Bai giang dao ham toan 11 canh dieu

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com CHƯƠNG VII ĐẠO HÀM Trong chương này, tìm hiểu vấn đề sau: định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học đạo hàm; quy tắc tính đạo hàm; đạo hàm bậc hai BÀI ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Tên lửa vũ trụ phương tiện chế tạo đặc biệt giúp người thực sứ mệnh khơng gian như: tiếp cận đến hành tinh ngồi Trái Đất, vận chuyển người thiết bị lên vũ trụ, (Hình 1) Nếu quỹ đạo chuyển động tên lửa miêu tả hàm số theo thời gian đại lượng biểu thị độ nhanh chậm chuyển động thời điểm? A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM Các toán dẫn đến khái niệm đạo hàm a) Bài tốn tìm vận tốc tức thời Từ vị trí O (ở độ cao định đó), ta thả viên bi cho rơi tự xuống đất nghiên cứu chuyển động viên bi Bằng việc chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O vị trí ban đầu viên bi, tức thời điểm giây, bỏ qua sức cản khơng khí, ta nhận phương trình chuyển động viên bi = y f= ( x ) gx ( g gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8m / s ) Giả sử thời điểm x0 , viên bi vị trí M có y0 = f ( x0 ) ; thời điểm x1 , viên bi vị trí M có y1 = f ( x1 ) Khi đó, khoảng thời gian từ x0 đến x1 , quãng đường viên bi Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com M= f ( x1 ) − f ( x0 ) (Hình 2) Vậy vận tốc trung bình viên bi khoảng thời gian M1 Nếu x1 − x0 nhỏ tỉ số phản ánh xác nhanh chậm viên bi thời điểm x0 Từ đó, người ta xem giới hạn tỉ số f ( x1 ) − f ( x0 ) x1 dần x0 vận tốc tức thời thời điểm x1 − x0 x0 viên bi, kí hiệu v ( x0 ) Nói cách khác, v ( x0 ) = lim x1 → x0 f ( x1 ) − f ( x0 ) Giá trị v ( x0 ) gọi đạo hàm x1 − x0 gx thời điểm x0 b) Bài tốn tìm cường độ tức thời hàm số = y f= ( x) Điện lượng Q truyền dây dẫn hàm số thời gian t , Q = Q ( t ) Cường độ trung bình khoảng thời gian t − t0 xác định công thức Q ( t ) − Q ( t0 ) t − t0 Nếu t − t0 nhỏ tỉ số biểu thị xác cường độ dịng điện thời điểm t0 Người ta đưa định nghĩa sau đây: Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim t → t0 Q ( t ) − Q ( t0 ) gọi cường độ tức thời dòng điện thời điểm t0 t − t0 Định nghĩa đạo hàm điểm Hoạt động Tính vận tốc tức thời viên bi thời điểm x0 = 1s tốn tìm vận tốc tức thời Lời giải Vận tốc tức thời viên bi thời điểm x0 = 1s v (1) 2 1 gx1 − g 9,5 x12 − 9,8 f ( x1 ) − f (1) 2 2 = lim = lim lim = 9,8 ( m / s ) x1 →1 x1 →1 x1 →1 x1 − x1 − x1 − Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) điểm x0 ∈ ( a; b ) Nếu tồn giới hạn hữu hạn lim x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f ( x ) x0 kí hiệu x − x0 f ′ ( x0 ) y′x0 Nhận xét Trong định nghĩa trên, ta đặt: ∆x = x − x0 gọi ∆x số gia biến số điểm x0 ; = ∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) gọi ∆y số gia hàm số ứng với số gia ∆x điểm x0 f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y Khi đó, ta có: f ′ ( x0 ) lim = = lim ∆x → ∆x → ∆x ∆x Cách tính đạo hàm định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a ; b ) điểm x0 thuộc khoảng Để tính đạo hàm f ′ ( x0 ) hàm số y = f ( x ) x0 , ta thực ba bước sau: Bước Xét ∆x số gia biến số điểm x0 Tính= ∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) Bước Rút gọn tỉ số ∆y ∆x ∆y ∆x → ∆x ∆y = a f ′ ( x0 ) = a Kết luận: Nếu lim ∆x → ∆x Bước Tính lim Ví dụ Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = x0 = định nghĩa x Lời giải + Xét ∆x số gia biến số điểm x0 = −∆x 1 − ( + ∆x ) = − Ta có: = ∆y f ( + ∆x ) − = f ( 2) = ( + ∆x ) ( + ∆x ) + ∆x Suy ra: ∆y −1 = ∆x ( + ∆x ) ∆y −1 −1 + Ta = thấy: lim lim = ∆x → ∆x ∆x → ( + ∆x ) Vậy f ′ ( ) = −1 ❓ Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = x x0 = định nghĩa Lời giải + Xét ∆x số gia biến số điểm x0 = Ta có: ∆ = y f ( + ∆x ) − f ( 3) = ( ∆x + 3) − 2.3 = 2∆x Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com ∆y = ∆x ∆y 2 = + Ta thấy: lim= lim ∆x → ∆x ∆x → Vậy f ′ ( 3) = Suy ra: Ví dụ Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = x điểm x định nghĩa Lời giải + Xét ∆x số gia biến số điểm x Ta có: = ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) − x = ∆x ( x + ∆x ) ∆y = x + ∆x ∆x ∆y = lim ( x= + ∆x ) x + Ta thấy: lim ∆x → ∆x ∆x → Vậy f ′ ( x ) = x Suy ra: ❓ Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = x điểm x định nghĩa Lời giải + Xét ∆x số gia biến số điểm x Ta có: = ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) − x = x ∆x + 3.x.∆x + ∆x = ∆x ( x + x.∆x + ∆x ) ∆y Suy ra: = ∆x ( 3x + x.∆x + ∆x ) ∆y lim lim ( x + x.∆x= + ∆x ) x + Ta thấy: = ∆x → ∆x ∆x → Vậy f ′ ( x ) = x Nhận xét Hàm số f ( x ) = x có đạo hàm điểm x khoảng ( −∞ ; + ∞ ) Ta nói hàm số có đạo hàm khoảng ( −∞ ; + ∞ ) Một cách tổng quát: Hàm số y = f ( x ) gọi có đạo hàm khoảng ( a ; b ) có đạo hàm điểm x khoảng Ý nghĩa vật lí đạo hàm Đạo hàm xuất nhiều khái niệm vật lí Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định phương trình s = s ( t ) , với s = s ( t ) hàm số có đạo hàm Như thấy toán mở đầu, vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 đạo hàm hàm số t0 : v ( t0 ) = s′ ( t0 ) II.Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) , điểm M cố định thuộc ( C ) có hồnh độ x0 Với điểm M thuộc ( C ) khác M , kí hiệu xM hoành độ điểm M kM hệ số góc cát tuyến M M Giả sử Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com tồn giới hạn hữu hạn k0 = lim kM Khi đó, ta coi đường thẳng M 0T qua M có hệ số góc k0 xM → x0 vị trí giới hạn cát tuyến M M điểm M di chuyển dọc theo ( C ) dần tới M Đường thẳng M 0T gọi tiếp tuyến ( C ) điểm M , M gọi tiếp điểm (Hình 3) Hình a) Xác định hệ số góc k0 tiếp tuyến M 0T theo x0 b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M Ta= có: k0 kM lim = xM → x0 lim xM → x0 f ( xM ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) xM − x0 Như ta có kết luận sau: + Đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) y f ′ ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) = Ví dụ Cho hàm số y = − x có đồ thị ( C ) a) Xác định hệ số góc tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M ( 3; − ) Lời giải a) Tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ có hệ số góc là: f ( x ) − f ( 3) − x − ( −3) f ′ ( 3) =lim =lim =lim ( − x − 3) =−6 x →3 x →3 x →3 x −3 x −3 b) Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M ( 3; − ) là: y =−6 ( x − 3) + ( −9 ) hay y = −6 x + điểm N (1;1) x Lời giải Tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ có hệ số góc là: ❓ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −1 f ( xN ) − f (1) x =lim =−1 =f ′ (1) k0 =lim k N =lim xN →1 xN →1 xN →1 x − xN − Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm N (1;1) x y =− ( x − 1) + =− x + B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm số gia hàm số Phương pháp • Số gia hàm số y = f ( x ) điểm x = ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) • Chú ý số gia ∆y hàm số hàm số số gia biến số ∆x Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tìm số gia hàm số y =f ( x ) =x3 − x + , biết x0 =1; ∆x =−0,1 Lời giải ∆y f ( xo + ∆x ) − f ( x= f ( 0,9 ) − f = 2) 0, 229 Ta có = (1) 0,93 − 3.0,92 + − (13 − 3.12 += 0) Ví dụ 2: Tính số gia hàm số = y x + theo x ∆x Lời giải ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( x0 ) = ( xo + ∆x ) + − ( x0 + 3) = 2∆x Ví dụ 3: Tính ∆y y x3 − x theo x ∆x hàm số= ∆x Lời giải = ∆y f ( xo + ∆x ) − f (= x0 ) ( xo + ∆x ) − ( xo + ∆x ) − ( x03 − x02 ) = ( x03 + x02 ∆x + x0 (∆x) + (∆x)3 ) − ( x02 + x0 ∆x + (∆x) ) − ( x03 − x02 ) =∆x ( x02 + x0 ∆x + 3(∆x) − x0 − 3∆x ) 2 ∆y ∆x ( x0 + x0 ∆x + 3(∆x) − x0 − 3∆x ) Suy = = x02 + x0 ∆x + 3(∆x) − x0 − 3∆x ∆x ∆x Dạng Tính đạo hàm định nghĩa Phương pháp • Tính số gia hàm số = ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆y ∆x • Lập tỉ • Tính giới hạn lim ∆y ∆x →0 ∆x Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) hàm số y= 2x + x + x0 = Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Cho x0 = số gia ∆x Khi hàm số nhận số gia tương ứng: ) ( ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ( + ∆x ) + ( + ∆x ) + − 2.2 + + = ∆x ( + ∆x ) ∆y ∆x →0 ∆x ∆x ( + ∆x ) = lim ( + 2= ∆x ) ∆x →0 ∆x →0 ∆x Ta có lim= lim Vậy f ' ( ) = Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) hàm số sau điểm ra= y x; ∀x ∈  x + Lời giải f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆y = lim = lim Ta có: f ′ ( 1) = lim ∆x → ∆x →0 ∆x ∆x → ∆x ( ∆x ) = lim + 2∆x.x + x + − x + ∆x ∆x → = lim ∆x → ( ∆x + x = lim ∆x → ( ∆x + x ) + − x2 + ∆x ∆x ( ( ∆x ) ( ∆x ) 2x = = 2 ( ∆x ) + 2∆x.x + x + + x + x + )  x3 + x + −  Ví dụ 3: Tính đạo hàm hàm số f ( x) =  x 0  2 + 2∆x.x + 2∆x.x + x + + x + x x2 + x ≠ ) x = x=0 Lời giải f ( x) − f (0) x3 + x + − x +1 Ta có : f (0) = , đó:= lim lim lim = = 0 x →0 x x → → x x x + x +1 +1 Vậy f ′(0) =  x2 + x Ví dụ 4: Tìm a , b để hàm số f ( x ) =  ax + b x ≤ có đạo hàm x = x > Lời giải Điều kiện cần: f ( 1) = lim f (= x ) lim− ( x += x) x →1− x →1 lim f ( x ) =lim+ ( ax + b ) =a + b x →1+ x →1 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Để hàm số f ( x ) có đạo hàm x = f ( x ) liên tục x = ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 1) ⇔ a + b = x →1 x →1 Điều kiện đủ: f ( x ) − f ( 1) x −1 x2 + x − x −1 f ′ ( 1− ) = lim = lim = lim− ( x + ) = x →1− f ′ ( 1+ ) = lim x →1+ x →1− x →1 f ( x ) − f ( 1) f ( x ) − f ( 1) ax + b − ( a + b ) ax − a = lim = a = lim+ = lim+ + x →1 x − x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 ( ) ( ) Để hàm số f ( x ) có đạo hàm x = f ′ 1+ = f ′ 1− ⇔ a =3 ⇒ b =−1 Dạng Ý nghĩa vật lý đạo hàm Phương pháp  Vận tốc tức thời thời điểm t0 chất điểm chuyển động với phương trình s = s ( t ) v ( t0 ) = s ' ( t0 )  Cường độ tức thời thời điểm t0 dòng điện với điện lượng Q = Q ( t ) I ( t0 ) = Q ' ( t0 ) Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s = f ( t ) = t + 4t + (t tính giây, s tính mét) a) Tính đạo hàm hàm số f ( t ) điểm t0 b) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = Lời giải t + 4t + − ( t02 + 4t0 + ) f ( t ) − f ( t0 ) a) Ta có: lim = lim = = lim ( t + t0 + ) = 2t0 + t → t0 t → t0 t → t0 t − t0 t − t0 2t0 + Vậy f ' ( t= 0) b) Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = vtt = f ' ( ) = 2.5 + = 14 (m/s) Ví dụ 2: Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q= 6t + (t tính giây, Q tính Coulomb) Tính cường độ dịng điện dây dẫn thời điểm t = 10 Lời giải Vì Q ' ( t )= ⇒ Cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t = 10= I tt Q= ' (10 ) Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Dạng Phương trình tiếp tuyến Phương pháp Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm = y f ′ ( x )( x − x ) + f ( x ) M ( x ;y ) là: Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k ta giải phương trình f ′ ( x ) = k tìm hồnh độ tiếp điểm Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x= ) x + có f ′ ( x ) = x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M có hồnh độ x0 = −1 Hướng dẫn giải x0 =−1 ⇒ f ( x0 ) =( −1) + =6 f ′ ( −1) = −2 Phương trình tiếp tuyến: y = −2 ( x + 1) + Ví dụ 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số = y f= ( x ) x điểm có hồnh độ −1 Hướng dẫn giải Ta có:= f (1) 1;= f ′ ( x ) x , f ′ ( −1) = −4 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y =−4 ( x + 1) + =−4 x − Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số = y f= ( x ) x3 điểm mà tiếp điểm có tung độ −1 Hướng dẫn giải Ta có: Khi y = −1 x3 = −1 , x = −1 f ( −1) = −1; f ′ ( x ) = x , f ′ ( −1) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = ( x + 1) − = x + Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số = y f= ( x ) x có hệ số góc Hướng dẫn giải Ta có: f ′ ( x ) = x3 Hệ số góc tiếp tuyến nên x3 = , x = ; f (1) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = ( x − 1) + 1= x − C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Tính đạo hàm hàm số f (= x ) x − điểm x0 = định nghĩa Lời giải + Xét ∆x số gia biến số điểm Ta có: ∆= y f (1 + ∆x ) − f (1) = (1 + ∆x ) − − ( 3.13 − 1) = 9.∆x + 9.∆x + 3∆x3 = 3.∆x ( + 3.∆x + ∆x ) Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com ∆y Suy ra: = ( + 3.∆x + ∆x ) ∆x ∆y + Ta thấy: lim = lim ( + 3.∆x + ∆x 2= ) 3.3= ∆x → ∆x ∆x → Vậy f ′ (1) = Chứng minh hàm số f ( x ) = x đạo hàm điểm x0 = , có đạo hàm Bài điểm x ≠ Lời giải Ta có: lim+ x= lim+ x= 0= f ( ) nên hàm số f ( x ) = x liên tục x = x →0 Ta có: lim+ x →0 lim− x →0 x →0 x −0 f ( x ) − f ( 0) x = lim+ = lim = + x →0 x →0 x x x x −0 f ( x ) − f ( 0) −x = lim− = lim− = −1 x →0 x →0 x x x Nên lim+ x →0 f ( x ) − f ( 0) f ( x ) − f ( 0) nên hàm số khơng có đạo hàm x = ≠ lim− x →0 x x Với x ≠ f ( x ) = x tồn đạo hàm Bài • x ∈ ( −∞, ) ⇒ f ′ ( x ) = −1 • x ∈ ( 0, +∞ ) ⇒ f ′ ( x ) = Cho hàm số y = −2 x + x có đồ thị ( C ) a) Xác định hệ số góc tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M ( 2; − ) Lời giải a) Tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ có hệ số góc là: ′ ( x0 ) lim =  k0 f= −2 x + x − ( −2.22 + ) x−2 − ( x − )( x + 3) −2 x + x + = lim = lim = −7 x→2 x→2 x−2 x−2 x→2 b) Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M ( 2; − ) là: y =−7 ( x − ) − = > y =−7 x + Bài Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vơ tuyến C ( Q ) =Q + 80Q + 3500 a) Ta gọi chi phí biên chi phí gia tăng để sản xuất thêm sản phẩm từ Q sản phẩm lên Q + sản phẩm Giả sử chi phí biên xác định hàm số C ′ ( Q ) Tìm hàm chi phí biên Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 10  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A x + x) ' (= y' = x3 + x 3x + x3 + x y Câu 21: Tính đạo hàm hàm số= y ' ( x − 5) A.= ( x − 5) −28 ( x − ) B y ' = 3 −28 ( − x ) C y ' = y ' 28 ( − x ) D.= 3 Lời giải Chọn C y =' ( x − ) ' ( x − ) = 28 ( x − ) Câu 22: Tính đạo hàm hàm số y= A = y ' x (1 − x3 ) (1 − x ) B y ' = −15 x (1 − x3 ) C y ' = −3 x (1 − x3 ) D y ' = −5 x (1 − x3 ) 4 Lời giải Chọn B y ' =− (1 x3 ) ' (1 − x3 ) = −15 x (1 − x3 ) Câu 23: Tính đạo hàm hàm số = y = y ' 2016 ( x − x ) A C y' = 2016 ( x3 − x ) (x − 2x2 ) 2016 2015 2015 ( 3x − 4x) B D Lời giải y'= 2016 ( x − x ) 2015 ( 3x − 4x) y ' =2016 ( x3 − x )( x − x ) Chọn B y ' = 2016 ( x3 − x ) ' ( x − x ) 2015 = 2016 ( x − x ) ( x − x ) 2015 Câu 24: Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = x ( x − 1)( x − ) ( x − 2018 ) điểm x = A f ' ( ) = B f ' ( ) = −2018! C f ' ( ) = 2018! D f ' ( ) = 2018 Lời giải Chọn C f ' ( x ) =( x − 1)( x − ) ( x − 2018 ) + x ( x − ) ( x − 2018 ) + + x ( x − 1) ( x − 2017 ) Suy f ' ( 0) = 1.2.3 2018 = 2018! ( − 1) ( − ) ( − 2018) = Câu 25: Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = x ( x + 1)( x + ) ( x + 2018 ) điểm x = −1004 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com A f ' ( −1004 ) = B f ' ( −1004 ) = 1004! C f ' ( −1004 ) = −1004! D f ' ( −1004 ) = (1004!) Lời giải Chọn D f ' ( x ) =( x + 1)( x + ) ( x + 2018 ) + x ( x + ) ( x + 2018 ) + + x ( x + 1) ( x + 2017 ) Suy f ' ( −1004 ) = x ( x + 1) ( x + ) ( x + 1003) ( x + 1005 ) ( x + 2018 ) = (1004!) ( −1004 ) ( −1003) ( −1002 ) ( −1) ( −2 ) 1003.1004 = ( x + 2) x2 + 2x − x+2 Câu 26: Tính đạo hàm hàm số y = A y ' = + x = −1004 B y ' = x2 + x + ( x + 2) C y ' = x2 + 4x + ( x + 2) D y ' = x2 + 8x + ( x + 2) Lời giải Chọn A y' ( x + ) ( x + ) − ( x + x − 3) = ( x + 2) Câu 27: Đạo hàm hàm số = y A y ' = 3x + x2 + x + − x2 − x + x2 + x + = 2 ( x + 2) ( x + 2) x + x B y ' = 3x + C y ' = 6x 3x + D y ' = 3x 3x + Lời giải Chọn D 3x + ) ' (= = y' 6x = 3x + 3x + 3x 3x + Câu 28: Đạo hàm hàm số y = ( x − 1) x + x A y ' = 8x + x −1 x2 + x B y ' = 8x + x + x2 + x C y ' = Lời giải 4x +1 x2 + x D y' = x2 + x −1 x2 + x Chọn D y '= ( x − 1) ' = x2 + x + x + x +( (x 2x −1 ) ( x − 1) ( x + 1=) x2 + x + x) ' x2 + x x2 + x + x2 −1 x2 + x −1 = x2 + x x2 + x Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 11  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com 2  Câu 29: Đạo hàm hàm số= y  x −  x  2  A.= y ' 3 x2 −  x   2  B y ' =  x −  x −  x  x   2  C y ' =  x +  x −  x  x   2  D y ' =  x −  x −  x  x  Lời giải 2 Chọn C 2  y ' = 3 x2 −  x  ' Câu 30: Tính đạo hàm hàm số y = A y ' = ( x − 1) 2  2   2   x −  =  x +  x −  x x  x   2x −1 x+2 x+2 2x −1 x+2 B y ' = 2 ( x − 1) 2x −1 x+2 D y ' = 2 ( x + 2) 2x −1 x+2 C y ' = 2x −1 Lời giải Chọn D '  2x −1    x + 2) ( x+2 x+2   y' = = = 2x −1 2x −1 2x −1 ( x + 2) 2 x+2 x+2 Câu 31: Cho hàm số y = x + x + Mệnh đề sau đúng? A y ' x + =y B y ' x + =y C y ' x + = 2y D y x + =y ' Lời giải Chọn B 2x 1+ x + x +1 x2 + = = = y' 2y x + x2 + ( ) ' x2 + + x y2 y + x = = 2y y x + x2 + Do y ' x + =y Câu 32: Cho hàm số f ( x ) =  2 A S = 0;   3 Lời giải x3 Phương trình f ' ( x ) = có tập nghiệm S x −1    3   B S = − ;0  C S = 0;  D S = − ;0   2     Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Chọn C x ( x − 1) − x f ' ( x )= ( x − 1) 2 x3 − 3x = ( x − 1) x =0  = 0⇔ x =  Câu 33: Cho hàm số y = −2 x + x Tập nghiệm S bất phương trình y ' > A S = 1  C.= S  ; +∞  9  Lời giải 1  B S =  −∞;  9  ( −∞; +∞ ) D S = ∅ Chọn C y ' =−2 −1 −1 + x +3= +3= >0 x x x ⇔ x >1⇔ x > Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = −5 x + 14 x − Tập hợp giá trị x để f ' ( x ) < 7  A  ; +∞  5  7  B  −∞;  5  7 9 C  ;  5 5 Lời giải  7 D 1;   5 Chọn C Điều kiện −5 x + 14 x − > ⇔ < x < Khi f ' ( x ) < ⇔ −5 x + < ⇔ x > 7 9 Vậy tập nghiệm bất phương trình  ;  5 5 f ( x ) − f ( 2) x→2 x−2 B 2019.22017 + C 2017.22018 − Lời giải Câu 35: Cho hàm số f ( x ) = x + x + x3 + + x 2018 Tính lim A 2017.22018 + D 2018.22017 + Chọn A lim x→2 f ( x ) − f ( 2) = f ' ( 2) x−2 Mặt khác f ( x ) = x + x + x3 + + x 2018 = x Do f ' ( x ) = − x 2018 x − x 2019 = 1− x 1− x x) + ( x − x ) (1 − 2019 x ) (1 −= ⇒ f' 2018 (1 − x ) 2019 ( ) 2019.22018 − + − 22019 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 13  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com = 2017.22018 + Câu 36: Cho f ( x ) hàm số thỏa mãn = ' (1) Giả sử g ( x ) = x f ( x ) Tính g ' (1) f (1) f= A B C Lời giải D Chọn D = g ' ( x ) x f ( x ) + x f ' ( x ) Suy g ' (1) = f (1) + f ' (1) =   Câu 37: Tính đạo hàm hàm số y  sin   x     A y   3cos   x     B y '  3cos   x     C y   cos   x     D y '  3sin   x   Lời giải Chọn B π ′ π  π  y′ =− x −3.cos  − x    cos  − x  = 6  6  6    Câu 38: Tính đạo hàm hàm số y   sin   x      x cos   x     D y   x cos   x      A y   x cos   x    C y   B y     x cos   3x    Lời giải Chọn A 1π ′ π  π  π  −  − x  cos  − x  = − ( −2 x ) cos  − x  = y′ = x.cos  − x  2  3  3  3  Câu 39: Tính đạo hàm hàm số y  x tan x  x A y   x tan x  C y   x tan x  x B y   x tan x  x2  cos x x D y   x tan x  x x2  cos x x Lời giải Chọn C Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU y′=  WEB: Toanthaycu.com ( x )′ tan x + ( tan x )′ x + ( x )′ = 2 x tan x + x2 + cos x x Câu 40: Tính đạo hàm hàm số y  cos x A y   2sin x B y   4 x cos x C y   2 x sin x D y   4 x sin x Lời giải Chọn D −2 ( x )′ sin x = −2.2 x.sin x = −4 x.sin x y′ = x 1 1 B y   C y    D y    x  x  x 1 2 cos cos cos 2 Lời giải Câu 41: Tính đạo hàm hàm số y  tan A y   x 1 cos 2 Chọn A  x + ′ x + ′    y′  tan = = =   cos x + cos x +  2 Câu 42: Tính đạo hàm hàm số y  sin  x 2x  A y   C y   2 x x 2 x x B y    cos  x cos  x 2 x x 1 D y   cos  x 2 x cos  x Lời giải Chọn C y′ = ) ( ′ + x cos + x = ( + x )′ cos 2 2+ x 2 + x2 = x 2+ x cos + x Câu 43: Tính đạo hàm hàm số y cos x + = A y′ = − sin x + 2x +1 B y′ = sin x + sin x + C y′ = − sin x + D y′ = − 2x +1 2x +1 Lời giải Chọn A y′ =− ( ( x + 1)′ sin x + =− sin x + ′ x + sin x + = 2x +1 2x +1 ) Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Câu 44: Tính đạo hàm hàm= số y cot x + x A y′ = − C y′ = − x + 1sin sin x + x +1 x B y′ = x + 1sin x + 1 D y′ = sin x + Lời giải Chọn A x ′ x + 1) ( − y′ = sin x x +1 = = − − 2 x +1 x + 1.sin x + sin x + 2 Câu 45: Tính đạo hàm hàm số y = A y′ = − C y′ = sin x ( sin x − cos x ) − 2sin x ( sin x − cos x ) 2 sin x + cos x sin x − cos x B y′ = sin x − cos x ( sin x − cos x ) D y′ = − ( sin x − cos x ) Lời giải Chọn D π  sin  x +  π sin x + cos x 4  Ta có y = =  = − tan  x +  π sin x − cos x 4   − cos  x +  4  −2 1 − = − = Suy y′ = π  ( sin x − cos x )  cos x − sin x  cos  x +        Câu 46: Tính đạo hàm hàm số y = − A y′ = sin (1 − x ) 2 tan (1 − x ) B y′ = − 4x 4 C y′ = − D y′ = − sin (1 − x ) sin (1 − x ) sin (1 − x ) Lời giải Chọn A −4 ′ −2 ( tan (1 − x ) ) cos x (1 − x ) −4 y′ = − = = 2 tan (1 − x ) tan (1 − x ) sin (1 − x ) Câu 47: Tính đạo hàm hàm số = f ( x ) 5sin x − 3cos x điểm x = π Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com π π B f ′   = −3 C f ′   = −5 2 2 Lời giải π A f ′   = 2 π D f ′   = 2 Chọn A f ′ ( x ) =( 5sin x − 3cos x )′ =5 ( sin x )′ − ( cos x )′ =5cos x + 3sin x π π π Suy f ′   = 5cos + 3sin = 2 2 Câu 48: Hàm số thỏa mãn hệ thức y′ + y + =? B y = tan x A y = sin x C y = cos x D y = cot x Lời giải Chọn D Với = y tan x ⇒ = y′ +2 Do y′ + y = y cot x ⇒ = y′ Với = cos 2 x + tan 2 x= +2 cos x cos 2 x −1 −2 suy y′ + y 2= +2 + cot 2 x= +2 2 sin x sin x Câu 49: Cho f ( x ) = sin ax , a > Tính f ′ ( π ) ′ ( π ) 2sin ( aπ ) cos ( aπ ) A f= B f ′ ( π ) =0 C = f ′ ( π ) 3a sin ( aπ ) D = f ′ ( π ) 3a sin ( aπ ) cos ( aπ ) Lời giải Chọn D = f ′ ( x ) 3= sin ( ax )( sin ax )′ sin ( ax )( a cos ax ) Câu 50: Cho hàm số y = sin x Mệnh đề đúng? π  sin  x −  4  C y + y′′ = B y − y′′ = ′+ y′′ A y= D y′+ y′ tan x = Lời giải Chọn C y′ = sinx cosx = sin x, y′′ = cos x = (1 − sin x ) = − sin x Do y += y′′ sin x + − sin= x Câu 51: Xét hàm số y = − cos x x ≠ f ( x ) = Mệnh đề sau đúng? x2 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com A f ( x ) hàm số lẻ B f ( x ) hàm tuần hoàn chu kì 2π C f ( x ) có đạo hàm x = D f ( x ) khơng có đạo hàm x = Lời giải Chọn D − cos ( − x ) − cosx x ≠ f ( ) = Do đó, f ( x ) hàm số chẵn, = x2 (−x) = y (−x) f ( x ) khơng hàm số tuần hồn x x  sin sin   − cosx lim 1= Mặt khác nên hàm số không liên tục lim y lim lim = = =  x  2 0 x →0 x →0 x x → → 2 x x  4      điểm x = f ( x ) khơng có đạo hàm x = Câu 52: = Đạo hàm hàm số y log ( x + 1) A y′ = ln 4x +1 B y′ = ( x + 1) ln C y′ = ( x + 1) ln D y′ = 2017 x ln 2017 D y′ = 2017 x.ln 2017 ln 4x +1 Lời giải Chọn B = y′ ( x + 1)′ = ( x + 1) ln ( x + 1) ln x Câu 53: Đạo hàm hàm số y = 2017 C y′ = B y′ = 2017 x x −1 A y′ = x.2017 Lời giải Chọn D Ta có y′ = 2017 x.ln 2017 Câu 54: Cho hàm số f ( x= ) ( x + 1) e x Tính f ′ (0) B A 2e C Lời giải D Chọn D Ta có: f ( x ) = ( x + 1) e x ⇒ f ' ( x ) =( x + ) e x ⇒ f ' ( ) =2 Câu 55: y 3x + log x Tính đạo hàm hàm số = = y ′ 3x ln + A x ln10 = y ′ log x + ln C = y ′ log x + B D y ′ = x ln − ln x ln Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A = y 3x + log x = y′ 3x ln + x ln10 y Câu 56: Tìm tập xác định D hàm số = A D = [ −2; 2] − log 22 x B D = ( 0;16] C D = ( 0; 4] 1  D D =  ;  4  Lời giải Chọn D x > x > x >  ⇔ ⇔ 1 Hàm số có nghĩa ⇔  −2 ≤ log x ≤ log x ≤  ≤ x ≤ Câu 57: Cho hàm số = f ( x) ln ( x + 1) Đạo hàm f ′ (1) A B ln C D Lời giải Chọn C Ta có: f ′ ( x ) = x3 ⇒ f ′ (1) = x4 + ( x − 2x + 2) ( x − ) + ( x − x + ) ln Câu 58: Tính đạo hàm hàm số y = A y′ = C y′ = x 3x x 2 x x y′ D = y′ B = ( x − ) 3x ln ( x − ) 3x Lời giải Chọn A y' = ( x − ) 3x + ( x − x + ) 3x ln Câu 59: Đạo hàm hàm số y = A y′ = 2− x ln 2x B y′ = − 2x C y′ = − ln 2x D y′ = − ( 2x ) Lời giải Chọn C ln y =x = 2− x ⇒ y′ = −2− x.ln = − x 2 Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 19  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Câu 60: Tính đạo hàm hàm số y = A y′ = 1− x 1− x B y′ = 1− x ln 2 1− x 1− x C y′ = − ln 2 1− x 1− x D y′′ = −2 1− x 1− x Lời giải Chọn C ( ) ' y' = − x 1− x − ln ln =2 1− x 1− x Câu 61: Tính đạo hàm hàm số y = tan x A y′ = tan x.2 tan x −1 ln B y′ = tan x.2 tan x −1 ln C y′ = tan x ln sin x D y′ = Lời giải tan x ln cos x Chọn D tan x ln ( tan x )′ Ta có: y′ 2= = tan x ln cos x Câu 62: Cho hàm số Mệnh đề đúng? = y f= ( x ) ln ( 2.e x + m ) có f ′ ( − ln ) = A m ∈ (1;3) B m ∈ ( −5; −2 ) C m ∈ (1; +∞ ) D m ∈ ( −∞;3) Lời giải Chọn D Điều kiện: 2.e x + m > Ta có f ′ ( x ) = 2e x 2e x + m 3 2e − ln ⇔ = ⇔m= − Theo đề ta có f ′ ( − ln ) = ⇔ − ln = 1+ m 2e + m Vậy m ∈ ( −∞;3) Câu 63: Cho hàm số = y ln ( e x + m ) Với giá trị m y′ (1) = A m = e Chọn D B m = −e C m = e Lời giải D m = ± e ex e ⇒ y′ (1)= x e +m e + m2 e Khi y′ (1) = ⇔ = ⇔ 2e = e + m ⇔ m = ± e 2 e+m Ta có y=′ Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Câu 64: Hàm số y = ln ( x − 2mx + ) có tập xác định D =  giá trị tham số m là: A m < C m = B m < −2 m > D −2 < m < Lời giải Chọn D Hàm số y = ln ( x − 2mx + ) có tập xác định  x − 2mx + > 0, ∀x ∈  (1) a = > ⇔ m − < ⇔ −2 < m < ′ ∆ < (1) ⇔  Câu 65: Ông Tú dự định gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất 6,5% năm Biết rằng, sau năm số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x ∈  ) ông Tú gửi vào ngân hàng để sau năm số tiền lãi đủ mua xe gắn máy giá trị 30 triệu đồng A 145 triệu đồng B 154 triệu đồng C 150 triệu đồng D 140 triệu đồng Lời giải Chọn A  6,5  Theo công thức lãi kép, số tiền lãi ông Tú nhận sau năm là: y = x 1 +  −x  100  = (1, 065 ) − 1 x   = Ta có: (1, 065 ) − 1 x = 30 ⇔ x   30 (1, 065) −1 ≈ 144, 27 triệu Vậy ông Tú cần gửi 145 triệu để sau năm số tiền lãi đủ mua xe gắn máy giá trị 30 triệu đồng Câu 66: Hàm số = y log ( x − x + m ) có tập xác định  A m < B m > C m ≥ Lời giải D m > Chọn D Điều kiện: x − x + m > Hàm số cho có tập xác định  x − x + m > (*) ∀x ∈  Đặt t = x với t > , bất phương trình (*) trở thành: t − t + m > ∀t > Xét hàm số f ( t = ) t − t , ∀t > ta có f ′ ( t=) 2t − ; f ′ ( t ) = ⇔ t = 1 Lập bảng biến thiên ta tìm f ( t ) = f   = − ( 0;+∞ ) 2 1 Để bất phương trình t − t + m > , ∀t > −m < − ⇔ m > 4 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Cách khác: t − t + m > ∀t ∈  (thỏa mãn yêu cầu toán) 1  Trường hợp 2: ∆ = ⇔ m = phương trình t − t + =0 ⇔ t = (không thỏa mãn yêu 4 cầu toán) b  Trường hợp 3: ∆ > ⇔ m < Ta thấy − =1 > nên phương trình t − t + m =0 không a thể có hai nghiệm âm Tức t − t + m không thề dương với t > Vậy m >  Trường hợp 1: ∆ = − 4m < ⇔ m > B TỰ LUẬN Câu 67: Cho hàm số f (= x) x − x Giải bất phương trình f ' ( x ) ≥ f ( x ) Lời giải f '( x) ≥ f ( x) ⇔ 2x − 2 x − 2x > x − x (với x − x > )   x > x >     (vô nghiệm) ⇔ ⇔  x < x <  x −1 > x2 − 2x 0 > x − x +   Câu 68: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ℝ Xét hàm số g= ( x ) f ( x ) − f ( x ) h= ( x ) f ( x ) − f ( x ) Biết g ' (1) = 18 g ' ( ) = 1000 Tính h ' (1) Lời giải '( x) f '( x) − f '( 4x) g= ' ( x ) f ' ( x ) − f ' ( x ) h= f ' ( ) 18 f ' ( ) 18  f ' (1) − 2=  f ' (1) − 2= Do g ' (1) = 18 g ' ( ) = 1000 nên  ⇔ f ' ( ) 1000 2 f ' ( ) −= f ' ( ) 2000  f ' ( ) −= Cộng vế theo vế ta f ' (1) − f ' ( ) = 2018 ⇒ h ' (1) = 2018 Câu 69: Cho hàm số = y f= ( x) x + x +1 Tính giá trị biểu thức = P f ' (1) + f ' ( ) + + f ' ( 2018 ) Lời giải f ( x )= x +1 − x = x +1− x x +1 − x 1 1 1  Suy f ' ( x ) = − = −  −  2 x x +1 x x +1  Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com −1  1 1 1  1  − 2019 − + − + + − = − 1 − Khi P =   =  2 2 2018 2019  2019  2019 Câu 70: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ' ( x= ) ax + Viết f ( x )= b , f ( −1) = , f (1) = , f ' (1) = x2 ax b − + c Tính abc x Lời giải    f ' (1) = a + b =  a =1   a b  Ta có  f ( −1) = − + c =2 ⇔ b =−1 ⇒ abc =− −1   a b  c =   f (1) = − + c = Câu 71: Cho y = x2 − 2x + , y ' = ax + b x2 − 2x + Khi giá trị a.b bao nhiêu? Lời giải x − x + 3) (= ' = y' x2 − x + 2x − = x2 − x + x −1 x2 − x + Do a =1, b =−1 ⇒ ab =−1 Câu 72: Cho hàm số f ( x) = sin x cos x   + cos x −  sin x +  Tìm nghiệm phương trình 4    π f ′ ( x ) = thuộc  0;   2 Lời giải f ′= ( x) cos x − sin x.4   − sinx −  cosx +  4   = cos x − sinx − cosx + sin x π π   ⇔ sin x + cos x = sinx + cosx ⇔ sin  x +  = sin  x +  Khi f ′ ( x ) = 6 3   π π   = x 4 x + = x + + k 2π  ⇔  4 x + π =π −  x + π  + l.2π = x   3  π 18 π 10 + kπ + l.2π  π π π  Kết hợp x ∈  0;  ⇒ x =  ;   2 18  Câu 73: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y= log ( x − 2mx + ) có tập xác định  Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Lời giải ( *) Điều kiện: x − 2mx + > Để (*) với x ∈  ∆=′ m − < ⇔ −2 < m < Câu 74: Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% / năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu ( người ta gọi lãi kép) Để người lãnh số tiền 250 triệu người cần gửi khoảng thời gian năm? (nếu khoảng thời gian không rút tiền lãi suất không thay đổi) Lời giải A a (1 + r ) với A số tiền gởi sau n tháng, a số tiền gởi ban đầu, Ta có cơng thức tính = n r lãi suất 250.106 100.106 (1 + 0, 07 ) ⇔ 1, 07 n = = 2,5= ⇔ n log1,07 = 2,5 13,542 n  Câu 75: Cho hình vng ABCD có diện tích 36 , AB vecto phương đường thẳng y = Các điểm A , B , C nằm đồ thị hàm số y = log a x ; y = log a x ; y = 3log a x Tìm a Lời giải Do diện tích hình vng 36  cạnh Gọi A ( m;log a m ) ∈ y = log a x  B ( m − 6;log a m ) C ( m − 6;6 + log a m ) Vì B ( m − 6;log a m ) ∈ y = log a m log a ( m − ) (1) log a x = Vì C ( m − 6;6 + log a m ) ∈ y = 3log a x  + log a m= 3log a ( m − ) (2) Giải (1)  m = Thay vào ( )  a = Câu 76: Cho hàm số f ( x ) = 2x Tính f ( ) + 2x + Với a + b = f (b) , ta có f ( a ) + = = 1 f   + +  10  Lời giải  19  f   10  2a 2b + a + 2b + 2a.2b + 2.2a + 2a.2b + 2.2b 2a +b + 2.2a + 2a +b + 2.2b + 2.2a + + 2.2b = = a +b = + 2.2a + 2.2b + + 2.2a + 2.2b + ( 2a + )( 2b + ) Do với a + b = f ( a ) + f ( b ) = 1  19  Áp dụng ta f ( ) + f   + + f    10   10   1 = f ( 0) +  f   +   10  59 = + 9.1 + =  19    f   +  f  10     2  +  10    18   f    + +  f  10    9  +  10   11   f    + f (1)  10   Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24