Phương trình vi tích phân phi tuyến loại hypebolic

Trang 1

BỘ GIAO DUC VA DAO TAO -

TRUONG DAL HOC SU PHAM THANH PHO HO CHI MINH

LE TRAN TO LOAN

PHUONGTRINH VI TICH PHAN PHI TUYEN LOAI HYPEBOLIC

Trang 2

LUẬN VẤN ĐƯỢC HOÀN THANH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH

Thấy hướng dẫn:

PGS TS LE HOAN HOA

Khoa Toan — Tin hoe

Trường Đại học Sư phạm Thanh pho H6 Chi Minh Thay phan bién |:

TS NGUYEN ANH TUAN

Khoa Toán — Tìn học

Trường Đại học Sư pham Thành phố Hỗ Chí Minh Thấy phản biện 2:

TS NGUYEN THANH LONG

Kha Toán - Tin học

Trường Đại học Khoa học Tự nhiền Thành phố Hỗ Chí Minh Người thực hiện:

LE TRAN TO LOAN

Học viên Cao học Toán khoá 13 Chuyện ngành: Cu tích

LUAN VAN KHOA HOC DUGC BAO VE TAI

HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Trang 3

LOI CAM ON

Để có thể hoàn thành được luận văn này Người đầu tiên mù tôi tỏ lòng biết ơn

sâu sắc đó là PGS TS Lê Hoàn Hóa, người thấy đã tận tâm hướng dẫn chỉ báo

từng bước cho tôi trong suốt quá trình học tập

Xin trân trọng cám ơn TS Nguyễn Thành Long và TS, Nguyễn Anh Tuần đã

đọc và góp ý cho luận văn

Xin trần trọng cám ơn Quý Thấy Có thuộc khoa Toán - Tìn học của hai trường

Dai Hoe Su Pham TPHCM va Dai Hoe Khoa Hoe Tu Nhieén TPHCM đã nhit

tình giảng dạy cho tôi trong suốt khóa hoe,

Tôi cũng xin cảm ứn Quý Thấy Cô phòng KHCN - SĐH trường Đại Học Sự Phạm TPHCM đã tạo mọi điều kiện cho tơi hồn tất chương trình học

Xin gửi lời cảm ơn đến Bán Giám Hiệu, các thấy cô trong tơ Tốn trường THPT Ngơ Quyền Q7 đã tạo điều kiến thuận lợi, và giúp da ti trong cong tác để tơi hồn thành khóa học

Cuối cùng xin chân thành cảm ớn gia đình, các bạn đồng nghiệp đã đồng viên

và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suối thời gian quả

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2005

ˆ + a

Trang 4

MUC LUC

MÔ đẦN G2046 a es PPPOE ET

Chuéng I: Su tén tai duy nhat nghiệm địa phương và sự phụ thuộc

liên tục vào điều kiện ban đầu - 5 cs<scccscesreeeeessee 4

1.1 Bài toán Cauchy tuyến tính với toán tử Hille — Yosida 4

I.2 Sự tổn tại duy nhất nghiệm địa phương và sự phụ thuộc liền tục

mẽ" Led seeaweeoeoayeeeatearereuuesaoseeneee 7

Chương H: Nghiệm trên khoảng vô hạn và tính ổn định 31

Chương III:Ứng dụng 2 22 2 21 5125152523155121252171 115222 csre 40 KEM icost6cccccskciiotacscoicokQAG446406C50018G20G0IGNGG2039366042//001/43)3981485400 45

Trang 5

MO DAU

Phương trình vì tích phần có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực: Vật lý học

Sinh hee, Sinh lý học, Kinh tẻ học Vì vậy, trong những năm gấn đây nhiều

nhà toán học trên thẻ giới quan tắm nghiên cứu các phương trình vì tích phản vi nhiều loại khác nhau,

Trong luận văn chúng tôi để cập đến phương trình vì tích nhân phì tuyến loạn hyperbole Volterra

Cụ thể, chúng tà nghiện cứu bai loan Cauchy trifu tuding sau day:

u(t) - Ault)+ [A(e.s.uly)eds + /{t1 >t, (/'] uÍt }= Trong đo: (A | ]không gian Banach, 2 trù mật trong 1 (7 khong gain Banach

A:De N +N là toán tứ tuyển tính Hile - Yoxida, nghĩa là -Í thố pá thiết

của định lý Hille - Yosida, biểu diễn là phần tử sinh của nứa nhóm liện tục

mạnh, tức lát:

(0.11 Tập giải Ø(1) ¬ (øð,+z}

(0.21 Tổn tại W +0 sao cho {2-1} ” š M(2-ø)} ”.VÀ >e, neÑN

Giả xử ánh xạ —> Ấ(f.s.} xác định từ Ø vào VI

Trang 6

phán tử xinh của nữa nhóm va A là loại tích chấp tte la Attosudb= AU sev sự ứng đựng vào Bài toán parabolte trong không gain V = £ [01] có nghiệm su rộng, Kết quá của nó được tổng quát hoá trong trường hơn A doe Kip vit trone |4,5J Để có nghiệm xác định thông thường ta có thể chọn V = © |O]:

trong trường hựp điều kiện biên của loại Dirichlet cẩn đưa vào toán tử với miền không trù mật, Từ trường hợp bài toán purabolie được nghiên cứu mad

ròng

(xem {6|1, chúng ta sẽ xem xét phương trình hyherpolic: sử dụng chuẩn trong V gợi ý nghiện cứu bài toán trong khong gian một chiếu

Trong luận văn này chúng tà mở rộng kết quá của |3| để nghiện cứu sư ton tat

lain cue va sự ôn định của nghiệm với trường hợp của miền trừ mại, chúng tí

không có công thức biển thiên hằng xố của bài toán không thuần nhất trong (3-51): và do đó sự giải quyết hài toán (P) là cơ xử trực tiếp nghiền cứu bài toàn

Cauchw cho phương trình vị nhân tưởng dng sau:

leds Ande) fr) (db)

lt b= ee,

gia thiết 1 là tốn từ HIÌI- Yosida

Điểu này có đước bởi nhiều tác giá vào những năm trước Trong phản LÍ

chúng ta tổng kết những kết quả này và đánh giá những chuẩn khác nhàu cho

nghiệm ngưàt củi (U31,

Nội dung luận văn trình bày lại kết quả của hài báo “Nonlinear hyperbole Volterra integrodiffential equations cla hai tae git Rainer Nagel va Eugenio

Sinestrat7, những chứng mình chi Get hein,

Trang 7

Chung |: Su t6n tai duy nhét nghiém địa phương và sự phụ thuộc liên tục

vào điều kiện ban đầu

Trong chương này chúng tôi chia nội dung thanh hai phan, Phan dau chúng tơi

xin tiđi thiệu bài tốn Cauchy tuyển tính với toán tử HiH-Yosida Kết quá của phản này được sử dụng trong toàn hộ luận văn Phần hai chúng tôi nghiên

cứu sự tốn tại duv nhất của nghiệm địa phương phụ thuộc vào diéu kiện bạn

đầu Trong phản này chúng tôi thiết lập sự tốn tại và duy nhất nghiệm địa

phương của hài toán (P) khi KÍt,s ) và &,Íf.s ) liên tục Lipschitz dia

phương và / thuộc không gian Sobolev HỆ” '(Í: : Lv) (định lý 1.2.1), Khi

K(t.s ) va A, (.s ) là những tập bị chân trong định lý 1.2.3 chúng tơi chứng

minh bài tốn có một nghiệm toàn cục hay không bị chân ( với chuẩn wen 1) > Chương H: Nghiệm trên khoảng vô hạn và tính ổn định

Chúng tôi xét những kết quả về sự tiệm cận, ôn định và những điều kiện cho

sự tốn lại và On định của nghiệm dương, Chung It: Ung dung

Trong phần cuối này cho giá thiết tổng quát hơn trên 1 Chúng tôi ứng dụng lý

thuyết để có được những nghiệm chính quy ( với nghĩa thông thường) cho phương trình vị tích phân phi tuyến bắc nhất Ở đây ta thấy rõ rằng lợi thể của

việc xét toán tử Hille — Yosida thay cho những toán tử nửa nhóm

Trang 8

Chương Ï

SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM ĐỊA PHƯƠNG PHU THUỘC LIÊN TỤC THEO ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

1) BÀI TỐN CAUCHY TUYỂN TÍNH VỚI TOÁN TỬ

HILLE-YOSIDA:

Để chứng mình sự tốn tại nghiệm của phương trình phì tuyến (PP) chúng

tì cần tính chính quy và đánh giá rõ rằng nghiệm khi & =0, Điều này tối hơn trong trường hợp miễn D là trù mậttrong Ý và phẩn tử sinh [ là nứa nhóm liền tục mạnh (xem [| L| hoặc |3Ð Trong trường hợp đó, tạ có công thức biểu

diễn nghiệm từ đó dễ dàng đánh giá nghiệm Chúng tú nhấc lại trong định ly

Trang 9

Ault) <\fleyi+ Me™ ' Au, + ft, + le MOON Ys Meds | chad)

ulr)—u < AI fe " t(s)+ Au, ds 11S)

Ault) —Au,\ < | 4ä) + |Z)= ft} + A [e9 (ke 'uấi

đ đây HỆ} là nghiệm của bài tóan [u(rÌ= Anlt]+ 4n, + /Ít, } “

|ñ(r,)= 0 Leta (1.7)

€ hứng mình

Su ton tai nghiém cua (1.2) va các đánh giá (1.31 và (1.4) được chứng mình tronit những bài bite,

Ta can chitng minh (1.5) via 1.6)

Trang 10

fy Vậy L đã chứng mình dude (1,5) Theo phần đầu của định lý tốn tại duy nhất we ¢ '(r„.!, |) (V+ (t !, 72) sao cho (wr)= auWr)+ /(r)— ÚC, ) Viele, )=0 ` relr,.t] (1.9) Tir C18) va (1.9) suy ra: |(v - w) (r}= Atv —wht)+ du, + ft, } |(v —w'/,}= 0 Dar (1.7) ta có: (v-wXr)=at), re [' :, | NHY Tá:

ut) =ehe) +aate]

Trang 11

< Ault) + Ate)

< Ane) +) t(e)— re ye Mt fe "I7 (s]œs,

VI TRO fe | : |

Vay định lý đước chứng mình NM

1.2 SỰ FỒN TẠI ĐUY NHẤT NGHIÊM DIA PHƯƠNG VÀ SỰ PHỊ THUỘC LIÊN FỤC THEO ĐIỀU KIEN BAN DAU:

Bo dé 1.2.1:

Dit \Ít / } Kes )e R- St S&STtTS | lí C19:

(1.10) K: Af,.f, )x J2 — VY liên tục,

(1.119 Đạo hàm Á, Ấf.š.Y ]tến tại và liên tục từ AQ «f,}* Ð đến

Trang 12

Jult)= [a (rorade ))+ [Rrra lk/: = tt)+1:r)

1.(()~ 1:(a)= [Kt.r.ir)}

Theo định lý giá 4 trung binh:

[a (corcade Date = (a) (re

I()- Ifa)

(: ¬ ua)

Suy ra: = Klt.c.ulc)) (rong do ¢ nam giữu ä và LÔ

Vậy: i, (a)= lim K(t.c u{c |Ì= KÍu.d ula) (Vikhit ~u thic oul I)~ le) _pX(eraale)- Klanr.adeNy, f-a Theo định lý Lagringe: Klt,r.ÁrÌ\- Ka.r.drÌÌ =&l¿drlu =dÌ ( e nằm tiểu a và tÍ Suy ra Là 1h Lữ) = Íx (c r u(r dr f-td

Do K, liên tuc trên AÍ¿,.r, } (compacU nên liên tục đều trên rt)

Tite las We > 0.40 >0:-a <0 > \K, Gradr)-—K fares =

’ ° Ị | - - m ` - `

Vii lc-a ot - a <8 (Vie nam giữa á v4 0), r= | co

la có K,{c.r.u{rÌ) - K lavrulr)) f c— & = af,

Trang 13

Ụ ly, li (, a Khi đá - TC fa lacr ái): re {lk (c.r.(“))- &.(¿.+.u|r Nr Ì | lù < fix, (c.r.(r])- Đ,(a.r.u(r]Ìlà 1 gcr : LE = n

Suy ru //(ư]- Jk, (a rule )ir te)

Tif tat, (bo var Ged ta được;

(Jt I(u]- K (acceler) + [K (acre dade, W < |t,.rÌ

Su ra: (du br) = Krauts) [X.(.r.alr) = {r]+.!.(r) Khi / ->ø thì 0(t) > ala) (vì ú liện tục trên {: r| ! Suy rủ (r.r {¿ ÌÌ =>Í(œ,œ,w(dlÌ Từ đó dẫn đến KÍt,t.x{r)) > Kla,a.ula)) Hay J,(r}—> J,(d] Vậy /, liên tục trên r] td Theo chứng mình trên ta có:

Yeoh 4 é| II, NỞ +1) | ƒ = tj < ay — |K,(t.r Ấn )) K fare) h Me ! )

Trang 14

Suy rủ: |J:È) Ja) =| JR (trade) [a faceted

Jk (torte )dre + FTK (ected) K (torsade)

< Jik, te dre» JA Atarade = K fara ab ‘ j đr + [|K,( d(r))~ K,(a.r.sÁc)Je: < Íf— uÌAf + fix (t.r.u(r))— K (acre Wide < &(M, +1)+ = 7S i &'„ E <—+—=£ x 2 Vay: ÌJ;r)—,(u]|<e

Nghĩa là J, Hiến tục trên r| let

Tif adi Ged tae (tu) Wien tuc tren li rÌ

Vay Jue 6! (tut kX) va Wi) (= Klett) [K (erade Dede

vi imo ƒ € [r,.r} Mi

Trang 15

Gia si’ ed (CLIO) LLL) va TE lr, | Cho We (Ít r |2) thi ton tai va duy

mhat

2=Pue¢! ([(,.r} V ) V4 (Í: r | 2} thủa

#*{r}= -4z()+ (Ju Xr}

z{r,}= 0 .'€[r,.r]

Neu thêm giả thiết sau:

(1.14) Cho ứ„ € Ð,b.c,r>0 sao cho

|K(t.s.x, )— KÍt x; || < bÌ|x, - x:||,,

|K,t.s.x, }- K,( s.x; Ì|< c|x, -x:||,

với (t, 5) A(ty.t,) va x4, e Ba(w,.r)= xe D:|lv— ¿|| <r|

Khi đú nếu ty € < ([t,.7}B,,(u,.rÌ) tà có với f e [t,.r]

(Pu,{tÌ- Pu,t || < | Ath fe’ WM — 2 eds \ —u,| lr (1.15) va | 4Pu,(r)— APu,(t} < ble ~ fy )+ M fe “Íb + cls a Đ lkh lu " n.| 1G r1" | | ' If) 4 Ching minh

Tacs Jue ©" ([t,.2) 4) (do bd dé 1.2.1)

Do dé then dinh ly 1.1.1 t6n tai va duy nhất

Trang 16

-1(:}- Acts) + Cae) or )=0 .!elt r} Với H,,M, € - (Ít | Ø3 lu rÌÌ Tả có: đ =u, €6 £ ' ([.r}V) (l.17] và “ (Pu, - Pu, Mr)= A(Pa, Pu, Mt)+ Ju (t)- Judt), vei re Ï et: Từ (1.31 (l4) suy raz

(Pu, — Pu, ays M yer? ` Lưu, — da As Yds (118)

và Pa (t)— AP (0) < dee (0)~ tee (= M ƒc (ot VE) tte) (edad Thee (bl 14) va fy SA ST ta cd: (Ju, - Ju Ms) < Jha (s.r nl )\- K(s.r (rl]œ < ñ =i, lu, TH; | “ ÍÍt hh) Tương tự tir) PA) vi Cb Pd ta co: ê¿ | '

Kr ~ Ju.) (x) = {K(s œ,(s)}- K(s š.1z.(xÌÌ}+ |[k (: :.‹ ld) K.{v,r.u (bhi

=| A (soso (sd) Á(s.x.ứ.(š)J + [\K,(cr.m (rr) A (secre Wade < iu, - H.| + C{Sš —Í,, yer, — Ul.)

Lệ (|: hp) 7# (.:|z?)

Trang 17

(Pu, — Pu Wey) Moy fet" (sat, Jd Ìu, = “(Í.r|z!

Vị ( -11°u APu \:) > he —{.)+ uc (hy cls ¡ lkí› | tạ =1; 4 (|: he) a Hệ qua 1.2.1: Cho tụ, 6 < Í[t,.r}B, (w,.rÌ} với ( <r <t, tà có: Pr, ~ Prey) (( r}0| < Ø{r—t,]u,—n,|_ (: :| 2Ì Trong đu lim lyr) = 0 và (2 phụ thuốc vào 4/.(2.h.e Chứng mỉnh Theúa mệnh để 1.3 1, ta có: (Ð My v | \ itera : lv | (Pu Pu sth | 6} (x — 1, bes Nee — | (he) foo <| Mh fe" (is —1, ks Im =M beg (beh P) < ot —t, a, =a, ay (Í: r| /)) ( Trong đó (ly) = Mh Jens "(s —f, kis pr R | ÍÍ: r |?) “ ([r r|} 2)

Với mọi /}€ |U r t | ta co:

Trang 18

O< al p)< Mh fe NM eg pot, kds < p\th lu ' Vay lim a(p)= 0 ø Định lý 1.3.1: Giả sử có (1.100, (1.111 và (1.14) Nếu / 6l (Qn bX) a, €D va Au, + f(t, Je J), thì tồn tại £ € [t z] sao cho bài toán giá trị bạn đầu f(r}=< 1u{r]}~ /(tÌ- [ti v„{x }kés, | | rélr,.r] ("I ult, p= a, cú một nghiệm duy nhất #Ẳ€ < 'Í[(, z}V)-¬+(Ì( r}?))

Hơn nữa, tồn tại đuy nhất nghiệm H cua (P) trén ler’) thou man

ức ⁄' (r,.r|Y)rš Z [t,.? }D) là nghiệm khác của (PP) nic’ <r Ta

gu Ta nehiem tôi đại của (P}

(Ta thong nhất nghiệm tối đại của (P) ta nghi¢m của (PP) xác định trẻn

Kkhuang lớn nhất)

Ching minh

Trang 19

1S

Cho 7 < Íf, ứ, | Trong khơng giin Banach : li rỊ D] xét lap còn đong

Ƒ =tme - (Í r}0D):luÁf)- n.|,,<r với re | r ÌÌ

Trong đó r được cho bởi (1 14) Gọi c là nghiệm của

Vio Avi pe fe

ae Arde f(r) kẻ [r,t]

Xét §: Y-> < (tr D)

"=> SH — PH + tụ

Trang 20

ify lu đơn dứa: l, — ail < ' Hưn nức '.rp)— 2 t],3|1 That vay Đại ŸH, =2 = VỊ U, tron dd MVS ⁄ }([,.r} VY) ⁄ (,.r}D} là các nghiệm củu wi Av (t)= f(t)- f(r.)+ [eu vou, ds, ré[r,.r] (1221 tít }= 0 và ve (t)- Av (t) + An > f(r, ), K= f r| d má" P, lv we ss

Đặt e}= /)- /,)+ |K.s.u, kis, te ih r| Theo (1.5) với mùi ở e [t, r] tả có:

vide) < Af le "aly Seds -_ < Me™ “'(r—r„,}sup gứ} f(,»f£%f < Me '"(e 4, )sup 6, 4st s(r| ¬ oily?

Suy ft: | | ( r|Ø) a < Me | (r ti): upjalt) $ (1.24) Do dé tan tai 0, > O r-t, <A, ih

| a

Trang 21

1? Lý luận twfne tự (1,344), tốn tại ổ, @ O; Th, “SỞ, thì liv, i ở r (lr) D) 4 \ ay! Su, ~ Hy = |! + v,| (both) “(Í r}H) <|\y;,| + |v] “(Đ r}?'] “{k r|}H»" < Fars Chon r-¢, 408 = min 10, 8.855 Tủ có; SŸH — Hụ, < |Su — Su, | + Su, =u, 4 (rh DP) “(' r}Ð] (bbe)

Sri vimo we!

Suy ra: SƯ C€ }, với mọi „<}

Vậy S:¥ oY e0

Đo đó tổn tại duy nhất C Ì sào cho Sư =ø với t= Pư + vụ là nghiệm đụ

nhất của bài toán (Pì

« _ Chứng mỉnh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tối đại:

Gọi r7 = sup |r elt, |:Bài toán (P} có nghiệm duy nhất trên |: tl ;

Với mọi £ > Ú, tạ luôn tìm được 7, € (t,,.r, ] suo che:

Bài toán (P) có nghiệm duy nhất trên |[f„.£, | và

7T ~=£<T, St SI,+ồð

Trang 22

Vậy: f —f, <0 a)

Dodo: Bai toan (P1 có nghiệm duy nhất trên | wt | = Dinh ly 1.2.2:

Gia supe C1 1) va CLE,

Cacham A.A, bi chan trén mdi tap con bi chan củi A[r,.r, jx D

Khi đo nghiệm tôi đại 0: Ï r)—>.Ý của (P] thỏa một trong hai trưởng hp sau:

(1L) f =t†,và u có thể thác triển trên [' !, |

di — limsupln|r[, = x

Chứng mình

Chia xƯ (11) xát, tức lá Him er) <7

Suy ra ú thuốc một tập còn bị chắn của D trên Ít, r} Với f„ St<t+he<r wa dat

jit) = alt + )— ue)

d{t)= /{t+ h}- tr] Ï K (e+ dress) eds [xl s.uls Ves

v'(t)= Av(t)+ elt)

vít }- sÍt, + ð0}- uẤt } tel h|

Trang 24

MI

ii đo tòn tại << 2 sao cho limzdr)—- - (Định lý Cauchv 0

Theo định lý “thác triển nghiệm ” trong phương trình vị phần, tí có thể thác

triển ú trên cá Ít,.v, |

Cho J la khong gian Banach, ¥, © 7 > 0, Bly, r)= iw € PV —X, | SV G là Không gian topo va vdimoi SEG, Š : B(x r]}= ÿ => z thỏa mãn:

(S x, -S "| < zÌx, — v, || vđi mọi X,.,X; 6 Bly.) (1.25)

|5 Xí x) < rÍI — a) (1.26)

( trong đó ¿c (01) }

Thi tổn tại duy nhất X; € Ø(Y,.P} sào cho Š.x, = X

Trang 25

Vậy: Ÿ : B(x,.r)}—» B(x,.r) bau x,., =S.x, 020 Klh đo simon a ol tte: |X„ —*„Í|= |S: x, ~S.x, | <alx, - x„ | <ø°ft„,—x„ :|< < ø" Ly ~ Xj, | tr - Í *Ẳ | iE Ìx„ = x »|| ix, Mee | < Ìx, “#„„\l|* |X„ — ie cla +a"! + 4a" lx, — xf a = [ li Ti —¬ () (khi n—> #Z ; “ Suy ra: ie: là diy Cauchy trong 4 -Banach Do đó: X„ > Xe trong X Ma jv.) Bly, r)-dong nén ¥ € Bly, or) |S K, — Bek | Ss đỈN, =X; | —> Ú (khi 1! => #') Suy ra; Sax, > SX,

Từ X,„.¡ = Š:XY„, cho? > © tạ được:

mi =Š.%

Hun nữa, nếu có Ý- € BUY.) sao che Sov =v thr:

Ix: -*:||= |ŠS:x: -S:y:|< aÌx: ->:|

=1

Suy ra: (E=ø]x - vị

Trang 26

> -~.-.- s* Ta chứng mình lm v —- v 0 Ke Se EX, X= Đặt - y = Sx LP S029 : nz SG - ở; Theo chifng minh tren tacos | (khi /! —> 2 ) oF

lim |x, =2 =0,Vne€ Ñ, Thật vậy:

® n= | Ix; - x | = lŠ.a -§ | +) (khiš + &,) » 0 ( khic > 2) e n=k Giisu Ij ~ xy" đ 1n=k+ | I=llĐ.x —S§ +; * oe Ta cor [Xo TY ' Six; — ` Xe | + k x = SX; < ax, xy ' Ny +? AS; x;"| =>] (kÌi ¿ -> £,) — =

Trang 27

Cho Tụ € |,, , i a, C /) và Au, + f(z, Je D :

Khi dé ton tai 0.7 > O(phu thuộc vào ø„} sao chú:

G = ae = B,Í(w ở} 4# + f(r, Je Di (1.29)

Với mụi š < Ớ tổn tại duy nhất

wu =U{£}E ⁄' ((r,.r, +T„}-V)£1 ⁄(r,.r, +7} Ð} là nghiệm của w'{t}= 1x(f)+ /(0]}+ [Kí.s.uÍ› Ves fe bees + r, | (1.30) u(r, )=<é (Vai 7, = min(7T.7, - r„}) Hơn nữa với mọi ế, € Ớ, ta có; limiale,2)-als, P= 0 (1.34) đều trên ([r,„.r,, + 7, Ì) ( hứng mình

Theo định lý I.L.l bài toán:

Trang 28

Theo bố để 1.2.3 với / +11 đủ nhỏ 1 phụ thuốc vào 1 Lạ có: \S /'—Ñ.vỆ< Le — - (l.34) Hơn nữa, ta có thể viết: SN ~My =U ty +, trong da: w(t) An (t) cí (1.35) u(r, =F —, Li nghem cua us : Au t)+ /(r}- r{r,Ì: [Ak.s.u his “Wy langhi¢m của { ; lu, i) tel (1.40)

lu, (t)= Au, (t)+ Au, + f(r.)

Trang 29

thianh xa: (t.¥) > ult.x) tien we tie R xD gén D

VỊ fy = aut thee [an Jo D ke tap compaeL trong 2 nền tổn tại » ˆ ` - tr “.* = ~ ` * ở, & (Ov, t, | phụ thuộc vào „ xao cho (dÍt.x) “ vi OSTSO, và ` ee: £2 Néuliy 7 <0, ta ed: adth= ult —r An, + f(r, ÌÌ Do dó: |:|, < St vai tel (43) Từ 11.39), (1,40) và (1.321 tạ kết luận: , N=“ a, Se i144) Như vậy thee ba dé 1.2.3 ton tai duy nhất We 6 (lr t+ TANIA 6 (ltusta +740)

sao cho S ue) = uf),

Trang 30

%

Suy ray Suu -S uj s Me” |e - &,]

lw{ Ý)~ uÁ ế J[< A#e”" lý - ý || >0 tkhi ý -* é )

Vay limials, 2) alts) =O déuuén re |r + |, a Dinh ly 1.2.4: Gia sit cO (LION CLAD va (1149 /€ II" (1,04 bX) va Hy 6 Ð sáo chủ Alw, + /(t,Ì< D (1.441 và € < !Í[t,.!t,+7,}V)c\ < (,.t, + Tý ]Hà nghiệm của | u(r) = Aut) + /(rÌ+ [ale ste kids teÍt t +T,] (1.481 ut, = 4, &, © Dsao cho AE + f(t, Je D (1.46) lime, = Mol] = 0 (1.471

Trang 31

Dar A - ullr,,.4, ' |) la tap compact cia D

Theo định lý 1,2,3, tồn tại T > 0 va néu F< B lulz Le | (với ¿ nào đó! thị wht, € Seah #7, \ Tạ # f(¿ hài tốn: lv) ‹j{r]+ #rÌ]- [arses kd: te|r,.t +T,] (l3 v{r,}= š có nphiệm duy nhất V C - LÍ r r ' PLO 4 Crist, ` rp) trong do 7 - min(T.t,-r,} Viti i, nao do thi alt, Je B, ur, lở, Theo (1-47) với n đủ lớn thì Š„ # 8„Ím{r, }ở, }

Do đó tốn tại , là nghiệm duy nhất của (Ì 4) ứng với 7, = f„ và ễ “ốc, Hein nữa từ định lý E2, 3 và (1-47) ta có (Í.49) đều trên | + 7,]

Néu 7; < ƒ, thì lấy /„ nào đó sào cho alt, +7, )e B(u|r lở,

Do đó với n đủ lớn tì có u(r, +7 je Blulr lở, \ từ đó có thể mở ròng

nghiệm cửa (1,50) với r, =! và £=š, trên |p, © 27 Joleen + 7 |- Sau một số bước hữu hạn ta két luận (1.491 đếu trên Ít +27]

Cho TE (1, +% ) và #Œ D sào cho K liên tục từ ÂMF,.7}- Ø8 đến X vá

Trang 32

|A(t.s.x, )— K(t.scx, )] = Alt sJ}x, — x, (1.51)

với (t.s)e A(t,,.7) và Ä,s.Yy € B

Nếu mu, ⁄ ! [[f,.r| V}=: < ([r,.rÌ 8} là nghiệm vủa w= Au lo)+ H+ [Rls (obs „ j3] š " (¡- 1.2) (1.52) thị với £ € | Ì lu (t)— ary, wan CONE)

< Miu, - Ny» || je aÌ ' sup ytMr-t, eo (1.53)

trong do y(t) = sup M fe Ares kde 1.54)

Chifng minh

Dar wltb=w (th w.(PÌ, uw, =u, uy, Ve | r |Ì

Suy Tủ: u(t) = Ault)+ JÍkt «.(s)) - KÍt x Ít kas

Theo (1.3) ta ca:

foes Ae" Jac, + fe Aedlde |

Trang 33

” flr) flav st (s)) K (r,s (s))fes < [|K.s.u (s))- Kí.s.ø.(s)J¿k = [oles Pau, (s)= 1s yds (dons) < fol Ñ Juels ) ‘ cls Vậy: tr] < Me nh | | 4 fe Nop [oles duels} ds ¡ fe OGM [b(r s duds) ds = [le bles Js) cdsedr ' = | fe SH “lhn,x]ta(x)|,,drch í ` (theo đình lv Eubini) = {fe en BE ghere't ‘ols kéred’s ! Ì ( Trong đó (ð(t}= e BÀ “lu | L ff

~ [fe "OCs hols kdreds

Trang 34

$1 Từ (và (2#) xu rải: u(rJ|< Aức 1 “3 MA Do db

olr)< Min, + (Ar kal s kids

< Miu, || + sup y(t) folsdds

Trang 35

tị

Chitong HI

NGHIEM TREN KHOANG VO HAN

VA TINH ON DINH

Trong phần này chúng tà xét lớp các phương trình vị tích phần dae biệt, chúng tì cá thể chứng mình sự tốn tại và duy nhất của nghiệm trên khoảng vô hạn và tinh On định toàn cục Cu thể, chúng ta nghiên cứu phương trình sàu:

| u'(t)= Aulr)+ felt ~« nls kids

1 f ( - Fy {/? }

ult, )= a,

Gia thiết dưới day chi ra su ton tại của nghiệm Hạ =Ú( điều may suy ra

gít.U) - với ở >0), Trong định lý sau tạ sẽ chỉ ra điều đó, nêu 0, „ Mủ nÌàủ

thì (Đ,} có một nghiệm toàn cục và chuẩn của nó ‘ult I, pho hig mot gra tre dưng cho trước vớới mọi ở >7, tức là nghiệm 4, On dinh toan cue )

Để chứng mình kết quá này chúng ta có những ghi thiết sau;

(2.11 Toán uf A thea điều kiện (0.1) và 03) với 2< Ú, Tản ti p > 0

sao cho Ø3 = VN = 1D 5 ix} < ØI Hàm g: R,x/-> \

(jee alta) thera: (3.3) Những hàm số £2 2,.2,.8,, lién tue

Trang 36

(2.4) Ton tai hh hh, Ee - (RYO L (R ) sau cho:

ig, (rte | < Althea), \g,, (ru) Š h,(r}u , we Bava

WIN) ( XI

tr>0

Dinh ly 2.1:

Giá sứ có ede giki thier (4.1) — (4.4), Cho 0 € (0,2), tan tai £ £ (U.ð] xảo cho

Trang 37

Tà xét tập con của £ (J2) xác định bởi:

Ƒ =ltme < (I.D):u(0)- n lu[}—“ | ;z (rp): él Viimoi we) vated tacd lee y < lút }= nụ, + [tu Í,, <Sðở+ởð =3ổ <ổ< ø C35) = h., EIT lu(r||,, < 3ð - 2o =f (213) Ta định nghĩa 2 như xáu i 1-2

(Jur) = [ele ~ s.uls)kds = [gls.uls "3"

Để chứng mình định lý tá cần chỉ ra sự tốn Lại nghiệm HC - AN) cua

'# {r} = Ault) + (da Wr)

Ẳ ult, )= H, rel (2.13)

That vay:

Tạ xét toán tử O:u ov vdiweY V = Qe là nghiệm của bài toán

Trang 38

‘4

Từ (2.2) suy ra /øe £ ` (I V} nên ta có thể áp dụng định lý 11,1 cho bài toán } j t : (2,14), Hon nifa vidi pe ƒ la có:

(Ju) (i) = ø|0.{rÌÌ~ | og (sult — xÌ|kh (2.15)

Với uy €Ý từ (2.4) và (2,12) suy rà:

lg(r.w,(s - r)}- g(r.w,{s - rÌ] < 3ảh, (r Jlu, — uy!) ILD)

alr (sr) elrands =r)

= lu, —Ñ: “41D My, (als — r+ Ol, — 2, (s -zÌÌ' (0< <1}

(do dinh ly Lagrange) < 20h (r Vl, — 1! ðh(riNm esl (LD) Jue \:) 7 (Ju Kv) v | “Telr Lí, (x _y lì alr, wy r Nir < 20h, — uy) | * (LD)

LY luận tưởng tự, từ (3.5),(12.11) và (3.1511taá được:

À (x)—(Jn) (sÌ =.w0.wÍsÌÌ)— e{0.u.Ís)l+ ƒ [ye (reg ls =Fll—w |z.uÍx- r\)kir

< lal0a,(6))- g0.) + [le ai =r))> 2 francs Mat

fw si \

< TT 20 hh, ln HH

m - LD)

Ta ed: w= On, — Ou, la nghiém cua

w(t) = Aw(e)+ (de, Ke) — (ee, Me)

lu(s,)=0 doi

Trang 39

5

(Ou, Mr) (Ou Mr)

< (Ju We) (fa Wey + Mle | (da Web (fa Wad + (in te) — (ie: lv) fs

< Ju, -Ju, + (due, — Jur + (du ) ~ (Ju ) ) Z(lLD) 2 © Di = (L.DI Af : A «1 = < | 1+ — [26a] te, — | + | "| + 3ð||h | lu | w 2D) (aM | (1D) II |[í, Mey Mag y les! <¿—+|| +— l*,ÍÌ+ —ll|| Bổ 1u, —u 4 | ‘@ | ‘ bài là fn mal, (1.D) li |x& là| < +|2 ho + he )+ 2s Mote 4 | aN , ys ) ti i : © (1D) l =} <Í~ rệ lu - tH] \ 4 £ (LDI) st Thee (2.8) tied: co £ — 4 | '

Suy rae Ou =@w, |, LD) 5 TM “Msi, (nD) (2.16)

Để chứng mình ảnh xạ O từ Ƒ vào P tu ký hiệu HuẤIÌ=, Khi đủ

Trang 40

My +M [e* 14 + [ ˆ g(r.w, kử: +|lg{x—,.ee, ] ác Theo (2.3) và (2.4) suy ra: (ự(x.u.}= 'g(v.w.})- gs.o] = | Íc (x.đụ Ìu (21 < hị{s Yee, Ì: | Do do theo (2.10) Ou, ~u,! | LD) _:: tÐ \/ <It.|,, + || |tol;, + Af[ta|,, + ~~ ul + HA alee, I", + Moh, \4 ul.) | J " tee Maly if, <= ol Oo) 2 Ỳ Vậy: Qu, —«,! > = Từ chứng minh trên va (2.16) néu we} thi Iu = t,,)\ =< Ou-On, + On, - 4,

|Cr~ 4| 2 doi Š Cn— OmÌ ào, †Í THÍ auy,

Suy ra: uc}

Do đó là ánh xạ có đẳng nhất từ Ÿ vào Ý

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	1,51 MB