,66  ,,  33,35  Do 68  B nên cặp số có số khơng thuộc tập A Như vậy, có 33 số nguyên dương không lớn 90 không thuộc tập A , mâu thuânn tập A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 Vậy 68  B 2) Ta chứng minh số nguyên dương n với 42  n  140 , thuộc tập B * Với 42  n  90 : Giả sử n  B  n 1 n 1  + Nếu n số lẻ, xét cặp số  n  1,1  ,  n  2,2  ,,  ,  Vì n  B nên cặp số có   n 1  21 số nguyên dương không lớn 90 không thuộc tập A , mâu thuẫn tập A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 n2 n2 n + Nếu n số chẵn, xét cặp số  n  1,1  ,  n  2,2  , ,  ,  số Vì n  B nên 2   số khơng thuộc tập A Suy có n n  A Suy có  21 số 2 nguyên dương không lớn 90 không thuộc tập A , mâu thuẫn tập A gồm 70 số ngun dương khơng vượt 90 Như vậy, tất số nguyên dương n với 42  n  90 , thuộc tập B * Với 91  n  140 : Giả sử n  B  n  n 1  + Nếu n số lẻ, xét cặp số  90, n  90  ,  89, n  89  ,,  ,  Vi n  B nên cặp số   cặp số có số khơng thuộc tập A , ngồi n 1  21 số nguyên dương không lớn 90 khơng thuộc tập A , mâu thuẫn tập A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 n2 n2 n + Nếu n số chẵn, xét cặp số  90, n  90  ,  89, n  89  ,,  ,  sơ Vì n  B nên 2   có số khơng thuộc tập A Suy có 91  n n  A Suy có 91   21 2 số nguyên dương không lớn 90 không thuộc tập A , mâu thuẫn tập A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 Như vậy, tất số nguyên dương n với 91  n  140 , thuộc tập B Từ hai kết trên, ta suy kết cần chứng minh cặp số có số khơng thuộc tập A , - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 173 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (CHUN TIN) Đề thi gồm 01 trang (Không kể thời gian giao đề) Thời gian làm bài: 150 phút x Câu I 1) Giải phương trình x2  2x      x  1 2) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  Tính giá trị biểu thức P 1   a b  c   b  c  a   c  a  b   Lời giải 1) Điều kiện: x  1   Phương trình cho viết lại thành x2    x  1  Hay  x2   x  Từ đó, ta có   x    x  1 , x2   x   x2   x  Giải phương trình với ý x  1 , ta x  x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x  2) Do abc  nên 1 bc    a  b  c   a  b  c   abc a  ab  bc  ca   ab  bc  ca  Chứng minh tương tự, ta có Do P  ca ab   ,  b  c  a   3  ab  bc  ca  c  a  b   3  ab  bc  ca  ab  bc  ca   ab  bc  ca  Câu II 1) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh 5p  p2 chia hết cho 2) Tìm tất cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn x3  x2y  2x  5x2  2y  Lời giải 1) Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ p không chia hết cho Do p lẻ nên hiển nhiên 5p  p2 số chẵn Do p không chia hết p chia dư , suy p2 chia dư Mặt khác, p lẻ nên 5p chia dư Từ đây, ta suy 5p  p2 chia hết cho Từ (1)   , với ý  2,   , ta có 5p  p2 chia hết cho 2.3    2) Phương trình cho viết lại thành x  5x2  2x   y x2    Do x2   nên từ đây, ta suy x3  5x2  2x  chia hết cho x2    Từ x  5x2  2x   x2   x    x  chia hết cho x2  www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 174   Và thế, ta có 16 x2    x   x    49 chia hết cho x2  Vì x2   2 nên từ kết trên, ta suy x2   1,1,7,49 , hay x2  1,3,9,51 Do x  1,1, 3,3 Lần lượt thay giá trị vào phương trình 1  , ta tìm cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn yêu cầu đề  1,7  , 1,1  3, 11  Câu III 1) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh a2  b2  c2   a  b  c    2) Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho phương trình x2  2ax  b  ; x2  2bx  c  x2  2cx  a  có nghiệm số nguyền dương Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a2   4a,  b2   4b,  c2   c Từ bất đẳng thức trên, ta suy a2  4a  4, b2  4b  c2  c  Do a2  b2  c2   a  b  c   a  b  4c  33 33  3 4abc   4 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  2) Gọi m nghiệm nguyên dương phương trình x2  2ax  b  Khi đó, ta có m2  2am  b  , hay  m  a   a2  b Suy a2  b số phương Chứng minh tương tự, ta có b2  c c  a dều số phương Khơng tính tổng qt, giả sử a số lớn số a, b, c Nếu a  , ta có a2  b  a2 a2  b  a2  a   a  1  a    a  1 nên a2  b khơng thể 2 số phương, mâu thuẫn Do đó, ta phải có a  Mà a, b, c số nguyên dương a số lớn ba số nên a  b  c  Thử lại, ta thấy với a  b  c  ba phương trình có nghiệm ngun dương x  Vậy có số  a; b; c  thỏa mãn yêu cầu 1;1;1  Câu IV Cho tam giác ABC với AB  AC , nội tiếp đường tròn  O  Ba đường cao AD, BE CF tam giác ABC qua điểm H Gọi I K trung điểm đoạn thẳng EF BC AI HI  AK HK b) Chứng minh đường thẳng AH tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IHK a) Chứng minh c) Gọi P chân đường vng góc kẻ từ điểm H đến đường thẳng EF Chứng minh đường thẳng DP song song với đường thẳng AI Lời giải www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 175   BFC   90 , dẫn đến tứ giác BFEC a) Do AD, BE, CF đường cao tam giác ABC nên BEC   ABC  , từ AEF  ABC g.g nội tiếp Suy AEF   Lại có I, K tương ứng trung điểm EF BC nên AEI  ABK  c.g.c  AI EI EF   AK BK BC   HCB  nên HEF  HCB g.g Ta có HEF   Từ Mà I, K tương ứng trung điểm EF BC nên HFI  HBK  c g.c  Từ HI FI EF   HK BK BC AI HI  AK HK b) Gọi N giao điểm hai đường thẳng AD EF Do KE  KF  KB  KC nên KI  EF   DKI  Lại có HFI  HBK nên HIN   HKD    90 nên tứ giác DNIK nội tiếp Suy ANI Mà NDK Như vậy, ta có   HIN   DKI   HKD  , hay HKI   NHI  Do AH tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp Từ ANI tam giác IHK c) Gọi Q điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Do I trung điểm AQ EF nên tứ giác AEQF hình bình hành Suy QE // AF QF // AE , từ QE  HF QF  HE , hay ta có Q trực tâm tam giác HEF Ta có HEF  HCB  g.g  , mà Q, A trực tâm hai tam giác nên ta suy HEP  HCD  g.g  HEQ  HCA  g.g  Từ HP HD  , dẫn đến DP // AI HQ HA Câu V Trên bảng có hai số tự nhiên m n An Bình chơi trò chơi sau: Mỗi lượt chơi, bạn chọn hai số bảng để xóa viết lên bảng số hiệu không âm số vừa xóa với ước số tự nhiên số vừa xóa Hai bạn luân phiên thực lượt chơi Bạn thực lượt chơi người thua cuộc, người lại người thắng Biết An người thực lượt chơi a) Với m  2022 n  2023 , chiến thuật chơi An để An người thắng b) Với m  2022 n  1981 , chiến thuật chơi An để An người thắng www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 176 Lời giải Ở hai ý, An chọn số 2022 để xóa viết lên bảng số 2022   2021 lượt Khi đó, sau lượt chơi An, bảng lại hai số lẻ Lúc này, đến lượt Bình dù Bình chơi nữa, sau lượt Bình, bảng ln xuất số chẵn số lẻ (Bình chắn không thực cách chơi để số chẵn trở , lúc An đưa hai số bảng trở , Bình khơng thể thực lượt chơi thua cuộc) Lúc giờ, An chọn số chẵn xóa viết lên bảng hiệu số với Trên bảng lại xuất hai số lẻ đến lượt Bình An tiếp tục thực chiến thuật Rõ ràng An ln thực lượt chơi Vì trị chơi phải kết thúc nên đến lúc đó, Bình khơng thể thực lượt chơi, Bình thua - HẾT - www.facebook.com/mathexpress.vn 1900 633551 177