Trường Dại Học Sư Phạm Thành Phố Hỗ Chí Minh Khoa Tốn— Tìn Học
Bộ mơn : Giải tích
Đề tài
TỐN TỬ COMPACT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIAI PHUGNG TRINH VI PHAN
Giáo tiên hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoan Hố
Trang 2Mục lục
1 Các kiến thức chuẩn bị 4
2 Tốn tử compact 6
2.3 “Toần tỨQOHpSECC - ¿ ¿c cc(:ccccc cc.< aie ita 6 cĩ Eoin 6 Risa PON - 20-5 = 500s e SKO OS ae EO ERE SN Sere Oa, 8
23 Phố của tốn titcompact ee ee ee eee 13
3 Ham riéng - sự phân tích phổ và ứng dụng trong phương trình vi phân 22
31 Hàm riêng và sự phãntchphổ 22
ce, | Sea HÀNG LỚN NANE cac (cac 26 c6 2/6022 oS eteieseus 24 3.3 Ham Bessel và phươngtrnhBesl 27
Trang 3Lời nĩi đầu
Giải tích phố là một đẻ tài rất rộng và cĩ nhiều ứng dụng, trong đĩ phân giải phỏ là
một kỹ thuật rất quan trọng Vấn để phán giải phố được nghiên cứu rất nhiều, đĩ chính la su tong quát hĩa vẫn đề phân tích phố Trong khơng gian các tĩan tử tuyến tính liên
tục tốn tử compart cĩ hình dang phổ khá đặc biết: hoặc là hữu hạn hoặc là một dãy
tiến về 0 Hơn nữa việc xem xét vấn để này chỉ cản sử dụng những kiến thức cơ bản của
giải tích hàm
Luân văn gơm ba chương trong đĩ chương 1 nêu ra các kiến thức cẩn thiết được sử
dụng trong các chứng minh ở chương sau Chương 2 phát biểu các tính chất của tốn tử compact, trong đĩ cĩ tính xắp xỉ được bởi dây tốn tử hữu hạn chiều trong khơng gian
Hilbert Cũng trong chương 2 cĩ xem xét phổ của tốn tử compact và toan ti compact
tir liên hợp, cùng với phổ của một số tốn tử cụ thể Quan trọng nhất trong chương 2 là
định lý về sự chéo hĩa được của tốn ti compact ty liên hợp, làm cơ sở cho chương 3
Chương 3 xét vấn đề hàm riêng và sự phân tích phổ của một tốn tử vi phân(bài tốn Sturrmn-Liouville) và xét một số họ hàm riêng của các bài tốn Sturm-Liouville cu thé: ho
đa thức Legendre, và họ hàm Bessel Phân cuối chương 3 trình bày sơ lược về việc giải
phương trình sĩng bằng cách phãn tích theo họ hàm riêng trong trường hợp miễn © bị chan va xét hai vi dy về phương trình sĩng: phương trình dãy rung và phương trình dao
động màng chữ nhật
Vì mục đích của luận văn là toan tif compact và ứng dụng trong phương trình vì phân
tiên luận vấn chứng mịnh rõ ràng một số tính chất khá đơn giản của tốn tử compact nhưng lại bỏ qua những định lý cực kỳ quan trọng như định lý Lax-Milgram, định lý về
tính chất của hai khơng gian Sobolev /f4(1), /1'(1)
Em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hồn Hố đã giúp đỡ và động viên em rất nhiều trong suốt thời gian qua
Trang 4Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.0.1 (Định lý điểm bắt động Banach) Giả sử X là thơng gian raetric đầu
du va S; X — X là ánh za sao cho
d(Sv, Sw) <k-d(vy,, te) Vu.wEX kl
Khi đĩ S cĩ điểm cỗ định duy nhất u = Su
Xét / là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (, )
Định nghĩa 1.0.1 (Tổng Hilbert) Giả sử (E„)„>ị là đây các khơng gian cơn đĩng của HỆ Tà nĩi rằng HỆ là tổng Hilbert của (E„) nếu
(i) Cae E,, dé mét true giao, nghia là
(uv)=0 , We & , Vu€E, m # r
(ii) Khéng gan sinh bot cde (E,,) trù mật trong H
Dinh nghia 1.0.2 (Co sé Hilbert) Day (e,) duoc gor la co sd Hilbert néu
(i) len] = 1 Wn Ệ (fm.£s) =Ũ Vm,n, rn # n (ii) Khơng gian sinh bột các (e„) trù mật trong H,
Dinh lý 1.0.2 (Phép chiếu lên khơng gian vectơ con đĩng) Œ C HÍ là khơng gian
uertd con đĩng, kí hiệu Px;ƒ là hình chiếu tuơng gĩc của ƒ lên Œ (ƒ € H) Khi đĩ
llFefn ~ fs/aÍl < lLh - fall
Trang 5Trang 5
Định lý 1.0.4 H'(/) là khơng gian Hilbert va || + |\qi la mot chudn trén H'(1)
Dinh ly 1.0.5 Pheép nhiing tit H'(1) vdeo C'(1) la compact theo nghĩa tốn tit compact
trong chiutang 2
Dịnh nghĩa 1.0.4 H3(/) la bao dong cia C!(1) trong H'(1), trong dé C!(1) la tap hop
các hàm hén tuc cd gia compact
Dinh ly 1.0.6 Chou € H'(1), bhi dé u € H3(1) khiu = 0 trén 01
Định ly 1.0.7 Hj(/) la khong gan Hilbert vii tich v6 hudng cam sink tit H'(1)
Cac khơng gian Hi(/) va H'(/) duge goi lA céc khơng gian Sobolev
Dinh ly 1.0.8 (Bat dang thie Poincare)
Trang 6Chương 2
Tốn tử compact
2.1 Tốn tử compact
Định nghĩa 2.1.1 Cho E, F la hat khéng gian Banach Ta nĩt rằng tốn tứT € £(E, F}) là compact nêu T(Bg) là cormnpact tương đổi Ta kí hiệu tập hợp các tốn tử cornpact là
K(E.F`\
Định lý 2.1.1 Tập hợp K(E, F} là khơng gian vectơ con đĩng của €(E, F) đễt uới chuẩn
| - cu mì
Chứng mình
Lay 7¡,T¿ € K(E,F) Lúc đĩ xét dây (r„) C Be Dãy (Ti(r„))„ cĩ chứa dãy con
(T\(z,,)), hoi tu về wị (do 7, compact) Khi đĩ dãy (T:(z„,))„ chứa dãy con (T>(z„, )), hội tụ về yw Vi thé (T\ +Tz)(rv,) hội tụ về (ựị + 2) Vậy (T¡ + Tạ)(z„) cĩ chứa dây con (T¡ + Tạ)(z„„ ) hội tụ Suy ra (T¡ + Tạ) compaet Tương tự ta cũng cĩ ÀT' compact Vậy K(E, F) là khơng gian con của £(E, F) Tạ chứng minh K(£, £`) đĩng
Lay dãy (T„) C K(E, F),T € £(E F} và ||T„ = T| — 0 Vì E đẩy đủ, nên ta kiểm
chứng voi moi ¢ > 0, T( Bg) c6 thé dude phú bởi một số hữu hạn quả cầu Đ(ƒ,,+) trong Ƒˆ
That vậy với mọi « > 0, cĩ nọ : ||T„ - TỊ| < 3 với n > nọ Lúc đĩ, vì T„(Bg) compact tương đổi nén T,(Be) C Ue B(f, 5) voi ƒ hữu hạn
Lay © € Be, 06 f, sao cho Ty — fill < 5
Vi thé
T(x) = fill < I|T{(z) - Ta(z)|| + lTa(z) = /|\ < +
Trang 721 TOAN TU COMPACT Trang 7
Vay T, (Be) C Ue BUS, ©)
Định nghĩa 2.1.2 Ta néi ring todn tw T € £(E F} là hữu hạn chiều nếu dìm R(T) < 0c
(RIT) la anh cia T)
Ménh dé 2.1.1 Todn tử hữu hạn chiếu là compact Chứng mình Lẫy r € Ư, ta cĩ lf(z)I| < II Do đĩ T(z) c B(0, |TIl) + T(Bg)C B(0.ITI|) => T(Bg) C Bgr;(0, |\TII)
Mà Bgyz; (0 ||[T ||) compact (do R(T) hitu han chiéu)
Nén 7( Be) compact Vay T € K(E, F)
Hệ quả 2.1.1 Cho (T,,) la day các tốn tit hitu han chiéu tit E vao F va T € C(E.F) sao cho
lT+ — T|| — 0
Khi d6 T € K(E, F)
Chứng minh 7„ hữu hạn chiêu suy ra 7„ compact Do đĩ 7' compact
Vậy giới hạn của một dãy tốn tử hữu hạn chiêu là một tốn tử compact Một câu hỏi được tự nhiên được đặt ra là phản đảo của Hệ quả trên cĩ đúng khơng ? Cho trước
indt tốn tử compaet, tơn tại hay khơng một dãy (T„) các tốn tử hữu hạn chiều sao cho
T, - TlÌz¿,rạ —> 0?
Nĩi chung câu trả lời là khơng Tuy nhiên cĩ những trường hợp câu trả lời là cĩ Ta
xét ví dụ sau
Ví dụ Xét F la khơng gian Hilbert va T € K(E, F) Khi dé K = T( Bg) compact
Voie > Ú cho trước, Á dược phú bứi 2c; { /,,+), Í hữu hạn Xét G = (f,,4 € 1) Fe
là phép chiếu liên tục lên Œ, #2; là tốn tử liên tục
Trang 822_ DỊNH LÝ RIES-FREDHOLM Trang 8 Vậy || e T(r) ~ F& e fạ|| < t, suy ra WP oe Tir) — fill < ‹ (2.2) Tit (2.1) va (2.2) suy ra
Poo T(z) — Tir) <2 , Wre Bg
Vậy l|T; — TỊ| < 2e Ta da xAp xi todn tit compact T bing day tốn tử hữu hạn chiều (T,) Mệnh đề 2.1.2 Gia sit E, F,G la ba khong gian Banach Néu T€k(E,F) va S€£(F.G) hode T € L(E,F) tả SeK(F.G) thì SoT€K(E,G) Chứng minh Giả sử T'€ K(E, F) và S € £(F.G)
Lấy dảy (z„) C ƯBg Do T compact nêu tồn tại đây (z„„), sao cho T{Z„„) — ý Ta
lại cĩ S liên tục nên S o T(x,,) —+ S(y)
Trang 922 DINH LY RIES-FREDHOLM Trang 9
Chitng minh Lay y € E,y ¢ M Vi M déng nén d = d(y,M) > 0 Chon z € M sao d cho d < llự = yall < án Dạt r = -— - Ta chứng mính r thỏa bỏ đẻ ily — >a|Ì Lav 2 € M, ta cé lịr - z|| ự — (so + zl|ự — zoll) | lly — zoll d lly — oll > l~=c IV Trong trường hợp dim ă < œ, ta cĩ thé chon 2% sao cho đ = |ly — zoll Lic dé d(x, M) > 1 (tite la ¢ = 0 trong bé dé trén) Định lý 2.2.1 Gid sit E la khơng gian định chuẩn sao cho Be compact Khi dé E hữu han chiêu
Chứng minh Giả sử £ vơ hạn chiêu, tơn tại dãy ( E„)„ các khơng gian hữu hạn chiều
sao cho E,_, & E, Theo bổ đề trên ta cĩ thế xây dựng dãy (#„)„ với z„ € +, l|zaÏ| = 1
và đ(7„ Ev-i) > 7 Khi đĩ Í|r„ = „|| > ; vdi n > m Khi dé dãy (z„)„ khơng chứa dày
con hoi tu nào, mâu thuẫn với giả thiết Be compact Vậy £ hữu hạn chiều Xét khơng gian C(E, E) va T € K(E, E) Đặt
V=I-T = I là ánh xạ đồng nhất V"=VoVo oV = (n lan)
Dinh lý 2.2.2 (¡) V~*(0) là một khơng gian hữu hạn chiêu (ii) V*(E) là một khơng gian uecto cơn đĩng trong E vdi moun Chứng mình (i) Th chứng mình V"=I—U, UeK(E.F\ bằng qui nap (2.3) That vay n = 2 V?= (1 —T)(I - T) = I - (3T - T*)
Ma (27 — T*) compact Vay (2.3) đúng khi n = 2
Gia st V" = / — U, U compact Lic dé V"*! = J —- (U + T ~ UT) Ta cùng cĩ
Trang 1022 DINH LY RIES-FREDHOLM Trang 10
Dat
E\ = V~"(0) = (1 — U)”'(0) Khi do &, ta khong gian con déng Lay r € Bg, suy ra
(2-U)iz) =0 = r=U(zr) > ze U(Bz,)
Vav By, C U(Bg,) Do dé Be, C U(Bz,) C D{Bp,) Suy ra Bg, compact Do đĩ E;
lữu han chiều
(ii) Cĩ định me, V = f ~ U Lẫy w„ = V"{z„) = zạ — U(z„} — y Ta chứng tỏ
ye V"(E) Dat d, = đ(z„, V~"(0)) Vì V~"(0) hữu hạn chiều nên tồn tại z„ € V~"{0)
sao cho dụ = |lx„ — zaÍ| Lúc đĩ „ = #„ — š„ — (fa — ša) (*) Ta chứng tỏ llz„ — z„|| bị chăn Thật vậy giả sử cĩ dây [jz,, — ‡:„„Í| —~ % Đặt os In ~ =n t, - tn at
Tit (+) suy ra t,, — U(t,,) —+ 0
Trích ra một dãy con của (t„„) là (t„,): U(t„,,) — w
Suy ra tụ —— # Vậy w € Vˆ!(0) Do đĩ w € V~”(0)
Mật khác đ(t„, V -”"(0)) = 1 Qua giới hạn, ta được d(u, V ~”(0)) = ! mâu thuần
Vậy lÌz„ — z„|| bị chăn và cũng vì compaet nên tổn tại dãy con z,, — 2,, sao cho
U(z — 2m) — b
Tit (*) suy ra z,,—2,, — U+l Đặt z = +Í ta được z—U (7) = y, tức là € V”(E) Vậy V"(E) đĩng với mọi mm
Định lý 2.2.3 Cho (E„)„ là một dâu đơn điệu các khơng gian ectơ con đĩng của E,
(t„ì„ là một dâu bị chấn trong ®_ Dặt
_ẨjJ! nếu ( Em) tăng
“ ~1 nếu (Ex„) giảm
Trang 1122_ DỊNH LY RIES-FREDHOLM Trang 11
Khi đĩ dãy (ree la day tang that suf va E, = En, vii moi: € [ng, Mest), En z Brig
Vì thế ta cĩ thể giá sử dãy (E„„) tăng ngặt
Theo b6 dé Ries 31m € Emers tml] = 1, dtm, Em) > 5: khi đĩ ||r„ — gÌ| > > Vy € £,, Ta lại cĩ Im — tml (Im) & Em va tml (y)€ En, Vy € EL, Suy ra ||r.„ — (re — tmT (am) — tmT(y) |] > dtm, Em) > ; => [Mm I (tm) ~ ben T (yd > ; Vy € Ey Do dé cé mot day (z,,),, C B(0,1) sao cho 1 lT(za) = T(z„)ll 2 sup |t,| >Ũ
Mau thudn véi T(B(O 1)) compact
Định lý 2.2.4 Cá số nguyên N sao cho vit motm > N (i) (V™)~'(0) = (V*)-"(0) = F (ii) (V")(£) = (V*)(E) = R Chứng mỉnh (i) Dat E„ = (V"")-!{0) là khơng gian vectơ con đĩng của £ Khi đĩ Em = {z : V"{r)=0} Lẫy r € E„ => V"{(r) = + V„.¡(z) = V(V”(r)) = V(0) =0 => r € E„., Vậy l Cc | ara Ta cũng cĩ (/- T)( Exits) = V{Em+t] CB
Áp dung định lý (2.2.3) cho f„ = 1 và Z„ như trên ta được (i)
(ii) Ta chứng mình tương tự như trên, bằng cach ap dung dinh lý (2.2.3) cho t,, = 1 và Êm = V"(E) s = ~l Vậy định lý được chứng mình
Trang 1222_ DINH LÝ RIES-FREDHOLM Trang 12
Chứng minh
(i) Lay r € £, ta chứng mình r = + z với ,€ĐR:cf
Vì VX(E) = V"(E) Vm N Suy ra V*(E) = V?(E) Do đĩ 3z € £ VW(z) =
V?Š(z} Khi đĩ: đất „ = VŸ(z) thì ự c # và VŸ(r) = V*(w)
Lúc đĩ 0= V*(z) ~ V*{y) = V*(z —y) s+z—w€V-*(0) = F Vậy E= R+F
Ta chimg minh RO F = (0) That vay: néu z’ € RO F thi ta cing cĩ y' sao cho # = V*(\y) và V*(z)=0 Từ đĩ w € (V?*)=!{0) = £ = (VX)“(0) Do đĩ z' = (V*)(/)=0 Vay RO F =0 Ta cé dude E = RSF (ii) Ta cĩ được T = 1 — V va V(R) = V(V"(E)) = R Khi đĩ T(R) = R+V(RVPCR+RCR Tương tự T(F) C F
Trong trường hợp n = 1, ta cé định lý Fredholm
Dinh ly 2.2.6 (Fredholm) Cho T € K(E, E) Khi dé (ï) (Ï — T)~!(0) hữu han chiều
(ii) (1= T)(E) đáng
(ii) (ƒ ~T)”'(0)=0 œ (1-T(E) = E
Chứng minh (¡) và (ii) là hệ quả trực tiếp của (2.2.2) Ta chứng minh (iii) Trước hết,
ta chứng mình phản thuận
Lý luận bằng phản chứng, giả sử E) = (f - T)(E) # E Khi đĩ E\ đĩng trong £ nên
Ei-Banach và T(E) Cc E\
Khi đĩ T:z, là tốn tit compact do T(Br,) C T (Be) M E, lA compact Lac nay dat Eạ — (I - TM(E\) thì £¿ là khơng gian đĩng của £; (đính lý 2.2.2) Hơn nữa Ey # E, (vi J — T đơn ánh) Dat E,, = (1 —T)"(E) thi
Ey & Eni g G Er
Theo Bé dé Riesz, tén tai diy (u,),, sao cho u, € Ey, |lual| = 1 va dun, Eas) =
vai mdi n € N Ta co wie
Trang 1323 PHƠ CỦA TỐN TỬ COMPACT Trang 13
Néu n >m thì E„.¡ C Ea C E và vì thế
—(uy — Tu,) + (tạ = Tuờ„]Ì + Uy, € En+t-
Do đĩ '
Tu, = Tưm|| > đ(ưm Em+v) 3 5
suy ra day {Tu,} khong chifa day con hội tụ nào, mâu thuẫn vi T compact Vay (1 = T)(E) = E Ngược lại, giả sử (ƒ — TÌ(E) = E Khi đĩ (I — T) sa ([ — TÌ(E) = (I - TÌE) = E Bằng quy nạp ta cĩ được (J — T)"(E) = E Theo Dinh lý (2.2.4), ta cĩ H = E
Theo Dịnh lý (2.2.5) : E = R& F Suy ra F = {0}
Day (1 — T)~"{0} la day tang va F = (J — T)-*(0) = {0} nên (1 — T)*!{0} =0 Ta
đã chứng mình được phần đảo
Tiếp theo, ta xem xét vẫn để phố của tốn tử compaet, tốn tử cormpact tư liên hợp
tổng quát và một số tốn tử compact cụ thể
2.3 Phổ của tốn tử compact
Dịnh nghĩa 2.3.1 Cho T € £(E), khi đĩ
~ Tập giải là
ø(T) = {A€ R | (T — Af) là sơng ánh từ E lên E}
- Phổ ø(T) là phần bù của tập giảu
ø{T) = R\p{T)
- À được gọi là giả trì riêng tà kí hiệu
AEVP(T) néu (T - AI) !{0} #0
(T = AI)-!{0} là khơng gian riêng tương từng tới À Tit dinh nghĩa, ta thấy được V P(T} € ø(T)
Khi dim É < œ thì VP(T) = a(T)
Trang 1423 PHO CUA TOAN TU COMPACT Trang 14
Ménh dé 2.3.1 Phé o(T) la tập coơmpact sà ø(T) € { - |ITIL.I\TI J
Chứng minh Gia sử À € R, |À| > (| Ta chứng tỏ 7 — Àf là song ánh, do vậy
ø(T) € [ - lTI II ]:
Lav f € E, ta chứng tỏ phương trình
Tu — Àu = ƒ (2.4)
cĩ nghiệm duy nhất Thật vay
Tụ — Àu = ƒ$u= (Tu = ƒ) = Blu) (2.5)
“ Iêt= [Sơ - n- TẢ <+ TAL
Theo định ly điểm bất động Banach, phương trình (2.5) cĩ nghiệm duy nhất nên phương trình {2 1) cĩ nghiệm duy nhất Vậy 7' — Àƒ là song anh
Bay giờ ta chứng mình ø(T7}) là mở, nhu vay o(T) = R\p{T) la dong, Cho Ay € p(T), A € R (gần với Ào) và ƒ € £, ta tìm cách giải
Tu ~= Âu = ƒ (2.6)
Ta cĩ
Tủ — Àu = ƒ & Tu— dot f+ (A— Ae)
o> (T~=Às)"'[ƒ +(ÀA= x)u] = u (27)
Áp dụng định lý điểm bất động Banach, ta thấy phương trình (2.7) cĩ nghiệm duy nhất nếu nh Vậy với À gần Àạ sao cho l À— < |À — Àal IIVIEEWIEII
thi (7 — AJ) la song ánh, suy ra À € ø{7) nên p(T) là mở
Vậy ø(T) đĩng và ø(7) € { - |IT|\ l|TI| ] Ta cĩ được ø(T) compact Dinh lý 2.3.1 Giá sử T € K(E) vdi dim E = 00 Khi dé ta c6
(i) O€ ofT)
(ii) z(7)\{0} = VP(T)\{0}
Trang 1523 PHƠ CỦA TỐN TỦ COMPACT Trang 15 - hoặc ø(T) = {0}
~ hốc #(TÌ\{0} hữu han
- hoặc đ(T}\{0} là một dâu bén ué Ú
Chứng mình
(i) Giá sử 0 £ ø(T), tức la 0 € ø(T) T là song ánh Khi đĩ ? = T eT”' là
compact Do dé Be = /( Bg) la compact Vay dim E < ox
(ii) Cho A € ø(T) A # 0 Ta chứng t6 A € VP(T) Giả sử (T — A1)-*{0} = {0} Theo đình lý Fredholm, ta cĩ (T - Af)(E) = E
Vậy (T — ÀI) vừa là đơn ánh, vừa là tồn ánh nên (T— ÀŸƒ) là song ánh suy ra A € p{T) mau thuẫn Vậy À € VP(7)
(iii) Để chứng mình phẫn (ii) ta cẩn Bỏ đề sau
Bồ để 2.3.1 Giá sử (Az)Ì„>»¡ là dảy số thực khác nhau đối một sao cho
À„ —>À m — À„u€ø(T)\{0} Vn Khi đĩ
A=0 Chitng minh bé dé :
Voi A, € VP(T), chon e, ¢ 0 sao cho (T — A,J)e, = 0 Gid sit E, la khơng gian
vectd sinh bởi e;,e;, e„ Ta chứng mình „ © E,4: That vay, chi cin kiểm chứng
các vectơ e;, e„ độc lập tuyến tính với mọi n Ta chitng minh qui nap theo n
Giả sử eạ, c„ độc lập tuyến tính và £„¿¡ = » Khi đĩ
Trang 162.3 PHO CUA TOAN TU COMPACT Trang 16 Từ (2.8) và (2.9), ta cĩ được = aA, = 3 GÀ» +, i=l ` .a =I
=> &(A, ~À„+¡)=0 (do £ ,e„ độc lập tuyến tính}
=> a,=0,7271,2, ,n {do A, # Anse)
Diệu này mãu thudn vdi e;, ,¢, doc lap tuyén tinh Vay E, S E,4, véi moi n Ta cũng cĩ (T = Ant En C En-t do (T — Agl)e, = Tei) — An@i = Aves — An@s = (Ai — Andes © Ene, , t= 1,2, n- và (T - AnD en = € Eu-t
Theo bổ để Ries, ta cĩ đãy (u„}„>ị sao cho
tn € Ens tall = 1; dig Bun) > 5 vớin >9
Khi đĩ với 2 < m < n sao cho E,,.; C En C Eq; C Ey Ta c6
| - = Tum || _ | ==== >> Âm + tp ~ tl
> dltin, Eni) > 5,
Nếu À„ — À # Ú, ta cĩ được mâu thuần vi T(u,,) chita day con hdi tu
Chitng minh (tii) Dat
A„=ø(T)nÍAeR = ya > +} VneN
Ro rang Á„ là rỗng hoặc hữu hạn (nếu nĩ chứa vỏ số điểm phân biệt thì nĩ cĩ một
điểm ty vi A, C o(T)-compact Suy ra c6 day A, — 0, mau thuẫn vì Í|À|| > =)
Khi o(T)\{0} chita v6 sé diém phan biét, ta cĩ thể sắp xếp thành một dây tiến về 0, Ngược lai, nếu cho trước dãy œ„ — , ta cĩ thể xây dung toan tit compact T sao cho a(T) = (a,) U {0} Ta xét các ví dụ
Ví dụ 1 Xét E =P, Ts ua = (uy) + Tu) = (a„u„) Khi đĩ với wứ = (ưị, uạ, ., tạ
Trang 1723 PHƠ CỦA TỐN TỦ COMPACT Trang 17
Theo hệ quả (2.1.1) ta cĩ 7` compact Ta cũng cĩ
(T—a¿l) !{0) = {ưu : (T- avl)(u) =0) (2 10)
= {u : T(u) — ax(u) = 0} (2.11)
= {u: ((a, —ax)u,) =0} (2.12) 3 KREG 55 1,0 )) (1G vi tri that &) (2.13) Do dé (ay) C SP{T)
Ta cing suy raa € SP(T) @ a = ay Vay SP(T) = (ay)
Nêu dãy (a„) cĩ hai số bằng nhau thì rõ ràng 0 € S?P(7) Tức là 0 cĩ thê thuộc SP(T) cũng cĩ thể khơng thuộc Mặt khác, nếu dãy cĩ chứa võ số số 0 thi khơng gian riêng tương ứng với vectơ riêng a = 0, tức là ?'~!{0) sẽ vơ hạn chiêu
T"'1(0) {u : T2 =0}
= {u : (qua) =0}
= ((0.0, ,1,0, ), lơ vị trí thử) vơ hạn chiều
Phố 7 : z(7)\{0) = SP(T)\{0}
Trang 1823 PHO CUA TOAN TU COMPACT Trang 18 Vay ||| = sup fa,| :cN Xét 7„(u) = $2" e,(u,0,}u, thì Tạ là tốn tứ hữu hạn chiều và T„ —¬ T Theo hệ qua (2.1.1), T compact Ta chứng mình z(T) = (œ,) U {0} (T— al)~}(0) = {u : T{u) - œu = 0} = {u : 5 `(a, ~ aÌ{u, u,}u, = 0} s=1 Nêu œ # a,, Vi thi dla —a@){u,u,)u, = 0 t=! os (u,ư,) =Ú, Vì *« tu 7= nên (T'— œf}“!{0) = 0 Nếu œ = a, thì (w) C (T — af)”!(0) Do dé SP(T) = (a,)
Vay o(T) = (a,)U {0}
Với À € z(T)\{0} thi A € SP(T)\{0} va (T — AL)~"(0) # {0}.Ta cĩ mệnh đề sau
Mệnh đề 2.3.2 Cho T € K(E,E), ÀA € ø(T)\{0} Khi đĩ (T — A1)-*(0) tăng thực sự
đến một khơng gian hữu hạn chiều p sau đĩ ổn định
Chứng minh Thật vậy Ẵ € K(E, E) Thay T bang ‘ vao Dinh lý (2.2.4) ta sẻ được điều phải chứng mình
Dinh nghĩa 2.3.2 Cho T € K(E.E) ÀX€ øơ(Tì\{0} cá p như trên Khi đĩ ta nĩi
+ p là cắp của trị rếng A
+ Sá chiếu của (T = Àf)*!{(0) là bội hình học của À + Số chiếu của (T — Àf)*P(0) là bội dại số của À
Bây giờ ta xét trường hợp /Z là khơng gian Hilbert và kí hiệu E = !ƒ Lúc đĩ 7 < £(H)
Định nghĩa 2.3.3 Ta nĩi rằng tốn tử T € £(H}) là tự liên hợp nêu
Trang 192.3 PHO CUA TOAN TU COMPACT Trang 19
Ménh dé 2.3.3 Giá sử T € £(H) là tốn tử tự hén hợp Dat
m= in (T(u).u) a Me= sup (T(u).u)
mE fupet wif, Juliet Khi do ø(T) CÍm.Af| , m Af € a{(T\ Chứng minh Giả sứ À > Aƒ Ta chứng tỏ răng À € ø(T) Với u # 0 thì ((đ)-đ)<" Suy ra (T{u),u) < M : ||u||Ÿ Do đĩ (Âu — T{(w).u) > (A — Af)|lul|? = «||w||? với u € lÍ và (œ = À — Af > 0
Áp dụng định lý Lax-Milgram cho hàm a{u,v) = (Au — T(u),v), tén tại duy nhất
a € H sao cho a(w, 0) = (a,v), Vu € H
Do dé Au — T(u) = a Vay AJ — T la song anh, A € p(T)
Ta chimg minh M € ø(T) Lai dat a(u,v) = (Mu — T(u), v) la dang song tuyến tính đối xứng va a(v,v) > 0 (theo trên) Vì thế
|(Mu — T(u), v)} < (Mu —T(u), u)? - (Mu — T(u), v)4 Vu,u € H (2.14) 'Ta cĩ |(Mu — T(u), +)| M(v,v) ~ (T(v), v) M (u,v) + (T(v),v) < M v,U) > |v , (1 ( ) ' ) < 21 ||+|| lA => |(Mv —T(v),v)| < ¥2M full (2.15)
Từ (2 I4) và (2.15), thay v = Mu — T(v), ta dude
JMWw — T(u)||# < (Mu—T(u), u)t « V2M - || Mu — T(u)] (2.16)
Suy ra
||Afu - T(u)|| < V2M - (Mu — T{u), u)Ì
Lay (u„) sao cho Íl|u„|| = 1 và (T{u„) uy) —+ M (do định nghĩa MM) Ta cĩ
(Mu,, — T(u,,
THU VIEN
Trưởng Đạt-Học Su-Phạm
Trang 2023 PHO CUA TOAN TU COMPACT Trang 20
Thé vào (2.16) ta được || Mu,, — T (tim), Un |} —— Ú
Gia sit M € p(T), khi đĩ
wạ = (MT ~ T)~!(Mu„ — T(ua)) — 0
Mãu thuần với ||¿„Í| = 1 Vậy ă € ø(T)
Thay 7 bởi —T, khi đĩ ta cĩ được À > rm với À € đ(T) và m € đ(T) Vấy định lý được chứng mính
Hệ quả 2.3.1 Giả sử 7 € £(HH}) là tốn tử tự tiến hợp sao cho ơ(T}) = 0L Khi đĩ T = 0 Chitng minh Theo ménh dé trén thi m = M = 0 Suy ra (T(u),u) = 0, Yu € H Từ
đĩ Do đĩ
2(T(u) tỳ = (T(u + 0),u + 0} — (T{u).u) — (T(u),t) =0 Vu,:€ H
Do đĩ T = 0
Ta phát biểu một kết quả cơ bản, đĩ là một tốn tử compaet tự liên hợp thì chéo hĩa
được trong một cơ sở chọn thích hợp Kết quả này được áp dụng trong giải các phương
trình vi phân thơng qua việc phân tích phổ các tốn tử vi phân
Định lý 2.3.2 Gid sit H kha ly, T là tốn ti compact tu lién hap Khi dé H cĩ tmột cơ
sở Hilbert gdm cdc vecta néng cia T
Chứng minh Giả sử (À„)„», là dây các trị riêng phân biệt của 7, trừ số 0( kí hiệu Ay = 0) Dat
Ey=T (0) và £,=(T—A,/)™'(0)
Khi dé 0 < dim £, < oo
Ta chimg minh H là tổng Hilbert của các (E„)„xo Thật vậy
(1) Các (Ea)axo đốt một trực giao
LẤY u € E„ ® € E, với rnr # 1 thì Tự = À„u, Tế = À¿v Khi đĩ (Tu, 0} = À„(u,U) = (u, Tu) = À„{u, t}
+ (u,U) =(\ (An # Ap)
(ii) Giả sử £ là khơng gian vectơ sinh bởi (Ex)„z>ạ Ta kiểm chứng F` trù mật trong H
Rư ràng T(F) € F Lẫy w € F* suy ra (ư,u) = 0, Vu € F,
Lúc đĩ (Tu, 0) = (u, Tv) = 0 (do Tv € F) Suy ra Tu € F Vi thé T(F*) Cc F`
Tốn tử Tạ = Tịr: compact, tự liên hợp Ta cĩ Ø(Ta) = 0 Thật vấy, giá sử À €
Trang 2123 PHO CUA TOAN TU COMPACT Trang 21
mốt trong các giá trị riêng của 7` và u € FA OE,, suy rau € F*+NF Do dé u = 0, vo ly
Vay o(Ty) = 0 Theo hé qué trén suv ra T) = 0 Do dé Tips = 0 Suy ra P2 C
T-'(0) c F vithé F+ =0 Ta cé dude F tri mat trong /ƒ
Vay H la téng Hilbert của (E„)„»ọ Trong mỗi „ chọn mot ca sé Hilbert H6i của
Trang 22Chương 3
Hàm riêng - sự phân tích phổ và ứng dụng trong phương trình vi phân
Trong chương này, ta xem xét trường hợp // là các khơng gian Sobolev và sử dụng định
ly (2.3.2) để tìm hàm riêng của một số phương trình vi phân cụ thể, ứng dụng để giải các TC trình vi phan D3t J = [0, 1) 3.1 Hàm riêng và sự phân tích phơ Trước hết ta phát biểu và chứng mình bồ đề : Bồ để 3.1.1 (Bai todn Sturm - Liouville) Cho p € C'(T),q € C(T) va ƒ € L?(I) thoả pix) >a>0,q¢>0,vre Tl Chitng minh béa todn { =(pu')' + qu = ƒ(1) trén I = (0,1) u(0) = u(1) = 0
cĩ nghiệm duy nhat
Chứng minh Nhân hai về của (1) cho ø € (1) và lấy tích phân ta được len + [owe = [4 thay — [awe = [ower Do v € H3(/))
' ! ta được ƒ, gu? + [que — f, fv
Xét a(u,t) = Í,qu 2 + Í, que trên khơng gian hàm HẠ(T) Khi đĩ a(u,t) là dang song tuyến tính liên tục đối xứng trên /À(ƒ)
Ta cĩ a(u,u) = ƒ,qu? + [, qu? > ƒ qv? 3 al|t'|lrstn Ta cũng cĩ |w(r)| = |e(z) — w(0)| = | Í 0()đ#{ < |Iưt|¿
Suy ra ||e||.« < |ltl¿: Áp dụng bắt đẳng thức Holder, ta được ||s||„; < C||v||u»
Trang 233.1 HAM RIENG VA SU PHAN TICH PHO Trang 23
Theo dinh ly Lax-Milgram, tén tai duy nhat u € H}(/) sao cho a(u,v) = [, fo, vu €
Hi(1), Vay phuong trình đã cho cĩ nghiêm duy nhất
Định lý 3.1.1 Chope C'(T) oới p >a >0 tren I vag € C(I)
Kha đĩ tén tạt một dây {À„}a+\ các số thực tà một cơ sở Hulhert {eu}a+( của L?(T)
sao chor, € C?(T) va
{ ~(pt2)° + gen = Antn trénl
ea(0) = e„(1) = 0 lưn nửa À„ — % khi n — ©©
'Ta nĩi rằng {Ầ„} là các giá trị riêng của tốn tử vị phân Áu = —(pu} + qu với diéu
kiện biên Diríchlet và c„ là các hàm riêng tương ứng
Chứng minh Ta lũn cĩ thể giả sử ạ > 0, nếu khơng thì ta chọn một hằng số C
say cho q+ C > 0, diéu này dẫn tới thay thế bởi À„ + C' trong phương trình trên Khi
đĩ.theo bổ để (3.1.1), với mọi f € L2(7) tồn tại duy nhất u € #(1) thỏa:
~(pu']' + qu =ƒ_ trên Ï
{ u(0) = u(1) = 0 (3-1)
Lic dé T > f — uw lA mét tốn tử và ta xem T la todn tit tir L7(/) vao L?(/)( Cing
co thé xem T la mot todn tit tir H3(/) vao HA) ) Ta kiém tra 7 tự liên hợp, compact
* T compact
Từ (3.1) ta suy ra f, pu? + f, qu? = J, fu do dé
alu'li? = | ou? < / u?< | pu? + | qu? = / fu < [flloe-tulles
Theo bất đẳng thức Poincare: ||u||„› < C||u||xz
Suy ra #&|lu|lŸ„ < ||/ll,z.|lw|l¿a < |LƒI|z.|Iu||m› Do đĩ ||u||„i < C||/l|vs, hay [ITS lle < Slew:
Trang 243.2 HỌ HÀM LEGENDRE Trang 24
Nhân (1) với ø và nhân (2) với u rồi lay tich phan , ta được [re = [mie + [aw = la
I ! ! !
Suy ra < ƒ,t >=< u,g > hay < ƒ,Tg >=< T̓, g > tức là T tư liên hợp
Theo đính lý (2.3.2) L°(7) cĩ một cơ sở Hilbert (e„)„+¡ gồm những voctơ riêng của 'T
(Chú ý rằng Eạ = T{0} = {f : Tf = 0} = {0} do f(T S)f = J, uf = ƒ,(pw? +qw) > 0)
Ứng, với các giá trị riêng (/#na)a>¡; ða # Ú và uạ — O
Ta viết lại Te„ = nea, suy ra —(pel,)' + gen = Anén Voi A, = ae
Chủ ú - Trong chứng mình trên, ta cĩ thể thay ƒ bằng doan Ja, 4] bi chan vin 6 két
quả tương tự, đĩ là do phép nhúng từ /f!(T) vào L?(f) compact nhờ vào J bi chan, tit
đĩ tốn tử 7' compact Cũng cĩ thể thay tốn tử ví phân 7 bằng một tốn tử vì phân cormpact tự liên hợp khác, ta cũng cĩ họ các hàm riêng của tốn tử đĩ Các hàm riêng
cịn phụ thuộc vào điểu kiên ban đâu Ta xét các ví dụ sau
l2 dụ Trong bài tốn Sturm-Liouville, cho p = 1,g = 0 ; ho cac ham riéng e, thỏa
t + Anén = 0, ta được e„ = acos vVÀ„z + bsin vÀ„z Thế vào điều kiện đầu £„(0) = e,(1) = 0, ta cd A, = n?x? vA e, = sin (nz) Ta cũng cĩ i Lã lleall? = [ sin? (nwz)dz = [ (— 2h x sin2nxz,, 1 _ 1 (5 rm Ann lo h ® 9 Suy ra llcal| = v3 (3.2) Do đĩ trực chuẩn hĩa họ (e„), ta được họ {v/2sin(nxz)} ứng với À„ = nÊz?,n € N"
Nếu ta thay J bling (0, x| và xét phương trình trên với p=1 và q =0 ea(0) = e„() = 0,
La sẺ cĩ e„ = sin(nz} và À„ = n’
, " 1 =~ cos2nrer r sin2dnx |" =
VI — Í sim! of ee, ft ot
Ie! Ì sin? nrdr i ( 5 ldr - ( 5 = Ne 2
Trực chuẩn hĩa ta cĩ họ (V2 sn2z) ứng với À„ = n°
Ta tiếp tục xét một số trường hợp khơng tằm thường của bài tốn Sturm -Liouville
34.2 Ho ham Legendre
Trang 2532 HỌ HÀM LEGENDRE Trang 25 Xét đa thức họ Legendre: 2 _ qìn Po(r) = 1, Pa(r) = ma os 1) 2 — aa - thi Pa(z) cĩ dạng khai triển là : n-í n (201 t—n le) = gg 0 (9) Tong nay chi ldy cae gid tri i sao cho 2i — n > O(néu 2i — n < 0, ta xem số hạng đĩ là 0) Khi đĩ Lấy đạo hàm
Pol) = 1, Pula) = +, PAz) = šr? — 3, P(z) = 32° - 52?
Ta kiểm tra họ đa thức Legendre trực giao và trù mật trong L?[—1, 1| Để kiểm tra
tinh tryc giao , ta dat u,, = (2? — 1)" Trước hết tín = [(2? ~ 1)” = 2mz(z” — 1)! => u„(]) =ư„(=l)=0 (um)” = (uạ„}' = |2mz(z” ~ 1)P**Ƒ = 2m(1+? — 1)" + 4(m — 1)mz?®(z? — 1)? = u_(1)=u,(-1)=0 Tuong ty ta sé duoc ult) triệt tiêu tại +l với := Ï m1 Khi đĩ với rt < m: J P„(z)z"dt£ = mm ma [os (mịn i = aS ——.ut-z"I!, af uÿn=!) x"=!đ—r|( Tích phân từng phản ) l
7 “mm, ul Yar "da( do ult) (—1) = ul—Y(1) = 0)
Trang 263.2 HỌ HÀM LEGENDRE = : ls Tích phân từng phản như trên, ta cĩ được i / Cra ryder = (— 1)* fo Oe: tHr)ut8**( r)dy = =1 (~1)" [ _M(z)uĐŸ")(z)dr (—1)"(2m)! Ẻ (2? ~ 1)"4r(uf#") = (2m)!) (2m)! [o — z)”(1+z)”dr 33) Tiếp tục lấy tích phân từng phần, ta lai cĩ : _ fo —ry"(l+r)"dr = == sf (1—z)”~!(1+z)**!dr mm ions Tay ft _ Pin ra” (3.4) 1ä ; ! (m!) 2nei _ +
ve Palen = aca OM im SAS BT
Tiếp đến ta chứng minh ho P,, tri mat trong L*/—1, 1], That vay tryc chudn héa ho
này ta được họ đa thức trù mật trong khơng gian các hàm liên tục C{—1, 1], mà {—1, 1|
lại trù mật trong /?(—1, 1| Ta cịn phải chứng minh họ „ là họ các hàm riêng ứng với giá trị riêng À„ = n(n +1) Thật vậy chỉ cần chứng tỏ:
((1 — z?)⁄(z)) + n{n + 1)P„(z) = 0 (3.5)
Phương trình Sturm-Liouville với p(z) = 1 — z?, g(z) = 0
Từ (z?~ 1)u,(z) = (z?— 1)[(z2?— 1)" = (z?— 1)[n2z(z? — 1)"~!] ta được (z? - 1)u„ =
2nzrU,,
Lay dao ham hai vé roi thu gou:(c? — ju, (2) = 2nu, + 2(n — l)£u,
Tiép tuc lay dao ham réi thu gon ta lai duge :
(x? —1)u.” = 2[n + (n — 1)Ju, + 2(n — 2)ru,,
Trang 273.3 HAM BESSEL VA PHUONG TRINH BESSEL Trang 27
3.3 Ham Bessel va phudng trinh Bessel
2
Xét phương trình Bessel :(2y’)! + [-— + Ary = 0,
Va ham Besel ss ven — | r/xz\w đ„(r) = 3 Gre = r!F(u+r+ 1) với F(a + l) = Ỉ t^e~!dt!,œ > 1 a
Hệ trực chuẩn gdm cae veeto riéng cla phuong trinh Bessel lA ho {c,J.(A\) ew, trong
đĩ À, là nghiệm của phương trình
v2
J„(Àa)} = 0,¢, = eva)’
ứng với giá trị riéng A = A?
Ta khơng chứng mình các kết quả này
Ngồi ra cịn cĩ họ các đa thức Tchebycheff, họ đa thức Jacobi , họ đa thức Hermite là ho các hàm riêng của các tốn tử vì phân
3.4 Giải các phương trình vi phân bằng cách phân tích theo họ các hàm riêng Xét phương trình truyền sĩng: œ i ~Âu=0 trênQ (3.6) với các điều kiện u=0 trên > (3.7) u{z,} = u(0) trén 2 (3.8) 9 20) = Volz) trên Ý} (3.9) tome do é R",2 md 6 bién [, Q = 2 x (0, +00) va ED =T x (0,00), Can tim ham u(a,t): 2 « [0,+00) — AR thỏa (3.7) (3.8) (3.9)
Bài tốn này ta được xem xét khá kỹ với nhiều cách giải O đây ta xem xét trường hup bị chân , bài tĩan này cĩ thể giải theo sự phân tích trên một cơ sở Hilbert
Gọi {e„(r)} là một cơ sở của L?(Q) gồm các hàm riêng của — Âu với các điều kiện
Trang 2834 GIẢI CÁC PHƯƠNG TRINH VI PHAN BANG CACH PHAN TICH THEO HO CAC HAM RIENG Trang 28
Thé vao (3.6):
3 ”(aj(t) + A,a(t))e(z) = 0,
i=t
suy ra a(t) + À¿a,(f) = 0, do đĩ
a,(t) = 0,(0) cos ft + VA 2 sin Wt)
Các hằng số a,(0) và a/(0) được xác định từ các đẳng thức
u(x) = 3 >a,(0)e,(z) và to(z) = > a{(O)ex(z)
oe
Đến đây cơng việc tiếp theo là xét sự hỏi tụ của chuỗi 3> a(f)e,(z)
red
Đổi với từng phương trình cụ thể, ta cĩ cách xác định họ hàm riêng và sự hội tụ của
chuỗi cân tìm Phương pháp phân tích trong trưởng hợp n = 1, Ÿ = (0,1) C R phương trình (3.5) mơ tả sư giao động của một sợi đây khơng chịu sự tác động của ngoại lực Ta xét phương trình:
đu Fu
Be “0øm:0<xz<tt20 (3.10)
u(0,t) = u(1,t) =0,t>0 (3.11)
u(x,0) = f(x), u,(2,0) = gfx); fg lien tuc, triét tiéu tai 0.1 (3.12)
Ta tìm ho hàm riêng ciia toin tit ~Au = 2% trong /2|0, 1} Khi đĩ, họ ey la nghigm của phương trình _— = À„£e„ với điểu kiện biến ¢,(0) = e„(1) = 0
Dây chính là tốn tử Sturm-Liouville vai p = | , g = 0 va diéu kién bién Dirichlet ta đã xét ở phần bài tốn Sturm-Liouville Họ các hàm riêng là e„ = sin (nzz), À„ = nˆr?
Vậy nghiệm của phương trình (3.10),(3.11),(3.12)
u(z,t) = 5 (an(0) cos (net) - 010) in mez
trong đĩ các hệ số a„(0) ø/ (0) được xác định từ :
u(z,0) = 3 ` a„(0)sin (nxr) = f(x) (3.13)
u;(z,0) = 3 `as(0) sin (nzz) = g(r) (3.14)
Cĩ thể xác định một cách cụ thể a„{(0) và a/ (0) bằng cách nhân hai về (3.13) (3.14)
cho sìn (nwxz} rồi lấy tích phân Ta cĩ được
\
Trang 2934 GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN BANG CACH PHAN TICH THEO HO CAC HAM RIENG Trang 29
'
a’ (0) =2 | g(z) sin (nrz)dr
ụ
Chuỗi 2„(e<(0)eos(nzt) + SỐ vn (nmf)) sin (nrz} hội tu
Trong trường hợp rn = 1, phương trình (3.6), (3.7) (3.8) (3.9) mơ tả sự đao động bé
của một màng đàn hỏi hình chữ nhật Đĩ là bài tốn:
Pu Fu đều
Be Det aye ST Sao Sy shtzo (3.15)
thỏa các điều kiên ban đầu:
u(z,0) = (z,b) = u(Ũ ụ) = u(a ) = 0 (3.16)
Ou
td 0) = g(r, y), u(x, y.0) = f(z, y) (3.17)
< Pu Fu ge es
Ta tim ho ham riêng của — Âu = -( ~ ay? thỏa các điều kiện (3.16), (3.17) Xết £„„(z.} = €„(Z}.ex(w} ta tìm họ hàm riêng dưới dạng tách biến Từ phương trình Do PF 0m ma(z.0) + Byteman Y) = A€mn(Z,y) ta rút ra: 3 z Sat eau) + eal) gu” + Ae(z)es(y) =0 Suy ra z đằea(z) _ Brenly) + Aenty) - eal) PS) HED Se Do dé se) + ke„(z) = 0
Zeal) + le,(y) =Ol=A—k tử điều kiện (3 16) và hai phương trình trên, ta cĩ được họ hàm
£,„{#) = sin rk = (““=? a a a sin yt = (2%)?
ea(w) on b y.l ( h )
viy ho him ring tm o(2,y) lt sin (2) sin (—y) voi trị riêng À„.„ = ('#E)2 + (3#)?
Vây: u(r, ụ,f) = Ầ từn nÍt)Êm s(Z ¥) trong đĩ
m.n=|l
‘lO
Trang 31Kết luận
Việc biếu điển nghiệm của phương trình ví phân dưới dạng chuỗi cĩ thể cho giá trị
gản đúng của nghiệm rất tốt, cĩ vai trị khá quan trọng trong kỹ thuật Tuy nhiên việc thm mot ho vd han hàm riêng khá khĩ khán để khắc phục tình trạng này, trong một lớp
Trang 32Tài liệu tham khảo
[I Haim - Brezis, Giải tích hàm (bản địch của Nguyễn Hột Nghĩa, Nguyễn Thành Long), NXB ĐHQG Tp HCM, 2000
(2| Dương Minh Đức, Giá: tích hàm , NXB ĐHQG Tp HCM, 2000
(3] Dang Dính Ảng - Trắn Lưu Cường - Huỳnh Bá Lãn - Nguyễn Văn Nhãn, Điền đổi tich phan , NXBGD , 2001