Chuyen de co ban mon toan 7 ket noi tri thuc voi cuoc song tap 2

CHƯƠNG VI TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ Bài TỈ LỆ THỨC A LÝ THUYẾT 1) Tỉ lệ thức Ví dụ 1: a) Bạn An có vở, bạn Hà có Viết tỉ số số bạn An bạn Hà b) Bạn Bình có bút chì màu, bạn Minh có 14 bút chì màu Viết tỉ số số bút chì màu bạn Bình bạn Minh c) So sánh hai tỉ số gọi tỉ lệ thức Khi người ta nói = 14 Kết luận: a c ♣ Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số = b d a c ♣ Tỉ lệ thức = viết dạng a : b = c : d b d Ví dụ 2: Hai tỉ số 10 :15 : có lập thành tỉ lệ thức không? 7 10 2 cịn = Ta có 10 :15 = = = : 15 7 3 Do ta có tỉ lệ thức 10 :15 = : 7 2) Tính chất tỉ lệ thức −2 Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức = −10 Ta có tích chéo 20 5.4 = 20 ( −2 ) ( −10 ) = 5.4 Khi ta có hai tích chéo ( −2 ) ( −10 ) = Kết luận: a c = a d = b c b d ♣ Ngược lại a b = c d ta suy tỉ lệ thức sau: ♣ Nếu a d = c b a c = d b b d b c = = c a d a x Ví dụ 4: Tìm x từ tỉ lệ thức sau = x 30 Từ = ⇒ 3.x = 30 ⇒ x = = 10 Vậy x = 10 3 Ví dụ 5: Hãy lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức ( −6 ) = ( −3) Từ đẳng thức ( −6 ) = ( −3) ta tỉ lệ thức sau −3 = −6 = −3 −6 −6 = −3 −6 −3 = B BÀI TẬP Bài 1: Hãy lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức sau 3.4 = 1.12 Bài 2: Hãy lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức sau 2.10 = 4.5 Bài 3: Hãy lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức sau 2.9 = ( −3) ( −6 ) −11.6 Bài 4: Hãy lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức sau 22 ( −3) = Dạng Tìm x tỉ lệ thức x tỉ lệ thức sau: x x 1) 2) = = 3 27 15 10 5) 6) = = x 18 x Bài 2: Tìm x tỉ lệ thức sau: x −1 x −1 1) 2) = = 14 −25 15 −9 5) 6) = = x 12 x Bài 3: Tìm x tỉ lệ thức sau: 1) x :8 = : 2) x : = 3:10 Bài 1: Tìm 5) 20 : x = −12 :15 27 : x 6) −15 : 35 = x tỉ lệ thức sau: x −3 x −2 1) 2) = = 27 3,6 26 6,5 −2,6 −12 2,5 4,7 5) = 6) = x 42 x 12,1 Bài 5: Tìm x tỉ lệ thức sau: 12 15 14 1) : x = : 2) x : = : 3 99 90 1 5) : x = : 6) : x = :1 4 Bài 6: Tìm x tỉ lệ thức sau: 14 12 15 1) : x = : 2) x : = : 3 99 90 1 5) : x = : 6) : x = :1 4 3 x = 20 x 7) = 3) x −15 = −3 −1 x 7) = −5 −3 x = 15 21 8) = x 4) x −8 = −6 15 −7 8) = −x 3) 4) 3) : 27 = x : 72 − x : 21 4) −3: = −x : 7) −8 : = 7:6 8) −1: ( − x ) = Bài 4: Tìm 3) x −2 = 3,5 0,7 : x =1 : 3 2 7) : x = : 0, 3) : x =1 : 3 2 7) : x = : 0, 3) 4) x 0,15 = 3,15 7, 2 : x =1 : 12 8) : x = : 2, 25 4) : x =1 : 12 8) : x = : 2, 25 4) x tỉ lệ thức sau: x−2 x −1 1) 2) = = 10 15 x − −12 49 5) 6) = = 12 16 x − −2 Bài 8: Tìm x tỉ lệ thức sau: 2x 3x 1) 2) = = 10 10 15 Bài 9: Tìm x tỉ lệ thức sau: x 20 x −60 1) 2) = = x −15 x Bài 10: Tìm x tỉ lệ thức sau: x − 27 x−2 1) 2) = = x −1 x−2 x + 27 x+4 5) 6) = = x +1 20 x+4 2x −1 2x −1 9) 10) = = 2x −1 27 2x −1 Bài 11: Tìm x tỉ lệ thức sau: 1) 2) = = x x +1 x−3 x−5 x−3 x 6) 5) = = x+5 x + 16 35 Bài 12: Tìm x tỉ lệ thức sau: x −1 x − x x+5 1) 2) = = x +1 x + x+2 x+3 x − 18 x − 17 2x + 4x + 5) 6) = = x + x + 16 x + 10 x + Bài 7: Tìm x−7 = 16 24 15 7) = 2x −1 3) 3) x −3 = 20 4) x −2 = 49 3) x −121 = −25 x 4) 18 −x = − x x−2 = 12 x−2 x − −60 7) = −15 x − 3) 4− x x−2 = x − − 2x 7) = 11 3) 3) x + x −1 = x+4 x−2 Bài TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A LÝ THUYẾT −3 = x−2 x + −7 8) = 11 −3 4) x+2 = x+2 x − 60 8) = 15 x −1 4) x −1 = x+5 7x + 2x − 8) = 4) 4) x−2 x+4 = x −1 x + 1) Tính chất dãy hai tỉ số Ví dụ 1: Với tỉ lệ thức = 10 2+4 2 − −2 Ta thấy = = = = + 10 15 5 − 10 −5 2+4 2−4 Như = = = 10 + 10 − 10 Kết luận: a c a c a+c a−c ♣ Từ tỉ lệ thức = ta suy = = = b d b d b+d b+d x y Ví dụ 2: Tìm hai số x, y biết = x + y = 16 x y x + y 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có = = = = 5+3 x 5.2 = 10 = Vậy x = 10 y = ⇒ 3.2 y = =  2) Mở rộng tính chất cho dãy tỉ số a c e a+c+e a−c−e ♣ Từ dãy tỉ số = = = = b d f b+d + f b−d − f a b c ta viết a : b : c = m : n : p ( nói a, b, c tỉ lệ với m, n, p) ♣ Với dãy tỉ số = = m n p x y z Ví dụ 4: Tìm ba số x, y, z biết = = x + y − z = 2 x y z x+ y−z Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có = = = = = 2 2+3− x 2.2 = =  x 4,= y z = ⇒  y = 3.2 = Vậy= = =  z 4.2 Ví dụ 5: Tính số học sinh tiên tiến lớp A, B, 7C biết số học sinh tiên tiến ba lớp A, B, 7C tỉ lệ với 6; 5; tổng số học sinh tiên tiến lớp 45 em Gọi số học sinh tiên tiến ba lớp A, B, 7C a, b, c ( a, b, c ∈  ) a b c a + b + c = Ta có = = 45 a b c a + b + c 45 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có = = = = = 6 + + 15 a 6.3 = 18 =  ⇒ b = 5.3 = 15 = = 12 c 4.3 Số học sinh tiên tiến ba lớp A, B, 7C 18; 15; 12 học sinh Ví dụ 6: Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ Đội, Biết số giấy vụn thu ba chi đội A, B, 7C tỉ lệ với 9; 8; Biết tổng số giấy vụn lớp A 7B lớp 7C 72kg Hãy tính số giấy vụn thu chi đội Gọi số giấy vụn thu ba lớp A, B, 7C a, b, c ( a , b, c > ) a b c a + b − c = Ta có = = 72 a b c a + b − c 72 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có = = = = = 7, 9 + − 10 64,8 = = a 9.7,  57,6 = Khi đó= b 8.7,  50, = = c 7.7, Số giấy vụn thu ba lớp A, B, 7C 64,8kg ; 57,6kg ; 50, 4kg B BÀI TẬP Bài 1: Tìm Dạng Tìm x, y, z x, y biết: x y = x − y = x y 4) = x − y = 22 x y 7) = x + y = 28 Bài 2: Tìm x, y biết: 1) x = x 5) = x 8) = 2) x = x 6) = x 9) = y x + y = 32 y x − y = 20 y y − x = 12 3) y x + y = 24 y x + y = 36 y x − y = 10 −2 1) x = x − y = 12 y 2) x = x − y = 12 y 3) y = x + y = −36 x 4) x y − x = = 120 y 10 5) x = x − y = 16 y 6) x x − y = = −7 y −5 7) 8) x −2 x + y = = −4 y 9) x = x − 42 = y y 1) x = y y − x = 2) x = y x + y = 90 y = x + y = −21 x Bài 3: Tìm x, y biết: 3) x = y x − y = 10 6) x = y 4) x = y x − y = 12 5) x = y y − x = 12 x− y= −21 Bài 4: Tìm x, y , z biết: x = x 3) = x 5) = 30 1) y z y − x = = 48 y z x + y − z = = 21 y z x + y + z = = 92 10 x x 4) = x 6) = 2) = y = 12 y = y = z y − x = 15 z x + y + z = 270 z y − 3.x = 12 x y z y − z = = = 99 x y z z − x = 9) = = 36 −3 −5 −4 x y z x + y − z = 11) = = 12 x y z x + y − z = 13) = = 50 x y z x + y − z = 15) = = −14 Bài 5: Tìm x, y , z biết: 1) x : y : z = 1: : x − y + z = 36 7) 3) 42 x : y : z = 3: : x + y − z = x : y : (−z ) = 3:8 : x + y + z = 52 Bài 6: Tìm x, y , z biết: 1) 2= x 3= y z x + y − z = 19 5) x = x 10) = x 12) = x 14) = x 16) = 8) y = y = y = y = y = −7 z x − z = 28 −4 z x − y = −18 z x − y + z = 24 z x − y + z = 30 z −3 x + 10 y − x = 236 12 2) x : y : z = : 3: x − y + z = 62 4) x : y : z = : 3: x + y − z = −20 6) x := y : z 3: : ( −2 ) x − y + z = 124 2) 2= x 3= y z x + y − z = 95 3) 2= x 3= y z x − y + z = 35 4) 2= x 5= y z x + y − z =−44 5) 20 12 = x 15 = y 12 z x − y + z = −21 6) 3= x 4= y z x − ( y + z ) = Bài 7: Tìm x, y, z biết: 2x 3y = = 4 3) = x = y 1) 5) = x Bài 8: Tìm x, 4z x + y + z = 49 z x + y + z =−45 = y z x + y + z =−74 y, z biết: x x 3)= x 5)= y y z x + y + z = = ; 5 y y z x + y − z = = ; 10 y y z x + y + z = = ; −37 Bài 9: Tìm x, y , z biết: 18 = x = y z − x + z =−196 11 18 4) = x = y z 11 − x + y + z =−120 2) x y 3z 6) = = x + y + z = 39,5 10 x x 4)= x 6)= y y = ; y y = ; y y = ; z x − y − z = 38 z x + y − z = 69 z x − y + z = −49 1)= 2)= = x 2= y; y z x − y + z = 1) 32 = x 9= y; y z x − y + z =−15 2) y; z y x − y + z = = = 3) x 10 78 x 3= y; y z 4)= Bài 10: Tìm x, y , z biết: y z 21 1) = = ; x y x − z = x − y + =−30 x y 2) = = ; z y x − y + z = x y 4) ; y z x + y − z = = = 186 x 6) = y; − y = z − x − y + z = 160 x y 3) ; x z x − y + z =−20 = = x y 5)= = ; y z 10 2x − 3y + 4z = 330 Bài 11: Tìm x, y , z biết: x = x 4) = 1) y xy = 12 y xy = 80 x = x 5) = 2) x = x 6) = y xy = 54 y 3) x2 − y = −4 x y −40 = x − y = Bài 12: Tìm x, y , z biết: 7) x 1) = x 3) = x 5) = Bài 13: Tìm y = y = y = 8) y xy = 10 y x2 + y = 52 x y 19 = x3 + y = −2 z 2 x − y + z = −60 z 2 x − y + z = 108 z 2 z − x − y = 594 x, y, z biết: x 2) = x 4) = x 6) = y = y = y = z 2 x + y − z = 585 z 2 x − y + z = −21 z x + y − 3z = −100 x +1 y − z 1) = = x + y − z = 18 x +1 y + z + 2) = = 18 x+ y+z = x −1 y − z − 3) = = x + y + z = 42 x+5 y+4 z+3 4) = = 24 x+ y+z = x −1 5) = x +1 7) = x+3 9) = y −2 z −3 x −1 x − y + z = 6) = = 14 y+3 z+5 x+2 x + y − z = 8) = = −1 + 2x y − z −1 x + y − z = 10) = = 3 Dạng Chứng minh a c Bài 1: Cho dãy tỉ số = với b, d ≠ Chứng minh b d 2a + 3c 2a − 3c 2a + 5b 2c + 5d 1) 2) = = 2b + 3d 2b − 3d 3a − 4b 3c − 4d 11a + 3b 3a − 11b a − 4b 7c − 4d 4) 5) = = 11c + 3d 3c − 11d 3a + 5b 3c + 5d y −2 z −3 x + y − z = = 50 y − z +1 x − y + z = = −4 + y 2z −1 2x − y − z = = − 3a + 5b 3c + 5d = a − b 6c − d 3a + 5b 3c + 5d 6) = a − b 2c − d 3) a c = với b, d ≠ Chứng minh b d a−c b−d a −b c−d 2) 1) = = a c c d a+c b+d a+b c+d 5) 4) = = c d b d Bài 2: Cho dãy tỉ số 3) a c a + c ac Bài 3: Cho dãy tỉ số = Chứng minh = b d b + d bd a c ad a − b Bài 4: Cho dãy tỉ số = Chứng minh = b d cd c − d 2 a c ab  a −b  Bài 5: Cho dãy tỉ số = Chứng minh   = b d cd c−d  ( a + b ) = ab a c Bài 6: Cho dãy tỉ số = Chứng minh b d ( c + d )2 cd a c a + b2  a+b Bài 7: Cho dãy tỉ số = Chứng minh  =  b d c2 + d c+d  Bài 8: Cho dãy tỉ số a c a2 + c2 a = Chứng minh = c b b + c2 b Bài 9: Cho dãy tỉ số a b a + b2 a = Chứng minh = b d b + d2 d Bài 10: Cho b = a c Chứng minh a + b2 a = b2 + c2 c a b c a  a+b+c  Bài 11: Cho dãy tỉ số = = Chứng minh   = b c d d b+c+d  a c Bài 12: Cho dãy tỉ số = Bài 13: Cho dãy tỉ số Bài 14: Cho dãy tỉ số Bài 15: Cho dãy tỉ số Bài 16: Cho dãy tỉ số Bài 17: Cho dãy tỉ số Bài 18: Cho dãy tỉ số c b a + c − b3 a Chứng minh = = d d c + b3 − d d a c a + ac b + bd = Chứng minh = b d c − ac d − bd a+b c+d a c Chứng minh = = a −b c−d b d a+5 b+6 a Chứng minh = = a −5 b−6 b u+2 v+2 u v Chứng minh = = u −2 v−3 a c a + b a − 2b Chứng minh = = b d c + d c − 2d 2a + 13b 2c + 13d a c Chứng minh = = 3a − 7b 3c − d b d a c = a+b c+d Bài 19: Cho dãy tỉ số a b a + 2019 b + 2020 Chứng minh = = 2019 2020 a − 2019 b − 2020 Dạng Tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau 3a − 2b a với = b 2a − 3b 2a − 5b 4a + b a với = 3) A = − a − 3b 8a − 2b b 3a − 2b 3b − a với a − 2b = 5) A = + b−5 2a + 1) 3a − b 3b − a với a − b = 13 − 2a + 13 2b − 13 b c a+b 4) A = với= 2,= a b b+c 2) A = A= a + 54 Bài 2: Cho 2a − b= ( a + b ) Tính biểu thức A = 4 b +4 Bài 3: Cho xyz= 2, x + y + z= Tính: A = ( x + y )( y + z )( z + x )   Tính: A =− Bài 4: Cho x, y , z ≠ 0, x − y − z = 1 a+b c Bài 5: Cho a, b, c ≠ thỏa mãn = a+b−c c Bài 6: Cho dãy tỉ số = a+b−c c Bài 7: Cho = z  x  y 1 − 1 +  x  y  z b+c c+a  a  b  c  Tính A =+ = 1 1 + 1 +  a b  b  c  a  b+c−a c+ a −b  b  c  a  Tính A =+ = 1 1 + 1 +  a b  a  b  c  ( a + b )( b + c )( c + a ) a − b + c −a + b + c Tính A = = abc b a 3a + b + c a + 3b + c a + b + 3c a+b b+c c+a Tính A = = + + a b c c a b x + y − 3z x y z Tính giá trị biểu thức A = Bài 9: Cho dãy tỉ số = = x − y + 3z Bài 8: Cho = x x + y − 5z y z Tính giá trị biểu thức A = = x − y + 5z x 2x + 3y + 4z y y z Tính giá trị biểu thức A = = , 3x + y + z Bài 10: Cho dãy tỉ số = Bài 11: Cho dãy tỉ số = x Bài 12: Cho = 3x − y + z y y z Tính giá trị biểu thức A = = ; x − y + 5z Dạng Bài toàn lập luận Bài 1: Số học sinh lớp A, B trường tỉ lệ với Biết số học sinh lớp 7B số học sinh lớp A em Tính số học sinh lớp Bài 2: Số học sinh ba khối 6; 7; trường THCS tỉ lệ với số 8; 6; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối 15 học sinh Tính số học sinh khối Bài 3: Lớp A trường có số học sinh Giỏi, Khá, Trung bình tỉ lệ với 3; 7; Biết số học sinh Giỏi số học sinh 12 học sinh Hỏi lớp A có học sinh Giỏi, Khá, Trung bình Bài 4: Số học sinh khối 6; 7; 8; tỉ lệ với 9; 8; 7; Biết số học sinh khối số học sinh khối 70 học sinh Tính số học sinh khối Bài 5: Tổng kết năm học, người ta thấy số học sinh giỏi trường phân bố khối lớp 6; 7; 8; tỉ lệ với 11; 10; 9; Tính số học sinh giỏi khối, biết khối nhiều khối 32 học sinh giỏi Bài 6: Hai lớp A 7B lao động trồng Biết số hai lớp trồng tỉ lệ với 3; tổng số trồng hai lớp 64 Tính số trồng lớp Bài 7: Ba lớp A, B, 7C lao động trồng xanh, số trồng ba lớp theo thứ tự tỉ lệ với 3; 5; tổng số trồng ba lớp 256 Hỏi lớp trồng Bài 8: Trong đợt quyên góp sách ủng hộ học sinh vùng lũ Sơn La vừa qua, số sách quyên góp ba lớp A, B, 7C trường THCS Kim Liên tỉ lệ với 5; 4; Biết tổng số sách hai lớp A 7B nhiều số sách lớp 7C 90 Tính số sách mà lớp quyên góp Bài 9: Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ Đội, Ba lớp A, B, 7C thu tổng cộng 126kg giấy vụn Biết số giấy vụn thu ba lớp tỉ lệ với 6; 7; Hãy tính số kg giấy vụn thu lớp Bài 10: Ba lớp A, B, 7C trường THCS tham gia hưởng ứng tết trồng Số ba lớp trồng tỉ lệ với số 4; 5; lớp 7C trồng nhiều lớp A 60 Tính số trồng được lớp B Bài 11: Ba lớp A, B, 7C trường THCS tham gia quyên góp truyện tặng thư viên Số truyện đem quyên góp ba lớp tỉ lệ với 5; 4; Tính số truyện lớp quyên góp biết tổng số quyên truyện đem quyên góp lớp A 7B 180 Bài 12: Trong đợt quyên góp đồng bào lũ lụt, số tiền ủng hộ ba lớp A, B, 7C tỉ lệ với số 5; 6; Tính số tiền lớp ủng hộ biết lớp 7B ủng hộ nhiều lớp A 35000 đồng Bài 13: Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ đội, ba lớp A1 , A2 , A3 thu tổng cộng 126kg giấy vụn Biết số giấy vụn thu ba lớp tỉ lệ với 6; 7; Hãy tính số kg giấy vụn lớp thu Bài 14: Trong đợt phát động phòng trào “ Thu hòi Pin cũ” trường THCS A thu 250 cục phin cũ thu từ khối lớp 6; 7; 8; Biết số pin cũ khối lớp 6; 7; 8; tỉ lệ với 9; 7; 5; Hỏi khối nộp cục pin Bài 15: Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ, ba lớp A, B, 7C có 130 học sinh tham gia, Mỗi học sinh lớp A thu 2kg giấy vụn, học sinh lớp 7B thu 3kg giấy vụn, học sinh lớp 7C thu 4kg giấy Hãy tính số học sinh lớp tham gia trồng biết số giấy vụn lớp Bài 16: Ba bạn Bảo, Bình, Phát góp giấy vụn để đổi xanh, biết số giấy vụn ba bạn thu tỉ lệ thuận với 3; 4; Biết số giấy vụn bạn Phát thu nhiều bạn Bảo 0,5kg Tính số giấy vụn bạn? Bài 10: Cho ΔDEF cân D , kẻ DH ⊥ EF ( H ∈ EF ) a) Chứng minh ΔDEH = ΔDFH ( Hình 18)   , DHF b) Tính số đo hai góc DHE c) M trung điểm DF = DF = 13cm Tính HM Biết DE Bài 11: Cho ΔABC vuông A , K trung điểm BC tia đối tia KA lấy D cho KD = KA ( Hình 19) a) Chứng minh CD ∥ AB b) Gọi H trung điểm AC , BH cắt AD M , DH cắt BC N Chứng minh ΔABH = ΔCDH c) Chứng minh ΔHMN cân B D A A E K K N M A H Hình 19 C B N D I M B E C H M C Hình 21 D Hình 20 Bài 12: Cho ΔABC , đường trung tuyến BD , tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M , N theo thứ tự trung điểm BC CE Gọi I , K theo thứ tự giao điểm AM , AN với BE Chứng minh BI = IK = KE ( Hình 20) Bài 13: Cho ΔABC cân A , đường cao AH Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD = HA Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = CB ( Hình 21) a) Chứng minh C trọng tâm ΔADE b) Tia AC cắt DE M Chứng minh AE ∥ HM E Bài 14: Cho ΔABC vuông A Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho A trung điểm BE ( Hình 22) A a) Chứng minh ΔABC = ΔAEC b) Vẽ đường trung tuyến BH ΔBEC cắt cạnh AC M H M Chứng minh M trọng tâm ΔBEC tính độ dài CM B c) Từ A vẽ đường thẳng song song với EC đường thẳng cắt BC K Chứng minh E , M , K thẳng hàng C K Hình 22 Bài 15: Cho ΔABC có AC = 21cm Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AB = AD a) Chứng minh ΔDBC cân ( Hình 23) D b) Gọi K trung điểm cạnh BC Đường thẳng DK cắt AC M Tính CM A c) Từ trung điểm N đoạn AC kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt DC I Chứng minh B, M , I thẳng hàng I M N B K C Bài 16: Cho ΔABC vuông A , tia phân giác  ABC cắt AC D Kẻ DE vng góc với BC ( E ∈ BC ) Gọi F giao điểm tia BA tia ED a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD ( Hình 24) b) Chứng minh ΔDFC cân c) CD cắt CF H Trên tia đối tia DF lấy điểm K cho DK = DF Vẽ điểm I nằm đoạn CD cho CI = 2.DI Chứng minh DH ⊥ CF K , I , H thẳng hàng F D A A H D G N B I B E Hình 24 C B K M C D E K I A C M Hình 25 Hình 26 Bài 17: Cho ΔABC cân A , có cạnh BC cạnh lớn nhất, đường trung tuyến AM BN ΔABC cắt G Trên tia đối tia MG lấy điểm D cho M trung điểm GD ( Hình 25) a) Chứng minh ΔBMG = ΔCMD Từ chứng minh BG ∥ CD b) Chứng minh 3.CD = 2.BN c) Chứng minh CN < CD Bài 18: Cho ΔABC có AC = AB Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM = AB Tia  cắt BM I ( Hình 26) phân giác BAC a) Chứng minh ΔABI = ΔAMI Từ suy AI ⊥ BM b) Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho B trung điểm AD Chứng minh DC ∥ BM c) Kéo dài AI cắt cạnh BC K cắt CD E Chứng minh D, K , M thẳng hàng Bài 19: Cho ΔABC vng A có AB < AC , kẻ đường phân giác BD  ABC ( D ∈ AC ) Kẻ DM vng góc với BC M ( Hình 27) a) Chứng minh ΔDAB = ΔDMB b) Chứng minh BD đường trung trực AM K c) Gọi K giao điểm đường thẳng DM đường thẳng AB , A đường thẳng BD cắt KC N N Chứng minh BN ⊥ KC ΔKDC cân B D B M Hình 27 C Bài 20: Cho ΔABC cân A Qua điểm A kẻ đường thẳng ( d ) song song với BC Các đường phân giác góc B góc C cắt đường thẳng ( d ) D E Chứng minh: ( Hình 28) a) AD tia phân giác góc ngồi đỉnh A ΔABC b) ΔECD vuông A E D C B  = 2. Bài 21: Cho ΔABC có B C Kẻ đường phân giác BD Hình 28 từ D kẻ DE ∥ BC ( E ∈ AB ) Chứng minh ( Hình 29) A a) BD = DC EB = ED b) Để có DA = DC = DB ΔABC tam giác gì? D E B Bài 22: Cho ΔABC vuông A biết cạnh Tia phân giác  cắt AC E Từ E kẻ ED vng góc với BC D góc B C Hình 29 a) Chứng minh ΔABE = ΔDBE ( Hình 30) A b) Chứng minh BE đường trung trực đoạn AD E c) Kẻ AH ⊥ BC , ( H ∈ BC )  Chứng minh AD tia phân giác HAC B H D Hình 30 C Bài SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC A, LÝ THUYẾT 1) Sự đồng quy ba đường trung trực tam giác Ví dụ 1: Cho ΔABC , vẽ đường thẳng d đường trung trực BC d A Khi đường thẳng d gọi đường trung trực ΔABC Kết luận: ♣ Trong tam giác có ba đường trung trực ♣ Ba đường trung trực tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Cụ thể: O giao điểm đường trung trực ΔABC = OB = OC ( Hình 2) Nên OA C B Hình A ♣ Vì O ba đỉnh ΔABC nên O tâm đường tròn qua ba đỉnh A, B, C ♣ Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đường trung tuyến, phân giác B 2) Sự đồng quy ba đường cao tam giác Ví dụ 2: Cho ΔABC , từ A kẻ AI ⊥ BC Khi AI gọi đường cao O C Hình xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ΔABC Đường thẳng AI gọi đường cao ΔABC A Kết luận: ♣ Trong tam giác có ba đường cao ♣ Ba đường cao tam giác đồng quy điểm, điểm Này gọi trực tâm ΔABC ♣ ♣ ♣ ♣ C B I ΔABC tam giác vng trực tâm trùng với đỉnh vng Hình ΔABC tam giác tù trực tâm nằm bên tam giác Trong tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên Trong tam giác cân đường cao từ đỉnh cân trung tuyến, phân giác, trung trực B BÀI TẬP A Bài 1: Cho Hình Hãy đường cao ΔABC Bài 2: Cho Hình a) Cho biết đường cao ứng với cạnh BC b) Chỉ trực tâm ΔABC B B C Hình H Bài 3: Cho Hình B a) Chỉ đường cao ΔABC b) Chỉ trực tâm ΔAKC M N A K C Hình H C A Hình Bài 4: Cho Hình Biết ΔABC cân A A a) Chỉ đường cao ΔABC b) Chỉ đoạn thẳng Bài 5: Cho Hình Biết ΔABC cân A , AM trung tuyến Q P H Hỏi AM đường ΔABC B A B B O D E E F B C M A A C C Hình 10 Hình Hình C Hình Bài 6: Cho ΔABC có  A = 1100 , đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự  ( Hình 9) E F Tính EAF Bài 7: Cho ΔABC có  A > 900 Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC theo thứ tự D E a) Chứng minh ΔABD, ΔACE cân ( Hình 10) b) Đường trịn tâm O bán kính OA qua điểm hình vẽ  c) Chứng minh AO phân giác DAE ( )  α α < 900 điểm M nằm góc Ở ngồi xOy  lấy hai điểm E xOy Bài 8: Cho = F cho Ox đường trung trực đoạn ME , Oy trung trực MF ( Hình 11) a) Chứng minh OE = OF  theo α b) Tính EOF y F c) Nếu α = 900 điểm O nằm vị trí đoạn EF ? Vì sao? M Bài 9: Cho ΔABC có  A = 600 M điểm nằm B C O Vẽ điểm E cho AB trung trực ME , Điểm F cho AC trung trực MF ( Hình 12) a) Chứng minh trung trực EF qua A E BC b) Chứng minh BE + CF = c) Tính góc ΔAEF d) EF cắt AB, AC I K  A Chứng minh MA phân giác IMK e) Để A trung điểm EF ΔABC cần có thêm điều kiện gì? Bài 10: Cho ΔABC cân A có đường cao BD, CE E Hình 11 B I x M C K Hình 12  = 1100 Tính góc ΔABC ( Hình 13) cắt I Biết BIC F A I B Bài 11: Cho ΔABC nhọn cân A Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B C  = 1400 ( Hình 14) cắt M Hãy tìm góc ΔABC Biết BMC Hình 13 C A Bài 12: Hai đường cao AH BK ΔABC nhọn cắt D  C  = 500 ( Hình 15) a) Tính HDK A b) Chứng minh DA = DB ΔABC cân K D Bài 13: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD CE giặp H Vẽ điểm K cho AB trung trực B D E A A I C B Hình 16 N E F K H B Hình 15 M A K C H  = KCB  ( Hình 16) HK Chứng minh KAB C B Hình 17 C M Hình 18 Bài 14: Cho ΔABC vng A Lấy điểm M tia BA cho BM = BC Phân giác ΔABC cắt AC K , cắt MC I Trên cạnh BC lấy điểm N cho CN = MA Chứng minh K , M , N thẳng hàng ( Hình 17) Bài 15: Cho ΔABC cân A Trung tuyến AM , đường cao BE Trên tia BA lấy điểm F cho BF = CE Chứng minh BE , CF , AM đồng quy ( Hình 18) Bài 16: Cho ΔABC ( AB < AC ) vuông A A đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm E cho AH = AE Qua E kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt BC D ( Hình 19) a) Chứng minh ΔAHD = ΔAED b) So sánh DH DC c) Gọi DE cắt AH K Chứng minh ΔDKC cân D E B C D H M Hình 19 K d) Gọi M trung điểm KC Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng Bài 17: Cho ΔABC vuông A Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AB = AD a) Chứng minh ΔADC = ΔABC ( Hình 20) b) Từ A kẻ AK vng góc với BC K , kẻ AH ⊥ DC M H Chứng minh AK = AH D c) Kéo dài KA cắt tia CD M , kéo dài HA cắt tia CB N I Gọi I trung điểm MN Chứng minh C , A, I thẳng hàng N A B K Hình 20 H C  = 300 Đường Bài 18: Cho ΔABC vuông A có C A cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD = HB F a) Chứng minh ΔAHB = ΔAHD ( Hình 21) C b) Chứng minh ΔABD c) Từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh DE = HB D B H E d) Từ D kẻ DF vng góc với AC I giao điểm Hình 21 I CE AH Chứng minh I , D, F thẳng hàng Bài 19: Cho ΔABC ( AB < AC ) nhọn Vẽ tia phân giác A AD ( D ∈ BC ) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB E a) Chứng minh BD = DE ( Hình 22) b) Đường thẳng DE AB cắt F Chứng minh ΔDBF = ΔDEC c) Qua C kẻ tia Cx ∥ AB cắt tia AD K Gọi I giao điểm C B D I F AK CF Chứng minh I trung điểm AK Hình 22 Bài 20: Cho ΔABC vuông A Vẽ đường phân giác BD ΔABC ( D ∈ AC ) Vẽ DE ⊥ BC E ( Hình 23) K a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD b) Trên tia đối tia AB lấy điểm K cho AK = EC   = BCK Chứng minh BKC K A I c) Tia BD cắt KC I Chứng minh IA = IE Bài 21: Cho ΔABC vuông A , tia BA lấy điểm M D B C E cho BM = BC Phân giác  ABC cắt AC I , cắt Hình 23 MC K Tia MI cắt BC H ( Hình 24) M a) Chứng minh BI trung trực AH AH ∥ MC b) Chứng minh AK + KH = CM  = 600 Tính  c) Nếu KAH ABC = 600 A B Bài 22: Cho ΔABC cân A , đường cao AH K I C H ( H ∈ BC ) Hình 24 a) Chứng minh ΔAHB = ΔAHC ( Hình 25) A b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB D Chứng minh ΔADH cân từ suy AD = DH c) Gọi E trung điểm AC , CD cắt AH G D E G Chứng minh B, G , E thẳng hàng d) Chứng minh chu vi ΔABC > AH + 3.BG B Hình 25 Bài 23: Cho ΔABC vuông A ( AB < AC ) Kẻ BD tia phân giác  ( D ∈ AC ) Trên cạnh BC lấy điểm E cho AB = BE ( Hình 26) B C H F A S D a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD b) So sánh AD DC c) Đường thẳng ED cắt AB F Gọi S trung điểm FC Chứng minh ba điểm B, D, S thẳng hàng  = 300 Tia phân giác Bài 24: Cho ΔABC vuông A có C M  cắt AC D Kẻ DE ⊥ BC E ( Hình 27) góc B a) Chứng minh AB = BE b) Chứng minh BD trung trực AE A D c) Gọi M giao điểm ED BA Chứng minh DM = DC d) Chứng minh DE = ME Bài 25: Cho ΔABC cân A Đường phân giác AH B C E Hình 27 A Gọi D trung điểm AC BD cắt AH G Từ H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB K ( Hình 28) K Chứng minh a) ΔAHB = ΔAHC AH ⊥ BC b) G trọng tâm ΔABC E G B c) Ba điểm C , G, K thẳng hàng C H Hình 28 Bài 26: Cho ∆ABC vng A Trên tia đối tia AB lấy điểm D D cho A trung điểm đoạn BD ( Hình 29) d a) Chứng minh ΔBCD cân b) Gọi K trung điểm cạnh BC Đường thẳng DK cắt AC A M Tính MC c) Đường trung trực d đoạn AC cắt đường thẳng DC Q Chứng minh B, M , Q thẳng hàng B C K Hình 29 Bài 27: Cho ΔABC vuông A, M trung điểm AB ( Hình 30) a) Trên tia đối tia MC lấy điểm D cho MD = MC Chứng minh ΔMAC = ΔMBD AC = BD b) Gọi K điểm nằm AM cho AK = AM Gọi N giao điểm CK AD , I giao điểm C BN CD Chứng minh CD = 3.ID Q M A N K M D I B Hình 30 Bài 28: Cho ΔABC cân A Đường cao AH ( H ∈ BC ) A  = HAC  ( Hình 31) a) Chứng minh H trung điểm BC BAH b) Kẻ HM ⊥ AB M HN ⊥ AC N Chứng minh ΔAMN cân A M N D B C c) Vẽ điểm P cho H trung điểm đoạn NP Chứng minh BC trung trực đoạn MP MP cắt BC K , NK cắt MH D Chứng minh AH , MN , DP đồng quy Bài 29: Cho ΔABC cân A Gọi M trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MB Chứng minh ( Hình 32) A a) ΔBMC = ΔDMA AD ∥ BC D b) AB = DC ΔACD tam giác cân c) Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CA = CE Chứng minh DC qua trung điểm I BE M C B I Hình 32 E CHƯƠNG X MỘT SỐ HÌNH KHỐI TRONG THỰC TIỄN Bài HÌNH HỘP CHỮ NHẬT VÀ HÌNH LẬP PHƯƠNG A LÝ THUYẾT 1) Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Hình hộp chữ nhật Hình có tên ABCD A ' B ' C ' D ' B' ♣ mặt hình chữ nhật gồm: + mặt đáy: Đáy A ' B ' C ' D ' , đáy ABCD + mặt bên: ADD ' A ', ABB ' A ', BCC ' B ', DCC ' D ' C' A' D' C B ♣ 12 cạnh gồm: + cạnh bên song song nhau: AA ', BB ', CC ', DD ' A Hình + cạnh đáy: AB, BC , CD, DA, A ' B ', B ' C ', C ' D ', D ' A ' B' ♣ đường chéo gồm AC ', A ' C , BD ', B ' D C' A' Chú ý: ♣ Trong hình chữ nhật, cạnh bên cịn gọi đường cao ♣ Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng ( Hình 2) Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật Hình a) Viết tên hình hộp chữ nhật b) Viết tên mặt bên hình hộp chữ nhật c) So sánh độ dài cạnh AE với GC d) So sánh độ dài AB HG D D' C B A D Hình F E H G A B D C Hình a) Hình hộp chữ nhật ABCD EFGH b) Các mặt bên hình hộp chữ nhật DCGH , ADHE , BCGF , ABFE c) AE = GC cạnh bên d) Ta có AB = DC ( ABCD hình chữ nhật) DC = HG ( DCHG hình chữ nhật) nên AB = HG 2) Diện tích xung quanh thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương Cho hình hộp chữ nhật có kích thước Hình ♣ Diện tích xung quanh tổng diện tích mặt xung quanh ( không bao gồm hai đáy) Như = S xq ( a + b ) h ♣ Thể tích V = a b h Cho hình lập phương Hình ♣ Diện tích xung quanh S xq = 4a ♣ Thể tích V = a h b a Hình Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước Hình a a a Hình a) Tính diện tích xung quanh b) Tính thể tích a) Diện tích xung quanh S xq =+ 340 cm (12 5) 2.10 = b) Thể tích V 12.5.10 = = 600 cm3 10cm B BÀI TẬP 5cm Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ( Hình 7) a) Viết tên hình hộp b) Chỉ mặt đáy c) Dùng thước vẽ đường chéo hình hộp Bài 2: Cho hình lập phương ( Hình 8) 12cm B A D C M G H N Q K P Hình a) Viết tên hình lập phương b) Chỉ mặt bên c) Chỉ đường chéo hình lập phương Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ( Hình 9) a) Viết tên hình hộp b) Chỉ đường cao c) Chỉ cạnh d) KE có đường chéo khơng? Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ( Hình 10) Hình I B A D C E F D B H K a) Viết tên hình hộp b) Chỉ đường chéo c) Có mặt bên, mặt nào? d) Cho biết AE = 7cm Hãy cạnh có độ dài 7cm Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước ( Hình 11) a) Tính diện tích xung quanh Hình 12 b) Một xe chở vật liệu có thùng xe khối chở tối đa viên gạch? Bài 8: Một khúc gỗ có kích thước Hình 14 D A Hình a) Tính diện tích xung quanh hình hộp b) Tính thể tích hình hộp Bài 6: Cho hình lập phương ( Hình 12) a) Tính diện tích xung quanh b) Tính thể tích Bài 7: Một viên gạch có kích thước Hình 13 C I G C Hình G F E Hình 10 H 6cm 10cm 14cm Hình 11 8cm 20cm 5cm 10cm Hình 13 a) Tính thể tích miếng gỗ b) Miếng gỗ dùng để sẻ thành miếng nhỏ để làm thước kẻ học sinh có chiều dài 20cm chiều rộng 3cm 20cm 6cm Hình 14 3cm độ dày 5mm Hỏi miếng gỗ làm thành thước nhỏ cho học sinh Bài 9: Một bể cá thủy tinh có hình dạng kích thước Hình 15 a) Bể cá có hình dạng hình gì? b) Tính diện tích xung quanh thể tích bể cá c) Người ta đổ nước vào bể cao 1m Tính thể tích lượng nước 1,3m 1m Đổ vào bể 1m Bài 10: Một mảnh gép trò chơi xếp hình có hình dạng Hình 16 1m Hình 15 Biết thể tích hình 108cm3 x( cm) a) Tính độ dài x hình vẽ b) Nếu đặt mảnh gép xuống mặt đất cho diện tích tiếp xúc với mặt đất lớp diện tích tiếp xúc lúc bao nhiêu? Hình 16 Bài 11: Một hộp đựng thức ăn hình lập phương có kích thước 15cm a) Tính diện tích xung quanh hộp b) Tính thể tích hộp Bài 12: Một hộp sữa hình hộp chữ nhật có kích thước sau chiều ngang 10cm, chiều sâu 5cm chiều cao 22cm có ghi thể thích thực lít Tính chiều cao lượng sữa hộp sữa Bài 13: Một hình hộp chữ nhật có kích thước hình 17 bị khuyết phần, phần khuyết hình lập phương nhỏ có cạnh 4cm a) Tính thể tích hình hộp chữ nhật bị khuyết b) Tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật bị khuyết 12cm 4cm 4cm 4cm 4cm Hình 17 Bài HÌNH LẶNG TRỤ ĐỨNG TAM GIÁC VÀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG TỨ GIÁC A LÝ THUYẾT 1) Hình lăng trụ đứng tam giác hình lăng trụ đứng tứ giác Hình lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' Hình gồm có: B A ♣ mặt gồm: + mặt bên: ACC ' A ', ABB ' A ', BCC ' B ' C B' + mặt đáy: ABC , A ' B ' C ' ♣ cạnh gồm: + cạnh đáy: AB, BC , CA, A ' B ', B ' C ', C ' A ' A' + cạnh bên ( đường cao): AA ', BB ', CC ' Hình C' B C Hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' Hình gồm có: ♣ mặt gồm: + mặt đáy: Đáy ABCD , đáy A ' B ' C ' D ' + mặt bên: ABB ' A ', BCC ' B ', CDD ' C ', ADD ' A ' ♣ 12 cạnh gồm: + cạnh bên ( đường cao): AA ', BB ', CC ', DD ' D A C' B' A' D' Hình + cạnh đáy: AB, BC , CD, DA, A ' B ', B ' C ', C ' D ', D ' A ' Chú ý: Trong hình lăng trụ đứng tam giác, tứ giác ♣ Hai mặt đáy song song với ♣ Các mặt bên hình chữ nhật ♣ Các cạnh bên song song ♣ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương hình lăng trụ đứng tứ giác Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng Hình a) Kể tên hình lăng trụ đứng tam giác b) Kể tên mặt đáy c) Chỉ đường cao hình lằng trụ đứng này? B A C E a) Hình lăng trụ đứng tam giác ABC DEF b) Mặt đáy ABC , mặt đáy DEF c) Các đường cao AD, BE CF D F Hình 2) Diện tích xung quanh thể tích củahình lăng trụ đứng tam giác tứ giác Cho hình lăng trụ đứng tam giác có kích thước Hình ♣ Diện tích xung quanh S xq = ( a + b + c ).h ♣ Thể tích V = Sd h Sd diện tích đáy b a Chú ý: ♣ Cơng thức tính diện tích xung quanh, thể tích hình Lăng trụ đứng tứ giác giống hình lăng trụ đứng tam giác h c Hình 4 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng tứ giác có kích thước Hình Tính thể tích hình lăng trụ Thể tích hình lăng trụ là= = 200cm3 V S= d h 40.5 5cm 40cm2 B BÀI TẬP Hình Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác Hình a) Kể tên hình lăng trụ đứng b) Chỉ mặt bên c) Hai mặt đáy hình gì? Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tứ giác Hình A B C H G a) b) c) d) Kể tên hình lăng trụ đứng tứ giác Hình K Chỉ mặt song song Kể tên đường cao AC HF có phải hai đường chéo hình lăng trụ đứng tứ giác khơng? Kể tên đường chéo hình lăng trụ Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác Hình a) Kể tên hình lăng trụ b) Cho CK = cm Hãy cạnh 4cm B D F H B C E A c) Các mặt bên hình lăng trụ hình gì? d) Viết cơng thức tính diện tích xung quanh Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng tứ giác Hình G Hình C H a) Viết tên hình lăng trụ đứng b) Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình gì? c) Kể tên hai đường chéo hình lăng trụ d) Viết cơng thức tính diện tích xung quanh thể tích Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác Hình 10 I Hình K H E F Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ G D A 10cm 14cm A B 5cm C Hình 3cm 6cm 7cm 10cm 7cm Hình 10 4cm Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thang kích thước Hình 11 a) Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ b) Tính thể tích hình lăng trụ Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có kích thước hình dáng Hình 12 Tính thể tích hình lăng trụ Hình 11 3cm 2cm 5cm Hình 12 Bài 8: Một bánh có dạng hình lăng trụ đứng tam giác, kích thước Hình 13 4cm a) Tính thể tích bánh b) Nếu phải làm hộp hình hộp chữ nhật giấy cứng 8cm để đựng vừa bánh cần dùng cm giấy cứng 3cm Hình 13 ( coi mép dán khơng đáng kể) Bài 9: Một thiết bị làm thép gép hình lăng trụ đứng tam giác hình lặp phương có hình dạng kích thước Hình 14 a) Tính thể tích thiết bị b) Nếu dựng thiết bị lên để hình khối có chiều cao lớn Tính diện tích phần tiếp xúc với mặt đất Bài 10: Hình 15 gồm hình lăng trụ đứng tam giác tạo thành hình hộp chữ nhật tích 960cm 2cm 2cm Hình 14 a) Tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật b) Nếu tách rời hình lăng trụ đứng tam giác Hãy tính Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng tam giác 10cm Bài 11: Thùng chứa máy thu hoạch có hình dạng hình lăng trụ đứng tứ giác ( Hình 16) Kích thước 8cm hình mơ Hỏi thùng có dung tích mét khối Hình 15 3cm 3cm 2cm 1,5cm Hình 16