BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Lộc
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THANH PHO HO CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM at He HE È$ #
DUONG THI THANH BINH
KHAO SAT MOT SO PHUGNG TRINH
HYPERBOLIC PHI TUYEN
LUAN VAN THAC SY TOAN HOC
CHUYEN NGANH : TOAN GIẢI TÍCH
MA SO: 1.01.01
THANH PHO HO CHi MINH
04-1997
Trang 2Người Hướng Dẫn : Người Nhận Xét 1 : Người Nhận Xét 2 : Người Thực Hiện : PTS Nguyễn Thành Long Khoa Toản , Đại Học Đại Cương Thảnh Phố Hồ Chí Minh PGS-PTS Dương Minh Đức Khoa Toản,
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hố Chí Minh
PTS Dương Lương Sơn
Khoa Toản ,
Đại Học Sư Phạm Thảnh Phố Hế Chí Minh
Dương Thị Thanh Bình
Bỏ Môn Toán , Khoa Đại Cương
Bai Hoc Y DượcThảnh Phố Hồ Chỉ Minh
LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BAO VE TAI
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Lởi đấu tiên trong bản luận văn nảy, lôi xin kinh gởi đến Thầy PTS Nguyễn Thành Long Khoa Toán Đại Học Đại Cương Thành Phố Hồ Chí Minh người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt mọi khỏ khăn để hoản thành luận văn , long biết ơn chân thảnh vả sâu sắc
Xin chân thành cảm ơn Quý Thấy -
TSQG Trấn Văn Tấn, PGS TS Trần Hữu Bổng, PTS Dương Lương Sơn
PTS Nguyễn Bích Huy Khoa Toán Đại Học Sư Pham Thành Phổ Hồ Chí Mình,
PGS-PTS Dương Minh Đức Khoa Toán Đai Học Khoa Học Tư Nhiên TP Hồ Chí
Minh đã đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cũng như những lởi nhề bÌnh sâu sắc và bổ Ích.Chúng tơi rất cảm ơn và xin ghi nhận những ý kiến quý giá
nảy
Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quỷ Thấy, Cô thuộc Khoa Toản, Khoa Tâm Ly - Giáo Dục thuộc trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Khoa Triết
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phổ Hồ Chí Minh đã tân tình truyền dat kiến thức cũng như các hổ trợ khác về tính thần vả tư liệu cho tôi trong suối
thởi gian học tap va lam việc
Chắn thành cảm on Quy Thay, Cé trong Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán, Quỷ
Thầy , Cô thuộc Phỏng Nghiên Củu Khoa Học trường Đại Học Sư Phạm Thanh
Phổ Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên tôi, tạo mọi điếu kiện thuãn lợi về hảnh chính, thủ tục cho tôi trong suốt quả trình học tập
Xin cảm ơn các bạn củng khóa Cao Học 4 Khoa ToánTrưởng Đại Học Sư Pham Thanh Phé Hế Chí Minh, các bạn khoa toán Niên Chế 1, 2 Trưởng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hổ Chí Minh đã quan tâm giúp đỡ tôi trong suối
thởi gian học tập và làm luận văn
Cuối cùng xin gởi đến gia đình tỏi lởi cảm ơn thần thương, néng nan, vé tal cả các việc chuẩn bị bản thảo, in, ấn và tạo cho luân vẫn của tôi một hình thức tương đối hoản chỉnh
Mét lấn nữa tôi xin được gởi lời cảm ơn đến Quy Thấy Cô vả Bạn Hữu đã
giúp tôi hoản thảnh trọn vẹn luận văn này
Thành Phố Hồ Chí Minh tháng 05 1997
Trang 5Chương 1
MỤC Lục
Chương | Phần mở đấu Ỳ{Ặ
Chương II Các ký hiệu không gian hảm trang 5
Chương lll Khảo sát phương trình uy - ( u„ + vu } + Flu) =f, (r,t)
liên kết với điếu kiện biên hỗn hợp thuan nhat trang 16
Chương IV Khảo sảt phương trình uạ - a()(u,„ + *ụ ) + F(u) =f, (r,t)
r
liên kết với điểu kiện biên hỗn hợp không thuần nhất trang 34
Chương V_ Khảo sát phương trình uạ - ( u„ + ty ) + lu.) ‘U, = 0
f
0<ø<† liên kết với điểu kiện biên hỗn hợp thuần nhất trang 41 Chương VI - Phấn kết luận trang 47 Tài liệu tham khảo
Trang 6
CHUONG | CHUONG MO BAU
Trong luận văn nảy chúng tôi nghiên cứu sự tổn tại vả duy nhat Idi gidi cla
một số phương trình hyperbolic phi tuyến chứa toán tử Bessel thuộc dạng : (1.1) Uy ~ a(t)(u, + cụ })=f(r,†,u,u,), 0<r<1, Ö<l<T liên kết với các điều kiện biên lhuấn nhất hoặc không thuấn nhất thuộc dạng : oa =0 (1.2) u, (1,1) + h()u(1,) = oft) vơi điều kiện đấu u(r 0} = ua(r) (1.3) (r0) = u(r)
trong dé {, a, h, g la các hảm số cho trước Phương trình (1.1) là phương trình sóng phi tuyến hai chiếu sau day :
(1.4) w„ =Aw =Í(j(x? +yÊ,t,w,W,), x°+y°<1,0<t1<T
mô tả dao động phi tuyến của mảng trỏn đơn vị S - x” + yŸ < 1 trong đó w là độ địch chuyển so với vị trí cân bằng được giả thiết là một hàm
w(x,y,) = u((x? +yŸ , 1) chỉ tùy thuộc vảo r= ix? +y# vả thời gian 1
Cac diéu kiện (1.2) đặt trên biên của S ( r z 1 ) vả tại tâm của S§ mồ tả các ràng buộc đản hối với các ham h(t), g(t) mang mét ¥ nghia co hoc nao do
Diéu kiện (1.3) mô tả vị trí vả vận tốc của mảng trỏn 8 ở thời điểm ban đầu
t=0
Bải toán (1.1), (1.2), (1.3) vdi sé hang phi tuyén tổng quát f (r,!,u, u, ) xác định bởi hàm Í liên tục chưa được khảo sát một cách đẩy đủ
Mật khác số hạng -u tham gia trong phương trình (1.1) buộc chủng ta
không thể đặt bải toản trong khung cảnh của lớp không gian hảm Sobolev thông
thưởng được Để khử hệ số : ta phải dùng đến không gian ham Sobolev co trong
lượng thích hợp ( xem {9}, [10] ) Trong phương trinh (1.1) nếu bỏ đi số hạng “u,
la thu được phương trình sau đây với a(t) = 1:
(1.5) tụ - Ú„ = Í(r,{,U,U/), với 0<r<1,0<tf<T
Trang 7Chương 1
Phương trình thuộc dạng (1.5) đã được khảo sát bởi nhiếu tác giả với các
điểu kiện biến khác nhau, chang han:
f = - |uj” signu ,O<a<1 [8], { = f(t,u) 4]; f= f(t, u, uw) [5] ; f=-|u,|"sign(u,),0<a<1 [1] (61 (8) ; t= f(u, u; ) (11] [12] Trong luận văn nảy chúng tôi khảo sát bải toản (1 1), (1.2), (1.3) với số hạng phì tuyên thuộc dạng :
I=- F(u) + f;(r.1) ; f=—|u, |“sign(u), 0<a<1,
liên kết với môi số điểu kiện biên thuần nhất và không thuần nhất thuộc dạng
(1.2)
Công cụ sử dụng để nghiên cứu sự tổn tại vả duy nhất lởi giải là phương
pháp Galerktn, phương pháp compact yếu, phương pháp toán tử đơn điệu (chương
V) trong khóng gian Sobolev có trọng lượng thích hợp
Toản bộ luận văn được chia thành 6 chương và sau củng lả tải liệu tham khảo
~ Trong chương ! (Phần mở đầu) chúng tôi giới thiệu tổng quát về bài toan va điểm qua các kết quả trước đó, đồng thởi giới thiệu tỏm tắt các chương tiếp theo
+ Chương II là phần giới thiệu qua các ký hiệu, các không gian hàm Sobolev có
lrọng lượng vả các tính chất về phép nhúng compact giữa các không gian ham Một số các không gian L? (0,T; X), 14 p s œ vả không gian các phán bổ '(0,T; X) nhận giá trị trong không gian Banach X cũng được nêu Các khóng gian hảm nảy
lả các công cụ để giải quyết các bải toán tiến hóa
x Trong chương llI chủng tôi nghiên cứu sự tốn tại vả duy nhất lới giải của bai
loán (1 6), (1 7) như sau :
(1.6) Uy -(UÚ,, + *, ) + F(u) =f, (r, { ) : 0<r <1, 0<t <T
(1.7) u, (0, 1) = 0, u,{1, 1) + hu(†1, 1) = 0
Trang 8va với điểu kiện đấu (1.3), trong dé h là hằng sổ đương, F(u), f,{r,1) là các hảm cho trước thỏa môi số điểu kiện nảo đó
Mét trường hợp riêng của bải toán (1.6), (1.7) với F(u) = |u|””u , 1 <p < 3 hay
2 <p< 3 cũng được khảo sát
+ Trong chương IV là phần mở rộng kết quả của chương lHHÍ với bải toán
(1 1), (1 2), (1.3) với f=-F(u) + Í¡ (r, t) trong đỏ điểu kiện biên (1.2) là khỏng thuần nhất, a(1), h(t), g(t) lã các hảm cho trước thỏa một số điểu kiện nảo đó
~ Trong chương V chúng tôi nghiên cứu bải toán -
(1.8) Uy - (Uy + -ụ, )+ lu,| ` sign(u,)=0 ,0<r<1,0<t<T
liên kết với điểu kiện biến thuần nhất (1.7) vả điểu kiện đầu (1.3), a cho trước với
O<a<t
Các kết quả trong chương nảy đã tổng quát hóa tương đố: các kết quả
trong [1] [6] với việc bỏ đi sổ hạng cụ, trong (1.8)
Ngoài các kết quả về sự tồn tại vả duy nhất lới giải trong các chương III, IV, V chúng tồi thu được một kết quả khả đặc sắc trong chứng minh tính duy nhất của lớởi giải bằng việc thiết lắp bổ đế 3.1, chương III
Phấn cuối củng (Chương VI ) lả phẩn kết luận về các kết quả thu lượm
được trong luận văn
Trang 9Chương 2
CHƯƠNG II : MOT SO KY HIEU VA KHONG GIAN HAM
Trong chương nảy chúng tới trình bảy các không gian hảm Sobolev cỏ trọng lượng vả các tính chất về các phép nhúng giữa các không gian hảm cỏ liên quan Các ký hiệu sẽ dùng trong các chương sau cũng được giới thiệu ở chương nảy lI.1 Các không gian hàm! : Bat 2 = (0,1) Ta ký hiệu H la khéng gian Hilbert cac hàm thực đo được trên @ đối với tích vô hưởng
(2.1) <u, V>= [ru)vir)dr Uu,vweH
V lả không gian Hilbert các hàm thuộc H đối với tích vô hướng sau - ji, Wy een, eS
(2.2) Mộ /ES:c.⁄4020 dr ` dr
Ở đây % la đạo ham theo nghĩa phân bố Các chuẩn trong H, V sinh ra bởi tích võ hướng tương ứng được ký hiệu lấn lượt là { || || |( Khi đó ta có :
Bổ đề 2 1 - V được nhúng liên tục vả nằm trủ mật trong H
Chung mình
Hiển nhiên || {<| , v e V, do đó phép nhúng lả liên tục Mặt khác C7 c V mà C7 trủ mật trong H nên V trủ mái trong H
Trang 10Vậy Tụ, e V' ( V' là đối ngẫu của V }
va la cũ
<Ta V>vw =<hv> VveVW WheuH
Ta nghiệm lạt rằng toán tử tuyển tính T:H -> V' hi» Ty cỏ các tính chải sau : (1) T don anh (ii) ||T,,], s c]h] vheH (it) T(H) = { T, /heH } ted mat trong V' ( điểu nay cho thay T(H) ¢ V') That vay |
Tinh chat (i):
Ta có Tụ, = 0 tương đương với <T,,v> = <h,v>=0, Vve V diéu nay đẳn đến h=0, bởi vì V trủ mật trong H Vậy (0 đúng
Tinh chat (ii):
Ta có [T, |¿ = sup|< T,.v >| = supi<hv>| s sup [hilv ly =|h| ve ve vi! vb! bị! Vay Tally s|h| vVh«hH Tính chất (ii) - Tinh chất này hiển nhiên do Vphảnxa Hl Chủ thịch 2 1
Do kết quả trên ta vẫn sử dụng tích vô hướng <.,.> trong H để chỉ luôn cả cặp tích đối ngẫu giữa V vả V'
Trang 11Chương 2 Bổ đề 2 3 :
Taco:
(2.3) lu” tu?(1) 2 Jul’ YueV ở đây va
Tổn tại hằng số K > 0 sao cho :
(2.4) |u(f)|<K||u|], ,VueV
Tổn tại hằng số M > 0 sao cho :
(2.5) vr|u(r)|<M|u||, vVueV
Chu thich 2 2
Trong việc định nghĩa không gian hảm V cỏ trọng lượng r ta cỏ thể định
nghia V như lả đây đủ hóa của không gian :
S= {u eG!(01) Hull = fre + (r))dr < so}
d6i voi chudn || |) ( xem [2] ) Theo cach dinh nghĩa này ta chỉ cấn chứng minh
(2.3), (2 4), (2.5) dung, vu e C' ({0,1})
Chứng minh bö đề 2 3 :
(i) Cho tì e CỶ ({0,1]), ta có :
lu] = Í ru? (tr
Su dung tich phân từng phần ta được :
|u|” = iret enh - [ut)wtid
< 2u" (1) + [rare ode < 2u”(+|ul|ư]
Trang 121 1
s 2u#(\+ (al + IMP)
Vậy : luƒ” <u?(9 + [ư|[Ÿ., tức là (2.3) đúng (ii) Ta cd vdiu e CÌ ({0,1]) rằng - u(t) = [<utenar | ¥te [Or] Do do uÊ(1) = [ Ê (®u#)}dr = ( 2ruÊ(ydr + ['2r?uưdr < 2M + 2|t|llu] < Sif’ + fu’) (K = 3) Vay
u* (1) s S(ul’ +fuf*) tue ta (2.4) dung
(01) Với u é €” (I0,1]) ta luôn luôn có -
- stu?(s) =u#() = [“ tru") =uÊ(9)r = 2ƒ tư)ư(0dr + [ lu) =u°()r
Do do
su*(s) = su?(1) -2 ƒ ru(r)u'(t)dr - [ (u?(r) - u°(1)}dr
Ta suy ra :
Su (s} < u”(1) + 2[ ru] ưt}@r - ƒ {u (1) - uŸ(r)klr
SuŸ (S) < uỶ(1) + 2[ jute) u'(njde + {u?(9dr < 2u?(1) +2{u |{uf|< 2«*|u[j +|u|Ÿ
(do 2 4)
Vậy (2 5} đúng với việc chọn M = V2K? +1
Trang 13Chương 2
Chủ thích 2 3
!
Do kết quả của bổ để 2.3 ta có ful, vả chuẩn định bởi (|V{|Ÿ + v?(1))? là hai
chuẩn tương đương trên V vì : 1 (26) ly | lÍ+v?0<t1+K?JJv| Bổ để 2 4 Phép nhúng V c+ H là eompact Chung minh Xét dãy tập mở 2, = (0, ——) va dat m+1 [(m) = sup| jul MỊO~) ‘ue C'({0,1]),|Juf, = 1, suppu c 0„Ì l
trong do uf = Ít" r|u(r)[Ýdr
Theo một kết quả của Edmuns vả Evans [7] để chứng minh phép nhúng
V c,H là compact ta chỉ cần chứng minh lim F(m) = 0
Coi u e CỶ ((0,1]) sao cho {u||, = 1, supp uc @„, ta có :
1
u(t) = -[ư(sks VIieQ
Trang 14Đổi thứ tự biến lấy tích phân t vả s trong vế phải của {2 7) ta được : l (elias = fn lute) ds nat ! < [skw(e|/ds['(ˆ - 0a si" s|u'(s)\'ds | “di gif 2 Tye 1 Wh ica > > |, Mis) ds s a ly = TT
Ta suy ra rằng I'(m} s + do do jim F(m) <0 Bổ để 2 4 được chứng minh xong Trong việc giải các bải toản tiến hóa, ngưởi ta thưởng sử dụng loại không
gian hảm L”(0,T,X) như sau :
Giả sử X lả không gian Banach thực đối với chuẩn ||, ta kỷ hiệu L"(0,T:X),
1<p < œ, là tẬp các lớp tương đương chứa hảm Í - (0,T) -> X đo được sao cho : ¥ P [, It) [it < 400 Ta trang bi L°(0,T;X) mat chuẩn : T p p I!l-s+» =[[t9+)
Nếu p = + ta trang bị L”(0,T;X) bởi chuẩn :
|I keerao = sup ess| F(t) ll
Khi đó ta có các kết quả sau Bổ để 2 5 - ( Xem J.L Lions [8] )
LP(0.T;X), 14p <œ lả không gian Banach
Trang 15Chương 2 Bở để 2 6 -
Gọi X' là đối ngẫu của X khi đó LP (0,T;X') với ` 5 =1,(1<p<+0) la khéng gian déi ngau cla L’(0,T;X) Hon n@a néu X phan xa thì L?(0,T;X) cũng phan xa Bở đề 2 7 (L'(0,T;X))' = L”(0,T:X') Hơn nữa các không gian L'(0,T;X) ; L”(0,T;X) không phản xa Chủ Ý : Nếu X = LP (Q) thì L?(0,T;X) = L?(Q x (0, T)) II.2 Phản bố có giá trị véc tơ : Định nghĩa 2 1
Cho X là không gian Banach, một phản bổ có giá trị trong X lả một ảnh xạ
tuyển tính liên tục từ 2'( (0,T) ) vào X, Tap các phân bố có giá trị trong X được ký
hiệu lã #' (0,T, X) = ⁄“('((0.T) ), X)
Chuy Ta ký hiệu gọn Š2' (0,T) thay cho “?( (0,T) ) hay *2'({ ] 0,T{ ) hay CƑ ((0,T))
Định nghĩa 2 2
Cho † e '# (0,T; X) ; ta định nghĩa đạo ham ` theo định nghĩa phản bố
Trang 16Taco: 1 28) |T.(|,<(Í|w09|‡4t}{[{w0|f4tƒ <KI|el,u„ ves2(6T) ( Do bất đẳng thức HOLDER với Se =1) Giả sử (,} c '2(0,T) : g, —> 0 trong (0,T) nhé (2.8) ta suy ra T, (ø, ) —> Ô lrong X Do đỏ T, e ! (0,T; X) (ii) Anh xạ v+T, là một đơn ánh tuyến tính liên tục từ L?(0,T,X) —> 9” (0,T; X) Do vậy ta có thể đổng nhất T, s v vả có bổ để sau - Bổ đề 2 8 L”(0.T;X) c 2“ (0,T, X) với phép nhúng liên tục
lI.3 Đạo hảm trong L?(0,T;X) :
Do bổ đế 2 8 với phần tử f « L?(0,T;X) ta có thể coi f và do đó ` như là phần tử của “' (0,T, X) Ta cỏ kết quả sau Bổ đế IĐ\, 2 9 -—— Nếu ! « L'(0,T;X) vả f' e L'(0,T;X) thì f là liên tục hầu hết tử [0,T] -» X Chứng minh bổ đề 2 9: Được chia làm nhiều bước: Bước † :
Đặt hit) = [f's)ds h: (0,T)-› X htổn tạivif' eL!(0,T:X)
Trước hết ta chứng minh rằng m = “ theo nghĩa phân bố : Vpe 7'(0,T) ta có :
mm tạ) = ~[ h(0#()dt = [ ([f(s)ds)ø'đ)dt = ~[ f"(s)ds [i (Nat
Trang 17(2.9)
(2.10)
Chuong 2
Ẫ tử) « [te p(s)ds ( do đổi thứ tự lấy tích phân )
Vây : [h (t)(t)dt = [†'()ei0at viec 2(0T)
lức là h' z f trong -' (0,T; X) Bước 2 :
Ta suy ra rằng h = Í + const theo nghĩa phan bố Giả sử v=h -f Ta có v' = 0 theo nghĩa phân bố
Ta sẽ chứng minh v z const
That vay
v' = 0 tương duang vi [vit)g'(t}dt =0 ¥ pe (0,7)
Coi pe !#(0,T), ta có thể viết p dudi dang: p = Apo +y'
trong đó e (0,T), wo thỏa [ests)ds =Í1 vais [rita That vay »
vi [w- Apy)dt =O nén nguyén ham cua (¢ - Apo) triệt tiểu với 1 = 0 sẽ
thuộc +⁄ (0,T) Chọn v(t) « [tws) - xas))ds
Từ (2 9 ta thay @' bởi yw’ nhu sau
Trang 18Gc 3 Ta sử dụng tính chất sau -
Nếu w e L'(0,T;X) và [w(t)g()dt =0, V@e '2(0,T)
Khi đỏ w(t) z 0 với hấu hết ! e (0,T), điểu này có được là do w -> T„ tử
L'(0,T,X) -» 2 (0,T; X) là đơn ánh ( tính chất (ii) ở trên ) Tử các bước †1, 2, 3 ta suy ra rằng : h=f+econst theo nghĩa phản bố Tương tự ta cỏ bổ để sau : Bổ đế 2 10 Nếu † e L?(0,T,XỊ và f' « LP(0,T;X) thì † bằng hấu hết một hảm liên tục tử (0,T) -› X
lI.4 Bổ đế vế tịnh compact của J.L.Lions ([8]) :
Cho 3 không gian Banach Bụ, B, B, với Bạ c¿B c,Bụ, Bọ, B, phản xa, Buoy 8B
vol phep nhung compact Ta định nghĩa :
w=} veL'"*(0.T.B,)/v'eL"'(0,T,B,) trong đó T <œ, 1<p,<œ,1!s0,1
Trang bị trên W một chuẩn như sau : ivi “|vÍ„ (9.1/84) +Vote, Khi đỏ W là không gian Banach Hiển nhiên W cÐ L?*(0,T;B)
Ta có kết quả sau : Định Lý 21 (xem [B] trang 57)
Phép nhúng W c /*(0,T;B) là compaect
Để kết thúc chương này chúng ta nhắc lại bổ để sau đây cũng thưởng dung dé qua giới hạn của số hạng phi tuyến trong một số phương trình
Trang 19Chương 2
Bồ để 2 11 ( Xem [8] trang 12 )
¿' lä mở , bị chân của R”, q, g„ EL" (0), 1<q<o , théda
A
() lga„[.„ c Ym ( c là hằng số độc lập đối với m } (ii) Om —> g hấu hết trong (
Khi do gu —> g trong L* (€C) yếu
Trang 20CHƯƠNG II KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH uy - ( u„ + u ) + Flu) = f,(r.t)
LIEN KET VOI DIEU KIEN BIEN HON HOP
Như đã nói ở chương mở đầu, bải toán (1.1), (1.2), (1.3) với số hạng phi tuyển tổng quat f(r,t,u,u,) xac dinh bdi ham liên tục theo 4 biến chưa được khảo sát một cách đấy đủ Trong chương này cũng như các chương sau đó, chúng ta chỉ khảo sat mét sé dang đặc biệt của số hạng phi tuyến f(r,t,u,u,) liên kết với điểu
kiện biên hỗn hợp thuần nhất hoặc không thuần nhất, Cụ thể hơn trong chương
nảy ta xét bải toán giá trị biên vả giả trị ban đấu như sau -
(3.1) Un” ( u„ + uy) + F(u) = filet), reo e O<t<T
(3.2) u, (0,1) = u, (1,t) + h.u (1,1) = 0 (3.3) u(r,Ð} =us(r) ; uị(r,0) =uy (r)
Ở đây h là hằng số dương, F, f;, up, uy là các hàm số cho trước thỏa mãn
một số điều kiện mả ta sẽ đặt sau đó Các ký hiệu về không gian hảm V, F| và các
không gian hảm khác liên quan được sử dụng trong chương nảy đã được trình bảy trong chương lÌ, khơng cẩn thiết phải nhắc lại ở day
III.1 Sư tồn tại vả duy nhất của lời giải yếu :
Loi giải yếu của bải toán (3 1), (3.2), (3.3) được thảnh lập tử bải toán biến
phan sau day |
Tim u(t) thỏa phương trinh biến phán -
(3.4) <u(1),V> +<u,,v, >+hu(11}v(f+<F(u},v> = <Í,v>,
V v eV, với hấu hết t e(0,T), va các điều kiện đấu :
(3.5) u(Ô) = uy, u (0) = u;
Ta cũng sử dụng u(t), u'(t), u"(t), u,(t) để chỉ u{r,t), u(r, the (r, t), Uy „ấu “thi t),
= My: lấn lượt
Trang 21Chương 3 Ta thành lập các giả thiết sau : (H) h>0, (Ho) ue V,ur,eH, (Hạ) fy eL?(0,T;H)
(H) F:R -›R liên tục thỏa các điểu kiên -
Tổn tại bổn hằng số dương C¡, C;, Cạ, và p, 1 < p < 3 sao cho (H'4) i, F(s)ds >C,|u” VueR,
(H") |F(u)|<C;|l°”“+C;, vu<R
Khi đó ta có định lý sau : Định lý 3.1:
Giả sử (H¡) — (H¿) là đúng Khi đó bài toản (3 1), (3.2), (3.3) tốn tại ít nhật một lời giải yếu u thỏa diều kiện :
(3.6) u eL” (0,T;V) ,u'eL”(0,T;H), уru e L°(0,T; LP(Q))
Chứng mình :
Chứng minh định ly 3.1 được chia làm nhiều bước
Bước 1: Xấp xÍ Galerkin (được giới thiệu trong J L.Lions [B])
Trang 22Tử giả thiết của định lý, ta suy ra rằng hệ (3 8), (3 9) tốn tại lởi giải u„(1} cỏ
dang (3.7) xác định trên {0,T„}] Dựa vào đánh giá tiên nghiêm của u„ (1) sau đây
ta sẽ chứng minh rằng T„ = T với mọi m
Bước 2 : Đảnh giả tiên nghiêm:
Nhãn phương trình (3.8) cho C'„(t) rồi lấy tổng theo j = 1,2, ,m ta được
(3.11) <U”m(t), „(f} > + <u„(t}, u'„{1) > + h.uz(1,1) ử „{1.1)
+ < Flun(t)) , u(t) > = < f(t), u(t) > Đặt (3.12) S„(9 = |ư„ (ĐỊ” +|u,„ (ĐỊ” + huỷ (11) +2[ rF(u„ (r.)eh Trong đó : (3.13) F(u) = Í x F(s)ds Khi đó viết lại (3 11) dưới dạng: (3.14) S'm(t) = 2 <f:(), ư„(t) > Tích phan (3.14) theo t, sau đó sử dụng bất đẳng thie Cauchy - Schwartz ta duge: (3.15) S„(1) = S„(0) + 2[< f(t) , Up (t) > dr <S,,(0) + [ Jf(9|dr + [ fur, (xf? de Trude hết ta đánh giá số hạng S„(0) Ta có :
(3.16) S„.(0) = IMb +1] Won |’ +hué (1) +f rF(u,„(r))dr
Tử (3.10) ta suy ra ba số hạng đầu tiên của S„(0) bị chản bởi một hằng số K, độc
lắp với m, tức là :
(3.17) Iu„-{P +|[0a„ [Ÿ +huậ„(f)<K, , với mọi m
Mặt khác số hạng thứ tư của S„(0) được đánh giá nhờ vào giả thiết ( H”¿) và với
việc sử dụng bất đẳng thức (2.5), ta thu được
Trang 23Chương 3 (3.18) [Fog (se s “2 [ r|uạm(r) |“ dr + Ca [ tÌuạ„ (r) |dr b5 ay 2C; \AP—ụ, i = Mi Uoml, ỊP „C3 sK, , với mọi m trong đó ta đã sử dụng (3.10) , K; lả hằng số độc lập với m Từ (3.16), (3 17), (3.18) ta có : (3.19) S„(0) <K\ + Kạ=Ks , với mọi m Ta suy ra tử (3.15), (3.19) rằng : (3.20) Su) <Mr+f fu, (fdr <Mi + Í S„tr)ết Với : t (3.21) My = Kạ + [ |f,(x) |” dr
Sử dụng bể đề Gronwnll, ta thu được tử (3.20) rằng :
(3.22) Sift) <Mye'<Mre’ = M, với mọit e{0,T„]
Ta suy ra được là T„ạ=T, với mọi m
Ta chú ý tử giả thiết (H'a ) kết hợp với (3.22) rằng :
(3.23) |ư„ (t) |” +] Use (t) |’ thun (10) + 2C, [ r|u„(r,t) |“dr < S„() <M;
với mọi te [0,T]
Tử (3.23) kết hợp với chủ thích (2.3) về sự tương đương của hai chuẩn {v||, vả
(jv, | +v?())? trong V ta có các dãy sau đây bị chân trong các không gian hàm
tương ứng bởi các hằng số độc lập với m
Trang 24(3.25) {u'„} bị chân trong L7” (0,T:H)
(3.26) (Ñr u„) bị chân trong L” (0.T:L"(@))
Giả thiết (H"¿ ) kết hợp với (2.5) ta suy ra rằng : 2C; ¡ aap Ym x3 (3.27) [ r|F(u„tr,1))|Ÿ dr < CŸ + Tử (3,24), (3,27) ta suy ra rằng : (3.28) F(u„) bị chân trong L” (0,T;H)
Bước 3: Qua giới hạn :
Tử (3.24), (3.25), (3.26), (3.27) ta suy ra rằng tốn tại một dãy con của dãy {u„} ma ta van goi la (u„} sao cho :
(3.29) U„ạ =>u trong L” (0,T;V) yếu *, (3.30) U'„ -*u' trong L”(0,T;H) yếu *,
(3.31) Vr u,,— Rru trong L” (0,T;LP(O)) yếu *,
(3.32) F(u„) ->x trong L”(0,T;H) yếu +,
Với mỗi q cổ định, 1 < q < œ ta sử dụng bổ đế về tính compact của JL Lions ( Định Lý 2.1 chương II } với pạ = pị = q; Bạ=V,B=B,=H, ta lẩy ra được tử {u„}) một dãy con vẫn gọi lả {um} sao cho
(3.33) U„ => U trong L" (0,T;H) mạnh
Sử dụng định lý Riesz - Ficher, tử (3.33) ta có thể lấy ra mỏt dãy con của {u„} vẫn goi lả (u„} sao cho :
(3.34) u„(r,1) -»u(rl) , — với hấu hết (r,t} e Qr = Ox (0,T) Do F liên lục ta cỏ :
(3.35) F(u„(r,t)) + F(u(rt)) với hầu hết (r,t) e O;
Trang 25Chương 3
Tử (3.28), (3 35) ta áp dụng bổ để 2 11 chương II với N =2 ,('=Q¡,q=2
g= vrF(u) gm = vr F(u„) ta được : (3.36) vr Flu,,) > vr F(u) trong L?(Q;) yếu
Ta cũng chú ý rằng tử (3.32) din dén Jr F(u,,) hditu vé vr x trong L7(Q;) yếu
Vậy do (3 36) ta được :
(3.37) x=fF(u)
Do đỏ
(3.38) F(u„) + F(u} trong L7 (0,T;H) yếu *
Tử (3.8), (3 29), (3.30), (3.31), (3.38) ta suy ra được u thỏa (3 6) và phương trình
biến phân:
(3.39) An <ự,Vw>+<U,,v, >+hu(11) v(f}+<F(u), v> = <f,,v>,
V v eV, với hấu hết te(0,T), Để chứng minh sự tồn tại lởi giải yếu của hài toán (3 1), (3 2) (3 3) ta còn nghiệm lại các điếu kiện đầu (3.5) được thỏa
§ Điều kiện u(0) = uy
Nhở vào công thức :
1
U„{f†} = ux(0) + [un (dt ta nghiệm lại dé dang ring -
(3.40) [- U„í(t}, v > dt « T<u„ (0), v> tÍ< ư„(f}, (T -t)v >di, với mọi veV
Trang 26nghĩa là u(0) = uạ m8 Điều kiên u'(0) = uy
Ta có hảmt E—* <U „(t,w,> thuộc về L” (0,T,R)
vả do đỏ thuộc về L?(0,T;R) = L? (0,T) Hơn nữa tử (3 8)
Ì — ‘ <u’, (t),w,> = <u’, (t)w,> trong Y (0,7) thudc vé L? (0.7),
vay ham t}—» = <u'(t), w, > thuédc H'(0,T) va do dé thudc C"([0,T]) Tương tự hảm t—„ < Uu'(U, w,> cũng vậy
Ta có :
(3.43) | <u’, (0)—u'(0),w, >| < |<u’,,(0)-u', (t),w, >] +] <u’, (t) - ư(0),w, >|
+ |<u'(t) -(0),w, >|
Số hang thử hai của vế phải của (3 43) tiến vế 0 đếu trong C”({0,T]) do phép nhúng H(0,T) vào CP((0,T]) là compact Số hạng thứ nhất và thử ba của về phải
của (3.43) tiến về 0 khi ! —› 0, do hai hàm! —» < ư„(,w,¿>,t1—* <ư(U, w,» là liên tục Vậy tử (3.43) ta có : (3.44) u'„(0) -»u(0} trongH yếu Cuối củng ta tử (3.10), (3.14) rằng u'(0) = u; Vậy định lý 3 1 được chứng mình hoản lá gy Định Lý 32:
Với cùng các giả thiết của định lý 3.1 nếu F thỏa thêm điều kiện
(Hạ F :V-+H xác định bởi Flv) =Fov , vdi mọi v e V thỏa điều kiện
“Lipschitz địa phương" theo nghĩa sau đây :
Vỏi mọi tap Be V, bị chân trong V, tồn tại hằng số kạ > 0 ( phụ thuộc B } sao cho
|Fiv,) -F(v,)|/<skaly, ~Wg |, , vdi mọi vị, vạ e B
khi đó lời giải yếu thu được trong định lý 3 1 là duy nhất
Chúng minh :
Để chứng minh định lý 3.2 ta sử dụng bổ để sau đây
Trang 280 ; O<t<t,4+— hay {ow ST m m m m m m m (3.48) Om(t) = 4 1 2 1 sent Sg) ie Jaze = cketee=” am me ? m ? m
Gi) { p, } là dãy hảm thỏa :
nm « SR) , supp ps c[-c.r] „ với mọi k,
pe(-t) = px (t) , vdimoite R - [ Tm(t)dt=1 với mọik, (HI) * là tích chập theo t : (349 — (e*ø)()=[ “eft-+)p(idtr Nhân phương trình thứ nhất của (3 45) với rv(r,t) sau đó lấy tích phần theo r,t trén Q; ta được (3.50) Xwa + V inte + Zink =0 Trong đó :
Xun = [dt[ ru, var
(3.51) Yoo = [at [ tu, ), vdr
xu, “” fat [river
Ta lan lugt ching minh rang -
(3.52) Jim X„=-[0„()0„(9u,(0j dt
(3.53) Litt View =~ [8„()0, (t)[hu?(1.1) +|u,(t) [Ý ]dt
Trang 29Chương 3 (3.54) lim Zim “ -[ 04 < tu, > dt Chứng minh (3.52) : Ta cỏ : F (3.55) Kink = [< GB (thu, @,.u,)*p, *p, > dl Ta chủ ý rằng
(3.56) (Om Un) * Pe = [(8m Us)’ - Ôm 0 ] * px = [(Õm 0ì) * px h - (Om Ur) * Pr
Ta viết lại (3 55) như sau ; 1 (3.57) Xm = [< (8,,Un) * Py (OnU,) *p, > dị tid T 3 2a1049m) *p, [ dt ~ | < (0m 0,)* py.(Đ/yU,) * P, > dl T =-[ <(#„ U,}*p, > đi Cho k —› +© ta cỏ : [3] lim Xu = -[8+ ()0„(1){u,(0) {Ÿ di Vậy (3.52) được chứng minh Chứng minh (3.53) : Taco tc a (3.58) Y„„ = —[ dtÍ tru,),[6~ú,) * px * 0 ]ð„(t)dr T !
we (at tt6„ro, }*Ø¿ ],((Ø„u,) * ø„ ]dr
Tích phân từng phần đẳng thức thứ hai của (3.58) và sử dụng điều kiên biên cho
u{(r,†} tại r = 0, r z †1 ta được :
Trang 30† 1 ft (3.59) Vink = PE Ont) * Py (pn Uy (A) * pa ddt + [dtỆ rH0,~0,) *py {(0„0,) * øy kh = YM 4 yi Trong đó - Yj} =h[ [(6,;0(10) *p,.(0/,0,(1)) *p, ]et 3.60 G5 lv = [B6 )sp.020)5p,e Ta chú ý rằng (3.61) (đ,„u, (1L) *p„ = [0 „0(1,9)* p„], = („ ultt)) *p, Ta viết lại Y/!) như sau (3.62) Y4 = „Í sl026(10*p,Ÿdt~h[(626(19)+p, (0,,u(V0))+pvdt = -hÍ (0„0(1))*p, (0% u11) «pydi Cho k —> +© từ (3.62) ta được :
(3.63) lim Yea = h{0,,(1)0",, (thu? (4,1) dt
Trong ¥“) sé hang sau day được viết lại như sau :
(3.64) [(B„u, ) s Pr 1, Ss [(6,,U), , Ps ne (0",,, u) Ps }, [(0,„u, ) Ð Po l-(0» U, ) Py
Do (3.64) tich phan ¥! viét lai nhu sau :
(3.65) Yue = oka K,,4,)* Pel dt [ < (6/x0,) *p, ,(0,0,)*p, > dị
= -Í< (6,,uU,)*p, (0',,U,)*p, >dt
Cho k — +œ từ (3 65) ta có được :
Trang 31Chương 3 (3.66) JImY/2=-[<0„0,,0„u, >ơt= =[ 6„()Ø„(0,| dt Từ (3.59), (3.63) (3 66) ta có (3.53) đúng Chung minh (3.54) - Taco: T = (3.67) Zim -[ <(9„)*p,,(8„u,}*p, > di Do do cho k -› +œ ta đưƯỢC : ‘ I >
lim Zan = Í 02 (1) <f,u, > di
Vậy (3.54) được chứng minh
Bay gid cho k -> +© trong (3.50) sử dụng các kết quả (3.52), (3.53), (3.54) ta
được
Trang 32Trong đỏ : an 1 I(t) = [" 7 m? (tty ~ —JH(t)dt (3.71) bam (H) = fre m? (tty + —JH(t}dt hs 1 Ta sẽ chứng minh rang - 1 (3.72) sim TunlH) = SHtt) (3.73) xim |„„ (H) = -zHt¿) Chứng minh (3.72) Chủ ý rằần be" m?(t~1,~- ý rằng | ch ạt < Ìđt= 2 Do đó (3.74) 1L) -1,„(H)- Hit) -Ƒ&- HE +1) ~H(()}tr mã Hiển nhiên ta cỏ : (3.75) lim W„(f)=0 , vieC?(0,T)
Trang 33Chương 3
Do đỏ (3.72) đúng
Chứng minh tương tự ta cũng cỏ (3.73) đúng Vậy bổ đế (3 2) được chứng minh
Bảy giở ta tiếp tục chứng minh bổ để (3 1)
Sử dụng bổ để (3 2), cho m * + œ trong (3.68) ta thu được
@78) — iu Ê+2|M,t2J°+2u802)—[”<Ta >ới
h
= Sct + otto? ru (ity) Voi hấu hết {i,t e (0,T) lạ«<t
Cho t;ạ = 1 e (0,T), từ (3.78) ta thu được (3.48) bằng cách qua giới hạn khi †;-> 0, va sử dụng tính nửa liên tục dưới yếu của hai phiếm hảm:
v —+ |M và ve—+ [| thv?(1 Trưởng hợp uạ=u¿ạ=0 -
Ta kéo dai ham u(t), f(1) bằng cách cho bằng 0 với ! <0 Khi đó cả hai về của (3 78) đúng với hầu hết !,, tạ e (-=, T)
Với !; < 0, cả hai về của (3.78) đếu bằng 0 Lấy tạ = ! e (0,T) và t; <0, tử (3.75) ta có :
@79) — 2Ì000 + 2,07+269009-ƒ<Tu, »et=0
Cho t, + 0 trong (3.79) ta thụ được :
(3.80) Na 2Ì (yy? += u(t) » [.<Tuy, > dt
Bé dé (3.1) duge ching minh hoan tat
Chứng minh đỉnh lý 3.2 :
Giả sử uạ, u; là hai lời giải yếu của bài toán (3 1), (32), (3 3) thỏa mãn điều kiên (3.6) Khi đó w = u; - up là Idi giải yếu của bải toán :
Trang 34Wụ — (AM), =-—{F(u,)-Flu,)} O<r<1 , O<t<T w,(0,t}=0 w,(1,) + hw(1) =0, wir,0) = w,(r,0) =0 (3.81) va théa diéu kién weL”(0T:V) , (3.82) w, eL”(0,T;H) Ta áp dụng bổ để 3,1 với uạ= u; =0, f=[ F(u;) - F(u;)]_ Khi đó ta có đẳng thức 1 2 1 2 hy { (3.83) 2lw(|' +2|w,t)[ +2w°(k0= -[<F(u,)~Fu;).w, > di Dat : a(1) = |w,(U{” +|w,(0 +hw?(10
Khi đỏ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, rồi kết hợp với giả thiết (H‹) với B=({veV: My < R), trong đó R = max|Ml -iory) ta thu được :
Trang 35Chương 3
Trước hết ta nghiệm lại rằng, với 1 < p < 3, F thỏa (H¿), và nếu 2 < p < 3
thl F thỏa (H¿), (H;} Điểu nảy có được lả do bổ đế sau đây Bổ đế 3 3 (i) 1<p<3: |ll"”u e H, với mọi u e V (ii) 2<p<3:vR>0,3knq>0Q0: lu? *u -M?v <knju-v|, , VuveV ;|lu, <R.|M, <R Chứng mính bổ để 3.3 : ( Với u e V ta cỏ : (3.85) tF(uj” = ru?" = r2#|Wea|ˆ?”” < rr-®(M|M|,)29^" ( do (2.5) bổ để 2 3 ) Vay : 2in ~!) [Fw dt<————— NI Oo đó () được chứngmnnh = (ñ) Vơi 2<p < 3 Với p >2, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức sau - (3.86) Vp>0,3C,>0 phx -M?”y <C€,|x-v| ,Yx,y=[-p.p]
Bay gid với 2<p<3 ,R>0
Trang 36Áp dụng bẩt đẳng thức (3 86) với p = MR ta cỏ :
| veut vrue) -|veviel” * vewin < C,|vru(r) - vrvir)] < C Mju - vị,
Tu do:
(3.88) tt” ut) -lv(t\"” wir} <r”"CˆM?|u- vf, Lấy tích phân theo r, 0 <r <1, ta được :
p-? p-? C.M
(3.89) lu u~|w {“=ch-1
Vay (ii) được chứng minh =
Dựa vào các định lý 3.1, 3.2 và bổ để 3 3 ta có các kết quả sau Hệ quả 3.1 : (1 <p <3)
Giả sử (H;), (Hạ), (Ha) là đúng Nếu 1 < p < 3 thì bải toán :
Uụ = (U„ + -u)*kJ'?u= f,(r,1) reQ ,O<t<T,
(3.90) u,(0,1) =u, (1, +hu(1,t) = 0 u(r0)} =uạ() ; u,{r0) =u,(r) Có ÍI nhất một lởi giải yếu u thỏa :
(3.91) ueL*(0,T;V) ,u eL*(0.T;H), ĐrueL”(0,T;U(©)) Hệ quả 32 (2<p <3)
Giả sử (H¡), (Hạ), (Hạ) là đúng Nếu 2 < p < 3 thì bai toán (3.90) cỏ duy nhất một lởi giải yếu u thỏa (3.91)
Trang 37Chương 3
Chú thích 3.1
Bai toan (3.90) với phương trình sau đây không có số hạng "ụ
uạ =u„ +M””u =f((t,), p>1,
cũng đã được nghiên cứu với nhiều dạng điếu kiên biên khác nhau Chẳng hạn
Trang 38CHƯƠNG IV.KHẢO SÁT PHƯƠNG TRINH uy - a(t)(un + u,) + F(u) = bíc,U
LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP KHÔNG THUẦN NHẬT
Trong chương nảy, chúng tôi khảo sát bai toán (1 1), (13) với điểu kiện không thuần nhất (1.2) Kết quả về sự tổn tại lời giải yếu trong chương nảy đã tổng quát hóa các kết quả trong chương llI với các giả thiết trên cac ham a(t), h(t),
g(t) chứa trưởng hợp a(t) z 1, h(t) =h > 0, g() = 0 như là môi trưởng hợp riêng
Vẫn trong chương nảy một số điểu kiện về tính duy nhất lởi giải cũng được khảo
sal
Ta xét bai toán như sau
(4.1) Un ~ a(t)(u, tàu) +F(u) =f(r,U)—, re@O ,0<t<T,
(4.2) \ (0,1) =0
u,(1,1) + hit) utt.t) = git),
(4.3) u(r,0) = Uol f ) ° Uy (r,0) = U;Í 1)
cac ham F , f, , Uo, Uy cho trước cỏ giả thiết giống như các giả thiết trong chương It] Cac ham a(t), h(t), g(t) cho trude théa mãn các điều kiện mả ta sẽ đãi sau IV.1 Sự tồn tại của lời giải yếu :
Trang 39Chương 4
Ta phái biểu định lý tốn tại sau :
Định lý 4.1_
Giả sử (H;), (Hạ), (Hạ), (Ha), (H;) !à đúng Khí đó, bài toán (4 1) (4 2),
(4.3) tốn tại ít nhất một lời giải yếu u thỏa điều kiện :
(4.4) uU eL”(0,T;V) u' eL”(0,T;H)
MÍt u e L*(0,T;LP(Q))
Chúng minh -
Trước hết lới giải yếu u(t) của bải toán toán (4.1), (4 2), (4.3) được thành lập tử bải toán biến phần sau đáy :
Tìm u thỏa (4.4) và phương trình biến phán :
(4.5) ` <ư(t), v > +a(t) <u,, v, > +a(t) hít} u(1,).v(f)+ < F{u), v> = <Í,, v > +a(1).g() ví
VWveVM, vỏi hấu hết ! « (0.T) ,
(4.6) u(0)=ua , 0(0) =U;
> Xấp xỉ Galerkin -
Trước hết ta tìm lởi giải xấp xÏ u„(t) của bải toán (4 5), (4.6) theo dang
(4.7) Um(t) = Š*C„(0w,
ở đây {w,} là một cơ sở đếm được của V
Cac ham C„(), 1< | << m thỏa mãn hệ phương trình vi phân phi tuyển sau đây
(4.8) <Ư„,W, > + a() < u„„(t}, w„ > + a() h().u„(1.1) w,(1)+ < F{u„),W, >
= <Í,,w,>+a(t)g()w,d ,1<j<m
(4.9) ua(O}Ì =Uau, ; U'm (0) = Uim
Trang 40trong đó :
(4.10) Ua„, -> Ưo trong V mạnh ,
(4.11) Uim -* uU¿ trong H mạnh
Từ giả thiết của định lý 4.1, ta suy ra rằng hê (4.8), (4.9) tốn tại lời giải u„(t) có dạng (4 7) xác định trên 0< 1 < T„ Nhờ đánh giá tiên nghiệm ở phần sau đây ta
sẽ suy ra rằng T„ = T với mọi m
> Đánh giá tiên nghiệm -
‘
Trong (4.8) ta nhân bởi C'~(t) rối lấy tổng theo j ta được :
1dđ,., ? 1d 2 id ? Mô
(4.12) 2ait»(){ + At) |0» (| +afl) hl) mt) + <F(u„), tạ, >
= <Í,,ư„> + a().g(} ư,„ (10)
Dat ;
(4.13) S(t) = fu’, (t) |” + a(9 ||u„„ (0| + a() h() uệ (10+2 [ rF(u,„(t,t))dr
(4.14) F(u) = [, F(s)ds
Khi đó (4.12) được viết lại như sau :
(4.15) S1 (0 = a'()|u„„ (9) |’ +(ah)‘(t).u2 (41) +2<f, ,u',, (1) >
+25 fall) ft) a(t) ]- 2109) (g(t)
Ta dat:
(4.16) Salt) = [ưạ (UP +aa[u„ (9 |” + aghau§ (119) + 2C, [ rJu„ (0| dr
Khi đó tử các giả thiết (H';), (Hạ) ta suy ra :
(4.17) s„() <S„( ,Vte[0,T„]