Toán tử compact trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F —————— —————— ——————– —————–FF NGUYỄN THỊ MINH NGỌC TOÁN TỬ COMPACT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F —————— —————— ——————– —————–FF NGUYỄN THỊ MINH NGỌC TỐN TỬ COMPACT TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Tốn tử compact khơng gian định chuẩn 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.2 Tốn tử compact khơng gian định chuẩn 1.3 Phổ toán tử compact 15 Chương Toán tử compact không gian Hilbert 22 2.1 Không gian Hilbert 22 2.2 Toán tử compact không gian Hilbert với sở trực chuẩn đếm 27 2.3 Biểu diễn Schmidt toán tử Hilbert - Schmidt 34 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích hàm đóng vai trị quan trọng giải tích nhiều lĩnh vực khác Toán học Một hướng nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết tốn tử Lý thuyết toán tử giúp cho việc nghiên cứu sâu không gian định chuẩn, đặc biệt không gian Hilbert Theo đó, việc mở rộng kết ánh xạ (toán tử) compact phát triển bước đưa cho nhiều kết thú vị Mục đích chúng tơi tìm hiểu nghiên cứu tính chất tốn tử compact khơng gian định chuẩn nói chung khơng gian Hilbert nói riêng Trong trọng tới phổ toán tử compact mối quan hệ toán tử compact, toán tử Hilbert - Schmidt tốn tử hạch khơng gian Hilbert Với mục đích luận văn trình bày thành hai chương Chương Tốn tử compact khơng gian định chuẩn Phần đầu chương dành cho việc hệ thống lại số kiến thức cần dùng luận văn Trong phần tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất tốn tử compact khơng gian định chuẩn Sau đó, chúng tơi trình bày số đặc trưng phổ tốn tử compact khơng gian Banach Chương Tốn tử compact khơng gian Hilbert Đầu tiên chúng tơi nhắc lại số khái niệm tính chất không gian Hilbert mà chúng cần dùng sau Sau chúng tơi trình bày số tính chất tốn tử compact khơng gian Hilbert với sở trực chuẩn đếm Các kết chủ yếu tài liệu tham khảo đưa dạng tập Phần cuối chương dành cho việc trình bày biểu diễn Schmidt tốn tử compact, tính chất mối quan hệ toán tử compact, Hilbert - Schmidt toán tử hạch không gian Hilbert Các kết trình bày luận văn chủ yếu có tài liệu C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an tham khảo Chúng tơi tổng hợp, trình bày lại, chứng minh chi tiết số kết tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt như: Mệnh đề 2.3.8, Nhận xét 1.2.2, Hệ 1.2.7, Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.2.15, Hệ 2.3.5 Chứng minh số kết mà chúng tập tài liệu tham khảo Bổ đề 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Định lý 2.2.4 Bên cạnh chúng tơi đưa chứng minh Nhận xét 2.3.11, Định lý 2.3.12 Định lý 2.3.17 Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo hướng dẫn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy giáo, giáo khoa Tốn, khoa đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh bạn bè, đồng nghiệp, gia đình quan tâm giúp đỡ bảo suốt thời gian học tập nghiên cứu Mặc dù tác giả cố gắng hạn chế mặt kiến thức thời gian nên luận văn chắn khơng tránh khỏi có thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý bảo thầy giáo, cô giáo, bạn bè đồng nghiệp để từ bổ sung, sửa chữa hoàn thành luận văn tốt Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an CHƯƠNG TỐN TỬ COMPACT GIỮA CÁC KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN Trong phần này, ta đưa khái niệm, tính chất với cơng thức sử dụng toàn luận văn Các khái niệm, tính chất trình bày tài liệu tham khảo luận văn Trong suốt luận văn, ký hiệu K trường vô hướng (K = R K = C), (xn )n (xn ) dãy có số hạng tổng quát xn , từ "ánh xạ" "toán tử" nghĩa 1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử E K-không gian vectơ Một chuẩn E hàm x 7→ kxk từ E vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y thuộc E, λ thuộc K (1) kxk ≥ 0, kxk = x = 0; (2) kλxk = |λ|kxk; (3) kx + yk ≤ kxk + kyk (ii) Khơng gian tuyến tính E với chuẩn gọi khơng gian định chuẩn 1.1.2 Định nghĩa Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach dãy Cauchy E hội tụ 1.1.3 Định lý Giả sử f ánh xạ tuyến tính từ khơng gian định chuẩn E vào khơng gian định chuẩn F Khi mệnh đề sau tương đương (a) f liên tục đều; (b) f liên tục; (c) f liên tục điểm ∈ E; (d) f bị chặn, tức tồn số k > cho kf (x)k ≤ kkxk với x ∈ E Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.4 Mệnh đề Giả sử E F không gian định chuẩn trường K Ký hiệu L(E, F ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F L(E,F) không gian vectơ K-không gian vectơ L(E, F ) tất ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với f ∈ L(E, F ), đặt kf k = inf{k : kf (x)k ≤ kkxk với x ∈ E} (1) 1.1.5 Bổ đề 1) Nếu f ∈ L(E, F ) kf (x)k = sup kf (x)k = sup kf (x)k x∈E kxk x∈E x∈E kf k = sup kxk≤1 x6=0 kxk=1 2) Công thức (1) xác định chuẩn L(E,F) 1.1.6 Chú ý (i) Từ công thức (1) Mệnh đề 1.1.4, f ∈ L(E, F ) có kf (x)k ≤ kf k.kxk, ∀x ∈ E (ii) Nếu f ánh xạ tuyến tính từ E vào F k số thỏa mãn kf (x)k ≤ kkxk, ∀x ∈ E f liên tục kf k ≤ k Ta viết E ∗ thay cho L(E, K) 1.1.7 Định lý Nếu F không gian Banach khơng gian L(E,F) Banach 1.1.8 Định nghĩa Không gian thực H không gian định chuẩn E gọi siêu phẳng E F không gian E chứa H F = H F = E 1.1.9 Định lý H siêu phẳng E H = f −1 (0) với phiếm hàm tuyến tính f ∈ E ∗ = L(E, K), f 6= Phiếm hàm f gọi phương trình siêu phẳng H Nếu g phương trình khác H tồn α ∈ K cho g = αf Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.10 Định lý (Riesz) Một không gian định chuẩn E compact địa phương có chiều hữu hạn 1.1.11 Định nghĩa Một tập A không gian định chuẩn E gọi toàn vẹn tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn A trù mật E, có nghĩa ký hiệu spanA = {x ∈ E : ∃a1 , , an ∈ A, n ∈ N n P với x = αi } spanA = E Ta nói dãy (an ) ⊂ E toàn vẹn i=1 tập phần tử dãy toàn vẹn 1.1.12 Định nghĩa Giả sử E không gian định chuẩn trường K E ∗ = L(E, K) không gian liên hợp E (i) Tôpô yếu E để ánh xạ f ∈ E ∗ liên tục gọi tôpô yếu E Lấy điểm x ∈ E Để ánh xạ f liên tục x điều kiện cần đủ tập dạng ∪(f, x, ε) = {y ∈ E : |f (y) − f (x)| < ε} tập mở Gọi σ tơpơ yếu E σ tơpơ sinh họ tập nói trên, tức tôpô bao gồm tất hợp tùy ý giao hữu hạn tập Một cách cụ thể W ∈ σ x ∈ W tồn hữu hạn hàm f1 , , fn ∈ E ∗ ε > cho U (f1 , f2 , , fn , x, ε) ⊂ W , U (f1 , f2 , , fn , x, ε) = h \ ∪(fi , x, ε) = {y ∈ E : sup |fi (y) − fi (x)| < ε} 1≤i≤n i=1 w (ii) Dãy (xn ) ∈ E gọi hội tụ yếu đến x ∈ E, ký hiệu xn −→ x, lân cận yếu U x tồn n0 cho xn ∈ U với n ≤ n0 Nói w cách khác xn −→ x f1 , f2 , , fp ∈ E ∗ , ε > tồn số n0 cho xn ∈ U (f1 , f2 , , fp , x, ε) với n ≥ n0 1.1.13 Bổ đề Dãy (xn ) không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến x ∈ E f (xn )→f (x) với f ∈ E ∗ 1.1.14 Mệnh đề Nếu E, F hai không gian định chuẩn f ∈ L(E, F ) f ánh xạ liên tục yếu Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.15 Định nghĩa Giả sử E không gian Banach K Ký hiệu L(E) = L(E, E) khơng gian Banach tốn tử liên tục E với chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục L(E) khơng khơng gian Banach mà cịn đại số với phép nhân phép hợp thành thỏa mãn kg.f k ≤ kgkkf k, g, f ∈ L(E) Đại số gọi đại số Banach Đại số có phần tử đơn vị tốn tử đồng 1E Phần tử f ∈ L(E) gọi khả nghịch tồn g ∈ L(E) cho gf = f g = 1E Tập G(E) phần tử khả nghịch L(E) tập tự đẳng cấu E 1.1.16 Định nghĩa Giả sử D tập mở trường K f : D→E hàm D với giá trị không gian Banach E trường K Hàm f gọi giải tích D với λ0 ∈ D tồn r > cho f (λ) = ∞ X an (λ − λ0 )n với λ mà |λ − λ0 | < r, an ∈ E n=0 Rõ ràng f : D→E giải tích µ.f : D→K giải tích với µ ∈ E ∗ 1.1.17 Định nghĩa Giả sử E không gian Banach f ∈ L(E) Ta nói λ ∈ K giá trị quy f λ − f khả nghịch, viết λ − f thay cho λ1E − f Trong trường hợp ngược lại ta nói λ giá trị phổ f Ký hiệu S(f ) σ(f ) tập tất giá trị quy phổ f 1.1.18 Định lý Giả sử E không gian Banach trường K Khi phổ σ(f ) f ∈ L(E) tập compact hàm R(f ) : λ 7→ (λ − f )−1 giải tích S(f) Ngồi K = C σ(f ) 6= ∅ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.19 Hệ Nếu f ∈ L(E) (i) σ(f ) ⊂ {λ : |λ| ≤ kf k} (ii) d(λ, σ(f )) ≥ ,với k(λ−f )−1 k λ ∈ S(f ), d(λ, σ(f )) = inf{|λ − z| : z ∈ σ(f )} 1.1.20 Định nghĩa Giả sử E, F hai không gian định chuẩn A ∈ L(E, F ) Ta xác định ánh xạ A0 : F ∗ →E ∗ công thức (A0 (f )(x)) = f (A(x)) với f ∈ F ∗ với x ∈ E Ánh xạ A0 gọi ánh xạ đối ngẫu hay liên hợp A Ta chứng minh A0 tuyến tính liên tục kA0 k = kAk 1.1.21 Mệnh đề Cho E khơng gian Banach, A ∈ L(E) Khi σ(A) = σ(A0 ) 1.1.22 Mệnh đề Giả sử M không gian không gian định chuẩn E x ∈ E với δ = d(x, M ) = inf{kx − yk : y ∈ M }, tồn f ∈ E ∗ (2) Tồn n = nλ ∈ N cho (λI − A)n N ≡ (có nghĩa là, (λI − A) N λ lũy linh) (3) {0} = N (λI − A) ⊂ Nλ dimNλ < ∞ Thêm nữa, σ(A) đóng ∈ σ(A) σ(A) ⊂ {λ ∈ K : |λ| ≤ kAk} 21 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn λ C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an CHƯƠNG TOÁN TỬ COMPACT GIỮA CÁC KHƠNG GIAN HILBERT 2.1 KHƠNG GIAN HILBERT Mục trình bày số khái niệm tính chất không gian Hilbert mà chúng cần dùng sau 2.1.1 Định nghĩa Một tích vơ hướng khơng gian vectơ E trường K ánh xạ (.|.) : E × E→K với tính chất sau (1) (λx + νy|z) = λ(x|z) + ν(y|z) với λ, ν ∈ K, x, y ∈ E; (2) (x|y) = (y|x) với x, y ∈ E; (3) (x|x) ≥ với x ∈ E (x|x) = x = Hàm (.|.) thỏa mãn tính chất (1), (2) (3’) (x|x) ≥ với x ∈ E; gọi nửa tích vơ hướng E 2.1.2 Bổ đề ([4]) Nếu E K-khơng gian vectơ (.|.) nửa tích vơ p hướng E, ta định nghĩa kxk := (x|x) với x ∈ E Khi (1) kx + yk2 = kxk2 + 2Re(x|y) + kyk2 với x, y ∈ E; (2) |(x|y)| ≤ kxkkyk với x, y ∈ E; (3) kk : E→R+ nửa chuẩn E; (4) Nếu (.|.) tích vơ hướng, kk chuẩn E với y ∈ E, φ(y) := (.|y) dạng tuyến tính liên tục E 2.1.3 Định nghĩa Một không gian vectơ E trường K với tích vơ hướng xác định gọi khơng gian tiền Hilbert Trên p E xác định chuẩn kxk = (x|x), chuẩn gọi chuẩn sinh tích vơ hướng E 22 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Một không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn sinh tích vơ hướng gọi không gian Hilbert 2.1.4 Chú ý Nếu (.|.) tích vơ hướng E (1) (x|y1 + y2 ) = (x|y1 ) + (x|y2 ); (2) (x|λy) = λ(x|y); với x, y, y1 , y2 ∈ E, λ ∈ K 2.1.5 Bổ đề ([4]) Trên không gian tiền Hilbert, mệnh đề sau với x, y ∈ E (1) kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) (đẳng thức hình bình hành) (2) (x|y) = 14 (kx + yk2 − kx − yk2 ) + 4i (kx + iyk2 − kx − iyk2 ), K = C (x|y) = (kx + yk2 − kx − yk2 ) K = R 2.1.6 Bổ đề ([4]) (Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz) Nếu E khơng gian tiền Hilbert |(x|y)| ≤ kxk.kyk, với x, y ∈ E 2.1.7 Định lý (Pythagore) Nếu x y hai vectơ trực giao không gian tiền Hilbert kx + yk2 = kxk2 + kyk2 2.1.8 Định nghĩa (i) Giả sử A ⊂ không gian tiền Hilbert E A gọi hệ trực giao ∈ / A với x, y ∈ A mà x 6= y x⊥y; (ii) Giả sử M ⊂ không gian tiền Hilbert Đặt M ⊥ = {x ∈ E : x⊥M }, gọi M ⊥ phần bù trực giao M 2.1.9 Định lý (Riesz) Nếu E không gian tiền Hilbert ánh xạ x→(x|a) với a ∈ E phiếm hàm tuyến tính liên tục, có chuẩn kak Ngược lại, E khơng gian Hilbert phiếm hàm tuyến tính liên tục f E tồn a ∈ E cho f (x) = (x|a) với x ∈ E 23 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2.1.10 Định nghĩa (i) Giả sử A ⊂ không gian Hilbert E A gọi hệ trực chuẩn A hệ trực giao kak = với a ∈ A (ii) A gọi sở trực chuẩn A hệ trực chuẩn A toàn vẹn 2.1.11 Nhận xét (i) Nếu A hệ trực giao n o B= a : a ∈ A kak hệ trực chuẩn (ii) Giả sử A = {a1 , a2 , } ⊂ không gian Hilbert E Khi A hệ trực chuẩn  (ai |aj ) = i 6= j i = j Ta nhớ lại ∞ o n X |xn | < ∞ l2 = (xn ) ⊂ K : n=1 không gian Hilbert với tích vơ hướng (x|y) = ∞ X xn yn ; x = (xn ), y = (yn ) ∈ l2 n=1 Tích vơ hướng sinh chuẩn kxk = ∞ X |xn | 1 , x = (xn ) ∈ l2 n=1 2.1.12 Bổ đề ([1]) Giả sử (ei ) dãy trực chuẩn khơng gian Hilbert E Khi ∞ P (a) |(x|ei )|2 ≤ kxk2 với x ∈ E (bất đẳng thức Bessel) n=1 (b) Với (λi ) ∈ l2 chuỗi ∞ P λi ei hội tụ E i=1 2.1.13 Định lý ([1]) Giả sử không gian Hilbert E có sở trực chuẩn đếm (en ) Khi 24 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (a) x = ∞ P (x|ei )ei với x ∈ E (chuỗi Fourier); i=1 ∞ P (b) (x|y) = (x|ei )(y|ei ) với x ∈ E, y ∈ E (Đẳng thức Parseval) i=1 2.1.14 Chú ý Giả sử hệ trực chuẩn (ei )i∈I không gian tiền Hilbert P E hữu hạn Ánh xạ p : x→ (x|ei )ei phép chiếu trực giao E i∈I P I với R(p) = span{ei : i ∈ I} Hơn nữa, với (λi )i∈I K : λi ei = i∈I = X = X λi ei | i∈I X  λj ej = j∈I X λi λj (ei |ej ) i,j∈I |λi |2 i∈I 2.1.15 Mệnh đề ([4]) Với hệ trực chuẩn (ei )i∈I không gian tiền Hilbert E, mệnh đề sau tương đương (1) span{ei : i ∈ I} trù mật E; P (2) x = (x|ei )ei , với x ∈ E; i∈I P (3) kxk2 = |(x|ei )|2 , với x ∈ E (Đẳng thức Parseval) i∈I Nếu I = N (1) - (3) tương đương với ∞ P (4) x = (x|en )en , với x ∈ E n=1 2.1.16 Mệnh đề ([4]) Mọi hệ trực chuẩn không gian Hilbert E mở rộng thành sở trực chuẩn E Đặc biệt, không gian Hilbert khơng tầm thường có sở trực chuẩn 2.1.17 Định nghĩa Giả sử E, F hai không gian Hilbert A ∈ L(E, F ) Khi đó, với y ∈ F , phiếm hàm tuyến tính x 7→ (Ax|y) liên tục Do theo Định lý Riesz tồn phần tử A∗ y ∈ E cho (Ax|y) = (x|A∗ y), với x ∈ E Ánh xạ A∗ : F →E xác định gọi ánh xạ liên hợp A 25 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta chứng minh A∗ ∈ L(F, E) kA∗ k = kAk Toán tử A ∈ L(E) gọi tự liên hợp A = A∗ 2.1.18 Mệnh đề ([4]) Giả sử E, F G khơng gian Hilbert Khi (1) Ánh xạ A 7→ A∗ đẳng cự, phản tuyến tính từ L(E, F ) vào L(E, F ); (2) A∗∗ = A, với A ∈ L(E, F ); (3) kA∗ Ak = kAk2 với A ∈ L(E, F ); (4) (B.A)∗ = A∗ B ∗ , với A ∈ L(E, F ), B ∈ L(F, G) 2.1.19 Mệnh đề ([4]) Giả sử E F không gian Hilbert Các mệnh đề sau tương đương với A ∈ L(E, F ) (1) R(A)-đóng; (2) R(A) = N (A∗ )⊥ ; (3) R(A∗ )-đóng; (4) R(A∗ ) = N (A)⊥ 2.1.20 Bổ đề Giả sử A toán tử liên hợp khơng gian Hilbert E Khi (1) (Ax|x) ∈ R, với x ∈ E; (2) kAk = sup{|(Ax|x)| : kxk = 1} Chứng minh (1) Vì A tốn tử tự liên hợp nên với x ∈ E ta có (Ax|x) = (x|Ax) = (A∗ x|x) = (Ax|x) (2) Hiển nhiên, C := sup |(Ax|x)| ≤ sup kAxkkxk = kAk kxk=1 kxk=1 Để chứng minh kAk ≤ C ta ý từ A∗ = A, với x ∈ E, y ∈ E, ta có (A(x ± y)|(x ± y)) = (Ax|x) ± 2Re(Ax|y) + (Ay|y) 26 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Từ suy Re(Ax|y) = ((A(x + y)|x + y) − (A(x − y)|(x − y))) Nếu cố định x, y ∈ E, với kxk ≤ kyk ≤ 1, λ ∈ K chọn cho kλk = |(Ax|y)| = Re(Ax|λy), suy từ Bổ đề 2.1.5 (1) c |(Ax|y)| = Re(Ax|λy) ≤ (2kx + λyk2 + kx − λyk2 ) = 4c (2kxk2 + 2kλyk2 ) ≤ c  2.1.21 Mệnh đề ([4]) Cho không gian Hilbert E A ∈ L(E), phép chiếu A E trực giao tốn tử tự liên hợp 2.2 TỐN TỬ COMPACT TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT VỚI CƠ SỞ TRỰC CHUẨN ĐẾM ĐƯỢC Trong mục này, trình bày số tính chất tốn tử compact xác định không gian Hilbert với sở trực chuẩn đếm 2.2.1 Bổ đề Nếu E không gian Hilbert với sở trực chuẩn {en : n = w 1, 2, } en −→ Chứng minh Giả sử f ∈ E ∗ Khi đó, theo Định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert tồn a ∈ E cho f (x) = (x|a), ∀x ∈ E Do f (en ) = (en |a), ∀n = 1, 2, Mặt khác, {en : n = 1, 2, } sở trực chuẩn nên ∞ X |(en |a)|2 = kak2 , n=1 27 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an tức chuỗi số ∞ P |(en |a)|2 = kak2 hội tụ Do n=1 |(en |a)|2 →0 n→∞ Từ suy f (en ) = (en |a)→0 = f (0) n→∞ w Vậy en −→ 2.2.2 Định lý Giả sử E không gian Hilbert với sở trực chuẩn {en : n = 1, 2, } F khơng gian định chuẩn Khi f ∈ L(E, F ) ánh xạ compact f (en )→0 ∈ F Chứng minh Với ϕ ∈ F ∗ , f ∈ L(E, F ) nên ϕf ∈ E ∗ Theo Bổ đề w 2.2.1, en −→ nên ϕ(f (en )) = (ϕf )(en )→0 w Do đó, theo Bổ đề 1.1.13 ta có f (en ) −→ Giả sử (f (en )) không hội tụ tới ∈ F Khi tồn ε0 > dãy (f (enk )) (f (en )) cho (f (enk )) ∈ / B(0, ε0 ), ∀nk , (1) B(0, ε0 ) hình cầu mở tâm bán kính ε0 F Vì f ánh xạ compact (f (enk )) dãy bị chặn (kf (enk )k ≤ kf k, ∀nk ) nên theo Định lý 1.2.3, tồn dãy (f (enk0 )) dãy (f (enk )) cho (f (enk0 ))→y ∈ F Vì dãy hội tụ khơng gian định chuẩn hội tụ yếu nên w f (enk0 ) −→ y w Từ F với tôpô yếu T2 -không gian theo chứng minh f (en ) −→ suy y = 0, tức f (enk0 )→0 Điều mâu thuẫn với hệ thức (1) Vậy, f (en )→0  2.2.3 Mệnh đề Giả sử E khơng gian Hilbert khả li có sở trực chuẩn {en : n = 1, 2, } F không gian Banach Nếu f ánh xạ tuyến tính 28 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an liên tục từ E vào F thỏa mãn ∞ P kf (en )k < ∞ f ánh xạ compact n=1 Chứng minh Với n = 1, 2, ta xác định ánh xạ fn : E→F công n P thức fn (x) = (x|ek )f (ek ), x ∈ E fn ánh xạ tuyến tính Thật vậy, với k=1 x, y ∈ E, với α, β ∈ K ta có fn (αx + βy) = = n X k=1 n X (αx + βy|ek )f (ek ) (αx|ek )f (ek ) + k=1 n X =α n X (βy|ek )f (ek ) k=1 (x|ek )f (ek ) + β n X (y|ek )f (ek ) k=1 k=1 = αfn (x) + βfn (y) Với x ∈ E ta có kfn (x)k ≤ n X kxkkek kkf kkek k k=1 = nkxkkf k Do fn ánh xạ liên tục Mặt khác, từ cách xác định fn ta thấy fn (E) không gian hữu hạn chiều F Do theo Mệnh đề 1.2.13 ta kết luận fn ánh xạ compact Vì F khơng gian Banach nên để chứng minh f ánh xạ compact, theo Định lý 1.2.8 ta cần chứng minh (fn ) hội tụ tới f không gian L(E, F ) Thật vậy, với x ∈ E, {en : n = 1, 2, } sở trực chuẩn E nên ta có x= ∞ X (x|ek )ek k=1 Vì f ánh xạ tuyến tính liên tục nên f (x) = ∞ X (x|ek )f (ek ) k=1 29 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Do ∞ X f (x) − fn (x) = (x|ek )f (ek ), x ∈ E k=n+1 Từ chuỗi ∞ P kf (ek )k hội tụ k=1 k(x|ek )f (ek )k ≤ kxkkek kkf (ek )k = kxkkf (ek )k, ∀k = 1, 2, Suy ∞ ∞ X X kf (ek )k, ∀x ∈ E (x|ek )f (ek ) ≤ kxk k(f − fn )(x)k = k=n+1 k=n+1 Do kf − fn k ≤ ∞ X kf (ek )k→0 n→∞ k=n+1 Vì ∞ P kf (ek )k phần dư chuỗi hội tụ k=n+1 ∞ X kf (ek )k k=1→∞ Vậy, fn →f  2.2.4 Định lý Giả sử (αn ) dãy số bị chặn f : l2 →l2 ánh xạ xác định f ((xn )) = (αn xn ), (xn ) ∈ l2 Khi αn →0 f ánh xạ compact Chứng minh Điều kiện cần Giả sử αn →0, ta chứng minh f ánh xạ tuyến tính liên tục Thật vậy, với x = (xn ), y = (yn ) thuộc l2 với α, β ∈ K ta có f (αx + βy) = (αn (αxn + βyn )) = (αn αxn + αn βyn ) = (ααn xn + βαn yn ) = α(αn xn ) + β(αn yn ) = αf (x) + βf (y) 30 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Suy f tuyến tính Để chứng minh f liên tục ta chứng minh f bị chặn, nghĩa tồn số k cho v u∞ uX kf (x)k ≤ kkxk = k t |xn |2 , x = (xn ) ∈ l2 n=1 Với x = (xn ) ∈ l2 , ta có v v u∞ u∞ uX uX kf (x)k = t |αn xn |2 = t |αn |2 |xn |2 n=1 n=1 v u∞ uX |xn |2 = M kxk, ≤ Mt n=1 M = sup |αn | hữu hạn (do (xn ) bị chặn) Suy f liên tục n Bây ta chứng minh f ánh xạ compact Với n = 1, 2, ta xác định ánh xạ fn : l2 →l2 với fn (x) = (α1 x1 , , αn xn , 0, 0, ), x = (xk ) ∈ l2 Tương tự f , ta chứng minh fn ánh xạ tuyến tính liên tục Mặt khác fn (E) không gian hữu hạn chiều l2 Do fn ánh xạ compact Tương tự chứng minh Mệnh đề 2.2.3, l2 khơng gian Banach nên để chứng minh f compact ta chứng tỏ fn →f L(l2 , l2 ) Thật vậy, với ε > 0, αk →0 nên tồn n0 ∈ N cho |αk | < ε, ∀k ≥ n0 Với x = (xk ) ∈ l2 ta có v u X u ∞ k(f − fn )(x)k = t |αk |2 |xk |2 k=n+1 ≤ εkxk, ∀n ≥ n0 31 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Do kf − fn k < ε, n > n0 Vì ε > tùy ý nên kfn − f k→0 n→∞, tức fn →f Vậy f ánh xạ compact Điều kiện đủ Giả sử f ánh xạ compact (αn ) khơng hội tụ tới Khi đó, tồn ε0 > cho với n ∈ N tồn kn ∈ N để |αkn | > ε0 Khơng tính tổng qt giả thiết k1 < k2 < Ta xét dãy (ekn ) l2 với ekn = (0, , 0, 1, 0, 0, ), số hạng thứ kn ; n = 1, 2, Vì kekn k = với n nên (ekn ) dãy bị chặn Do theo Định lý 1.2.3 tồn dãy (f (ekn0 )) (f (ekn )) cho f (ekn0 )→y ∈ l2 Mặt khác, {en : n = 1, 2, } với en = (0, , 0, 1, 0, 0, ), vị trí thứ n sở trực chuẩn l2 nên theo Mệnh đề 2.2.2, f (en )→0 Do f (ekn0 )→0 Điều mâu thuẫn với kf (ekn )k = |αkn0 | > ε, ∀kn Vậy, αn →0  2.2.5 Bổ đề Giả sử H không gian Hilbert Các mệnh đề sau tương đương với toán tử tự liên hợp A ∈ L(H) (1) A compact; 32 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (2) Với hệ trực chuẩn đếm (ej )j ∈ N H ta có lim (Aej |ej ) = j→∞ (3) Với ε > 0, tồn phép chiếu trực giao P H có số đối chiều hữu hạn cho kP AP k ≤ ε Chứng minh (1) ⇒ (2) Từ (1), A(U ) compact, với U := {x ∈ H : kxk ≤ 1} Nếu (ej )j∈N hệ trực chuẩn H, {eej : j ∈ N}, eej : x 7→ (x|ej ), C(A(U )) thỏa mãn giả thuyết Định lý Azela - Ascoli T ú, theo Bt ng thc Hăolder (eej )j∈N hội tụ theo điểm tới 0, (eej )j∈N dãy hội tụ C(A(U )) Vì lim (Aej |ej ) = j→∞ lim eej (Aej ) = j→∞ (2) ⇒ (3) Giả sử (3) khơng Khi tồn ε0 > cho với phép chiếu trực giao P H với codimR(P ) < ∞ ta có kP AP k > ε0 Theo ta xây dựng sau hệ trực chuẩn (ej )j∈N H mà |(Aej |ej )| > ε0 với j ∈ N Từ kAk > ε0 , theo Bổ đề 1.3.8 tồn e1 ∈ H với ke1 k = |(Ae1 |e1 )| > ε0 Cùng lúc đó, ta có hệ trực chuẩn {e1 , , en } H với |(Aej |ej )| > ε0 với ≤ j ≤ n, có nghĩa là, P phép chiếu trực giao từ H lên span{e1 , , en } Khi codimR(P ) < ∞ Như kP AP k > ε0 Từ Mệnh đề 1.3.7, P AP toán tử tự liên hợp ánh xạ R(P ) ánh xạ đồng Vì thế, theo Bổ đề 1.3.8, ta có en+1 ∈ R(P ) với ken+1 k = 1, cho |(Aen+1 |en+1 )| = |(AP en+1 |P en+1 )| = |(P AP en+1 |en+1 )| > ε0 Khi {e1 , , en+1 } hệ trực chuẩn H với |(Aej |ej )| > ε0 , ≤ j ≤ n + (3) ⇒ (1) Chọn ε > 0, tùy ý, chọn P (3) Khi đặt Q := I − P phép chiếu trực giao F (H), 33 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn