BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHƠ HỒ CHÍ MINH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM - TÍCH
PHÂN PHI TUYẾN: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ
KHAI TRIEN TIỆM CÂN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Ngành Tốn Giải tích
Mã số: 1.01.01
Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long
Trang 2Luận văn được hồn thành tại
Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh
Người hướng dẫn: 'TS NGUYÊN THÀNH LONG
Khoa Tốn -Tin học,
Đại học Khoa học Tư nhiên TP Hồ Chí Minh
Người nhận xét !: PGS TS LÊ HỒN HĨA,
Khoa Tốn -Tin hoc,
Đại học Sư pham TP Hồ Chí Minh
Người nhận xét 2: TS ĐẬU THẾ CẤP,
Khoa Tốn-Tin học,
Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh
Hoc vién cao hoc: PHAM HONG DANH
Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh
Vào lúc gid ngay thang .nam 2004
Cĩ thể tìm hiểu luận văn tại Phịng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Sư phạm TP Hề Chí Minh
Trang 3Lời cam ơn
Trước tiên, tơi chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tình hướng dẫn tơi hồn tất luận văn
này Kế đến tơi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Lê Hồn
Hĩa, Dương Minh Đức, Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Thành
Long đã truyền đạt cho tơi những kiến thức cơ bản và
nâng cao của giải tích thực và giải tích hàm để tơi đủ nền
tảng về chuyên mơn để viết được luận văn này Xin cảm ơn Thầy Lê Hồn Hĩa và Thầy Đậu Thế Cấp đã đọc và
gĩp những ý kiến quí báu
Xin cảm ơn Khoa Sau đại học của trường ĐH Sư
phạm TP HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi hồn tất chương trình học Cảm ơn Tổ Tốn Cơ Bản và Ban Giám Hiệu trường Đại học Kinh tế đã giúp đỡ tơi thực hiện tốt cơng việc giảng dạy và học tập của mình
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn những người bạn cùng lớp
đã chia sẻ cùng tơi những năm tháng thú vị của khĩa học
Trang 4Hệ phương trinh hàm —tích nhân phí tuyến:phương pháp lap cap hai và khai triển tiệm cận — 1 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tơi nghiền cứu hệ phương trình hàm - tích phân sau: - a Niet? » á f(x) =£ ES anol | i + EYoahS.an + a, CO.) k«lj«l 0 k~lj=l
Vx € Q;¡=l, n, trong đĩ @ = [a,b] hoặc @ là một khoảng khơng bị chận của IR, a„, bạ, là các hằng số thực cho trước; X,x S„/ : Q => ©,
g,: O —> IR, và ®: O x IR —> IR là các hàm số liên tục cho trước thỏa một số điểu kiện nào đĩ mà ta sẽ đặt sau Các hàm f, : Q —> IR là các ẩn hàm, £
là một tham số bé
Trong [9], các tác gid C.Q, Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu (1991) nghién
cứu hệ (1.1) ứng với @=[-b,b], m=n=2,a„, =0 và s„ là các nhị thức
bậc nhất
f,(x}=âu fÍ bạx+ey}] + ah box tei) + ah (byx tes) +e (x)
(1.2)
f(x) =az, fi( by x+ey) tanh byxten) + ayfy(byx +e) +2)(x)
với moi xeM=|-b,b} trong d6, cdc hang s6 ay, bj, cy b cho trước thỏa các diéu kién
|bạ| <1, b> max Ein | max | Ỷ | “i < 1, (1.3)
8), Pie bự | yet
Các hàm số g¡, g2 lién tuc cho truée va fj, f; là các ẩn hàm Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một đãy qui nạp hội tụ đều và ổn định
đối với cấc g,
Trang 5
Hé phucme trink ham —rich phdn phi tuyénsphaong phdp ldp cdp hai va Khai trién tiémcdn 2
Trong (4|, Long, Danh, Khơi (2002) đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân tuyến tính › > Nig) Lode > ah (Syoo)+Y ay ƒ f0 + g4), (1.4) ir! int 9 i=l.2, xeQclIR, trong đĩ @ là một khoảng đĩng bị chận hoặc khoảng - e-›Q là các hàm số khơng bị chận của IR, các hàm g, : @-+IR S, X X,:
liên tục cho trước, a„,œ,„ là các hằng số và í,, t, là các ẩn hàm
Trong |2}, Danh, Dung, Long (2003) đã khảo sát hệ (1.1) tương ứng
với 6 = l,®(x,z)=z, S„(x).X„(x) là các nhị thức bậc nhất, mà cụ thể cĩ
dang như sau
moo Bik ® + Yan
t(x)=3 k<f ¡=† 23 | Awf(bux+ea]*e, ƒ - GC) dt |+g,00, 0 (1.5)
I=l2, n, xeQ@«[|-bb| Với g, - @-+IR là các hàm liên tục, nghiệm của hệ
(1.5) được xấp xỉ bằng một đãy các đa thức hội tụ đều [2, 7], trong đĩ Ga Di Ci Ce Bia tye EIR là các hằng số thực cho trước thỏa các điều kiện
lb„|<1,|B„|< 1 2 2 max||a„|+ b|a„ | }< 1
1.6
Fal cy, ra| <b, se
l$a p¡án 4km l “| b„.| teaysn, Isham | -|Bạ|
Trong [8], Long (2004) đã nghiên cứu hệ phương trình hàm phi tuyển
Trang 6
Hệ phương trình hàm -tích nhân phụ tuyến: phiádn pháp lăp cấp hai và khai triển tiệm cận — 3
f(x) = SY ay ® (Ff, ( Rix) )) kel jet
+ > din £, (Six (x) ) + BX), (1.7)
katj-l
i=12 n, xeQ, trong d6 Q là một khoảng đĩng bị chận hoặc khoảng
khơng bị chân của IR, các hàm y, : @-+IR, R„ S„: Q+>Q VÀ ® : IR-+IR
là các hàm số liên tục cho trước; a„.b„ là các hằng số Một số kết quả
liên quan đến khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.7) theo một tham số bé
£ cũng được xem xét trong bài báo [8]
Trong [3|], các tấc giả Nghĩa, Khơi (2000) đã xét hệ phương trình
ham cụ thể cĩ đạng (1.2) để kiểm tra một thuật tốn số
Trong [Š], các tác giả Long, Nghĩa, Khơi, Ruy (1998) đã nghiên cứu
một trường hợp riêng của (l.l) với ay = 0 và @=[|-b,bị hay @ là khoảng khong bj chan cia IR Bang cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, các tác giả trong [5] đã thu được kết quả về sự tổn tại, duy nhất và tính ẩn
định nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm g,
Trong trường hợp a„ =0 và sS„ là các nhị thức bậc nhất, g6Cf(Q; !IR") và Q=|-b.bị các tắc giả trong [5] đã thu được một khai triển
Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp r Hơn nữa, nếu g, là các
đa thức bậc r thì nghiệm của hệ (I.1) cũng là đa thức bậc r Kế đĩ, nếu g,
là các hàm liên tục, nghiệm f của (l.!) được xấp xỉ bởi mơt dãy các đa
thức hội tụ đều Sau đĩ, các kết quả trên đây đã được nới rộng trong [6] bởi các tác giả Long, Nghĩa (2000) cho miền nhiều chiều œcIR? và Sy 1a
Trang 7
Hệ phương trình hàm -tích phân phí tuyến:phương pháp lập cấp hai và khai triển tiệm cận 4
các hàm affine, Hơn nữa, điều kiện đủ về hội tụ cấp hai của hệ phương
trình hàm cũng được để cập trong [6]
Một phần kết quả trong luận văn chúng tơi đã cơng bố trong [I, 2, 4 ]
Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối
cùng là phần tài liệu tham khảo
Trong chương l, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả đã cĩ trước đĩ và một số nội dung cần trình bày trong các chương
của luận văn
Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các khơng gian hàm và một số cơng cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn
Trong chương 3 dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tơi
chứng minh sự tổn tại và duy nhất nghiệm cia hé (1.1)
Trong chương 4, chúng tơi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được
thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1 L)
Trong chương 5, chúng tơi nghiên cứu hệ phương trình hàm - tích
phân (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé e Khi đĩ ta thu được một khai triển
tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N + I theo £, với e đủ nhỏ
Trong chương 6, chúng tơi nghiên cứu tính khả vi của nghiệm phụ
thuộc vào ¢, 2 Sia, Xia
Chương kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận vẫn
Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo
Trang 8
Hệ phương trình him ~tich phan phi tayén:phumg phdp ldp cdp hai va khai trién em eda 5
CHƯƠNG 2
CÁC KÝ HIỆU VÀ KHƠNG GIAN HÀM
Trong chương 2, là phấn giới thiệu về các ký hiệu, các khơng gian hàm và một số cơng cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn
2.1 Các ký hiệu
Ta ký hiệu @ = (a,b| hay là khoảng khơng bị chặn trong IR
Với @ = [a,b], ta ký hiệu X = C(@;IR”) là khơng gian Banach của các hàm
số f = (f¡ f„) : Q —> IR° liên tục trên @ đối với chuẩn
ily = 0p > [hon (2.1)
Khi © 1a khodng khéng bị chan, ta ky hiéu X = C, (Q; IR") lA khéng gian
Banach của các hàm số f : Q — IR" lién tuc, bi chan trén © đối với chuẩn
(2.1)
Tương tự, với số nguyên khơng âm p, ta đặt:
C?(@;IR*)= { feC(Q; IR"): HME C(Q;IR ), 0<k<p, I<i<n Ì
Với Q là khoảng khơng bị chặn, ta ký hiệu
CỆ( Q :IR")= | feC¿(Q ; IR*): f'e Cụ(Q;1R ) 0<k<p, 1<i<n Ì,
Hơn nữa, C?(Q;IR") và CỆ (Q;IR?) cũng là các khơng gian Banach đối với chuẩn
Il, = max sup XS (2.2)
Lsksự eủ |
2.2 Dinh lý điểm bất động Banach
Chúng ta thường sử dụng định lý điểm bất động Banach sau
Trang 9
Hệ phương trình ham —tich phdn phi tuyén:phuong phdp lap cấp hai và khai triển tiệm cận — 6
Định lý 2.1: Cho X là khơng gian Banach với chuẩn ||, K X là tập đĩng
Cho T : K — K la ánh xạ thảa mãn: tồn tại số thực œ, < 0 < | sao cho
|Tf - Tej < ø ||f - z[| vf g = K
Khi đĩ ta cĩ
(1) Tơn tại duy nhất f © K sao cho f = Tf
(ii) Voi mdi f°! € K, xét ddy { f’ } cho bdi f= THY”, v = 1,2 ta
Cĩ
G) tim Je" - =o, ý ~® 8
Trang 10Hệ phương trinh hàm ~rích phân phi tuyến:phiđơng pháp lap cdp hat và khai triển tiệm cận — 7
CHƯƠNG 3
ĐỊNH LÝ TỔN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
Trong chương này, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tơi chứng minh sự tổn tại, duy nhất nghiệm của hệ phương trình hàm- tích
phân phi tuyến sau : f(x) =e Š X kheljet Xogiat -m fn a | io + ¥ SbuhiSpay + goo (3.1) Ĩ ketjeri
Vx €Q=[-b,b], i =1, 2, n, trong đĩ a¿a, bụ, là các hằng số thực cho trước;
gi: Q IR, Xia, Sig: QQ, va ©: QxX IR => IR là các hàm số liên tục
cho trước thỏa một số điểu kiện phụ nào đĩ Các hàm f, : Q — IR 1A cde an hàm, £ là một tham số bé, Ta viết hệ (3.1) theo dang của một phương trình tốn tử trong X = C(Q;1R") f=£Af+Bf+e (3.2) trong đĩ f= (f; f.), Af= ((Af),, (AD, ), Bi= ((Bf),, (Bh,), với (Af(x) = Š ya, L =lj- i Mats) | io, (Bf)(x) = ` YD bya llSin (ay, (Si<m) với mọi xe@ hetjel Ta ky hiéu bạ |,
Jib) - pas max ~p iss
Với các ký hiệu ở trên, ta cĩ bổ để sau
Trang 11
Hệ phương trình hàm - tích phân phí tuyến phương pháp lặp cấp hai và khai triển tiêm cận — 8
Bổ để 3.1 Giả sử |bạ l| < L và S„ : Q —> @ liên tục Khi đĩ: j — |, < [Ib„l| |f{, Vf e X ii) Tốn từ tuyến tính 1 - B : X —> X là khả đảo và 1 (t - BỊ 1 s —— - | H# f5 |Ib„ If Chứng minh bé dé 3.1 i) Véimoi feX, ta cé n {Bf}, = súp 3” | (B0,@ | £69 ¡z|
- n £1 EF ou 6( Sue) | ‹«Q int | kel pnd 2 we | SEH bạ| l(s„e) Í sen bel kel p>
Trang 12Hé phutcng trinh ham —tich phan phi tuy€n:phueng pháp lập cấp hai và khai triển tiệm cận — 9
Do đĩ
| i
B — sup < b L
Is poten IIIR | Pi] |
Tiếp theo ta chứng mình rằng nếu [BỊ < 1 thi (1-8) kha nghich, hay véi
mỗi geX, phương trình rf - Bí +g cĩ nghiệm duy nhất £=x Đặt T†:X¬+X f+-› TT = B + g thì T là một ánh xạ co Thật vậy, với mọi f,f eX ta cĩ |Tr-Ti|_ =|p¿ - 0|, <|B|l -r|,
Vậy phương trình f = BÍ +g cĩ duy nhất một nghiêm f =(I-B) 'gcX tương
Trang 13Hé phương trinh hàm - tích phân phỉ tuyến phương pháp lặp cấn hai và khai triển tiệm cận — 10
Bổ để (3.1) đã được chứng minh,
Do bổ để 3.1, ta viết lại hệ ( 2.1) như sau
f=(1-B) '(c Af + g) = TẾ
Ta thành lập các giả thiết sau
Trang 14Hé phucong trink ham —tich phản phi fuyén:phucng phap lặp cấp hại và khát triển tiệm cận — lÌ Mak int Í f,(tL)dt 0 < C\(M) + sup|Ð(x, 0), (3.3) Do (3.3) ta cĩ đánh giá Ÿ\Ap,sj| < SŠŠ i=l ind Keb pl sual Nijk és! Í f,(Uát 0 n yk OD J f (tat < CMI: max} a wp tel ke i!
` >> aia sup|®(x 0)| islkelpl
= CMY F maroon PR Xia (x))|
ert kel h
+ >> ơ suplđ(x.0) jet kel pel
< CMS Lai k 1 !Sjs0 marl aia maxsurlxco}) I
+ LEDs! sup|®(x.0)
< C,\(M) |Í:z || [ maxsup)X (0 ll
+ [Lau ]| splesol
= [Lam cv6{ masa coh, + sup 0
Trang 15Hệ phương trình hàm -tích phân phì tuyến:phương pháp lập cấp hai và khai triển tiệm cận 12 (ii) VF, Fe K,,, do (H,) va tinh chat cia tich phan ta cĩ DKAN x) - (AB) (x) vel Y|a.s| pe Me <> Ryne! ols Í on c9 0 Niet! ` Í wo 0 a @ a " $ COM) max sup |X (0) > 2 axle [sup 2/60) ~ f,(x)| = D,(M)|[s„ |||† - fh Vậy lar - af], s D,M)|[a„ |||t 2 il Bổ để (3.2) đã được chứng minh
Khi đĩ, ta cĩ định lý sau đây
Trang 16Hệ phương trình hàm ~tích phân phi tuyén:phuong phap lap cấp hai và khai trién tigm cén 13 Chú ý rằng, từ (H‹) ta cĩ £9 | ain i MoM + asup/ x0} +||e[l, <M(1~||Ib„ |) hay £q | [aia l[wpie + nsup|©x0)| +l, K€ 1~|Ib„ l| Từ đây ta suy ra EpD,(M)|[a,, | S1 I~ÏIb,, | (3.6) (3.7) Ta suy từ (3.4), (3.5), (3.6 ), (3.7) ring T : Ky => Kụ là ánh xa co Khi đĩ,
sử dụng định lý điểm bất động Banach, ta cĩ duy nhất mét him f € Ky sao cho f = T(M
Chú thích 3.1 Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiêm f của hệ (3.2)
được xấp xỉ bởi thuật giải sau :
fo) Ter) (I- B) (eat? +£), v>l, (3.8)
Trang 17Hệ phương trình hàm -tích phân phí tuyén: phitang pháp lắp cấp hai và khai triển tiệm can 14
CHƯƠNG 4
THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI
Trong định lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.8), theo nguyên tắc ánh xạ co, đĩ cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1 Trong phan này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ phương trình hàm - tích phân (1.1) ee Xj(®x) io S ages Í F (ode keljel q m 4 + 2, dd fi(Sin (¥)) + 8) (2) (1.1) =] -
Vx € [-b,b];i= 1, n, trong dé ay, bia, € 1a cdc hing sé thuc cho trudc;
g > 2 IR, Xi Sa 2 @ —> Q và ® € C*(Q * IR; IR) 1a cdc ham số cho
Trang 19Hệ phương trình hàm -tích phần phí tưyển phương pháp lặp cấp hai và khai triển tiệm cận — t6 v ẤP vo iin (© x)= cay = (Ma (x), (4.4) g)'ix)* g(x) 46> ¥ 4, DOWD) jai kat mf Naja ts! -3 SẺ px) ƒ 4" "(ột, (4.5) kel pl 0 xe€Q ,1<i<n,v=l,2, Khi đĩ ta cĩ định lý sau
Dinh ly 4.1 Gid sit (H,)-(H)) la dung Néu f°" © X thỏa wi, ty =dY maxsup
jot kat =/5® xe)
Khi dé t6n tai duy nhdt {“' © X là nghiệm của (4.3) - (4.5) Chứng minh Hệ (4.3) được viết lại như sau Ete.x)|+|Ibạ <1 (4.6) Math (4.7) với m Mik OX? (T,fÐ,(6) =(BD,0) + HF PVE.) J codes 2x), kel jl 0 Ke@),l<i<n,v=l,2, f=(ft, f2) e X (4.8) Khi đĩ ta nghiệm lại khơng khĩ khăn rằng T, : X => X thỏa Jr,f-T,hị < y,||f-hL Vf,h e X (4.9) Sử dụng định lý điểm động Banach, định lý 4.1 được chứng minh,
Định lý 4.2 Giả sử ® é CỶ (Q x IR; IR) và (H;), (H;), (H:) đúng
Cho aj, € IR Khi dé, tổn tại hai hằng số M, e sao cho với {'”" € Ky cho
Trang 20Hệ phương trình hàm —tích phân phi tuyến phương pháp lặp cấp hai và khai triển tiệm cận — 17 f“"” eKu (4.11) Ta sẽ chứng minh rằng f£ '”' e Kụ Với mọi x e ©, ta cĩ từ đẳng thức Xụ(®I f(x) = (BE), (x) + yy ewe, x) Í fJ0dt+gl"x), k=l j=l a ring Xu (a) Deen} sf, ‘LED b Me x)) ] Fede) + +f], =|pr"| 4 ry y Bgb@œ.x| |Xa (x96 714,X„ 9| * | "|,
aml pet kel
< jer}, * esi mực Mp|XạG|ỀŠ max s sup|Bin (ex) x [ery +|£“†{,
< Mow) * | +625 max SUPP ik Bin Cĩ x)| | ley “È"† (4.12) Đo đĩ leh, <|lI».]-sŸ‡Ÿ An SP Bũ (ej fet, Te" 413) Mặt khác, với mọi x e @, ta cĩ từ (4.4), (4.1 1), rằng pice, x|<|tla,a] (Re |<biM.lau,| (4.14) trong đĩ M; = sup| [2.2] xe] cba) Ta suy từ (4 14), rằng 3X» max sup|Pi
bet ket PRED ‘ik '(E, x)|<|s|M, |Ia„ || (4.15) Để đánh giá |z"1†, ta viết lại g†"!x› nhờ vào (4.4), (4.5) như sau
n m NijkOs)
£1 = 10) SSag|eengon ea | cr (4.16)
| io - a
Dùng khai triển Taylor hàm ® ta cĩ 9 < (0,1) sao cho
Trang 21Hệ phương trình ham ~tích phân phí tryến-phương pháp ldp cấp hai và khai triển tiệm cận | Xgjktx) ®(x,0) =®(WjX”(x)) = Swi) ƒ "0a 0 + Xi) 5 | 2® (xì v-b + ~—= (Wi (x)) eye (0dt|, 2 a? | J ’ trong dé 0 XI? Win 8 J ( s64] Do đĩ ta cĩ aD Xi! ®(Wj'(x)— T(WMj'G)) [ f”"q)át 0 Xu) 2 < ples} Í cron (4.17) trong d6 M>= Sup| Tai sccm Nhờ (4.16) và (4.17) ta được
È l"e|< Š lie|+k|Š Š|sa|sptee0l se{ ke] j=Ì
Trang 22Hệ phương trình hàm ~tich phan phi tuyén:phuong phap lap cap hai và thai triển tiệm cận — 19
< llel +nfelf faye lsoplecs.0) + I°|M:[la, |b° je, Mạ < lel, +lillas i ns x.0|+ 2 | " M < leh + lela l[nsple.ol+ te | (4.18) Do đĩ |z“{,<l4, +, map|eex0|+ Maint (4.19) Từ (4.13), (4.15) và (4.19), ta được
ef, (eon af +e] fla ap) fe"
+fel, +e] Ila, l|ssetee.oj+ S2 bê |,
hay
(t-|Iba [|-k|bM,[tsz Ife],
< lel +|ell[sa ]|[nsspteo.l: avin’ | (4.20)
Vdi M > 0 da chon nhv trong (Hs), ta chon € sao cho hai diéu kiện sau đây
được thỏa
|Lb JJ+|e|bM; [Ia„ | < 1 (4.21)
và
lel„ +|*||Í5u Jl[s»elee.el- Moya |
<M(1-] [ba ]-|e|bM,|[[a, I) (4.22)
Khi đĩ, ta suy ra từ (4.20), (4.21) và (4.22) rằng
ts + kl(sa ]|| seo.) + “ vine |
|“! s x I=[Ib,„ I] -|e}>M, fax] act? <M (4.23)
Điều này khẳng định (4.10)
Luận văn thạc sÿ Tốn học Phạm Hồng Danh
Trang 23Hệ phương trinh ham —tich phân phi tưyến:pÌhương phap ldp cdp hai va khai triển tiệm cận 20
Ta chú ý rằng (4.22) dẫn đến (4.21) , do đĩ (4.21) và (4.22) tương đương
với (4.22),
Như vậy, ta chỉ cần chon £ là thỏa (4.22) Định lý 4.2 được chứng minh hồn tất
Định lý 4.3 Giả sử ® e C”(O x IR; IR) vờ (H,), (Hạ), (Hà) đúng
Cho ai, € IR Khi dé tén tại hai hằng số M > Ư và e, sao cho
(i) Vai "© Ky cho trudc, day (f""’) xác định bởi hệ (4.3)-(4.5) là day lap
Trang 24Hệ phương trình hàm —tich phan phi tuyén:phuong nháp lặp cdp hai vd thai tri€éntiémcdn 21 Myetn? trong đĩ ws j mde |, Vi moixe Q, 1 sisn,v=1,2, uk 0 Dat ct"!(x)=f((x)—f”x),xeQ,L<¡i<n,ve=l,2, , ta cĩ từ (4.28), (4.29) rằng me ap Xu) ela â 3 4u | W y(x))~đ(WJt'(x))<==(WSYx) fel Pande del pl Ce 0 Rog th) + 5 „(Wj@Il ef nde (Be ),00), (4.30) kel pl a xeQ,1<i<n,v=l,2, Mặt khác, do cơng thức Taylor ta cĩ xD Nya ih) ®(W,(x))~®(WM(6))~ —(WjY(xl) f ef Mend ø Xi) 2 = TẾ 0W) ff Madd, (4.31) 2 0 Ny te) trong đĩ wa | G0 e0ye Mom 00 <1 o Vay Noa fe) c'\x)~ ~ (Be), (x) +25 Fay =0) J ef (uate hel jel Xie ie) 2 += sa ia oe 2 WEAN) J ef Paar] , (4.32) 2 iat jet œ 0 hay Nigh (0) e!*'(x) =(Be’"’), (x) + FY ere, x) J €(””(Udt + G(”'(x), (4.33) bet jel
trong đĩ f{(ÿ(£,x) G"' phụ thuộc vào f*ˆ!' như sau
BíA (E,X)= Eâyy — Swi), (4.34)
Trang 26
Hệ phương trình hàm ~tích phân phí tuyến phương pháp lặp cấp hai và khai triển tiêm cận 33 với elm lia i ——_= ba [= [tb„ | ~|e] bM, | tain if iene = (ii) Từ (4.38) ta cĩ : 212 fe], <By fe" <Bu( Puff, | be?) tw2) ? v2 \v-3;llÈ : = (Bu) fe <8) ( Brahe”) = (Be rene < < (Buy "ưa" «2*~' eo = (ud? eK = (tule) › 44) tức là (4.27)
Bất đẳng thức đánh giá nấy cho phép ta kết luận day {f '”'J hơi tụ cấp 2 đến nghiệm f của hệ (1.1) nếu f '” được chọn thỏa (4,26)
Chú thích 4.1 : Về việc chọn bước lặp ban đầu f '” e Kạy thỏa (4.26) ta
tiến hành như sau
Trước hết ta lấy z” e X, ta xây dựng đãy lặp đơn {Z'*] liên kết với ánh xạ
Trang 28Hệ phương trình hàm - tích phân phí tuyến:phương pháp lặp cấn hai và khai triển tiệm cận 25
CHUGONG 5
KHAI TRIEN TIEM CAN CUA NGHIEM
Trong chương nầy, chúng tơi nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm của hệ
phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé e Xét hệ phương trình hàm sau f=e Af + Bf + g trong X = C(Q; IR") (2.3) trong đĩ f =(fi, fa), AT = ((AĐ¿, ,(AĐ,), Bf = ((B);, , (BĐ),,), với nm on (A= YY aye ke! 1sf l NI ` j wot m oF (BE (x= > Vda f(Syix, ¥xe Q, (1 <i sn), k=l ì
trong 46 aja, bụ, là các hằng số thực cho trước; S„a, X,a : Q3 —> ©,
£,: Q —> IR, và ®: Q x IR IR là các hầm số liên tục cho trước thỏa một số điểu kiện nào đĩ mà ta sẽ đặt sau Các hàm f, : Q -> IR là các ẩn hầm, £
là một tham số bé
Trong phần nầy, với các giả thiết trén cdc ham Six, Xia, g ®, va cde
s6 thuc aim, Dia, fo, M va voi ® CỀ(Q x IR; IR) Khi đĩ chúng tơi sẽ
chứng minh rằng nghiệm của hệ (1.1) cĩ một khai triển tiệm cận đến cấp
Trang 29"Hệ phương trình hàm ~tích phdn phi tayén:phuong phdp lap cấp hai và khai triển tiệm cận — 36
Trong phần nay, ta van gid sif ring cdc ham Sy, Xs, ø, ® và các số thực
dis Dijk, eạ, M thỏa các giả thiết (H;) - (H‹), lần lượt
Giả thiết (Hg) ® c CŸ (Q x IR: IR)
Ta xét hệ bị nhiễu (3.2), trong đĩ z là một tham số bé, || < eo
Dat L =1-B Ta xét day ham ( f'"),r=0, 1,2, ,N, fe Ky (vai hing
số thích hợp M > 0) được xác định bởi các hệ sau Lf!°! =g=P!, (5.1) Lf!!!=P!z Af®L (5.2) Lf!=P!° r= 2, 3, N, (5.3) trong 46 P= (P,"" pil ph er =0.1, N mon Xi arm Aeron FS ages ƒ acl ont k=l J=l 0 Š Êa®(WI0x)), k=l j=i Mik Ost với wer ƒ thoa] a pm Xuu (81 PP lx)= Say —C (W4) fled, kel jl : 0 với p = 3, 4, N, pì —xS se ® wid) L ey PIPixy= YY ain Sar (Wan (%)) — ` (5.4) k=l j=l rzl l{=r.nyi=p-l ?*
trong đĩ, với mỗi da chi s6 y = (y, yw) 6# * và vectơ f= My ta
Trang 30Hệ phương trình ham —tich phân phí uuyến:phương pháp ldp cdp hai và khai triển tiệm cận — 21
Uf = (dene? ne) aby cael ye aye ays, — (535) Dat Mant) PX (x= ƒ fP(0dt1<p<N,1sjsn, (5.6) 0 N h=ff!+erft"! zf!! +U, (5.7) r=] Khi đĩ N v=f, ->erftl =f,-h thỏa hệ ret Lv =e[A(v +h) ~ Ah] + E,, (5.8) trong đĩ N E, = ef Act”! +U)- act! )|- yep (5.9) tz2 Trước hết, ta cẩn các bổ để sau đây Bổ để 5.1 7a cĩ r! (ex, +e7x, + +6%x,)' và: » —x'ie? per berntyiep Wx = (Xj, %N) € IRỶ, Vc ce IR, Vr, N € IN Bổ để 5.2 7a cĩ N-1rN Net 1 N-| £N 2.2 Cạt = >» Cae’ + > Cat’ eat ize =t rst r=t laN trong dé , C,, la cde sé thc, LS rs N-1,1 51S N(N-1),N=2,3, Bổ để 5.3
Cho f e CŸ (Q x TR; IR), (xạ, z4) € x IR, (Xo, zo + Az) 6 O x IR, tồn
Trang 31Hé phuong trinh him —tich phdin phi tuyén:pluamg phap ldp cdp hai va khai trién tig cận — 28
Chứng minh các bổ để (5.1), (5.2) và (5.3) khơng khĩ khăn và ta bỏ qua
chứng minh
Bổ để sau đây cho một đánh giá của |E,|
Bổ để 5.4 Giả sử (H1) -(HS) đúng Khi đĩ, tổn tại một hằng số CỊ' sao cho
|E.|„ <cw'Iz|” (5.10)
i ‘ tì
trong đơ C{' là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, ®, |Isu i] )lb | l
r=0,1 N
Chứng minh Trong trường hợp N = 1, chứng minh của bổ để 5.4 thì dễ
dàng, đo đĩ ta bỏ qua chỉ tiết, mà ta chỉ chứng mình nĩ với N > 2
Để cho gọn, ta bỏ qua X„„ (x), Š„„(x) trong các cách viết, ta viết
A(f”! + U),(x)~ Aff®)(x) = > > aie ket yt 0 0 Xijk tx) ijk i) a J uo af Puro (5.11)
Bằng việc khai triển Taylor của hàm ® xung quanh điểm W!"x)
đến cấp N, sau đĩ áp dụng các bổ để 5.!, 5.2 sắp xếp lại theo bậc của e, ta
Trang 32Hệ phương trình hàm —tich phân phi tuyến-phương pháp lặp cấp hai và khai triển tiệm cận 29 N (1U;)' -(Serq) - ` ¥ Cite? (5.13) m p=r.|Y|~r.n(r)=p ݈ Viết lại (5.12) bằng cách thay (5.13) vào ®(x.1f”! + IU,)- (x, 111°") N-1 s zN is: ' » TH CC œ1) 1Ÿ n«y lyre 8p ݈ {= 1X aN + } TTứtp P(x, 1fTP! + 8,TU,) peN h'Nrykep Y! ae" 3 » “ye? <2 x14 r=I p=r lrị=r niyiep vì N? I aro 0 aa — life? —— (x, if} l+0/U,) (5.14) p~N lị=r.n(y)=p Ÿ' 8z` Đặt lại ký hiệu cho đơn giản bằng cách {01 _ 0 ®1f/°!=@(x.1fƒ!), 0 0 Ofifl”! +10) =(x,18°! +10, ) on O},_ 0) off J= (xl \
ori! seu „ae tí”! +@,1U [ j + J =n x, j + J i) (5.15)
Ta viết lại (5.14) nhờ các ký hiệu (5.15)
0} (0
(x, If! +1U,)-(x,1f1 ')
N-IrN
sao © < ier@'" [Ife
rai ter feenty=t Y
Trang 33
Hệ phương trình ham —tich phân phí tuyển-phương pháp lập cấp hai và khai triển tiệm cận — 30 n2 aks » —f'@)[irt9! + 6 TU}! (5.16) ÁN frleNan(y)et T! Ap dụng bổ để 5.2 với Ci= Laie), l=r,n(y)=I Y: I<r<N-—-1,1<l<N(N-I),N=2,3, ta cĩ tổng thứ nhất của (5.16) được tách thành hai tổng về 22s x L Fro et)! he ye r=ll=r |lịEr,n(y)=lŸ" N-~l 1 1 s >: > — lito et! k' ' w + ` n1 ®°0(/” k', (5.17) Vậy ta viết lại (x, 18," +IU;)~®(x,Ift”!) nhờ vào (5.16), (5 I7) như sau D(x, 10! 4 TU) — (x, 111) yD io (5.18) Din +), 3 SoMa + O10 je IN frfeNncroe
Thay ®x,tf!?! +1U ›—®(x,1°!) vào biểu thife (Act +U)— Ace), ta thu duge
Trang 34Hệ phương trình hàm —tích phân phí tuyển:phiđơng pháp lặp cấp hại và khai triển tiệm cận — 31
N-lI[ m ứ"
=S| Xu} E tapomanyy ted | Kel jet cet JYErnyeel F'
n N-t rN
t Sau) k=} jel reli=N fyferntypel l0”
tha „Š ` ~ tƒ'®'®!Iirt? +6 TU,
kzlj=l f=N hi ng!
N-i
=>.PI"'(x)e' +eŸRyI®,i£], (5.19)
t=
trong đĩ pu duge x4c dinh nhu (5.4) va phan dư
e*Ry[®, i.e] = Yau! ° ` a: I EO ete
ket jel tt leN lyfe, ng}
m 8 x
+), > ~fro (1°! + 6 1U, le’ (520)
kiirL I⁄N hÈNgyIŸ” Ta suy ra từ (5.4) (5.5), (5.6), (5.9), (5.19), (5.20) rằng N EB, =e) (AC! + Uy), ~(A(f), |— 3 s?p,P! p=2 N piielt! +68 RA[@,i,e]— > Pe! a2 N-l = £`*“'Ry[®,¡,e] (5.21) Do đĩ, ta suy ra từ ( 5.21) rằng lE.], = sup IE (x)= ef" sup SRO ies nef) ;-} wef? j=| Cy’ lel’ (5.22) Vay E cú! N+l Eel, SCN’ lel” (5.23)
Bổ để 5.4 được chứng minh hồn tất
Định lý sau đây cho một kết quả về khai triển tiêm cận của nghiệm theo e
Trang 35
Hé phutong trinh ham —tich phan phi tuyén:phuong phdp ldp edp hai va khai trién tiémcda 32
Dinh ly 5.1 Gid siz (H,) — (Hs) va (Hg) Khi dé ton tai cde hang số M >Ơ,
&, > 0 sao cho với mỗi e, với ÌeÌ < tị, hệ (3.2) cĩ duy nhất một nghiệm
f; 6 Kại thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N + Ì như sau
° rer) A li, jN+I .-De't <2|L'|cwIz|"”” (5.24) , X trong đĩ các hàm Ÿ !Ì cr=0,1, ,N là các nghiệm của các hệ (5.1) - (5.4) lần lượt Chứng minh Đặt v=f, Serf =f, -—h, =0 ta cĩ Lv =e[A(v+h)-Ah]+E,, do dé v=L'[e(A(v + h)- Ah) + E,] (5.25) Vậy, ta suy từ bổ để 5.4 rằng
I*|vš "| [le|JAvv + h)~ Ah| „ + |E, |, |
Trang 36Hé phatong trink ham —tich phan phi tuyén:phitong phdp lap cdp hai vd khai trién tig cdn 33
Trang 37Hé phương trình hàm —tích phân phi tuyến phương pháp lập cấp hai và khai triển tiệm cân — 34
CHƯƠNG 6
TÍNH KHẢ VI CỦA NGHIỆM
Trong chương này, dựa vào định lý điểm bất động Banach và kết quả của chương 3, chúng tơi chứng minh sự tổn tại, duy nhất nghiệm khả vi của hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến sau
.ӈ Xi @ a
hd=eD Vag) x, f Ged |+Y Yb fScod+g,00 (1.1)
keljel oO bel jel
Vx €Q=[-b, b],i =1, , n, trong d6 ayy, by 1A cdc hang s6 thyc cho tniféc;
g,: 2 —F IR, Six, Xi 2 Q-— Q va O: Q x IR — IR 1 cdc ham s6 kha vi cho
trước thỏa một số điều kiện phụ nào đĩ,
Các hàm f, : @ —> IR là các ẩn hàm, £ là một tham số bé
Giả thiết (HÍ"'): g c CÌ (Q; IR"), Sự, X„ 6 C(O; @) =C!(G;1R) và
®eC'!(QxIR; IR)
Giả sử f < CỶ (Q; IR") là nghiệm duy nhất của hê (1.1) Đạo hàm hai vé cla hé (1.1) ta thu dude
` Xian (8) Xiyk OO)
Trang 38Hệ phương trình hàm -tích phan phi tuyén: phitiing pháp lặp cấp hai và khai triển tiệm cân 35
Như vậy, nếu f e C'(Q; IR") là nghiệm của hệ (1 L), thì F = (F¿, , Fạ) = (f/ 1¿) là nghiệm của hệ m F.(x)= 55 bạn SỐ (K)F,(S¿¿ (x)) + GÌÍ(x), (6.4) k=l =l trong d6 G‘''(x) cho bởi (6.3) Ta đặt lại ký hiệu Ay il = YE mex sup|Aig (xỈ, với Aig €C(@,IR), Giả sử rằng bi Sử, (x) <1 (6.5) Khi đĩ, ta cĩ Bổ để 6.1 Giả sử (6.5) đúng Khi đĩ, hệ (6.4) cĩ duy nhất một nghiệm PY z(E“ R)eX Chứng minh bổ để 6.1 Ta viết hệ (3.1) theo dạng của một phương trình tốn tử F=TF trong X=C(Q;IR*), (6.6) trong đĩ m fn (TE) 0) = DY din Sic OOF (Sig 0) + G00) (6.7) k«l gel
Hiển nhiên rằng TÌ"!: X -> X thỏa
[rr-rE| <|IbaS¿ l| [F—Ê[, với mọi E.Ê < X,
Khi đĩ sử dụng định lý điểm bất động Banach, ta cĩ duy nhất một hàm
F”! e X sao cho F”! = TÍ'!F“! m
Vậy với giả thiết (H'”) và (6.5), nếu f eC(Q; IR") là nghiệm của hệ
(1.1), thì F=(f/ f/› là nghiệm của hệ (6.4) Theo bổ để 6.I và hệ (6.4) cĩ
một nghiệm duy nhất FÍ = (Fƒ!, „FfÌ) e X Vậy FfÌ = (fff)
Trang 39
Hệ phương trình hàm - tích phản phí tuyến: P lăn cấp hai và khai triển tiệm cận — 36
Pao lai, voi gid thiét (H"'’) va (6.5) Goi f e X = C(Q; IR") la
nghiém duy nhat cia hé (1.1) Khi d6 G(x) cho bởi (6.3) hồn tồn xác
định Ta cũng chú ý rằng hệ (6.4) cĩ một nghiệm duy nhất Ff'` -#ƒ!, EÍ")
cX
Ta sẽ chứng minh rằng f e C'(Q;1R”) và Etl =f' =(,.f)
Ta viét hé (1.1) theo dang của một phương trình tốn tử
f=Uf trong X, =€C!(Q.IR*), (6.8)
trong đĩ
m on Kê mn
(UD,(x)=£ 3 5a„@|x, ƒ vena] § > Psa FSi (0) + Bm), (6.9)
kei ml 0 bel jet
VxeQ=|-b,b] :=l.2 n Do đẳng thức (6.9), ta cĩ
an Xie (A) Xujj.tX)
(UF(x)< E2 38,0, of Í isto Í a kel jel al j= 0 0 big Soy (MDE, (Sy (XD) + Bh (X), (6.10) sỊ Ms a |
¥xeQe=[-b.b], i=1,2, 0, do dé ta suy ra tif (6.9) va (6.10) ring U:X, + X, Bây giờ, với mỗi M>0, ta đặt Cøp(M) = sup(|®(x,z)|: x e @.|z| < bMỊ, C,(M) = sup| ®2(x,z)| + |®2(x.z): xe €.|z|< bMỊ, C;(M) =sup(|®{,(x.z)|+|đ2,(x,z)|:x e €,|z|< bMỊ Ku =lfeC!(@1R°> : | 2M), f |, =|| f yy sith S`|f(x) |
Irl,=lr lu+ [fÍ[L - IrE, sp 2 |§G9)|
Ta cũng chú ý rằng ký hiệu C,(M› được định nghĩa ở đây cũng thỏa hai bất
đẳng thức ¡) và i¡) của bổ để 3.2
Trang 40
Hệ phương trình hàm —tích phdn phi tuyén:phuong pháp lập cấp hai và khai triển tiệm cận 37 Ta sẽ chứng minh rằng với một cách chọn M.: thích hợp ta sẽ cĩ U:K\, + KÌ, là một ánh xạ co ý Nghiệm lại rằng U -KỊ, ->KỊ, Cho f«K},, với mọi xe@, ta cĩ từ (6.9) rằng ( Tương tự bổ dé 3.1 va 3.2) {To vs Š Ÿlbạ| [fi(S„(x) | ‘> |g, (x)| bel bel ml > |tUf›,(x3{<|£ | ` Š Š |sa|© tal vel bal pel <|£ Í[ tau 1 [|nC„dM) + | thạ} |M+|#{, Do đĩ ur, sie |] tad PoC + |] foal IM +e (6.11) Mặt khác từ đẳng thức (6.10), vxe@={-b,b ta suy ra Š |0Pje|<k |nCAM) | ta¿l [+ | COMM | foyer | i + sf asi] el, Vậy ta cĩ |tt!{ <1 ICMO|n{ lay | [+M [saX41 | |‡M[ thạs21[ s[[, CC (612) Do đĩ từ (6.11) và (6.12) ta được | ur J, fur, +]un'},
sle |] taj) | n(Co(M)+C,(M)) + ]e|MC\(M)] faa Xia If +M] [ba] [+m] (diy Sin } |+J4,