Cđ9 tam giác cân

Chương II TAM GIÁC Chuyên đề TAM GIÁC CÂN A Kiến thức cần nhớ Tam giác cân a) Định nghĩa Tam giác cân tam giác có hai cạnh ABC ABC cân A    AB  AC b) Tính chất Trong tam giác cân, hai góc đáy  C  ABC cân A  B c) Dấu hiệu nhận biết  Theo định nghĩa  Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Tam giác vuông cân a) Định nghĩa Tam giác vuông cân tam giác vuông có hai cạnh góc vng ABC  ABC vuông cân A   A 90  AB  AC  b) Tính chất Mỗi góc nhọn tam giác vuông cân 45  C  45 B Tam giác a) Định nghĩa Tam giác tam giác có ba cạnh ABC ABC    AB BC CA b) Tính chất Trong tam giác đều, góc 60 A B  C  60 c) Dấu hiệu nhận biết  Theo định nghĩa  Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác  Nếu tam giác cân có góc 60 tam giác tam giác B Một số ví dụ  Ví dụ 1: Cho hình vẽ bên Biết AB  AC  AD ; ABC 45 ; ACD 75 Tính số đo góc BAD Giải * Tìm cách giải Chúng ta lưu ý rằng: tam giác cân, biết góc tính hai góc cịn   C  180  A  180  2.C  B lại Chẳng hạn: ABC cân A A 180  2.B * Trình bày lời giải  ABC cân A nên BAC 180  ABC 90  ACD cân A nên CAD 180  ACD 30    Ta có BAD BAC  CAD 120 Ví dụ 2: a) Một tam giác cân có góc 80 Số đo hai góc cịn lại bao nhiêu? b) Một tam giác cân có góc 100 Số đo hai góc cịn lại bao nhiêu? Giải a) Nếu góc đỉnh tam giác cân 80 , góc đáy tam giác cân 180  80 50 - Nếu góc đáy tam giác cân 80 , góc đỉnh tam giác cân 180  80  80 20 b) Nếu góc đáy tam giác cân 100 , tổng hai góc đáy 100  100 200  180 (không xảy ra) Do góc đỉnh tam giác cân 100 , góc đáy tam giác cân 180  100 40 * Nhận xét Bài tốn dễ bỏ sót trường hợp Khi đề chưa cho cụ thể số đo số đo góc đỉnh hay đáy, ta cần xét hai trường hợp Ví dụ 3: Cho hình vẽ bên Biết AB  AC ; AE DE CD  BC CE Tính số đo BAC Giải * Tìm cách giải Bài tốn xuất nhiều tam giác cân, nên có nhiều góc Để lời giải giản đơn, không bị nhầm lẫn, nên đặt góc nhỏ hình vẽ x Sau biểu diễn góc khác theo x Trong q trình giải, lưu ý tính chất góc tam giác cân tính chất góc ngồi tam giác * Trình bày lời giải   DEC cân D Đặt DCE DEC x   DEC có ADE DCE  DEC 2 x (góc ngồi tam giác)  AED cân E nên EAD  ADE 2 x    AEC có: BEC CAE  ECA 3x (góc ngồi tam giác)  BEC  BCE cân C nên B 3x   3x ABC cân A nên BCA B  C  180 ABC có A  B Suy x  x  x 180  x 22,5  Do đó: BAC 2.22,5 45  Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm E cho EBC 2 ABE Trên tia BE lấy   điểm M cho EM BC So sánh MBC BMC Giải * Cách Trên tia BE lấy điểm K cho BK BC  BKC cân B  180  KBC     BCK BKC  90  ABE  AEB  CEK cân C  CE CK ;     CEK CKE  CEB CKM Mà BK EM  BE KM    CEB CKM  c.g.c  , suy MBC BMC * Cách Kẻ MH  AC  H  AC   Gọi MH cắt tia phân giác CBE I      EBC  IBC Ta có: ABE EBI          CBI  ABE mà ABE EMI (so le trong)  EMI   BIM có IBM IMB  BIM cân  IB IM Từ suy IBC IME  c.g.c   IE IC  IEC cân I, mà IH  EC nên dễ có EMH CMH  c.g.c   EM CM  BC CM    BCM cân C suy MBC BMC Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm CD BE, K giao điểm AB DC a) Chứng minh rằng: ADC ABE  b) Chứng minh rằng: DIB 60 c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA  IB ID e) Chứng minh IA tia phân giác góc DIE Giải      BAE  60  BAC a) ADC ABE có AD  AB ; DAC ; AC  AE  ADC ABE  c.g.c  b) ADC ABE  ADC  ABE  ADK có KAD 60 nên ADC  AKD 120     ABE  BKI 120  BIK 60 hay DIB 60 c) ADC ABE  DC BE  DM BN ADM ABN có AD  AB ; ADK  ABN ; DM BN  ADM ABN  c.g.c   AM  AN  AMN cân        DAM BAN  DAM  MAB MAB  BAN  MAN 60  AMN d) Trên tia ID lấy IF IB  Ta có BIF 60 nên BIF tam giác      ABI 60  FBA Xét BFD BIA có BD BA ; DBF ; BF BI Suy BFD BIA  c.g.c   DF IA Do IA  IB DF  FI ID    120 e) BIF nên BFI 60  BFD 120  BIA   Mà BID 60 nên DIA 60  AIE 60 Do AID  AIE  60  hay IA tia phân giác góc DIE Ví dụ 6: Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Gọi H hình chiếu vng góc B đoạn thẳng AM Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN 2.MH Chứng minh BN  AC (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội, năm 2015) Giải * Tìm cách giải Bài tốn chưa thể ghép BN AC vào hai tam giác trực tiếp Mặt khác MB MC , tự nhiên nghĩ tới việc tia đối tia MA lấy MD MA giả thiết quen thuộc, để suy AC BD Sau việc chứng minh BD BN * Trình bày lời giải Trên tia đối tia MA lấy MD MA  ACM DBM có MA MD ; AMC DMB ; BM CM Suy ACM DBM  c.g.c   AC BD Ta có: HN HA  AN HA  2.HM  AM  HM HD MD  HM  AM  HM  HN HD BDN có BH  DN ; HD HN  BDN cân B  BN BD Vậy BN  AC Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vuông cân A Lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C cho tam giác DAB vuông cân D; điểm E (khác A) không thuộc đoạn AD Đường thẳng qua E, vng góc với BE cắt AC F Chứng minh EF EB Giải * Tìm cách giải Để chứng minh EF EB , thông thường nghĩ tới việc ghép vào hai tam giác, sau chứng minh hai tam giác Tuy nhiên, với hình vẽ chưa thể ghép Phân tích đề bài, có nhiều góc vng, góc 45 cặp cạnh DA DB , AB  AC Với phân tích trên, nghĩ tới việc kẻ thêm đường phụ nhằm kết hợp giả thiết với ghép EF EB hai cạnh tương ứng hai tam giác Từ có hai hướng giải sau:   Cách Có thể EF ghép vào AEF có EAF 135 nên cần ghép EB vào tam giác có góc đối diện với 135 Khai thác yếu tố tam giác vuông cân ADB, ta lấy điểm K BD cho DEK vuông cân   Cách Nhận thấy BAD 45 , tia AD tia phân giác góc ngồi đỉnh A ABC , nên kẻ EM, EN vng góc với đường thẳng AC, AB Dễ chứng minh EM EN Từ có lời giải * Trình bày lời giải - Cách Trên đoạn BD lấy điểm K cho BK EA  1 Vì tam giác DAB vuông cân D nên DKE vuông cân   D, suy DKE 45 , đó: BKE 180  45 135 ;  Mà EAF 45  90 135 ,   EAF Nên BKE  2    90  DEB  AEF  3 (do BEF Mặt khác, KBE 90 ) Từ (1), (2), (3) suy ra: BKE EAF  g.c.g  Từ EF EB - Cách Vẽ EM, EN vng góc với đường thẳng AC, AB    NAE AME ANE có: AME  ANE  90  ; MAE  45  ; AE cạnh chung  AME ANE (cạnh huyền – góc nhọn)  EM EN Mặt khác, AME ANE tam giác vuông cân, suy  MEN 90        FEM 90  FEN BNE FME có: ENB EMF ; EN EM  90  ; BEN  BNE FME (cạnh huyền – góc nhọn)  EF EB Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vng A, có ABC 30 Chứng minh AC  BC Giải * Tìm cách giải Từ đề bài, suy Gợi cho liên tưởng tới góc tam giác Phân tích kết luận AC  BC , dễ dàng cho hai hướng suy luận:  Hướng Tạo đoạn thẳng 2.AC , sau chứng minh đoạn thẳng BC Chú ý ACB 60 , nên dựng điểm D tia CA cho CD 2 AC , sau chứng minh BC CD Bài toán giải  Hướng Tạo đoạn thẳng BC , sau chứng minh đoạn thẳng AC Chú ý ACB 60 , nên gọi trung điểm M BC Sau chứng minh CM  AC Bài tốn giải * Trình bày lời giải  Cách Dựng điểm D tia đối tia AC cho AD  AC   ABC ABD có AD  AC ; BAC BAD 90 ; AB cạnh chung, ABC ABD  c.g.c   BC BD BCD có ACB 60 , BC BD  BCD  BC CD Vậy AC  BC  Cách Gọi M trung điểm BC ABC vng A có M trung điểm BC, suy ra: MA MB MC (theo ví dụ 10, chun đề 8) MAC có MA MC , ACB 60 nên MAC tam giác đều, suy AC MC Vậy AC  BC * Nhận xét Đây tính chất thú vị tam giác vng đặc biệt Tính chất phát biểu sau: Trong tam giác vng có góc 30 , cạnh đối diện với góc 30 nửa cạnh huyền Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC Biết AM  BC , chứng minh tam giác ABC vuông A Giải  AMC có AM CM , nên AMC cân M  A2 C  AMB có AM BM , nên AMB cân M  A1 B  C  180 ABC có A  B   A 180  A 180  A  A  A 90 Vậy tam giác ABC vuông A * Nhận xét Đây tính chất thú vị để nhận biết tam giác vuông C Bài tập vận dụng   9.1 Cho hình vẽ bên Biết AB  AC ; AD  AE BAD 60 Tính số đo góc CDE  80 điểm D cạnh AC Lấy E thuộc AB, F thuộc BC cho AE  AD 9.2 Tam giác ABC có B  CF CD Tính số đo góc EDF 9.3 Cho tam giác ABC vuông B  AB  BC  Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC AB D E Biết   DCE BCE Tính số đo ACB   9.4 Cho tam giác ABC có đường phân giác góc A cắt BC D Biết BAC 114 ; AB  BD  AC Tính số đo góc ACB 9.5 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM BA ; CN CA Tính góc MAN 9.6 Cho tam giác ABC nhọn Lấy D thuộc AC cho AB BD , lấy điểm E thuộc AB cho AC CE   Gọi F giao điểm BD CE Biết BFC 150 Tính số đo góc BAC 9.7 Tìm x hình vẽ sau: 9.8 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD CE a) Chứng minh tam giác ADE tam giác cân b) Kẻ BH  AD  H  AD  , kẻ CK  AE  K  AE  Chứng minh BH CK c) Gọi O giao điểm BH CK Tam giác OBC tam giác gì? Vì sao?  2.C  Kẻ AH vng góc BC (H thuộc BC) Trên tia đối BA lấy BE BH 9.9 Cho tam giác ABC có B Đường thẳng EH cắt AC F Chứng minh: a) FH FA FC b) AE HC     90 , đường cao AH Kẻ HI vng góc với AB, kẻ HK vng góc với 9.10 Cho tam giác ABC BAC AC Gọi E; F điểm cho I; K trung điểm HE HF Đường thẳng EF cắt AB; AC M N Chứng minh rằng: a) AE  AF ;  b) HA phân giác MHN 9.11 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác ACD BCE Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh rằng: a) AE BD b) CME CNB c) Tam giác MNC tam giác 9.12 Cho tam giác LMN có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác ba tam giác LMA; MNB NLC Chứng minh rằng: LB MC  NA    ; Ot tia phân giác xOy 9.13 Cho góc xOz M điểm miền 120 Oy tia phân giác xOz góc yOz Vẽ MA vng góc Ox, MB vng góc Oy, MC vng góc Ot Chứng minh rằng: OC MA  MB 9.14 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D Trên cạnh AC lấy điểm E cho AD  AE Các đường thẳng vng góc kẻ từ A E với CD cắt BC G H Đường thẳng EH đường thẳng AB cắt M Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH I Chứng minh rằng: a) ACD AME ; b) AGB MIA ; c) BG GH 9.15 Cho tam giác ABC với ABC  ACB 36 Trên tia phân giác góc ABC lấy điểm N cho  BCN 12 Hãy so sánh độ dài CN CA 9.16 Cho ABC có tia phân giác góc B C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Chứng minh BD  CE DE 9.17 Cho ABC có M trung điểm BC Biết AM phân giác góc BAC Chứng minh rằng: ABC cân 9.18 Cho M điểm nằm tam giác ABC Chứng minh từ ba đoạn MA, MB, MC ta dựng tam giác Hướng dẫn giải  C   9.1 ABC  AB  AC  cân Đặt B   BAD  ABD có ADC B   60 ADE  AD  AE  cân nên ADE  AED    AED  CDE  ADE  CDE  ADC   60   CDE  CED có AED C Từ suy ra:   CDE    C  CDE AED  CDE  ADC   60      2.CDE   60  CDE 30  C  180 mà B  80  A  C  100 9.2 ABC có A  B   180  A AED cân A  D   180  C CDF cân C  D 2    D   360  A  C 130 Suy ra: D 2  50  EDF  Do D 50 9.3 AEC có ED đường trung trực AC nên dễ dàng chứng minh AEC cân E     mà BAC  DCE BAC  ACB 90  DCE  ACB 90 Đặt   DCE BCE   x    DCE 5 x ; BCE 2 x Suy ra: x  x  x 90  x 7,5   Do DCE 5.7,5 37,5 ; BCE 2.7,5 15  ACB 37,5  15 52,5 9.4 Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM  AB Từ giả thiết suy MC BD  1   ; AD cạnh chung ABD AMD có AB  AM ; BAD CAD  ABD AMD  c.g.c   BD MD ; ABD  AMD   Từ (1) (2) suy MD MC  MCD cân  AMD 2 ACB (góc ngồi tam giác)  ABC 2 ACB Mà ABC  ACB 180  114 66 nên ACB 66 : 22  180  B 9.5 ABM  BA BM  cân B  AMB   CAN  CA CN  cân C  ANC 180  C Suy ra:   AMB  ANC 180  B  180  C  360  90 135 2  AMN có AMB  ANC  MAN 180   Suy 135  MAN 180  MAN 45 9.6 Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có:   BFC BEF  ABD ;   BEF BAC  ACE    BFC  ABD  ACE  BAC  1  ABD cân B nên ABD 180  2.BAC  ACE cân C nên ACE 180  2.BAC     Thay vào (1) ta có: BFC 180  BAC  180  BAC  BAC  Suy ra: BAC 70   9.7 AED có EAD EDA 40 , nên tam giác cân Suy AED 180  2.40 100  4 x AEB cân E, theo tính chất góc ngồi tam giác: AEC 2.B Suy x  x 100 , x 20 9.8 a) ABD  ABC 180 ; ACE  ACB 180 (cặp góc kề bù) mà ABC  ACB  ABD  ACE ABD ACE có AB  AC ; ABD  ACE ; BD CE  ABD ACE  c.g.c   AD  AE  ADE cân   b) BHD CKE có BHD ; ADB  AEC ; BD CE CKE  BHD CKE  BH CK     c) BHD CKE  HBD KCE  OBC OCB  OBC cân O 9.9  a) BHE  BH BE  cân B  ABC 2.BHE  C  BHE  Mà ABC 2.C  FHC  C  CHF cân F  FH FC  1     90 mà FHC    FHA   Ta có FHC  FHA 90 ; CAH C C CAH  FHA cân F  FA FH   Từ (1) (2), suy ra: FH FA FC b) Trên tia HC lấy HI HB  AHB AHI  c.g.c    1  AB  AI ABH  AIH  AIH 2.C   IAC  Mà AIC có AIH C  2   IAC    IAC   Từ (1) (2), suy ra: C 2C C  IAC cân I  AI IC Từ suy AB IC mặt khác BE HI  BH   AB  BE IC  HI hay AE HC 9.10 a) AIE AIH có: AIH  AIE  90  ; IE IH ; AI chung  AIE AIH  c.g c   AE  AH Tương tự, ta có: AKF AKH  AF  AH  AE  AF   b) AIE AIH  EAI HAI   ; AM chung AEM AHM có AE  AH ; EAM HAM  AEM AHM  c.g c   AEM  AHM Tương tự, ta có AHN AFN  AHN  AFN  Mà AEF cân A nên AEM  AFN  AHM  AHN  Suy HA tia phân giác MHN 9.11  a) ACE DCB có AC DC ; ACE DBC  120  ; EC BC  ACE DCB  c.g.c   AE BD   b) ACE DCB  CEM CBN   CME CNB có CE CB ; CEM ; EM BN CBN  CME CNB  c.g.c  c) CME CNB    CM CN ; MCE NCB      MCE  NCE  NCB  NCE 60   MCN 60  MNC tam giác 9.12 MLC ALN có AL LM ;   ALN MLC   60  MLN ; LN LC  MLC ALN  c.g.c   MC  AN Chứng minh tương tự, ta có: MAN MLB  c.g.c   AN BL Từ suy ra: LB MC  NA 9.13 Gọi E, I giao điểm MC với Oy; Ox  EOI Từ dễ dàng chứng minh OCE EKO  OC EK Vẽ EH  MA ; EK  OI Dễ dàng chứng minh được: MBE MHE  MH MB OCE EKO  EK OC MA  MB MA  MH HA EK OC 9.14     a) Ta có ACD  AME 90  ADC ; CAD ; AD  AE MAE  ACD AME  g.c.g  b) ACD AME  AC  AM  AB  AM  AGB MIA có: ABG MAI (đồng vị);  AB  AM ; BAG  AMI (đồng vị)  AGB MIA  g c.g  c) AG //MH (cùng vng góc với CD)   (cặp góc so le trong)  GAH IHA   (so le trong); AI //GH  GHA IAH AH chung, suy AGH HIA  g.c.g   HG  AI mặt khác AGB MIA  AI BG Từ suy BG HG 9.15 Trên tia BA lấy điểm D cho BD BC Ta có tam giác BCD cân B 180  36   BDC  72 Vì ABC 36 nên BCD  Ta lại có DAC  ABC  ACB 36  36 72 (tính chất góc ngồi)    BDC DAC  72  Suy tam giác ACD cân C CA CD  1 Xét tam giác BDN BCN có:   BN chung, BD BC CBN nên suy BDN BCN  c.g c  DBN     CN DN  NCD cân N, lại có: NCD BCD  BCN 72  12 60  NCD tam giác  CN CD   Từ (1) (2), ta có: CA CN  ; I C  9.16 DE //BC nên I B 2  B  (giả thiết) Mà B  C  (giả thiết) suy ra: I B  ; I C  C 2 Do DIB ; EIC tam giác cân đỉnh D E Nên DI BD ; EI CE Vậy DE DI  IE BD  CE 9.17 Trên tia đối tia MA lấy D cho MD MA - Xét ABM DCM có: MB MC (giả thiết);  M  (đối đỉnh); AM MD M  AMB DMC  c.g.c  nên AB DC ; A1 D   A hay ACD cân C Mặt khác A1  A2 suy D  AC CD  AC  AB Vậy ABC cân * Nhận xét Để chứng minh ABC cân ta chưa tìm cách trực tiếp để chứng minh cặp cạnh cặp góc nhau, vận dụng BM CM Vì vậy, việc kẻ thêm đường phụ điều cần thiết 9.18 Dựng tam giác AMN (N B khác phía AC) Ta có MA MN Mặt khác,    Suy MAB NAC  c.g.c  dẫn đến MB  NC Rõ ràng tam giác MCN CAN BAM 60  MAC có cạnh tương ứng MA, MB, MC