Giáo án toán 11 cánh diều

Toán 11 Cánh diều Toán 11 Cánh diều Ngày soạn: / / Ngày dạy: / / BÀI 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC I MỤC TIÊU: Kiến thức, kĩ năng: Học xong này, HS đạt yêu cầu sau: - Mô tả phép biến đổi lượng giác bản: công thức cộng, công thức nhân đơi, cơng thức biến đổi tích thành tổng, cơng thức biến đổi tổng thành tích - Vận dụng, giải số vấn đề toán học thực tiễn gắn với giá trị lượng giác góc lượng giác phép biến đổi lượng giác Năng lực Năng lực chung: - Năng lực tự chủ tự học tìm tịi khám phá - Năng lực giao tiếp hợp tác trình bày, thảo luận làm việc nhóm - Năng lực giải vấn đề sáng tạo thực hành, vận dụng Năng lực riêng: - Tư lập luận toán học: So sánh, phân tích liệu tìm mối liên hệ đối tượng cho nội dung học phép biến đổi lượng giác, từ áp dụng kiến thức học để giải tốn - Mơ hình hóa tốn học, giải vấn đề tốn học: Mơ tả liệu liên quan đến yêu cầu toán thực tiễn để lựa chọn đối tượng cần giải liên quan đến kiến thức toán học học, thiết lập mối liên hệ đối tượng Đưa thành toán thuộc dạng biết - Giao tiếp tốn học - Sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Phẩm chất - Có ý thức học tập, ý thức tìm tịi, khám phá sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tơn trọng ý kiến thành viên hợp tác - Chăm tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo hướng dẫn GV Toán 11 Cánh diều II THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học Đối với HS: SGK, SBT, ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước ), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU) a) Mục tiêu: - Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung học b) Nội dung: HS đọc tình mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi c) Sản phẩm: HS đưa nhận định ban đầu cơng thức tính toán, biến đổi chứa giá trị lượng giác d) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: - GV đặt câu hỏi gợi mở: + Ở lớp dưới, ta làm quen với số phép tính tập hợp số thực Chúng ta biết nhiều phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên số thực, nhữn cơng thức để tính tốn hay biến đổi biểu thức chứa lũy thừa, ví dụ: 2m +n=2m 2n + Có hay khơng cơng thức để tính tốn hay biến đổi biểu thức chứa giá trị lượng giác? Bước 2: Thực nhiệm vụ: HS quan sát ý lắng nghe, thảo luận nhóm hồn thành u cầu Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết HS, sở dẫn dắt HS vào học mới: “Việc lấy giá trị lượng giác góc lượng giác hình thành nên Tốn 11 Cánh diều phép tính tập hợp số thực Bài học hôm nay, tìm hiểu số phép tính lượng giác.” Bài mới: Các phép biến đổi lượng giác B HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI Hoạt động 1: Công thức cộng a) Mục tiêu: - HS phát biểu công thức cộng - HS vận dụng công thức cộng tính tốn giá trị lượng giác góc lượng giác b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực nhiệm vụ giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hoạt động 1, 2, 3, Luyện tập 1, 2, 3, đọc hiểu ví dụ c) Sản phẩm: HS hình thành kiến thức học, câu trả lời HS cho câu hỏi HS nhận biết công thức cộng sử dụng để tính giá trị lượng giác góc d) Tổ chức thực hiện: HĐ CỦA GV VÀ HS Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: SẢN PHẨM DỰ KIẾN I Công thức cộng - GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đơi, HĐ 1: a= π , b= π hoàn thành HĐ π π √3 + Tính giá trị lượng giác góc a) sin = ;cos = , theo đề bài, từ rút đẳng thức sin ( a+ b ) sin ( a−b ) π π sin = √ ; cos ⁡ = 3 (6 ) ( 2) π π π =1 + b) HS nhắc lại mối quan hệ sin ( a+ b )=sin + =sin giá trị lượng giác hai góc đối nhau? 1 3 sin a cos b+cos a sin b= + √ √ =1 2 2 (cos (¿−b)=cos b ; sin(¿−b)=−sin b ¿ ¿ ) Vậy sin ( a+ b )=sin a cos b+cos a sin b - GV giới thiệu trường hợp tổng quát b) với góc lượng giác a, b, cơng thức sin ( a−b )=sin [ a+ (−b ) ]=sin a cos (−b ) +cos a sin ⁡¿ ¿ sin ( a+ b ) sin ( a−b )có mối liên hệ = sin a cos b−cos a sin b với sin a, sin b, cos a, cos b Toán 11 Cánh diều + Đây gọi chung công thức cộng Kết luận sin sin ⁡(a+b)=sin ⁡a cos ⁡b+cos ⁡a sin ⁡b sin ( a−b )=sin acos b−cos asinb - HS đọc Ví dụ GV đặt câu hỏi: + Để tính sin 5o , ta sử dụng Ví dụ (SGK – tr.16) cơng thức cộng cho hai góc lượng giác nào? (Hai góc 45 o ;30 o) - Tương tự HS thực Luyện tập Luyện tập 1: sin ( ) π π π π π =sin − 12 π + Ta sử dụng cơng thức cộng ¿ sin cos −cos sin cho hai góc lượng giác nào? - HS thực nhóm đơi làm HĐ ¿ π √6−√ + Nhắc lại mối quan hệ giá trị HĐ 2: [ ] lượng giác hai góc phụ nhau, hai a) cos ( a+b ) =sin π −( a+b ) =¿ góc đối sin + Thực theo hướng dẫn HĐ 2, ta thu đẳng thức nào? (Thu được: ¿ sin [( ) ] π −a −b ( π2 −a) cos b−cos ( π2 −a) sin b cos ( a+b ) =cosa cosb – sina sinb ¿ cosa cosb – sina sinb cos ( a−b ) b) cos ( a−b )=cos [ a+ (−b ) ] ¿ cosa cosb – sina sinb ¿ - HS phát biểu công thức cộng ¿ cosa cos ⁡(−b)– sina sin ⁡(−b) ¿ cosa cosb – sina sinb cơsin - GV giới thiệu cho HS nhớ Kết luận: nhanh công thức: cos ( a+b ) =cosa cosb – sina sinb + sin sin cos, cos sin Cos cos cos ( a−b )=cosa cosb+ sina sinb cos, sin sin + cos trái, sin (thể dấu cơng thức) Tốn 11 Cánh diều - HS đọc hiểu Ví dụ 2, trình bày lại - HS áp dụng thực Luyện tập Ví dụ (SGK – tr 17) + Ta sử dụng công thức cộng Luyện tập 2: cho hai góc lượng giác nào? cos 5o =cos(¿ 5o −3 0o )¿ o o o o ¿ cos cos + sin sin ¿ √6 + √ HĐ 3: - HS thực HĐ theo nhóm đơi tan(¿ a+ b)=sin GV hướng dẫn + Viết tan(¿ a+ b) ¿ theo sin(¿ a+b) ¿và cos ( a+b ) , khai triển công thức cộng sin côsin (¿ a+b) ¿¿ sin a cos b+ cos a sin b cos (¿ a+ b)= ¿ cos a cos b−sin a sin b sin a cos b+cos a sin b cos a cos b tan a+tan b ¿ = cos a cos b−sin a sin b 1−tan a tan b cos a cos b + Để xuất tan a tan b ta phải b) tan ( a−b )=tan [ a+ (−b ) ] = làm nào? (Chia tử mẫu cho cos a cos b) tan a+ tan (−b ) 1−tan a tan (−b ) tan a−tan b = 1+ tan a tan b + b) HS biến đổi theo hướng dẫn Kết luận đề sử dụng mối quan hệ với hai góc đối tan ( a+b ) = tan a+ tan b 1−tan a tan b tan ( a−b )= tan a−tan b 1+ tan a tan b + GV giới thiệu công thức cộng đối (khi biếu thức có nghĩa) với tang Ví dụ (SGK – tr.17) - HS đọc trình bày, giải thích Ví dụ Luyện tập 3 - HS thực hành Luyện tập +Ta sử dụng cơng thức cộng cho hai góc lượng giác nào? Bước 2: Thực nhiệm vụ: - HS theo dõi SGK, ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành yêu ∘ ∘ tan 135 + tan30 ∘ ∘ ∘ tan165 =tan ( 135 +30 )= ∘ ∘ 1−tan135 tan30 ¿−2+ √ Toán 11 Cánh diều cầu, thảo luận nhóm - GV quan sát hỗ trợ Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày - Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm: + Công thức cộng sin, côsin, tang + Cách đọc để nhớ công thức nhanh Hoạt động 2: Công thức nhân đôi a) Mục tiêu: - HS phát biểu công thức nhân đôi - HS vận dụng công thức nhân đơi tính tốn giá trị lượng giác góc lượng giác b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu GV, ý nghe giảng, thực hoạt động 4, Luyện tập 4, 5, ví dụ c) Sản phẩm: HS hình thành kiến thức học, câu trả lời HS cho câu hỏi HS nhận biết công thức nhân đơi để từ tính giá trị lượng giác góc d) Tổ chức thực hiện: HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: SẢN PHẨM DỰ KIẾN II Công thức nhân đôi - GV u cầu HS thảo luận nhóm đơi, HĐ 4: hồn thành HĐ + Hãy viết lại cơng thức cộng mục I, thay b = a, để thu mối quan +) sin a=sin ( a+a )=sin a cos a+¿ cos a sin a ¿ ¿ sin a cos a Toán 11 Cánh diều hệ sin2a sin a, cos a +) cos a=cos ( a+ a ) =cos a cos a−¿ sin a sin a ¿ Tương tự với giá trị lượng giác = cos a−sin a khác tan a+ tan a +) ta n2 a=tan ( a+ a ) = 1−tan a tan a = tan ⁡a 1−tan2 ⁡a Kết luận: sin ⁡2 a=2 sin ⁡a cos ⁡a 2 cos ⁡2 a=cos ⁡a−sin ⁡a - GV cho HS phát biểu, tổng kết lại công thức nhân đôi tan ⁡2a= tan ⁡a 1−tan ⁡a (khi biểu thức có nghĩa) Nhận xét: - GV đặt câu hỏi thêm:  + cos a sin2 a có mối quan hệ gì? cos ⁡2a=cos ⁡a−sin ⁡a=2 cos ⁡a−1=1−2 sin ⁡a (  cos ⁡a= cos a=cos a−sin a=¿ cos a−( 1−cos a )=2 cos ⁡a−1 ¿ 2 Từ tính cos a theo cos a ? 2 2 1+cos ⁡2 a 1−cos ⁡2 a ; sin ⁡a= 2 (thường gọi cơng thúc hạ bậc) ) + Tương tự tính cos a theo sin2 a ? + Từ công thức cos ⁡2a=2 cos2 ⁡a−1 tính cos a theo cos a ? Tương tự với sin a + HS đưa nhận xét với cos a , cosa , sina + Gv nhấn mạnh: tùy vào tốn ta phải chọn cơng thức với cos a phù hợp + GV giới thiệu tên thường gọi công thức hạ bậc nâng cung - HS đọc hiểu Ví dụ 4, trình bày lại cách làm, giải thích sử dụng tính chất cơng thức Ví dụ (SGK – tr.18) Luyện tập 4: a tan ⁡ =−2 a ( 2) 2.(−2) a tan a=tan (2 )= = 1−¿ ¿ a 1−tan ( ) 2 tan 2 Toán 11 Cánh diều - HS làm Luyện tập a + Nhận xét mối quan hệ hai góc a , từ áp dụng cơng thức phù hợp Ví dụ (SGK – tr.18) Luyện tập - HS đọc Ví dụ + Bài tốn sử dụng cơng thức nào? (Công thức hạ bậc nâng cung) - HS thực Luyện tập sin ( ) π = 1−cos π = √ 2−√ ⇒ sin π = 2−√2 4 π (Vì sin >0 ) π 1+ cos π 2+ √2 ⇒ cos π = 2+ √2 + Tìm góc đặc biệt liên quan đến góc cos = = 8 π ? π (Vì cos > 0) π (Góc ) () + Áp dụng cơng thức để tính π π sin , từ giá trị lượng giác góc ? (công thức hạ bậc nâng cung) π + Giá trị sin âm hay dương?Vì sao? π + Tương tự với việc tính cos Bước 2: Thực nhiệm vụ: - HS theo dõi SGK, ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành yêu cầu - GV: quan sát trợ giúp HS Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày √ Toán 11 Cánh diều - Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở: + Công thức nhân đôi + Công thức hạ bậc nâng cung Hoạt động 3: Công thức biến đổi tích thành tổng Cơng thúc biến đổi tổng thành tích a) Mục tiêu: - HS phát biểu cơng thức biến đổi tích thành tổng, cơng thức biến đổi tổng thành tích - HS vận dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng, tích thành tổng tính tốn giá trị lượng giác góc lượng giác b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực nhiệm vụ giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hoạt động 5, 6, Luyện tập 6, 7, ví dụ c) Sản phẩm: HS hình thành kiến thức học, câu trả lời HS cho câu hỏi HS nhận biết công thức biến tổng thành tích, tích thành tổng áp dụng tính giá trị lượng giác góc lượng giác, tính giá trị biểu thức lượng giác d) Tổ chức thực hiện: HĐ CỦA GV VÀ HS Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: SẢN PHẨM DỰ KIẾN III Cơng thức biến đổi tích thành tổng - GV yêu cầu HS thảo luận nhóm 4, Kết phiếu học tập theo phương pháp khăn trải bàn làm Câu phiếu học tập 1: a) (HĐ 5) + GV cho HS thảo luận làm câu 1- cos (¿ a+b)+ cos(¿ a−b)=(cos a cos b−sin a sin b)+(cos a cos b+sin a phiếu học tập ¿ cos a cos b Toán 11 Cánh diều - GV cho HS trình bày nội dung câu cos (¿ a+b)−cos( ¿ a−b)=( cos a cos b−sin a sin b)−(cos a cos b+sin 1, phiếu học tập ¿−2 sin a sin b sin( ¿ a+b)+sin( ¿ a−b)=(sin a cos b+cos a sin b)+(sin a cos b−cos a ¿ sin a cos b b) −1 cos a cos b= ¿sin a sin b= ¿sin a cos b= ¿ 2 Kết luận −1 cos a cos b= ¿sin a sin b= ¿sin a cos b= ¿ 2 Ví dụ (SGK – tr.19) Luyện tập 6: () cos a= 3a −1 2 1+cos a ⇒ cos a= = = 9 a Từ GV giới thiệu công thức cos ⁡ cos ⁡2 biến đổi tích thành tổng - HS đọc hiểu Ví dụ 6, trình bày ¿ [ ( )] ) ( 3a a 3a a cos + +cos − ¿ [cos a+ cos a]¿ 18 2 2 sử dụng công thức IV Cơng thức biến đổi tổng thành tích - Áp dụng, HS làm Luyện tập Kết phiếu học tập: + Để tính biểu thức B cần sử Câu (HĐ 6): dụng cơng thức nào? Phải tính cos u+ cos v =cos( ¿ a+b)+cos (¿ a−b)=2 cos a cos b ¿ ¿ giá trị nào? (Sử dụng cơng thức cos a cos b ,phải tính cos 2a cos u−cos v=cos (¿ a+ b)−cos (¿ a−b)=−2 sin a sin b ¿ ¿ sin u+sin v=sin(¿ a+b)+sin(¿ a−b)=2sin a cos b ¿ ¿ sin u−sin v=sin (¿ a+b)−sin(¿ a−b)=sin(¿ b+ a)+ sin(¿ b−a)=2 si u+v u−v Mà ta có a= ; b= , thay vào biểu thức ta có: cos u+ cos v =2cos u+ v u−v cos 2 cos u−cos v=−2 sin u+ v u−v sin 2 Toán 11 Cánh diều sin u+sin v=2 sin u+ v u−v cos 2 sin u−sin v=2 sin u−v u+v cos 2 cos u+ cos v =2cos u+ v u−v cos 2 - HS thảo luận làm câu – phiếu học tập GV gợi ý: + Viết cos u+ cos v cos (¿ a+b)+ cos(¿ a−b) , ¿ ¿rồi Kết luận: theo áp u+ v u−v sin 2 dụng cơng thức biến đổi tích thành cos u−cos v=−2 sin tổng viết theo cos a cos b u+v u−v sin ⁡u+ sin ⁡v=2 sin ⁡ cos ⁡ 2 + Viết a theo u v, tương tự viết b u +v u−v sin ⁡u−sin ⁡v =2 cos ⁡ sin ⁡ 2 theo u v Thay vào biểu thức có viết tổng cos u+ cos v theo tích giá trị lượng giác hai góc u v Ví dụ (SGK – tr.19) Luyện tập 7: 7π π +sin ⁡ 9 D= 7π π cos ⁡ −cos ⁡ 9 sin ⁡ 4π π cos − √3 ¿ = 4π π −2sin sin sin Ví dụ (SGK – tr.20) - GV cho HS trình bày kết phiếu học tập, từ giới thiệu cơng thức biến đổi tổng thành tích - GV lưu ý mối quan hệ hai loại công thức: biến tổng thành tích tích thành tổng để HS dễ nhớ - HS đọc, trình bày lại Ví dụ 7, giải Tốn 11 Cánh diều thích cơng thức sử dụng - HS làm Luyện tập 7: trình bày cách làm - HS đọc Ví dụ + Nêu rút gọn biểu thức tích u i ? Bước 2: Thực nhiệm vụ: - HS theo dõi SGK, ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hồn thành u cầu, thảo luận nhóm - GV quan sát hỗ trợ Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày - Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm: + Công thức biến tổng thành tích + Cơng thức biến tich thành tổng PHIẾU HỌC TẬP Câu a) (HĐ – SGK tr.18) Sử dụng công thức cộng, rút gọn biểu thức sau: cos (¿ a+b)+ cos(¿ a−b) ; cos( ¿ a+b)−cos(¿ a−b); sin(¿ a+b)+sin(¿ a−b)¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… b) Áp dụng kết câu a, điền vào chỗ chấm cho khẳng định Toán 11 Cánh diều −1 cos a cos b= ¿sin a sin b= ¿sin a cos b= ¿ 2 Câu (HĐ – SGK tr.19) Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng đặt a+ b=u ; a – b=v biến đổi biểu thức sau thành tích: cosu +cos v ; cos u – cos v ; sin u+sin v ; sin u – sin v (Gợi ý: cosu=cos ( a+b ) ; a= u+v u−v ; b= ) 2 ………………………………………………………………………………………… C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức học b) Nội dung: HS vận dụng kiến thức học làm tập trắc nghiệm 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, (SGK – tr.20+21) c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời HS HS vận dụng phép biến đổi lượng giác để tính giá trị lượng giác góc lượng giác, tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức d) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: - GV cho HS thực trắc nghiệm 5π π π 5π cos −sin cos 18 9 18 Câu Giá trị biểu thức P= π π π π cos cos −sin sin 12 12 sin A B C √2 D √3 Câu Khẳng định khẳng định sau? ( π A sin a+ cos a=√ sin a− ) ( ) π C sin a+ cos a=−√ 2sin a− ( ) π D sin a+ cos a=−√ 2sin (a+ ) π B sin a+ cos a=√ sin a+ Câu Nếu cos ( a+b ) =0 khẳng định sau đúng? A |sin ( a+ 2b )|=|sin a| B |sin ( a+ 2b )|=|sin b| Toán 11 Cánh diều C |sin ( a+ 2b )|=|cos a| D |sin ( a+ 2b )|=|cos b| ( ) ( ) π π Câu Rút gọn M =cos x + −cos x− A M =√ sin x B M =− √2 sin x C M =√ cos x D M =− √2 cos x A P= −4 3π C P= √5 thỏa mãn sin α =