Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm được soạn bằng PowerPoint sinh động, dễ hiểu. Thư viện điện tử hy vọng, bài giảng sẽ là tài liệu hữu ích cho việc thiết kế bài giảng của quý thầy cô giáo; các em học sinh có thể nắm được khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm. Ngoài ra, các em còn biết sự tồn tại của nguyên hàm, bảng, nguyên hàm của các hàm số thường gặp thông qua việc học trên bài giảng này.
CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 12/03/22 Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 12/03/22 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) nếu: a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : ' a)Ta có (x ) = 2x nên F(x) = x ' b) Ta thấy (sin x ) = cos x nên F(x) = sinx ta nói F(x) nguyên hàm f(x) 12/03/22 1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng hay đoạn hay nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : 1 Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số y= cos x Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số y = x ln 10 12/03/22 1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) hiểu là: F ( x) − F (a) = f (a) lim x−a x→a + hay F ( x) − F (b) = f (b) lim x−b x →b − • Cho hai hàm số f F liên tục đoạn [a;b] Nếu F nguyên hàm f (a;b) chứng minh rằng: F’(a) = f(a) F’(b) = f(b) Do F nguyên hàm f đoạn [a;b] 12/03/22 1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngược lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 12/03/22 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) họ nguyên hàm f(x) F(x) + C kí hiệu là: ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ,C ∈ ¡ f(x)dx vi phân F(x) Ký hiệu dùng nguyên hàm hàm số f ( ∫ f ( x )dx )' = f ( x ) Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K 12/03/22 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp ∫ 0dx = C ∫ dx = ∫ 1dx = x +C α +1 x ∫ x dx = α + + C (α ≠ −1) α ∫ x dx = ln x + C 12/03/22 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp cos( kx + b ) + C ,k ≠ ∫ sin( kx + b )dx = − k sin( kx + b ) +C ∫ cos( kx + b )dx = k x kx a e x kx a dx = + C( < α ≠ ) e dx = + C ∫ ∫ ln a k ∫ cos x dx = tan x + C 12/03/22 ∫ dx = − cot x + C sin x 3./ Một số tính chất nguyên hàm Định lý 2: Nếu f, g hai hàm số liên tục K, với a số thực khác thì: ∫ [f ( x ) + g( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx ∫ af ( x )dx = a ∫ f ( x )dx Chú ý: 12/03/22 [ ∫ f ( x )dx ] ' = f ( x ) ∫ f ( t )dt = F ( t ) + C ⇒ ∫ f [u( x )]u'( x )dx = F [u( x )] + C ∫ f ( u )du = F ( u ) + C 10 3./ Một số tính chất nguyên hàm Chú ý: Nêu ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ∫ f ( ax + b )dx = ∫ f ( ax + b )d( ax + b ) a = F ( ax + b ) + C a u ' ( x) ∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ dx = x +C x 12/03/22 n n n +1 ∫ xdx = n + x + C dx n n n −1 ∫ n x = n −1 x + C n dx −1 ∫ x n = (n − 1) x n−1 + C 11 Hỏi nhanh: mệnh đề sau sai: A B e dx = e + C ∫ x x dx = x + C ∫ sin xdx = cos x + C ∫ x D ∫ xdx = +C C 12/03/22 12 Ví dụ 1: Tìm ngun hàm hàm số: f( x)= Giải x + 3x + 5x f ( x) = x + 3 x + x = x + (3 x) + (5 x) ∫ f ( x)dx = ∫ [ x 2 3 + (3 x) + (5 x) ]dx 3 2x 3 = +3 ⋅ x +5 ⋅ x +C 4 3 3 = x + ⋅ x + 3⋅ ⋅ x +C 4 12/03/22 13 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số: f( x)=(3 +2 ) x Giải x f ( x) = (3 + ) = (3 ) + 2.3 + (2 ) x x x = + 2.6 + x Vậy ∫ 12/03/22 x x x x x x x x f ( x)dx = + + +C ln ln ln 14 Ví dụ 3: Tìm ngun hàm hàm số: sin x − f( x)= sin x Giải sin x − sin x f ( x) = = − sin x 3 sin x Vậy sin x ∫ − sin x dx = − cos x + cot x + C 12/03/22 15 Ví dụ 3: Tìm ngun hàm hàm số: x x f ( x ) = sin − sin 3 Giải x x f ( x) = sin − sin 3 Vậy x x = −2(3 sin − sin ) = −2 sin x 3 f ( x ) dx = ( − sin x ) dx ∫ ∫ = −2(− cos x) + C = cos x + C 12/03/22 16 Bảng nguyên hàm mở rộng ∀a ≠ ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C 1 ∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C ∫e ax + b ax +b dx = e +C a α +1 ( ax + b ) α ( ax + b ) dx = ⋅ + C (α ≠ −1) ∫ a α +1 1 ∫ sin (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C 12/03/22 17 Ví dụ 4: tìm ngun hàm hàm số: Giải f( x)= x2 + x − 1 f ( x) = = ⋅ x + x − ( x − 1)( x + ) 2 [( x + ) − ( x − 1)] 1 = ⋅ = ( − ) 3 x − ( x − 1)( x + ) x+ 2 1 dx − ∫ dx] Vậy ∫ f ( x)dx = [ ∫ x −1 x+ = [ln x − − ln x + / + C ] x −1 = ln +C 12/03/22 x + 3/ 18 Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm hàm số: f( x)= Giải f ( x) = = + sin x − cos x + sin x − cos x π − cos( x + ) 1 = = π π x 2[1 − cos( x + )] 2 sin ( + ) Vậy 12/03/22 ∫ dx −1 x π f ( x)dx = = cot( + ) + C ∫ 2 sin ( x + π ) 2 19 Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm hàm số: f(x)= e +e x Giải −x x − 2dx −x 2 x f ( x) = e x + e − x − = (e − e ) =| e − e x Xét e − e x −x −x | x −x ≥0⇔ ≥ ⇔ x≥0 2 −x x −x −x x f ( x) = e − e ⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ (e − e )dx = 2(e + e ) + C Xét x e −e x f ( x ) = −e + e 12/03/22 −x −x