Một lớp bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường

Trang 1

LO em re re

BO GIAO DUC - DAO TAO

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHI MINH TRUONG DAI HOC SU PHAM

©

MOT LOP BAI TOAN BIEN

CHO HỆ PHƯƠNG TRINH VI PHAN THUONG

Trang 2

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOAN THANH TẠI

TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHI MINH 2 (= [z„zrzz hung dan y Phé Tién Si: =» NGUYEN ANH TUAN Khoa Toan Đại học Sư phạm Thành Phố Hỗ Chí Minh oO 2> phen btn ft: [Phó Tiến Sĩ: — LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Khoa Toán Dai hoc Sư phạm Thanh Phá Hỗ Chí Minh Cc PP MHhưu đưểum 2:

Pho Tién Si ; DAU THE CAP

Khoa Khoa Hoc Co Ban

Trường Cao Đắng kỹ thuật Vinhempic ¬ | Chie heen :

NGUYEN NGOC CON

Truong PTE Phan Van Tri

Huyện Châu Thanh, Tinh Cân Thơ

a

LUẬN VĂN KHOA HỌC DƯỢC BẢO VỆ TẠI

HỘI DỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÓ HỒ CHÍ MINH

Trang 3

LOI CAM ON

Ler dtu téu lrong hadin win way, tit ain kink go din Phd Siéin KH NGUYEN ANH TUAN - Khoa CÍndm, ¢ During Pat hoe he fbam

lo 24¿uÁ fhe Ve Chi Oo Monk ; mati ha ⁄ di “an link hing dan va gu dé

tit hoan Uhank udu udu uay, long hithen chin lhanh wa ener T2

Fon he ự te dong hitl un dbe vee gee he Ự, Wea

Nhe Chén HK LUE TAL THIEN HUONG, CXZea OFain,

tự sư đạc Aepham Thank phé Hi Ché Mink

yi Hibn KH : DAU THE CAP ẽ Khoa Kiheoa hoc ca ban,

Trning Cue (# dng = %Í y Mbit 4a inhemfuc ht doe ban Chae, fhé blink wea phan been che “edn wan

Dew chin hank vim ta que ¢ (ấy “/@tưự Khoa Otodn di tin link

(rte yêu dat kien lhate cho lid (roug serio gue Crinh hoe tafe, ye câu, 2 lhuée AF hong “ [4# etn â Khow hee  Truciny Gf we hee he fham Cc Thanh ' tý

We Ch olbuk va que Shay VÊ2 /đuậc hong © Ngheen cu Khoa hoc vd

Pao ta wu Lat hoe (ung fi an hoe Gin Thea chi fro met diéu điểm thudn fot gif he bit trong seit hed gran hoc tafe va Chae huén ludn win mary

Wet ition evita, tive yen dink, ban hin ring qe ding „Lợi di ding were, gu Ae ne lao mo hin fh tén lhudu bed cho let frong que brink hee 7 na hoan

thank lad win wey

CHhank fhe a (2 ahs œ úñ lnk 7999 AL = / ”

OQ [zz„ấ» Ngee én

Trang 4

MUC LUC Ky hiéu

Lời nói đầu

Chương 1: MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỞNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DANG CAUCHY - NICOLETTL

1.1, Diéu kién can và đủ cho việc tôn tại

nnphiệm của bài toán (0.1), (0.2) .o<-<e<<<sesee ] UD VG ahh gs IN (in oy tigate 6 cece a 1666004 ,00 9 1.3 Cac tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tổn tai

và duy nhất nghiệm của bài toán (0.1),(0.2) 15 I.4 Về bài toán (0.1), (0.3) và (0.1), (0.4) -< <«- 20 Chương II : MỘT LỚP BÀI TOÁN BIẾN CHO HỆ PHƯƠNG?

TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN

DANG HAM

2.1 Diều kiện cần và đú cho việc tổn tại

nghiệm của bài toán (0.1), (Ú.8) .à.«-cc<cc<e~eeexxee 24 2.2 Dịnh lý vẻ việc tồn tại và duy nhất

nghiêm của bài toán (0.1), (0.B} eeeSĂieeesrisvee 29

2.3 Các tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tồn

tại và duy nhất nghiệm của bài toán (0.1), (0.8) 39 2.3.1 Các tiêu chuẩn cho việc tổn tại và

duy nhất nghiệm của bài toán (0.1), (0.8) 39

2.3.2 Về tập N (<4,b#¿ ấy 2á ÐĐk) Gia 60266 25ssei 42

Trang 5

KI HIEU

ILR 1a tap hop cae sé thuc ( duéng thang thuc) (a,b) = [xeER:a<x<b}- khoang

<a,b> = |xelR:a < x < bị - đoạn

lR" là không gian thực n chiều với các điểm x=(xj* bởi chuẩn ” Ixl=> [xi] t=] a (PR n, ¬ RT = Jor ERS 207 = Mn] 2.Voix,y € R", taco: x<y<©Sx, < y, (I=l1, n) ~ " ` = i we 4 : & gẢ

3.5 = (Si, jet la ma tran vudng cap n voi cac phan tu la

4.C„(<a,b>) là không gian các vécto ham n-chiều liên tục trên <a,b>,

VỚI chuậnn :

ÍxÍÍ cụ (<a,b>) = Max { > |x()|:ast<b Ì

t=1 n

C: (<a,b>) = t6), c C,(<a,b>) : x{t) > 0 với a < t b, j=L n} 5.AC,(<a,b>) la không gian các véctơ hàm n chiều liên tục tuyệt đối lrên <a,b>

6 |(<a,b>) là không gian các ham p kha tich (p21) trên <a,b> với

/

Trang 6

b 1/p

Ibias £ LE flora |” vátsp<+ss

Vrai max { [x() |:a <t<b \ VỚI p=†+œ

L,(<a,b>, R,)= { xe LP(<a,b>) : x(t) 3 0, a < t <b}

7.K<a,b> la tap hợp các ham f : <a,b> x R" — R thda man cac điều

kién Caratheodory dia phuong nghia la néu f ¢ K<a,b>, f(-,x) là đo được trên <a,b> với môi xe R"; f(t, -) la lién tuc hau khap nơi trên R" với mọi t= <a,b> va sup{|{(-.x) |: Ix po} e L(<a,b>) vớip € (0,40) S.Néu gq 2 1 va gp? q ở q (( LEU] )= b —¬ | h *: 9 Si +)! với q<qqạ<+® q7 đụ với q=q hoặc q=+ œ

9.Nếu (@:C (<a,b>) > Ro, © Cy(<a,b>) (=l,2) và %¿¡( š %›(Ð

với VI ec <a,bh> khi đó La kí hiệu :

V;(;z %;)=inf{p(x) :xeC, (<a,b>) va OC, (t)Sx(t)S,(t) voi Vte<a,b>}

Trang 7

LOI NOI PAU

Van dé ton tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho phương

trình ví phân thường là một trong những vấn để quan trọng của lý thuyết phương trình ví phân Nghiệm của bài toán biên liên hệ chặt chẻ với sự

phát triển của bộ môn phương trình vì phân Trong những bài toán đầu

Viên (Bài toán Cauchy, bài toán Cauchy - Nicoletti, bài tốn tuần hồn, )

nghiệm của nó là hàm khả vị liên tục, Trong thế ký này vào những năm

3U cũng với sự ra đời của lý thuyết caratheodory nghiệm của bài toán biên được hiểu là hàm liên tục tuyệt đối ; vào những nãm 50 người ta đã đưa ra

nhiều tiêu chuẩn tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên với các diéu kiên biên khác nhau

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu sự tổn tại và duy nhất

nghiệm của hệ phương trình ví phân với điều kiện biên dạng Cauchy -

nicoletti va diéu kién bién dang, ham

Luan van pom co hai chuong :

Trong, chuong | chung ta sé nghién ctu về việc tổn tại và duy nhất

nvhiém cada hé phương trinh vi phan thuone : 4 ĩ i » 1

dy, i _ a Hà t,;).( = Ì¿ n) (011)

thóa mãn điều kiên biên (0.2) :

x(t) =p, (Xu-: Xa) (E1;/⁄ n) (0.2)

trong do f,: <a,b>x R" > R, thỏa mãn điều kiện Carathéodory với

~ 9 <ash< + © ,t © <a,b>, (i=1, ,n) va @ : C,(<a,b>) -> R, (i=1, ,n)

Trang 8

hove Thỏa mãn dita kita bien (0.3) hode (0.4) :

X(t) =p) OX pieeeXp) es GE] Sup {X¡(t}: Ast<b | san

(i=mi+Ï, ,11} (0.3)

va: S1 x;[ÐI: a<th } <t z2, (1Z1, mÌ (1.4) Cac truong hup dat biét cua bai tean (0.1), (0.2) chang han nh; ¢ Bai toan CauChy - Nicoletti:

xát) =C;, (#T1,.‹ n) (0.5)

¢ Bai loan tain hoàn :

xa) = xb), (i=7, 00) (01.6)

¢ Bai todn phan tuần hoan :

xa) > -xifh), (im 1, 9) (0.7)

Bai toan (011, (02) dược nghiên cứu bởi hàng loạt tác giả như II.Kiguradze, l Puza, Kakabadze, trong các công trìnlhi [3L[1],{2]/{8|, UTEP US FEZ vcs

Trong chifong I ching ta sé nghitn eva ve viée lén tai va duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân thường (.L) thỏa mãn điều kiện liền (mét hàm: (8),

# 4X), (xu XJ} (=L, „nH) (0-8)

trong đề Pu„;C,(<a,b>) —> R là phiểm hàm tuyển tính , liên tực không niảm trang, C{<sa,b®} và tập trung trên doạn <a,.b> c <a,b> (có nghĩa là ma lrị (Ha hiểm hàm # „ chí phụ thuộc vào các hàm số tua liệp trên

* ` ` + 4 eZ ` -

Trang 9

[rưởng họp đặc biệt của điều kién bién (0.8) là (0.2) hoặc điều kiện

biên đạng tích phân :

b

[x/(đ8,(Đ = ø¡ (xuxz, xu), (i=1, n) (0.9)

a

với <a„b,> c <a,b>, Trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa Lebesgue - Sticejes và ã(b,) - ã(a,) > 0 Điều kiện biên (0.9) lần đầu tiên được đưa ra

bởi Kakabadze

Điều kiện biên (0.8) lần đầu tiên được đưa ra bởi nhà toán học Tiệp Khắc B.Puza (trong [12 ]) tác giá đã đưa ra được một số điều kiện đú cho

việc ton tai nghiệm của phương trình vì phân bậc n thỏa mãn điều kiện

(0.8)

Nghiệm của bài toán (0.1),(0.2) và (0.1), (0.8) được hiểu theo nghĩa Carathéodory tức là hàm véctơ n chiều liên tục tuyệt đối trên đoạn <a,b>

thóa mãn hệ phương trình (0.1) hầu khấp nơi và thỏa mãn diều kiện biên

Trang 10

MOT LOP BAL TOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH V1 PHAN THUONG voi DIEU KIEN BIPN DANG CAUCHY - NICOLETTI

CHUONG I

MOT LOP BAI TOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH VI PHAN THUONG VOI DIEU KIEN BIEN DANG CAUCHY - NICOLETTI

1.1 DIEU KIEN CAN VA DU CHO VIEC TON TAL NGHIEM CUA

BÀI TOÁN (0.1),(0.2) :

Dinh lý 1.1: Điều kiện cần và đủ để bài toán (0.1), (0.2) có nghiệm la t6n tai cac vecto ham: tì OC = (OC) E AC, (<a,b>), (f=1,2) sao cho &,(t) S$ %;(t) i= voit € <a,b> (1.1) Hy (ti) © Ve (My Hp, Kp) SV (5 Ky, Op) € Øz/(t) (1.2) (i=1, ,n) và (21) [txyseto:OEg/Xigus)+ % (Ð)] simn(E-t) 0 (1.3) (f=1,2; i=1, n) với a SES b, L(t) Sx; $ p(t) (J=1, n)

Khi do bai toan (0.1),(0.2) co nghiém x= (x) | thỏa mãn các bất đắng im thức sau : ¡(9 < x(U) <%¿(0 với VtLe<a,b> (1:4)

Chung minh :

« Diều kiện cẩn : Điều kiên cần là hiển nhiên, bởi vì nếu x=(x)) là

i= nghiêm cua bai toan (0.1),(0.2) Khido :

C(t) = %,(t) = x(t) € AC, (<a,b>) thoa man (1.1) va (1.3)

e Diéu kién du: Dé chứng mỉnh điều kiện đủ trước tiên chúng ta đặt

Trang 11

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH VIEPHAN THUGNG

VỚI ĐIỀU KIÊN BIEN DANG CAUCHY- NICOLETTI O,,(t) với S< %,((t) xXi(tS) = 5 Vol © ,(t) S SS O,,(t) %;¡(t) với S > C(t) BEX greene Xp) FFL A (EX) Kl tXp)) VA F(xp Xp) = Oj (Xpeeen Xn) với X; =x/(tx(Ð) 0=1, n) chủng ta xét bài toán : dx = = Ø/(t,Xạ, Xa), (Ì“1, n) (1.5) xi() = 0,(Xụ, Xa), (i=1, n) (1.6) ~ t * o X(t) = 4p, (XproeoeXn)# J git-x, (1), sabes X,(t))dt (i=1, ,.n) (1.7) tỉ do ap dung (1.2) và định nghĩa của g, và 4 ta được ; - a |

OC y(t) Sep, (Xg Xea) Š %¿j(t,) với (x) _ C„(<a,b>) (1.8)

va ton tai g* € L<a,b> sao cho:

Bằng cách sử dụng bất đẳng thức này và áp dụng nguyên lý

Schauder's vẻ điểm bất động, ta để dang chứng tỏ rằng hệ (1.7) và do đó

bài toán (1.5),(1.6) có nghiệm

Gia sw x,(t), x,(t) la một nghiệm của (1.5),(1.6) Để kết thúc chứng

mình định lý, ta chứng tỏ rằng nghiệm này thỏa mãn bất đẳng thức (1.4)

Trang 12

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH VIPHAN THUONG

VỚI ĐIỀU KIÊN BIEN DANG CAUCIIY-NICOLETTI

lu do mdi nghiém cúa (1.5), (1.6) thóa mãn (1.4) thì luôn luôn là nghiệm

của (0.1),(0-2)

Giá sứ rằng (1.4) không xãy ra nghĩa là tôn tại £ e {1,2}, ¡ c {1, ,n} và

tL,€ <a,b> sao cho u(t,) > Ú, với u(t) = (-1)' [x,(t) - ~,,(t)]

Do (1.6) và (1.8) ta suy ra rằng tụ # t Không mất tinh tống quát ta

giả sứ r„,> tụ Do x(Ð liên tục nên tốn tại r¡ e <t,,t„ > sao cho :

u(t;) = Ú và u(t) > Ö với L< (ty, tạ (1.9) (Với t„ < t, ta chứng minh hoàn toàn tương tu) nhưng nếu ta đặt : xị= #,(x(Ð) và sứ dụng (1.3) chúng ta nhận được : VỚI E € ( 1, tụ) điều này mâu thuẩn với (1.9), chứng tó (1.4) đúng và định lý được chung minh Bây giờ ta xét trưởng hợp đặc biệt của điều kiện biên (0.2) là : x(t) =Ayx(0 +a (FD ) (1.10)

trong do a & t,, & Sb vad, pt, € R (i=1, ,n)

tử định ly 1.1 ta suy ra cac hé qua sau :

Hệ quả 1.1: Diéu kién cần va đú để bài toán (0.1), (1.10) có nghiệm là {On tại các vectơ hàm ;

L,= (Kn), © AC,<a,b> (f=1,2) thỏa mãn (1.1) và bất đắng thức (1.3)

XÂY ra VỚI ;

aS1Sb,Ø®%() < xị< %¿() ,(j=l, n), voi i e [H, n}

Trang 13

MOT DOP HAT TOAN BIEN CHO ME PUONC PRINT V1 PLAN THUCNG VOLBIFU KIEN MEN JANG CALICEHTY-NICOLETTI hoặc : 3¡ # Ú, ®/(t;) - 3¡ 44 ñ )*IýŠ #“2/(tj - À¡ #2¡( 1; ) (1.11)

hadic: A < 0, %(1} - 3¡2cz( fy } Š dị Lilt) = Ai ul fF )

LIệ quá trên là tổng quát hóa một vải kết quá đã có trước Ví dụ A.V Iinke'Shtain đã chứng, tỏ trong [1] rằng, hệ (0.1) có nghiệm thóa mãn điều kiện biên sau :

x(a) =(1- 9} xb} + pc, G=1, n) néu Ú ZpạŠ 1 và với một số r>(}, ta có :

’

| F(x, +c, ,Xu#+Cu| % oe r với | x | sr a x, | sr Ai=1, _— ,h)

Tư hệ quả 1.1 La nhận được ngay kết quá này băng cách đặt :

$ +

%(Ù =e;+€IÖr[1+ ne P.|:¿=a, =b(É=L2;¡=1, n)

Các kết quả của Schmitt [16] và V.D.Ponomarev [14] về việc tổn tại

nghiệm của bài tốn tuẳn hỗn và phản tuần hoàn được suy ra trực tiến ti

hệ quả sau Trước hét ta lưu ÿ rằng nếu đặt; t=a, t; = bthichon A,=1 va néu dat: t=b t= athichan A,=-1

khi đó từ hệ quả 1.1 la suy ra được ngay hệ quả sau đây :

Hệ quả 1.2 : Bài toán (0.1),(0.6) { bài toán (0.1),(0.7) ] có nghiệm nếu lan tai cae veclo ham:

Trang 14

MOT LO? BALTOAN BIEN CHO HE PHUUNG PRINH ¥LPHAN THUONG VOI BIRU KIEN IRN DANG CAUCIIY-NICOLETTI (1` A, [f@,X,-.Xiua(/Xiius .Xa) - %, 40] <0 (f =12;ï= lu ) Định lý 1.2 ; Giả sứ trong <a,b> x R” bắt đắng thức sau đây xảy ra : (,(LX:, „X„) sgn[(t-t)x,] £ g,(H xi|„ Í xu} (í=1, n) (1.12) và trong không pian C<a,b> tị (Xs -„Xa) [S Pp Uy dX yl} (T, n) (1.13)

trong đó các phiểm hàm ,: C.T<a,b> —> R, (i=1, n} liên tục và không

giám, # (Xkzs „Xa} = gu ÁbXI „Xa)X; Ð g2 X¡, „Xa}, hơn nữa hàm số :

gi; <ab> xR", —> R và g.: Zah>xR".>R (i=1, ,m)

thực hiện điều kién Carathéodory địa phương và môi ham ø¿((t,XỊ, X-}

(=1,2) là các hàm số không giảm đối với các hiến Xị, X;q,XietreXu +

Nếu bãi toán biên

ay

we = [gut: vị xoài Yụ ) ¥, + Bilt vị sects Vn )|sign(t-t); i (1.14)

vi) " *, ( vị hoi Yul) =1, ng lt)

Trang 15

MOP lor BALTOAN BPN CLIO TE MIUONG TRINH ¥ITHAN THUONG VỚI THÊU KIỆN HIỆN DANG CAUCHY NICOLELTE

ai (= gấtÍ ya(t oad vat) |)

và v¡(t) > l1, Đội (t) 20 verte <a,b> (¡i=l, n} Lử (1.15 ) suy ra : vựt >0 với a Š tế b (i=l, n)

Dãt Z,( =(J y(Đ (É=L2)

Khi đó : #¡( šs Øsš %:(Ù với c <a,b>

Từ các bất đẳng thức (1.12), (1.13) chúng ta suy ra rằng với mỗi

bof )

m5: (f) =-4 vị ii Vụ ) * Ve eps Hy, Hop S V™ (My WH, ÓC¿) Š

SV (yy! peed yal P= Cait)

vit trén ip hop as ts b, %, (tS x, = %;, (Ð (i=l, ) bắt đẳng thức

sau tÍẦV XÂY Tả :

1 [FLX po X ire MUX t2 Xã}= %.(0] sipn(l-t;) =

` Ft pre X pg Ct ey mut Xj) sign|(t-t)) Z;(] =

[ø¡¡(t,!2;:(0| |2Ez„Ýt)J) Sill) + Baill (Key (OL oo Canlt PY SO

Vậy các vecld hầm %,(0, #;(Ù thóa mãn các điều kiện của dịnh ly

|,1, La đó định lý 1:2 được chúng mình

Từ các định lý 1.1 và định lý 1.2, chúng ta sẽ dưa ra các tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tôn tại nghiệm cua bai toan (0.1),(0.2)

Treaty hét ta dua ra dinh nghia sau day, no la su tổng quát hóa các

dinh nghia cia vie lie pia Y.T Kiguradze va M.A Kakabadze

Định nghĩa 1.1 : Giả sử W,: C,"(<a.b>) > R, (i=l, m) là các phiếm

Trang 16

MỘT LỚIP HÀI TUẦN BIẾN CHƠ HỆ PHƯƠNG TRINIT VI PHAN THUGNG

VỚI ĐIỂU KIÊN BIEN DANG CAUCHY-NICOLETTI

" -

g= (g) : <a,b> x R"-+ R” là thuộc lớp N(a,b; t;, ,t,; ° ¡, .„) nêu

‘=

a), Bi (EX) Xpq) ae PE Xp Xp) Xị + B2i(tX‡a Xu), trong, đó

gy, 2 <a,b> x» Rh-› R, (Ế=l2; i=l, m) thỏa mãn điều kiện

Carathéodory địa phương và (-1)' Bj (UXy,-X,) (2=1,2) 1a cac hàm số

không giám theo cac bib xy) Xp Xje pee Xe

b).16n tai hang sé duong c, > 0 sao cho vei méi vécto ham ’ (x) c AC ,,<a,b> là nghiệm của bất phương trình : x(t) sign[(t-t,)x,(t)] S g(t lx, (),- [x,(0)) veia Sts b; (1.16) Ix; (t;) |S (lx¡| ,|x„|} (i=1, ,n) thì : |x; { | S c„ vớia <t<hb_ (i=l, n) (1.17)

Định lý 1.3: Giá sứ trong <a,b> x R" bất đắng thưc (1.12) xãy ra và

trong C.(<a,b>) bất đắng thức (1.13) xây ra thêm vào đó :

,:C, <a,b>->R, - (i=l, n) là các hàm số liên tục, không giảm

và: (g) ° Nía,b; tụ, tý 4, ,2) (1.18)

khi đó bài toán (0.1),(0.2) có ít nhất một nghiệm

Chứng mình

Theo định lý 1.2, ta chí cần chí ra rằng bài toán (1.14) có nghiệm Giả sử c„ là hằng số dương được xác định trong định nghĩa 1.1

Dat: | nếu S < ne,

| Sg

x(S) = 2«— ïiÊu 1C, <SS 2nc,, NC,

0 nếu S> 2nc,,

Trang 17

MOT LOP HDALTOAN BIEN CHO HE PHUGNG TRINH V1 PHAN THUONG

VỚI DIEU KIEN BIEN DANG CAUCHY- NICOLETTI và: ð2¡(L,Xị, X„) = zÍ |x|U Ø2((tXụ, Xa), Xịc R”, \⁄,(X»- ,Xu) = z ( - Ix, | C«ab>)f; Du ch = x=(x(t))< Cụ <a,b> m = ˆ * ` ` £

RO rang ton tai ham sé g,, ¢ L<a,b> va hang số dương r„ sao cho :

| 821 (t,] x) Jove [Xn [JIS Bol VOI Ee <ab>, (x) e R® — (119 je

(i=1, N)

và :|4⁄ (|xị |» [xa |)Í< rạ với (x,)” © C,(<a,b>) /(i=1, n) (1.20) ¡=l

- Xét bài toan biên ; ax đi e [- y(t |X) | 1X, |) x) + Bai (th [x [| x, |) ] sign(t-t)); (1.21) x(t) = W(]x, [>zil} (t=1, ) No Lương đương với bài toán sau : t x(t) = W(x, |] x, ]) exp|- J a(t be(s)b Xa(9)Dsign(s-t)ds |: t t + [fai(tIx,()1 |xu(£)l)[sigm(x-t)]exp[- Í gụ (S.x1(5))-Xn(8)Dsign(s-t)ds]dt t, T (i=1, ,n) (1.22)

Giống như trong chứng mỉnh định lý 1.1 việc tồn tại nghiệm cua bai

Trang 18

MOT LOP BALTOAN BIEN CHiO HE PHUONG TRINH VEPHAN THUONG

VỚI ĐIÊU KIÊN HIỆN DANG CAUCHY-NICOLETT!

Tử các tính chất của cac ham Ø2, và WY (i=1, TH, „n) kéo theo bất dang

thức (1.16) đúng Do đó bất đắng thức (1.17) cũng đúng Khi đó theo định

nehia ham ‘taco:

na (t, |x¡() | |xe(Ð |) = øzứ, |xị(Ð [„ |xa(E)|) với t= <a,b>

và do đó x= (x())_ là nghiệm của bài toán (1.14)

1.2.VỀ TẬP N (a,b; tụ t„; 92, .,)

Trang 19

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH VI PHAN THUONG

VỚI ĐIỀU KIÊN BIEN DANG CAUCHY: NICOLETTI

b) «, : <a,b> xR, -> R, (i=l, n) là các hàm số không giám theo

biến số thứ hai ø,(s,p )c L<a,b> với pe (0,+z) và: b fim + fo, (t, p) dt =0 (1.26) D ta? a c) Cac gia tri riéng cua ma tran S= (S,) ` với các phân tứ là : j=l Sy = Bi [(b-a)'/*o Vij +(b-a)! ij (4ij-4o) | hill 1 (i,J= 1.000012) (1.27) trong do: t (i= max{exp|- fl, (s)Sign(s-z)ds] : (t-t)(t-t)) 3 0,(r-t)(t-t,) 3 0, a <t, tế b} 1 nhỏ hơn 1, khi đó : (gì) < Nạyby tụả lụy Pay oe Pa) pe Chung minh :

Trang 20

MOT LOD BAL POAN BIDN CHO TIE PIIUONG TRINIEVI PHAN THUUING VỚI Dift: KIDN DER DANG CAUCHY - NICOLETTI Lt thú : t " |x, | L Oza b> = [ 2 tị; | xj | I ha p>*1,£ lo, (GX Ix.(t)]) | i éa,bs 4 (bea)! w b, + ¿=1 s-l t „t

rh š | Phyl] [Seca b3 (i=L, m)

Tu bat dang thiic Hollder vả (1.23) ta có :

l

{flr fryer) dt | [Oca be = | (fry!) dry Py if x(t ) th ult |)!z»”J to<n,b> <

| b I1 t t

= | hi; |} evant | Js yy" dt | lu | Ifqo —

=||h, Me? Nea bem Irae vidal

> {b- a} Su (qi, J all Hạ a.b> || x(t)" 1 LA 1 , Sie a Wiles b> le , = (h-a] Q if (q„:q›} | hi fl, | ‘tt, b> | x Aa L Oey, b> ( 29) Dade :

Ix/[i95226-< ba) %5 Ít toe _l9)lh eatol +

Trang 21

MOT LO? RALTOAN TIEN CHO HE PHUUING TRINILYEPIAN THUUING

VỚI DIU KIEN BIDN DANG CALICHY - NICOLETT

n , =

và =0) = (tra) “ð[r+{e,(, Š p)l:-aie ),, ' /=l

Vì các giá trị riêng của màa trận S nhỏ hơm 1 nên từ (1.31) ta suy ra :

E£“(E-SY'#,

Vì vậy :

(1.32) trung đó nạ là giá trị dương, chí phụ thuộc vào ma trận 5 Từ đó và Lừ (1.28) suy ra ranp bat đắng, thức (1.17) là đúng, với chú ý rằng : 1 „” ev : p, > N.= 6, | È nc.+rre+lo(> ñ,}) |i‹„»-+ >> | hii | !s-;„ > aI / = ] DatN = š N; và p„,>N sao cho ; bọ Ơn | mC, plat = Jott, p) fl peab> < với p>zpa (iZ1 n) il N Tu cac bat dang thuic do ta suy ra rằng : “ » PS Py = Điều đó khang định bất đẳng thúc (1.17) đúng

Các trưởng hợp đặt biệt của bổ đẻ trên chang hạn như hổ để 1.2

trong, [4] , bo dé trong mục 4.3 của tác giả IT Kiguradze trong [3]

Chư ý : La biết rằng ma trận $= 6.) với S„ 20, Khi do ;

1/Lat ca cac gia tri riêng của ma trận S nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi tất cả

các định thức can chính của S đều đương

.Ã “A” Ä«' ~ ee

2.Diéu kién & % <1 (F“1;->¡0)

Trang 22

MOL LGP BALTOAN BIÊN CHƠ HỆ PHƯƠNG TRINIE V1 PHAN THUONG

vit DIEU KIEN BIEN DANG CAUCHY - NICOLEFTI

đám báo rằng tất cá các giá trị riêng của ma trận S nằm trong đường tròn

don Vi

Bổ để 1.3: Giả sử

WA (XppecuXp) = Walls) + GEL) (1.33)

trong dé Wj: Crea pe F Re (Ltt) là hàm liên tục, thuần nhất

+s ¬ , Ị

sao cho : - [Iv (spsignis ~ fs

ao = Pl © Í ) <1 (=1 m), (1.34)

hàm sé g(UXp Xn) duoc dinh nghia trong, (1.25), rụh„ hụ và 6);

(j=1L, m) thỏa mãn các giá thiết a) và b) của bố đề 1.2 và các giá trì

riêng của ma trân S= (Su) "` ¡j1 với các phân tử : - 4; ' : ‘ 7 “6 ¥(1)(b-a)'/ Phgle! ven pot (b-a)'/ 4 E(qipAe) bri aie (i,j= L, t) (1.35) nhỏ hơn 1, hơn nữa j; (Z]1, t) có ý nghĩa như trong c) cua bố đề 1.2 Khidó: — (p)' ề Núa¿h; tụ Wụ, <2 Pụ)› Chiing minh : 1

Giá sử(x) © AC,(<a,b>) thóa mãn bất đắng, ¡=l thức :

x¡ (0 sipm{|(t)x/(Ð)] <-h/0Ix(0I+> hạ(904(9* oft pol j~ | x(t)

(i=1, m) (1.36)

và Ix/t)I£ u(x()l) trị GLa) (137)

Từ (1.36) với 6 {1, - m{, ta có :

Trang 23

MOT LOP HALTOAN MEN CHO HE PLIUGNG TRÌNH VỊ PHẨN THƯỜNG?

vot Diftu KILN BIEN DANG CAUCHY - NICOLETTI

f

",(9VBAs “yy xé (sinks - rk

x(t) |S @ | x(t) |+ Ÿ ÍI lhuc)x(9)e F de| + /=1 ¡ -{h(s)Signs- thê + foe ` | x/(t)|) ef dr| s t, jel f ~| h (x\Siguiy — r, wis t, a”

< x(t) BL ot, © 9 1)[lu<.»> + jel

Trang 24

MOL LOPAADOOAN BIPN CHO HE PHUGEING TRINH ¥E PHAN THUONG

VCH DIP) KIRN BIPN DANG CAUCIIY ~ NIGOLEDL

"on r +1

Jo tà (OD eae» (I=L ) “

và tử bổ đẻ 1.2 ta suy ra điều phải chứng mình

13 CÁC TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ CHO VIỆC TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIEM CỦA BÀI TOÁN (0.1), (0.2):

Từ các bổ đẻ (1.2), (1.3) và định lý 1.3 chúng ta dé dàng suy ra các định Eý sau đây :

Định lý 1.4: Giả sử trong <a,b> xR” bất đẳng thức sau được thực hiện - f;(1,x¿, ,x„)sipn[(-t]x;| Š - h1 |x¡|† 2 hy (t) px +o, » x; )

| io]

i +,

(I=1 m) (1.38) va Lrong Cu¢sa,b>) ta co:

ft; (X¡›- ,Xa} Í £ gã Tự lx, rlocgns tr (I=L), (1.39) -|

trong do ry, 1;, h, hy va ow, (ij=1 0) thu hiện các điều kién a), b) vac) của bể để 1.2 Khi đó bài toán biên (0.1), (0.2) có íL nhất một nghiệm

Định lý 1.5 : Giá sử trong <a,b> x R” bất đẳng thức (1.38) được thực

hiện và trong C (<a,b>®) ta có :

IP¿ (Xus- Xa)|# ` (lx]) Đr, 2(0Z1, a1) (1.40)

trang dar, hy hy Wy, va œ; (i/jEL, ,n) thực hiện các giả thiết của bố đề

I.3 Khi đá bải toán (0, L], (0.2) có ít nhất một nghiệm

Dinh ly 1,6 : Gia sik trang <a,b> x R” bat ding lhúc sau được thực

hiện: [f(teus- ,)~f(teays xạ) | sign[f-)( xịc a0] *

hu(} xị; Xadlt 3 h„(Œ)( xụ- Xz | GL ) (1.41)

Trang 25

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PHUGNG TRINH VIPHAN THUONG

VỚI DIRU KIEN BIEN DANG CAUCHY - NICOLETTI

và trong C.(<a,b>) ta có ;

(Pj (Xap Xn) | - Ip, (Xatz Xan) |S“ > tụ | XỊj X2i | LÌo%«a,b>

pol

(i=1, ,n) (1.42) trong dé ry, hy vahy (ij=L n) thực hiện các giả thiết của định lý 1.4 Khi đó bài toán (0.1), (0.2) có không quá một nghiệm Chứng mình ; Giá sử x¿=(x¿)” < AC,<ab> — (=1?) là hai nghiệm của bài ¡ =1 toán (0.1), (0.2) Đặt : x¡(t) = xị;() - x;;/() (i=1 ,n) Từ: (1.41), (1.42) ta suy ra : x (f)siøn[(t-t)x¡(9] S = h(t) |xi(t) [+ Š hị(Ð |x/(9) | {> " voiaStsb (i=l, ,n) vafx(t) |< Dry |x [tfS«a¿e> (IE1, m) j=l khi đó (x)” thỏa mãn các giá thiết của bổ đề 1.2 và do đó từ (1.32) ta suy ¡=l

ra: x(t)=O ,(i=l, n) Vậy dịnh lý đã được chứng minh Bằng cách tương tự chúng ta suy ra được định lý sau :

Dịnh lý 1.7 : Giá sử trong <a,b> x R” các bắt đắng thức (1.41) được

thực hiện và trong C,<a,b> taco:

lf ¿ (Xttze.Xin) - 0 / (Xap-.c2Xzn) | Š #gy (Xu Xi) (FFL ) (1.43)

trong doh, hy, va Vy, (ij=1, n) thỏa mãn các giả thiết của định lý 1.5 Khi đó bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm

Từ các định lý trân chúng ta suy ra các hệ quả sau :

Trang 26

MOT LOP BAL TOAN BIEN CHO HE PHUGONG TRINH VI PHAN THUONG

VỚI ĐIỀU KIÊN BIPN DANG CAUCHY - NICOLETTI

Hé qua 1.3 ; (Bai toan Cauchy - Nicoletti)

Gia su trong <a,b> x R" taco: (,(t,X, ,X„)sign|(t-t,)x,} š 3 hạ(Đ Íx|+ œ; (t) (i=l, m) (1.44) & [fi(t,x¡u„ Xịn) - fj(t,Xzt»s.-Xạn)Jsign[(t-t)(xyrxạ)] < E y(t) bey - xa (i=1, ,m) (1.45) trong đó (0, c L <a,b> Dé bai todn (0.1),(0.5) có ít nhất một nghiệm với " mọi c, tuy ý thuộc R là các giá trị riêng của ma trận S =(S,) — nhỏ hơn 1 t,j=l a) Sy = (b-ay'/ MA (qi.q,) Why ll Picante (Lj=1, n) ,nếu : ¥ | I hi = I Yea b> Pb—m1,1S di Ê đo Đụ — dụ bes I # bì S; =( ae) Mh reaps (UJEI, ,m"), nêu : tT hụ cụ i = 1 <a,b> + s ++ +=], q ! I< >Ƒ

c) S„ = ||h[i‹¿ux (ijE1, m) nếu hạ e L<a,b>

Các kết quả tương tự về sự tôn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy - Nicoletti đầu tiên được đưa ra bới M.SVec, sau đó bởi A.LaSota,

bói AL.Perov và A.V Kibenko,

Từ hệ quả trên ta suy ra hệ quả sau đây :

Hệ quả 1.4: Giả sứ trong <a,b> x R" bắt đẳng thức (1.44) xãy ra và :

Trang 27

ROT LCP DALIOAN DEN CHO HE PHUING TRINH VL PHAN THUONG

VON DIG KIEN IRN DANG CAUCHY - NICOLETT

Hệ quả 1.5 : { Bài tốn tuần hồn)

Giả sử trong, <a,h> x R" các bất đẳng thức sau đây xảy ra :

(,(1,Xy„ ,X„)sipn{(øx;) š - ht) x; +X hyd) Xft; (1) GAL.) p=}

|fi(t,x¡¡ Xịn) ~ fi(tX;+z Xau) |Jsign[ø, (x;rxzj] £ - hút) lxị;- xạit

+ Š hạ(Ð By: X; (i=1 m),

trong dda, © {-1,1|,h,: <a,h> -y R¿, hy và œ, (LJZ1, m} thỏa mãn các điều kiện a) và bì của bổ đề 1.2 và điều kiện : b exp(- |h{s)ds) <1 =1 „n) a n và các giá trị riêng của ma trận 8= (Sị),- 1 nhỏ hem 1 với các phẫn tứ như 1} : Satu: h =| ir ix efx a) ahi ng (ba) hết [r- ẹ ` i | hự|[LFs-¿ +

+ (b-al' A (gig) fbi Picts — Gj7L n)

Trang 28

MCU LOP BAL TOAN DIEN CHO HE PIEZING TRINTIVIVMHAN FHUUNG vor DRG KIEN RIN DANG CAUCHY - NIGOLEIT! Hệ quả 1.6 : Giả sử trong <a,b> x R” các bất đẳng thức (1.38) [(1.41)|

xây ra, hơn nữa hạ hị và 6ø; (ij=I, m) thực hiện các diều kiện của hố đề 2 *„¡ịC R,aStSt°sšb (=l, rủỦ, = dlexp[L loa c (0,1> (i=l, n), tị ñ, (i=l, m} có ý nghĩa như trong c) cua bố đề 1.2 và các giá trị , ˆ „1 4 * 3 = ` riéng cua ma tran S=[S,} ì với các nhân tử như sau nằm trong đường, i — tron don vị s =p, | Het l;l^, | (bea a)" ¿iịn |, Cea bot Ti

ad i5e oni? | | f°: i=] } (b-a} AQj.Afa) Li LY <a> (1 pevsren 1)

nêu bi = Pilea toe Ly ae 1,1“ qi S q.- a | Pi a A : lì S = Í; +1 Japa (ij=L m), nếu hụ c L<a,b> i a c) Sị ñ.| Bilal, = | (b-a} hj, ¥, (t,]=] n}, nếu h, (t)=h,, : n khi đó hệ (D1) có it nhất một nghiệm x =(xj) — thỏa mãn điều kiện biên sau: x(t) > A; x(t*} + pj (iL )

Hệ quả 1.7 : Giả sứ trong, <a,h> x R" các bất đẳng, thức (1.38) [(L.41)]

Trang 29

MOT LOP BAI TOAN DIEN CHO HE PUVONG TRÌNH VÌ PHÁN THƯỜNG

VỚI HIỂU KIỆN BIEN DANG CAUCTIY - NICOLETTI ; (iL có ý nghĩa như trong c} của bổ dé 1.2 và các giá trị " 5 68 , riêng của mái tin S=(5,) được xác định như hệ quả 1.6, Lj= Khi dé he (0.1) co it nhat mét nghiệm thỏa mãn điều kiện biên : x(t) =4, maxfo,x{Qiaces b+ (i=1, ,nÌ., 14 VE BAL TOAN (0.1),(0.3) VA (0.1),(0.4) :

‘Trong nic nay bing cách sứ đụng định lý 1.1 chứng ta đưa ra điều kiện cản và đú cho việc tổn tại nghiệm của bài toán (0.1),(0.3) và (0.1), (U4) Đầu tiên chúng la giả sử rằng : -m Sa¢t<bsto {87 Fp.) p 2 C(<a,b?] > R (=l, n) là các nhiếm hàm liên tục và f,cK{(a,b) (I=], ,n

Đồng thời ta cứng tìm nghiệm của bài tốn trên khơng gian AC ,<a,b>

Dịnh lý 1.8; Cia sứ tốn tại các véctơ hàm ;

n

Œ/=(%„] c AC fab) (f= 1,2) va A, c {-1,]} G=m4t1, ,n)

Trang 30

MOT LOP BALTOAN THIEN CHO TE PHIUGNG TRINIEVI PHAN THUONG

VỚI ĐIỀU KIÊN BIEN DANG CAUCHY- NICOLETTI

(€=1,2; i=1, m)

(-1)ˆ A[f#(xu, Xị2Efi(Đ, Xza» X,) - œ (0] <0 (1.49)

(€=1,2; i=mì+1, ,n)

Khi đó hệ phương trình vị phân (0.1) có ít nhất một nghiệm x=(x)` khóa

mãn điều kiên biên : x/(tj) = @,(X, x„} (I1, m}) (1.50) và bất đẳng thức : H(t) = x(t) S$ y(t) voite (ab) — (i=m+l, mn) (1.51) Chứng minh: Ta chọn dãy {a,} "” và {b,} *® sao cho : kel k=1 a<a,.<t<b,<b = (i=1, ,.m; k= 1,2 ), Lima, =a va Limb, =b k->tun k-»+ro

Với mỗi số tự nhiên k chúng ta định nghĩa toán tử :

tụ, :C<ay, b,> -> C(a,b} (i=l, n) để sao cho

Arlt) = XM £ a(t) voite (a,b) và

W(t) Sx (ths Cy,(t) voit e <ay, by> => (Hy x)(t) = x(t) voit © <a,, b> a neu A=

Dat: ty (i=m+l, ,n)

bh, nếu A,=-l

Chúng ta xét nghiệm của bài toán (0-1) thỏa man điều kiện biên :

Trang 31

MOL LOP BALLOAN BIEN CHO HE PHUGNG TRINTE¥IPILAN THUUING

VỚI pitt! KIfN BIDN DANG CAUCHY - NICOLETTI vi day { Via) = (ï=1, m} „ rong đó v„(t) = (nax„)Œ, là đồng bị chặn và k=l đồng liên tịc trên mỗi tập con campnắc của khóang (a,b), từ đó có thể chọn ton ra mgt day con { yikj (i=1, m) hội tụ đều trên mỗi tập con cormpắc ;Ì của khoảng (a,h) |3ắt x¡(f) = lim V¡kj(t) - (I=lL n), jo >to: khi đó x= oO là nghiệm của bai todn (0.1) théa man didu kién i= (1.50),(1.51)

Bằng cách tương tự ta nhận được định lý sau đây : Định lý 1.9 : Giả sử tốn tại các véctơ hàm :

S% „=(®% r¡} có AC (ah) (f =1,2) théa man điều kiện (1.46) và các si) Ave |-L,lJ (i=1, m"} sao chủ trên tập lượp a < t < b, Ky (HE x S %;(Ð (¡ =1, ,m} bắt đẳng thức sau đây xãy ra :

(-U A[f(txu-<Xcu%sŒ); Xeus-Xa) - % (0) 4U (1.53)

(É =1,2; i=1, n)

klu đó hệ (I1) có nghiệt x ={ x¡)_ thỏa mãn bất đẳng thức (1.51)

Từ định lý 1.8 và 1.9 ta đề đằng suy ra các định lý sau đây :

Trang 32

MỖI TU! HAI ÁN BIEN CHO HE PHUGNG TRINTEVEPITAN THUQNG

VOL DINU KIEN BIEN DANG CAUCTTY - NICOLLET

Sun{|%s4Ð \:a<t“<b } <+ø (Ế =]1,2;i=ni11, n) và trên tập hợp acta hb, (he x € #;/(() Gab ) cle bat dang, thức {1.48),(1.49) được thute hiện, Lịnh lý 1.11 : Bài toán (0.13,(0.4) có ït nhất một nghiệm khi va chỉ khi lồn tai các vécld hảmn : Œ ,=(2 nh = AC (a,b) (ƒ =l,2) thỏa mãn diều kién (1.46) và i=|

yasd Ave (-1/1) G= 1 ) sao cho :

sup |#gzú)' :a<t<b Ì eto (fF =1,2; i= 1, n) va trên tập hợp

wets b, Hy (HS x; < C(t} (ped ) bat ding thức (1.53), xãy ra

Trang 33

MOT LOD BALTIOAN THEN CHO TIE PEILZING TRINH VIVHAN THƯỜNG VỚM EHIỀU KIỆN AILN DANG HAM

CHUONG I

MOT LOP BAI TOAN BIEN CHO HE PHUGNG TRINH VI PHÃN THƯỜNG VỚI DIỀU KIEN BIEN DANG HAM 2.1.DIÊU KIỆN CÂN VẢ ĐỦ CHO VIỆC TỒN TẠI NGHIỆM

CỦA BÀI TOÁN (0.1),(0.8)

[rong phẩn mày clning ta xét điều kiện cần và đủ cho việc tổn tại nư liiệm của bài taám {0.11,(0,8), Dịnh ly sau đây là sự khái quát hỏa của

định lý 1.]

Định lý 2.1 : Điều kiên cân và di để hài loàn (0.1),(01.8) có nghiệm là

ton tai cac verte ham: |

#:,()=(%,.(1] 7g AC\{<a,b>) — (f =1,2) sao cho cae bat dang thiic

LÍ

sau diy xay ra:

LL) <5 (Y , Ve <a, b> (2.1)

đu) £ 0 (XiXzăxe) S Bey (Ha) với ÝX Úc se C,,(<a,b>) A

và W(t) ext) = Cot) Fte <a,b> (2.2)

và vớt mỗi ¡ e {L2, nị, (É =1,2]

(-1)' [f(,xụ X:u nite Xa perce x)= %,(8)] > 0 (2.3)

vol ¥tc <a, b>, Vx 6 RK, OC) ()S x, ŠS%¿() (ZL mJ#ẻ)

CL) [Filta ope je (OD, Kiet - œ (Ð] s4 (24)

vou ¥lLe <a, b>, yx = KR, (OS x 850) (m1 my 4 i)

Trang 34

MỘYT LỚI! BÀI TOÁN BIEN ClO HE PHUONG TRINH VI PHAN THUONG VỚI pitu KIEN BIEN DANG HAM

khi dó nghiệm x(t c AC,(<a,b>) của bài toán (0.1), (0.8) thỏa mãn bắt đẳng thức sau :

(ts x(t) S$ %;(, Vie <a, b> (2.5) Chứng minh ;:

# Điều kiện cẩn :

Điều kiện cần là hiến nhiên vì nếu :

x(t)= (x,(t))" 5 AC,<a,b> là nghiệm của bài toán (0.1),(0.8) thì đặt i= %;()= %;()= x(Ð: Dễ dàng nhân thấy %;(Ð, %;(Ð thỏa mãn tắt cá các bất đẳng thức (2.1),(2.2),2.3),(2.4) # Điều kiện đủ : %;j() — với 5< ¡(9 Dặt Xi(t*)= 5 với H(t) sS$s X(t) (2.6) C(t) voi S>,(t)

(bx, ns Xp )AA (EH (EX res Xa(tXa)), Vte ( a, b) (2.7)

và : (0,(Xụ, Xa)“ GI( Xy X; Xa) (2.8)

Trang 35

MOT LOP BAL POAN BIEN CUD HE PLIUCING TRINH VILHAN THUCING

VỚI DIÊU KIEN BIEN DANG HAM

[> <a,b>xR">3R (i=1, ,n) thoa mãn điều kiện Carathéodory, và

các hàm! sÉ : cọ, Cu (<ab>] >R (EL, n) là liên tục, hơn nda:

ï„(00 = sup{fE (Lxi, x¿} |: (XJ)” 6 R*h} e L(<a,b>),(01, n} (2.11)

i=l

Vil!

f= Sup { fop{x yee Xe : (x(} E Cu(<a,b>)] <+m (i=l, m) (2/12)

i=1

Dé ap dung djnh ly Conti [1] chúng ta cần chỉ ra bài toán thudn

nhat etka bài tuần (2.9},(2.10)

dv (8) 8 (=1,‹ rỦ (2.13)

_ aft

® Nự = 0) (2.14)

tuần chỉ có nghiệm tắm thường

Thật vậy, gia sử : v(1) — (v9) c AC, (<a,b>] là nghiệm của bài i=

toán (2.13){2.14) Thee (2.13) La có : y;(=c,c R, với c¡= const (i#], ,n) Thay vao (2.14), taca:

Pov) = BoilC= GPa) = cị =0, (i=1 n)

Vay y(t) = 0, (i=1, 0m) Khi do theo bố dé 2.1 trong [1] ta suy ra

rang bai toan (2.9),(2.10) co nghiệm

Giá sứ x() = (x/()) ` AC,(<a,h>) là nghiệm của bài toán (2.9),(2.10)

Trang 36

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PLIUVONG TRINH VIPHAN THUONG

VỚI ĐIÊU KIEN BIEN DANG HAM

V,(t) s 0, voi Vt € <a,,b,> (2.16)

Ta sẽ chứng mình (2.16) bằng phán chứng : Giá sứ (2.16) là không

xây ra Khi đó xây ra một trong các trường hợp sau đây :

1).Nếu V¡( >0 với Yt e <a,b,> Khi đó theo (2.2),(2.8),(2.10),ta có B.(Vi(t)) = Pail)! (x(t) -2 4(t))] = (1) [ Bix(t)) -B(% (0) = (1) LOX Xn)- Bola] $0 (2.17) Mặt khác do #,, la phiém ham tuyến tính không giám va$#„(1)=1 nên ta có : ° (v0) > min Vi) |a, < t< b, | > (1) = min { V/(t) |a; < t< b, } >0 (2.18)

Vậy (2.18) mâu thuẩấn với (2.17) do đó (2.16) được chứng mỉnh

Trang 37

MC OP BAL TOAN BIEN CHO HE PIER TRINITVEPTIAN THUGNG

VỚI DIÊ1! KIEN BÌEN ĐANG HẦM

với us Ls te điều nãy mâu thuấn với (2.20) Vậy (2.16) được chứng minh Ta sé chi ra (2.15) cling đúng Thật vậy, đẫầu tiên ta sẽ chứng minh : ViÚ * (l, với a st b; (2.21) Giả sử (2.21) không đúng Khi đó theo (2.16) sẽ tỐn tại một đoạn | 3 <1, “> c “a,a,> sao cho: v(Q PO vii ts ts Teva iC )=0 (2.22) Dat: xát AL) (F1 n] -Theo (2.3).(2.7) và (2.9) ta có : v.(9 =(-1}Ý [hít xi(0,- xị: (9, #z, xị.j(Đ» xé - % AC J20

VỚI T 3 t< t Liều này mâu Huyẩn vửi (2.22) Vay (2.21) duge chung minh

Bằng, cách tương tự ta sẽ chứng mình dược rằng :

Vị) s0, với n tt do đó (2.15) được chưng minh, Từ định lý 2.1 1a đế đăng thủ được định lý 1.1 trong chương Í

Hệ quả 2.1 : Diều kiện cần và đú để bài toán (0.1),(0.8) có nghiệm là lòn tại các vécto ham :

% (t= (%Z,.(0} "e AC {<a.b>}, (P=1,2) sao cho cac bat ding

¡=l

thức (2,11, (231.424) và bắt đẳng Huức san đây xây ra

b, h;

fea (O51) S49, ba» xe} £ | a (9đ6/9 eh q,

vei mn x) = (x9) e Ca(a,b>), j4) x(t) < 90, (1), YELe <a,b> | i |

{L=l, ,r\)

Trang 38

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PHUUNG TRINIEVI PHAN THUONG

VỚI ĐIỀU KIÊN HIÊN DANG HAM

khi đó nghiém x(t) © AC,(<a,b>), cua bài toán (0.1),(0.8) thóa mãn bất đẳng thức (2.5) 2.2.DỊNH LÝ VỀ VIỆC TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN (0.1),(0.8) : Định nghĩa 2.1 : Cho G=(gj)” : C(<a,b>) —> R", H=()”: <a,b>->R”", (j=1 và y= (w,)”: Cu(<a,b>) >R", , iz

là các toán tử liên tục, thuần nhất, không giảm

Chúng ta nói rằng : (G,H, 1) e Nico(<a,b>; ay, , a„,bụ,.,bạ) — (2⁄23)

nếu hệ các bất phương trình vi phân :

| x (t) ~ ø,()x;@) | £ 3 h¿(Ð |x(Đ)| với a < t< b, (i=l, m) (2.24)

VỚI CÁC điều kiên biện : K

mìn {|xj(Đ|: ai £ ES BAS ‹(lx(Đ), |xa(Đ)|), (i=1, m) (2.25) chí có nghiệm tâm thường Định lý 2.2 : Giả sử cho các bất đẳng thức : [f,(t,x¿, x„) - ø;(Ð x;j|sign x; $ š h(t) | Xj | + (9, (Ề | Xi |) (2.26) /~l jel nếu te <a,,b>,x € R", (i=1, ) [f,(t,xụ x„) - (9 xị ]sign x,>- š hạ(0|xÍ-ø¿,š ÍxÌ) — @22 jel /=l

nếu te <a,b>,xe R”,(i=1, n)

|0,Xg»¿ Xe} [ Š W4(|Xgl - Maal) # HCE |X) (2.28)

;=l

Trang 39

MOT LOP BAT TOAN BIEN CHO HE PIUCNG TRINIL VI PITAN THUCING VỚI Dikt: KIEN BIFN DANG HAM

trong de 2G = GÌ, ,H= (hi) We (wi) ; thỏa mãn điều kiện (2.23)

Cac ham w,;:<a,b> xR, »R, là đo được đối với biến thứ nhất và không,

giảm đối với biến thứ hai, r, : R„ —> R là không giảm và

lim 5 Fs (tp) dt=0= tin 1 rip}, (i=1, 0) (2.29)

p> te +tx P

Lúc đỏ bài Loán (0.1),(0.8) có í{ nhất một nghiệm

Để chứng mình định lý 3-2 ta cần hai bổ đề sau đây :

Bổ để 2.1: Cho g*{(, yà và) = K(<a,b>), g(V, vị, Va)Sign(t - E)

là không giảm theo các biến vụ, vạ, Vị, Vịag, Vạ và mỗi nghiệm cúa

bài toán — ÿ =E(E,y, v,}, (i=L m) (2.30) i i vi)=(œ, (=l1, n) (2.31) ( trong, đó t, 6 Za,b®, c¡ 6 R, (i=1, m) ) có thể được mớ rộng trên toàn bộ k ; lì 3 ' zt doạn <a,b> Lúc đó với mỗi nghiệm x = (x()) £ AC,(<a,b>), của bài md tuần (2.32),(2.33) xí) sinn(t- L} % ø;*((, Xu xạ )8ign(t - ) (2.32) (2) với a St b, (i=1, ) x(t) SC, ,(ir1, ,m) (2.33) (=) ‘ n

tón tại một nghiệm (y;) s xác định trên đoạn <a,b> của bài Loán

(2.30), (2.31) thoa man bat đẳng thức :

x{hEy( ,vdiaSts b, (i=1, ,n) (2.34)

Bổ đề 2.1 được chứng minh tương tự như bố đề trong [3 |

Trang 40

MOT LOP DAITOAN QIEN CHO FE PHURING TRINH ¥LPHAN THUONG

vou miu KICN BIRN DANG HAM

Bổ đề 2,2 : Giả sử điều kiện (2.23) được thực hiện Khi đó tôn tại một

hằng số n >0 sao cho bắt đẳng thức sau đây được thực hiện

| x| Cn(sa,h*] = [rat [dd (2.35)

a

voi mdi hang s6 rp2 O,mp,e L{<a,b>,R,} va voi méi nghiệm xe AC ,(<a,b>)

của hắt phuong trinh vi phan ; | xí) - ø(x¡@) ]styn x(t) $ ` h(t) |x;/(t)| # ma(Ð (2.36) j=l néua,St*b, (i=1, ) [x (9 - ø(0x4t Tsign x4) 2 E y(t) py (Ol - @n(t) (2.37) nếu a €tS b„ (i=l, „n)

vi điều kiện biên :

min {[x,(B] 2a, % t¢ B}S yy (Px (OL by (he te GEL ) (2.38)

Cluíng mình bổ đẻ :

Ta chứng mình bố đề bang phan chứng Gia sử (2.35) không xấy ra