Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm, với các bài học được soạn bằng PowerPoint sinh động, dễ hiểu là tài liệu hữu ích cho việc thiết kế bài giảng của quý thầy cô giáo; các em học sinh có thể nắm được khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm. Ngoài ra, các em còn biết sự tồn tại của nguyên hàm, bảng, nguyên hàm của các hàm số thường gặp thông qua việc học trên bài giảng này.
Bài tốn vật lý • Ta biết tốn chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) hàm số có đạo hàm • Khi vận tốc thời điểm t v(t)=f’(t) • Trong thực tế có ta gặp tốn ngược biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t) Từ ta có tốn: Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) cho khoảng đó: F’(x)=f(x) &1 NGUYÊN HÀM I Nguyên hàm tính chất : II Nguyên hàm : a Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm hàm số nào? a F(x) = x2 b F(x) = x2 + c F(x) = x2 - d Tất hàm số Hãy chọn phương án Nhận xét • Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C số tùy ý) nguyên hàm hàm số f(x)=2x Trên R • Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C số túy ý) nguyờn hm ca hm s cỏc khong xác định g(x) = cos x Tổng quát ta có định lý: b.Định lý: • Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng K thì: *Với số C, F(x) +C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng *Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a;b) viết dạng F(x)+C với C số F(x) + C (C thuéc R) gäi họ nguyên hàm f(x) f ( x).dx = F ( x) + C kí hiệu : ∫ 2.Tính chất nguyên hàm Tính chất : ∫ Tính chất : kf ( x ) dx = k f ( x ) + C ( k ≠ 0) ∫ ∫ Tính chất : f ( x)dx = f ( x) + C / [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx ∫ ∫ ∫ Sự tồn nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Nguyên hàm số hàm số thường gặp x dx = C a x ∫ +C 5.∫ a dx = ln a 2.∫ dx = X + C 6.∫ cos x.dx = Sinx + C α +1 α 3.∫ x dx = x + C sin x.dx = - Cosx + C ∫ α +1 4.∫ 1 dx = Tanx + C dx =ln x + C 8.∫ cos x x 5.∫ e dx = e + C x x 9.∫ dx =- cotx + C sin x VD: Tính nguyên hàm − 1.∫ (3 x + )dx = 3∫ x dx + ∫ x dx x = x + 2x + C 2, ∫ (2sin x −2 )dx = ∫ sin xdx − ∫ dx x +1 x x = −2 cos x − +C ln 3, ∫ 2sin x.cos xdx = 2( ∫ sin xdx + ∫ sin xdx) = − cos x − cos x + C Qua học ta biết - Định nghĩa nguyên hàm từ biết cách chứng minh hàm số nguyên hàm hàm số cho trước - Tìm họ nguyên hàm cách tìm nguyên hàm cộng thêm số C VD 2: Chứng minh rằng: ta n x − x + C tan xdx = ∫ Ta có : tan xdx = ∫ (1 + tan x − 1) dx ∫ = ∫ ( − 1)dx = tan x − x + C cos x π Hàm số F (x) = cos − 2x÷là nguyên 3 hàm hàm số sau đây? a b π f1 ( x) = sin 2x − ÷ 3 π f2 ( x) = − sin − 2x÷ 3 c d π f3 ( x) = sin − 2x÷ 3 π f4 ( x) = sin − 2x÷ 3 Xác định a để hàm số ax + F ( x) = x−1 f ( x) = a số nguyên hàm hàm R \ { 1} ÷ Ta có ( x − 1) − −a − / F ( x) = = 2 ( x − 1) ( x − 1) Suy : - a – = Vậy a = - Cho f ( x) = x+ 2x + F ( x) = ( ax + b) x + Xác định a, b để F(x) nguyên hàm f(x) − ; +∞ GIẢI: ÷ F ( x) = a x + + (ax + b) x + a(2 x + 1) + ax + b 3ax + a + b = = 2x +1 2x +1 a= / Suy : 3a = a + b = ⇒ b = Xác định a, b, c cho hàm số F(x)=(ax2+bx+c)e-x nguyên hàm hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x R 1 Hàm số F (x) = x nguyên hàm hàm số sau đây? a f1 ( x) = x b f2 ( x) = 2x x c d f3 ( x) = − f4 ( x) = 4x x 4x x Bài tập: Tìm F(x) biết F (x) = F(1)=3 ∫ 2xdx Hướng dẫn: F(x)=x2+C Mà F(1)=3 ⇒ 1+C=3⇒C=2 Vậy F(x)=x2+2 II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số: a Định lý 1: Nếu u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục thì: b.Phương pháp: B1: đặt u = u(x) B2: tính du = u’(x)dx B3: tính ∫ ∫ ∫ f (u )dx = F (u ) + C f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C / f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C / VD: Tính nguyên hàm sau: (2 x + 1) dx ∫ B1: Đặt u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: du (2 x + 1) dx = u ∫ ∫ 1 6 = ∫ u du = u + C = (2 x + 1) + C 12 12 5 VD: tính nguyên hàm sau x ∫ B1: Đặt B2: B3: x + 5.dx u = x +5 du = 3x dx du ⇒ x dx = du x x + dx = u ∫ ∫ 3 3 2 2 = ∫ u du = u + C = ( x + 5) + C 9 Cách VD: tính nguyên hàm sau x ∫ B1: đặt B2: B3: x + 5.dx u = x +5 ⇒u = x +5 2u.du 2u.du = x dx ⇒ x dx = 2 2u.du ∫ x x + 5.dx = ∫ u 3 2 3 = ∫ u du = u + C = ( x + 5) + C 9 VD: Tính nguyên hàm sau sin x cos x dx ∫ B1: đặt B2: u = sin x du = cos x.dx B3: ∫ sin x.(1 − sin x) cos x.dx = ∫ u (1 − u ).du = ∫ (u − u )du u u sin x sin x = − +C = − +C 5 ... hàm số f(x) xác định khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) cho khoảng đó: F’(x)=f(x) &1 NGUYÊN HÀM I Nguyên hàm tính chất : II Nguyên hàm : a Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên. .. x − cos x + C Qua học ta biết - Định nghĩa nguyên hàm từ biết cách chứng minh hàm số nguyên hàm hàm số cho trước - Tìm họ nguyên hàm cách tìm nguyên hàm cộng thêm số C VD 2: Chứng minh rằng:... K thì: *Với số C, F(x) +C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng *Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a;b) viết dạng F(x)+C với C số F(x) + C (C thuéc R) gäi họ nguyên hàm f(x) f ( x).dx = F ( x)