BỘ CÔNG THƯƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƯỜNG Tên đề tài Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng c.
BỘ CÔNG THƯƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƯỜNG Tên đề tài: Khảo sát số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên Mã số đề tài: 21/1CB03 Chủ nhiệm đề tài: TS Võ Thị Thanh Hà Đơn vị thực hiện: Khoa Khoa học Tp Hồ Chí Minh, … LỜI CÁM ƠN Trong trình thực đề tài “Khảo sát số phương trình đạo hàm riêng cấp khơng ngun”, chúng tơi nhận quan tâm, khích lệ từ phía lãnh đạo Khoa Khoa học Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp TPHCM Hơn nữa, đề tài thực nhờ hỗ trợ mặt kinh phí từ phía trường Đại học Công nghiệp TPHCM Chúng xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc tới Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghiệp TPHCM, lãnh đạo Khoa Khoa học bản, phản biện giúp đỡ chúng tơi hồn thành đề tài nghiên cứu PHẦN I THƠNG TIN CHUNG I Thơng tin tổng qt 1.1 Tên đề tài: Khảo sát số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên 1.2 Mã số: 21/1CB03 1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực đề tài TT Họ tên (học hàm, học vị) Đơn vị cơng tác Vai trị thực đề tài TS Võ Thị Thanh Hà Khoa Khoa học Chủ nhiệm đề tài ThS Hồ Duy Bình Đại học Thủ Dầu Một Thành viên 1.4 Đơn vị chủ trì: Khoa Khoa học 1.5 Thời gian thực hiện: 12 tháng 1.5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 03 năm 2021 đến tháng 03 năm 2022 1.5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng… năm… 1.5.3 Thực thực tế: từ tháng 03 năm 2021 đến tháng 03 năm 2022 1.6 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có): (Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết nghiên cứu tổ chức thực hiện; Nguyên nhân; Ý kiến Cơ quan quản lý) 1.7 Tổng kinh phí phê duyệt đề tài: 55 triệu đồng II Kết nghiên cứu Đặt vấn đề a) Tình hình nghiên cứu quốc tế Trong năm gần đây, nhiều tốn khơng thể mơ hình hố phương trình vi phân đạo hàm riêng với đạo hàm cấp nguyên phương trình elliptic, parabolic hay hyperbolic Việc mơ hình hố toán dẫn đến khái niệm đạo hàm cấp không nguyên Những thập kỷ gần giai đoạn tốn với đạo hàm cấp khơng nguyên phát triển mạnh mẽ ứng dụng sâu rộng vào nhiều lĩnh vực khoa học với số lượng lớn báo, sách chuyên khảo nhiều nhà toán học giới S.G Samko, A.A Kilbas, O.I Marichev [41,50], R Gorenflo, Y Luchko [3,4,5,5], K.S Miller, Bertram Ross [7,8], I Podlubny [9], R Hilfer [10], K Diethelm [11], [1] S.G Samko, A A Kilbas and Oleg I Marichev; Fractional integrals and derivatives, Theory and Applications, Gordon and Breach Science, Naukai Tekhnika, Minsk (1987) [2] K.S Miller, S.G Samko, Completely monotonic functions, Integral Transforms Spec Funct, 12 (2001), 389–402 [3] R Gorenflo, F Mainardi, Fractional calculus: Integral and differential equations of fractional order, in: A Carpinteri, F Mainardi (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer-Verlag, New York, (1997), 223–276 [4] Y Luchko, Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 351(2009), 218-223 [5] Y Luchko, Some uniqueness and existence results for the initial–boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation, Comput Math Appl, 59 (2010), 1766–1772 [6] F Mainardi, Y Luchko and G Pagnini The fundamental solution of the space-time fractional diusion equation, Fract Calc Appl Anal, (2001), 153-192.[7] K.S Miller and B Ross; An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, Jon Wiley and Sons, New York (1993) [8] K.S Miller, S.G Samko, Completely monotonic functions, Integral Transforms Spec Funct, 12 (2001), 389–402 [9] I Podlubny; Fractional differential equations, Academic Press, London, 1999 [10] R Hilfer; Fractional calculus in Physics, World Scientific, Singapore (2000) [11] Kai Diethelm; The analysis of fractional differential equations, Springer, Berlin, 2010 b) Tình hình nghiên cứu nước Ở Việt Nam nay, có cơng trình lĩnh vực phương trình vi phân với đạo hàm cấp khơng ngun Chẳng hạn nhóm nghiên cứu GS Nguyễn Đình Cơng PGS Đồn Thái Sơn (Viện Tốn Học) với cơng trình [1,2,3], nhóm nghiên cứu PGS Trần Đình Kế (Đại Học Sư Phạm Hà Nội) với cơng trình [4,5,6] [1] N.D Cong, D.T Son, S Siegmund, H.T Tuan, An instability theorem for nonlinear fractional differential systems Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 22 ( 2017), 3079 - 3090 [2] N.D Cong, H.T Tuan, Existence, Uniqueness and exponential boundedness of global solutions to delay fractional differential equations, Mediterranean Journal of Mathematics, 14 (2017) [3] N D Cong, H T Tuan, Generation of nonlocal fractional dynamical systems by fractional differential equations Journal of Integral Equations and Applications, 29 (2017), 1-24, [4] T.D Ke, D Lan, Fixed point approach for weakly asymptotic stability of fractional differential inclusions involving impulsive effects J Fixed Point Theory Appl, 19 (2017), 2185-2208 [5] T.D Ke, V T Tran, Finite-time attractivity for semilinear fractional differential equations Results Math, 73 (2018), – 19 [6] J Kemppainen, J Siljander, V Vergara, R Zacher, Decay estimates for time-fractional and other non-local in time subdiffusion equations in , Mathematische Annalen, 366 (2016), 941–979 c) Đánh giá kết cơng trình nghiên cứu công bố (ưu, khuyết, tồn tại…) Các cơng chưa khảo sát tính chỉnh tốn ngược thời gian Cũng tồn nghiệm tính quy hóa cho tốn thuận Đó động lực để thực đề tài d) Tính cấp thiết tiến hành nghiên cứu (tính mới, tính khoa học) Đây hướng nghiên cứu mẻ, có nhiều tiềm thu hút quan tâm lớn từ nhà toán học Ở đề tài này, chúng tơi khảo sát số tốn cho phương trình với đạo hàm cấp khơng ngun phương trình Rayleigh-Stokes, phương trình khuếch tán, … cho trường hợp tất định trường hợp ngẫu nhiên Mục tiêu Mục tiêu tổng quát a) • • • Khảo sát tính tồn tại, nghiệm tính quy hóa nghiệm cho tốn phi tuyến hai trường hợp tất định ngẫu nhiên Chỉ tính khơng chỉnh xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho tốn ngược thời gian Nghiên cứu phương pháp số để minh họa cụ thể cho đánh giá sai số tốc độ hội tụ nghiệm chỉnh hóa b) Mục tiêu cụ thể Đối với hai loại toán tất định ngẫu nhiên, hướng đến nội dung sau: • • • • Sử dụng định lý điểm bất động Banach để thiết lập tồn tại, nghiệm tốn khơng gian nghiệm thích hợp Sử dụng tính chất hàm Gamma, hàm Beta, hàm Mittag-Leffler để đánh giá toán tử nghiệm, kết hợp với việc sử dụng phép nhúng khơng gian Sobolev, để thiết lập tính quy hóa nghiệm khơng gian khác Đưa ví dụ minh họa cụ thể để tính khơng chỉnh cho nghiệm tốn ngược thời gian Sau đó, sử dụng phương pháp chỉnh hóa thích hợp phương pháp chặt cụt, phương pháp Quasi-reversibility, phương pháp lọc, … để xây dựng nghiệm chỉnh hóa Sau đưa đánh giá hội tụ nghiệm chỉnh hóa, chúng tơi sử dụng ví dụ số cụ thể để minh họa cho kết Phương pháp nghiên cứu Nội dung 1: Thiết lập công thức nghiệm - Cách tiếp cận: Lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng khải triển chuỗi Fourier không gian Hilbert Nội dung 2: Khảo sát tính chất nghiệm - Cách tiếp cận: Lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng định lý điểm bất động Banach để thiết lập tồn tại, nghiệm Nội dung 3: Thiết lập tính quy/Thiết lập nghiệm xấp xỉ - Cách tiếp cận: Lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Chỉ tính khơng chỉnh xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho toán ngược thời gian Đối với toán thuận, chúng tơi sử dụng tính chất hàm Gamma, hàm Beta, hàm Mittag-Leffler để đánh giá toán tử nghiệm, kết hợp với việc sử dụng phép nhúng không gian Sobolev, để thiết lập tính quy hóa nghiệm khơng gian khác Nội dung 4: Viết báo - Cách tiếp cận: Lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Lý thuyết Tổng kết kết nghiên cứu Trong đề tài này, nghiên cứu tốn xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp không nguyên Conformable Bằng Phương pháp Fractional Tikhonov, thiết lập nghiệm chỉnh hóa đánh giá hội tụ cho hai trường hợp chọn tham số hậu nghiệm tiên nghiệm Hơn nữa, phương pháp chặt cụt xét đến Đánh giá kết đạt kết luận Đề tài ý tưởng không trùng lặp với cơng trình cơng bố ngồi nước Sản phẩm đề tài báo thuộc danh mục Scopus (Q3) Tóm tắt kết (tiếng Việt tiếng Anh) Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm conformable: (𝛾) 𝐶𝑜𝐷𝑡 𝑢 − ∆𝑢 = 𝛷(𝑡)ℱ(𝑥), 𝑥 𝜖 𝛺, < 𝛾 < 1, (𝑥, 𝑡) 𝜖 𝛺 × (0, 𝑇) Chúng khảo sát nội dung sau: ➢ Đánh giá sai số nghiệm nghiệm chỉnh hóa cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm ➢ Đánh giá sai số nghiệm nghiệm chỉnh hóa cách chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm ➢ Thiết lập nghiệm chỉnh hóa đánh giá sai số In this report, we study inverse source for diffusion equation with conformable derivative: (𝛾) 𝐶𝑜𝐷𝑡 𝑢 − ∆𝑢 = 𝛷(𝑡)ℱ(𝑥), 𝑥 𝜖 𝛺, where < 𝛾 < 1, (𝑥, 𝑡) 𝜖 𝛺 × (0, 𝑇) We survey the following issues ➢ The error estimate between the sought solution and the regularized solution under a priori parameter choice rule ➢ The error estimate between the sought solution and the regularized solution under a posteriori parameter choice rule ➢ Regularization and estimate by Truncation method III Sản phẩm đề tài, công bố kết đào tạo 3.1 Kết nghiên cứu ( sản phẩm dạng 1,2,3) TT Ghi chú: Tên sản phẩm Bài báo Scopus Yêu cầu khoa học hoặc/và tiêu kinh tế - kỹ thuật Đăng ký Đạt 01 01 - Các ấn phẩm khoa học (bài báo, báo cáo KH, sách chuyên khảo…) chấp nhận có ghi nhận địa cảm ơn trường ĐH Công Nghiệp Tp HCM cấp kính phí thực nghiên cứu theo quy định - Các ấn phẩm (bản photo) đính kèm phần phụ lục minh chứng cuối báo cáo (đối với ấn phẩm sách, giáo trình cần có photo trang bìa, trang trang cuối kèm thông tin định số hiệu xuất bản) 3.2 Kết đào tạo Thời gian Tên đề tài TT Họ tên thực đề tài Tên chuyên đề NCS Đã bảo vệ Tên luận văn Cao học Nghiên cứu sinh Học viên cao học Sinh viên Đại học Ghi chú: - Kèm photo trang bìa chuyên đề nghiên cứu sinh/ luận văn/ khóa luận bằng/giấy chứng nhận nghiên cứu sinh/thạc sỹ học viên bảo vệ thành công luận án/ luận văn;( thể phần cuối báo cáo khoa học) IV Tình hình sử dụng kinh phí T T A B Nội dung chi Chi phí trực tiếp Thù lao chủ nhiệm đề tài Thuê khốn chun mơn Văn phịng phẩm Chi phí gián tiếp Tổng số Kinh phí duyệt (triệu đồng) 55.000.000 34.910.700 19.861.700 227.600 55.000.000 Kinh phí thực (triệu đồng) 55.000.000 34.910.700 19.861.700 227.600 55.000.000 Ghi V Kiến nghị ( phát triển kết nghiên cứu đề tài) VI Phụ lục sản phẩm ( liệt kê minh chứng sản phẩm nêu Phần III) Hợp đồng thực đề tài nghiên cứu khoa học Thuyết minh đề tài phê duyệt Quyết định nghiệm thu Hồ sơ nghiệm thu (biên họp, phiếu đánh giá, bảng tổng hợp điểm, giải trình, phiếu phản biện) Sản phẩm nghiên cứu (bài báo) Chủ nhiệm đề tài Tp HCM, ngày tháng năm Phòng QLKH&HTQT Khoa Khoa học Trưởng khoa PHẦN II BÁO CÁO CHI TIẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Khảo sát số Phương trình đạo hàm riêng Cấp khơng ngun Võ Thị Thanh Hà Ngày 18 tháng 04 năm 2022 Chương Giới thiệu toán Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp khơng nguyên Conformable: (γ) CoDt u − ∆u = Φ(t)F ( x ), < γ < 1, ( x, t) ∈ Ω × (0, T ) Chúng tơi khảo sát nội dung cụ thể sau: • Đánh giá sai số nghiệm nghiệm chỉnh hóa cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm • Đánh giá sai số nghiệm nghiệm chỉnh hóa cách chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm • Thiết lập nghiệm chỉnh hóa đánh giá sai số L p Xét toán (γ) CoDt u( x, t) − ∆u( x, t) = Φ(t)F ( x ), x ∈ Ω, (1.1) u( x, t)| x∈∂Ω = 0, t ∈ (0, T ), (1.2) u( x, 0) = u0 ( x ), x ∈ Ω, (1.3) u( x, T ) = ℓ( x ), x ∈ Ω, (1.4) với ràng buộc điều kiện đầu điều kiện cuối (γ) Hàm u = u( x, t) biểu thị cho mật độ chất vị trí x thời điểm t CoDt ký hiệu đạo hàm Conformable theo biến thời gian với cấp đạo hàm γ ∈ (0, 1) 3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm < ξ < 1, từ (3.3), giải phương trình G1′ (z) = 0, ta có z0 = −1 −1 A(2ξ − 1) 2ξ β 2ξ Thay z0 vào phương trình (3.3), ta thấy Chứng minh Với G1 (z) ≤ G1 (z0 ) ≤ B(ξ, A) β A1−2ξ (2ξ − 1) B(ξ, A) = 2ξ − 2ξ Bổ đề 3.2 Giả sử số z ≥ λ1 21 ≤ ξ ≤ 1, ta có (2ξ )−1 (2ξ − m) 2ξ2ξ−m A−m m 2ξm β mξ , 2ξ − m β z G2 (z) = 2ξ ≤ A2ξ λm−2ξ −1 β2 , A + β2 z2ξ − 2ξ · (3.4) < m < 2ξ, m ≥ 2ξ (3.5) Chứng minh Chứng minh bổ đề có [22] Định lý 3.1 Giả sử F thỏa (2.20) sai số quan sát thỏa điều kiện (1.6) Khi ta có ước lượng sau: ϵ M • Nếu < m < 2ξ, cách chọn β(ϵ) = F (·) − F βϵ(ϵ) (·) • Nếu m ≥ 2ξ, cách chọn β(ϵ) = F (·) − F βϵ(ϵ) (·) ξ m +2 m L2 ( Ω ) ξ ξ +1 ϵ M (3.6) có bậc hội tụ ϵ m+2 ξ (3.7) có bậc hội tụ ϵ ξ +2 L2 ( Ω ) Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác, ta có F (·) − F βϵ(ϵ) (·) L2 ( Ω ) ≤ F β(ϵ) (·) − F βϵ(ϵ) (·) L2 ( Ω ) + F (·) − F β(ϵ) (·) A1 :=Q1 +Q2 L2 ( Ω ) A2 (3.8) ∞ Q1 = ∑ j =1 ∞ Q2 = ∑ 2ξ −1 [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ ) S(λ j , γ, Φϵ ) ∑ j =1 2ξ ℓϵ ( x ) − ℓ( x ), e j ( x ) e j ( x ), 2ξ −1 j=1 [ β ( ϵ )]2 + S( λ j , γ, Φϵ ) ∞ A2 = S(λ j , γ, Φϵ ) S(λ j , γ, Φ) 2ξ − β(ϵ) 2ξ −1 [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) 2ξ S(λ j , γ, Φ) − + S(λ j , γ, Φ) S(λ j , γ, Φ) 10 2ξ −1 2ξ ℓ(·), e j (·) e j ( x ), ℓ(·), e j (·) e j ( x ) (3.9) 3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm Một cách tự nhiên ta có bước sau Bước 1: Ta nhận ước lượng cho ∥Q1 ∥L2 (Ω) , ước lượng (2.11),và T D(λ j , T, γ)Φϵ (ς)dς ≥ Φ − exp(−λ1 T γ γ−1 ) λj Từ đây, để ngắn gọn ta ký hiệu Φ − exp − λ1 T γ γ−1 = A(Φ, λ1 , T, γ) Từ (3.1), ta có B(|Φ|,|Φ|) λj ∞ ∥Q1 ∥L2 (Ω) ≤ ∑ A(Φ, λ1 , T, γ) j =1 [ β(ϵ)]2 + λj ∞ ≤ 2ξ −1 B(|Φ|, |Φ|) ∑ 2ξ j=1 [ β ( ϵ )]2 λ j 2ξ −1 2ξ λj + A(Φ, λ1 , T, γ) 2ξ −1 ≤ ϵ B(|Φ|, |Φ|) ℓϵ (·) − ℓ(·), e j (·) e j ( x ) 2ξ ℓϵ (·) − ℓ(·), e j (·) e j ( x ) 2ξ sup λ j [ β(ϵ)]2 λ j j ∈N + A(Φ, λ1 , T, γ) 2ξ −1 (3.10) Áp dụng bổ đề 3.1, ta ∥Q1 ∥L2 (Ω) ≤ ϵ [ β(ϵ)]− ξ B(|Φ|, |Φ|) 2ξ −1 B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ) (3.11) Bước 2: Tiếp theo, Q2 ước lượng L1 ∞ Q2 = ∑ j =1 [ β(ϵ)]2 S(λ j , γ, Φϵ − Φ) [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ ) 2ξ 2ξ −1 [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) ℓ(·), e j (·) e j ( x ) 2ξ L2 ∞ +∑ j =1 S(λ j , γ, Φϵ ) 2ξ S(λ j , γ, Φ) 2ξ [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ ) S(λ j , γ, Φϵ ) 2ξ −1 − S(λ j , γ, Φ) [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) 2ξ −1 ℓ(·), e j (·) e j ( x ) (3.12) 11 3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm Từ (3.12), ta có ước lượng cho L1 ∞ ∥L1 ∥L2 (Ω) ≤ ≤ ≤ L2 ( Ω ) L2 L2 ( Ω ) [ β(ϵ)]2 S(λ j , γ, Φϵ − Φ) ∑ j =1 [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ ) 2ξ −1 ∞ L∞ (0,T ) 2ξ −1 j =1 Φϵ − Φ Φ ∑ 2ξ 2ξ −1 S(λ j , γ, Φ) 2ξ −1 ℓ(·), e j (·) e j ( x ) S(λ j , γ, Φ) ℓ(·), e j (·) e j ( x ) S(λ j , γ, Φ) 2ξ −1 L∞ (0,T ) ∥F ∥L2 (Ω) 2ξ −1 Φϵ − Φ Φ (3.13) Và ∞ ∥L2 ∥L2 (Ω) ≤ ∑ S(λ j , γ, Φϵ ) 2ξ −1 S(λ j , γ, Φϵ − Φ) ℓ(·), e j (·) e j ( x ) 2ξ S(λ j , γ, Φ) [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ ) j =1 ∞ S(λ j , γ, Φϵ − Φ) ℓ(·), e j (·) e j ( x ) ≤∑ S(λ j , γ, Φϵ ) S(λ j , γ, Φ) j =1 ≤ ≤ 4∥Φϵ − Φ∥L∞ (0,T ) Φ 4∥ Φ ϵ ∞ ∑ j =1 ℓ(·), e j (·) e j ( x ) S(λ j , γ, Φ) − Φ∥L∞ (0,T ) ∥F ∥L2 (Ω) Φ (3.14) Kết hợp (3.12) với (3.14), ta có ∥Q2 ∥L2 (Ω) ≤ 2ξ −1 L∞ (0,T ) ∥F ∥L2 (Ω) 2ξ −1 Φϵ − Φ Φ ≤ 2∥Φϵ − Φ∥L∞ (0,T ) max 12 + 4∥Φϵ − Φ∥L∞ (0,T ) Φ ∥F ∥L2 (Ω) , ∥F ∥L2 (Ω) 2ξ − Φ |Φ| (3.15) 3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm Bước 3: Tiếp theo, ta cần ước lượng ∥A2 ∥L2 (Ω) , A2 L ( Ω ) ≤ ∞ 2ξ −1 S(λ j , γ, Φ) ∑ [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) j =1 ∞ ≤ ∑ S(λ j , γ, Φ) ∞ [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) [ β(ϵ)]4 ∑ 2ξ 2m [ β(ϵ)]4 λ− j ∞ ∑ ≤ sup G2 (λ j ) j ∈N ∞ ∑ F j ∈N 2ξ S(λ j , γ, Φ) , S(λ j , γ, Φ) λ2m ℓ(·), e j (·) j j =1 = sup G2 (λ j ) S(λ j , γ, Φ) 2 λ2m ℓ(·), e j (·) j [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) j =1 ℓ(·), e j (·) 2ξ ℓ(·), e j (·) [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) j =1 ≤ ℓ(·), e j (·) [ β(ϵ)]2 j =1 ≤ 2ξ − S(λ j , γ, Φ) 2 2 H m (Ω) (3.16) Vì vậy, G2 (λ j ) ước lượng G2 (λ j ) = m [ β(ϵ)]2 λ− j [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) 2ξ ≤ −m [ β(ϵ)]2 λ2ξ j [ β(ϵ)]2 λ2ξ j + A ( Φ, λ1 , T, γ ) 2ξ · (3.17) Theo bổ đề 3.2, thay A A(Φ, λ1 , T, γ), G2 (λ j ) thỏa ràng buộc sau (2ξ )−1 (2ξ − m) 2ξ2ξ−m A−m m 2ξm [ β(ϵ)] mξ , < m < 2ξ, G2 (λ j ) ≤ A2ξ λm−2ξ −1 [ β(ϵ)]2 , m ≥ 2ξ (3.18) Kết hợp (3.16) (3.18), ta kết luận (2ξ )−1 (2ξ − m) 2ξ2ξ−m A−m m 2ξm M[ β(ϵ)] mξ , ∥A2 ∥L2 (Ω) ≤ A2ξ λm−2ξ −1 M[ β(ϵ)]2 , < m < 2ξ, (3.19) m ≥ 2ξ Tiếp theo, kết hợp bước trên, ta có F (·) − F βϵ(ϵ) (·) L2 ( Ω ) ≤ ϵ [ β(ϵ)]− ξ B(|Φ|, |Φ|) 2ξ −1 B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ) + 2∥Φϵ − Φ∥L∞ (0,T ) max ∥F ∥L2 (Ω) , 2ξ − Φ |Φ| (2ξ )−1 (2ξ − m) 2ξ2ξ−m | A(Φ, λ , T, γ)|−m m 2ξm M[ β(ϵ)] mξ , + | A(Φ, λ , T, γ)|2ξ λm−2ξ −1 M[ β(ϵ)]2 , 1 13 < m < 2ξ, m ≥ 2ξ (3.20) 3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm Chọn tham số chỉnh hóa β(ϵ) sau: ϵ M β(ϵ) = ϵ M ξ m +2 < m < 2ξ, , (3.21) ξ ξ +1 m ≥ 2ξ , Từ việc lựa chọn β công thức (3.21), ta nhận Trường hợp 1: Nếu < m ≤ 2ξ F (·) − F βϵ(ϵ) (·) m L2 ( Ω ) + 2ϵ m+2 max 1 B(|Φ|, |Φ|) ≤ ϵ m +2 ϵ m +2 M m +2 2ξ −1 B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ) ∥F ∥L2 (Ω) , 2ξ − Φ |Φ| m +1 + M m+2 (2ξ )−1 (2ξ − m) 2ξ −m 2ξ m | A(Φ, λ1 , T, γ)|−m m 2ξ (3.22) Trường hợp 2: Nếu m > 2ξ F (·) − F βϵ(ϵ) (·) ξ L2 ( Ω ) ≤ ϵ ξ +1 M ξ +1 + 2ϵ ξ +1 max B(|Φ|, |Φ|) B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ) ∥F ∥L2 (Ω) , |Φ|2ξ −1 Φ + | A(Φ, λ1 , T, γ)|2ξ 3.2 2ξ −1 −1 ξ 1− ξ ϵ ξ +1 M ξ +1 (3.23) Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm Trong mục này, nghiên cứu cách chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm theo quy tắc Morozov (bạn đọc xem [7]) S(λ j , γ, Φ) β2 2ξ + S(λ j , γ, Φ) 2ξ ℓϵ (·) − ℓϵ (·) = δϵ, L2 ( Ω ) ≤ ξ ≤ 1, δ > 14 (3.24) 3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm Bổ đề 3.3 Giả sử λ j > λ1 > ≤ ξ < 1, G3 (λ j ) xác định 2ξ −(m+1) G3 (λ j ) = Φβ2 λ j m +1 2ξ β2 λ j + 4A(Φ, λ1 , T, γ) m +1 m +1 Φ(2ξ − m − 1) m+1 2ξ β ξ , < m < 2ξ − 1, (3.25) ≤ 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1 2ξ − m − − ( m + )− 2ξ Φ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|2ξ λ1 β2 , m ≥ 2ξ − Chứng minh Chứng minh bổ đề có [22] Bổ đề 3.4 Giả thiết ∞ β2 ∑ K( β) = β2 + S(λ j , γ, Φ) j =1 ϵ ℓ (·), e j (·) 2ξ 2 (3.26) Nếu < δϵ < ∥ℓϵ ∥L2 (Ω) , ta có kết sau: (a) K( β) hàm liên tục; (b) K( β) → β → 0; (c) K( β) → ∥ℓϵ ∥L2 (Ω) β → ∞; (d) K( β) hàm tăng chặt Bổ đề 3.5 Giả sử β nghiệm (3.24), ta có kết sau 1 2ξ Φ ( 2ξ − m − ) m + m + 2( m +1) 2ξ − m − ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1 ( δ − ) 2( m +1) ≤ 1 βξ (m+1)−2ξ − 2ξ 4ξ ( Φ ) 2ξ |4A ( Φ, λ , T, γ )|2ξ λ M 2ξ1 , ϵ (δ2 − 2) 4ξ M ϵ m +1 , < m < 2ξ − 1, m ≥ 2ξ − (3.27) Chứng minh Bước 1: Ta có ∞ δ2 ϵ2 ≤ ∑ β2 j =1 β2 + S(λ j , γ, Φ) ∞ m β2 λ − S(λ j , γ, Φ) j +2∑ j =1 β2 + S(λ j , γ, Φ) ∞ ≤ 2ϵ + ∑ H j j =1 2m λj ℓϵ (·) − ℓ(·), ei (·) 2ξ λ2m ℓ(·), ei (·) j S(λ j , γ, Φ) 2ξ ℓ(·), e j (·) S(λ j , γ, Φ) 15 2 · (3.28) 3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm Từ bất đẳng thức trên, ta thấy Hj = 2ξ −(m+1) β2 S(λ j , γ, Φ) β2 + S(λ j , γ, Φ) 2ξ λm j ≤ Φβ2 λ j 2ξ β2 λ j + 4A(Φ, λ1 , T, γ) 2ξ · (3.29) Từ (3.29), sử dụng bổ đề 3.3, ta có m +1 m +1 Φ(2ξ − m − 1) m+1 2ξ β ξ , < m < 2ξ − 1, H j ≤ 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1 2ξ − m − (m+1)−2ξ −1 β , m ≥ 2ξ − Φ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|2ξ λ1 (3.30) Vì (3.30), nên ta có m +1 m +1 Φ ( 2ξ − m − ) m+1 ξ 2 ξ , < m < 2ξ − 1, M β 2ξ − m − 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1 δ2 ϵ2 ≤ 2ϵ2 + 2Φ |4A(Φ, λ , T, γ)|2ξ λ(m+1)−2ξ −2 M2 β4 , m ≥ 2ξ − 1 (3.31) Từ (3.31), ta dễ dàng thấy m +1 m +1 Φ ( 2ξ − m − ) m+1 ξ 2 ξ M β , < m < 2ξ − 1, 2ξ − m − 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1 δ2 − ϵ2 ≤ 2Φ |4A(Φ, λ , T, γ)|2ξ λ(m+1)−2ξ −2 M2 β4 , m ≥ 2ξ − 1 (3.32) Vì vậy, 1 2(m1+1) Φ(2ξ − m − 1) m +1 m +1 2ξ ( ) 2ξ −m−1 ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1 − ) 2( m +1) ( δ ≤ 1 1 βξ (m+1)−2ξ − 2ξ 4ξ ( Φ ) 2ξ |4A ( Φ, λ , T, γ )|2ξ λ 1 M ϵ (δ2 − 2) 4ξ m +1 M ϵ 2ξ , < m < 2ξ − 1, m ≥ 2ξ − , (3.33) Ước lượng F (·) − F βϵ(ϵ) (·) L2 ( Ω ) thiết lập định lý sau Định lý 3.2 Giả sử điều kiện ổn định hàm nguồn, giả định sai số liệu đầu vào (1.6) thỏa tồn δ > cho < δϵ < ∥ℓϵ ∥L2 (Ω) Ta thu đánh giá sau • Nếu < m < 2ξ − 1, F (·) − F βϵ(ϵ) (·) m L2 ( Ω ) 16 có bậc hội tụ ϵ m+1 (3.34) 3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm • Nếu m ≥ 2ξ − 1, F (·) − F βϵ(ϵ) (·) L2 ( Ω ) có bậc hội tụ ϵ 1− 2ξ · (3.35) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có F (·) − F βϵ(ϵ) (·) L2 ( Ω ) ≤ F (·) − F β(ϵ) ∥L2 (Ω) + F β(ϵ) (·) − F βϵ(ϵ) (·) L2 ( Ω ) A2 (3.36) Trường hợp 1: Nếu < m ≤ 2ξ − 1, ta có F β(ϵ) (·) − F βϵ(ϵ) (·) L2 ( Ω ) ≤ ϵ [ β(ϵ)]− ξ B(|Φ|, |Φ|) + 2∥Φϵ − Φ∥L∞ (0,T ) max 2ξ −1 B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ) ∥F ∥L2 (Ω) · , |Φ|2ξ −1 Φ (3.37) Ta nhận ∞ ∥A2 ∥L2 (Ω) = ∑ j =1 S(λ j , γ, Φ) [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) ∞ = 2ξ −1 [ β(ϵ)]2 S(λ j , γ, Φ) ∑ j=1 [ β ( ϵ )]2 + S( λ j , γ, Φ ) − 2ξ S(λ j , γ, Φ) ℓ(·), e j (·) e j ( x ) F (·), e j (·) e j ( x ) 2ξ L2 ( Ω ) L2 ( Ω ) (3.38) Bất đẳng thức Holder cho ta kết qu ă A2 L2 () j =1 ∞ × ∑ j =1 ∞ ≤ ∑ j =1 [ β(ϵ)]2 S(λ j , γ, Φ) 2ξ [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) [ β(ϵ)]2 S(λ j , γ, Φ) F (·), e j (·) e j (·) m m +1 L2 ( Ω ) m +1 F (·), e j (·) 2ξ [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) [ β(ϵ)]2 2ξ [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) S(λ j , γ, Φ) e (x) m +1 j L2 ( Ω ) ℓ(·), e j (·) e j ( x ) m m +1 L2 ( Ω ) Z1 ∞ × ∑ [ β(ϵ)]2 F (·), e j (·) j=1 [ β ( ϵ )]2 + S( λ j , γ, Φ ) 2ξ Z2 17 S(λ j , γ, Φ) m +1 m ej (x) L2 ( Ω ) (3.39) 3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm Từ (3.39), áp dụng bổ đề 3.5, ta có ∞ [ β(ϵ)]2 ∑ Z1 ≤ j=1 [ β ( ϵ )]2 + S(λ j , γ, Φ) ∞ ∑ + j =1 ℓ(·) − ℓϵ (·), e j ( x ) e j ( x ) 2ξ L2 ( Ω ) m m +1 [ β(ϵ)]2 [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) ℓϵ (·), e j (·) e j ( x ) 2ξ m m ≤ ϵ m +1 ( + δ ) m +1 L2 ( Ω ) Tiếp theo, sử dụng điều kiện đầu, ta có +∞ Z2 = ∑ j =1 [ β(ϵ)]2 F (·), e j (·) [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) +∞ ≤ ≤ F (·), e j (·) ∑ |S(λ j , γ, Φ)|m ej (x) j =1 M m +1 4A(Φ, λ1 , T, γ) m m +1 2ξ S(λ j , γ, Φ) m +1 L2 ( Ω ) m ej (x) L2 ( Ω ) ∞ λm j F j (·), e j (·) j =1 4A(Φ, λ1 , T, γ) ∑ ≤ m +1 m +1 m ej (x) L2 ( Ω ) · (3.40) Kết hợp (3.38) (3.40), ta kết luận F (·) − F β(ϵ) (·) L2 ( Ω ) ≤ϵ m m +1 (1 + δ ) M m +1 m m +1 4A(Φ, λ1 , T, γ) m m +1 · (3.41) Kết hợp (3.37) (3.41), ta có F (·) − F βϵ(ϵ) (·) m L2 ( Ω ) ≤ ϵ m+1 M m+1 X1 (Φ, Φ, δ, B, A), (3.42) X1 (Φ, Φ, δ, B, A) = 2ϵ + m +1 1 Φ(2ξ − m − 1) ( ) 2( m +1) ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1 ( δ2 − 2) m +1 m m +1 ∥ℓ∥L2 (Ω) max , 2ξ − Φ |Φ| 4A(Φ, λ1 , T, γ) m +1 2ξ −m−1 m + ( + δ ) m +1 m |4A(Φ, λ1 , T, γ)| m+1 2ξ 2( m +1) B(|Φ|, |Φ|) 2ξ −1 B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ) (3.43) Trường hợp 2: Mục tiêu xác định ước lượng F β(ϵ) (·) − F βϵ(ϵ) (·) trường hợp m ≥ 2ξ − 1, ta có F β(ϵ) (·) − F βϵ(ϵ) (·) 1 ≤ ϵ1− 2ξ M 2ξ L2 ( Ω ) (m+1)−2ξ − 2ξ 4ξ (Φ) 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|2ξ λ1 ( δ2 1 + ϵ1− 2ξ M 2ξ max L2 ( Ω ) , 2ξ − Φ |Φ| − 2) B(|Φ|, |Φ|) 4ξ 4A(Φ, λ1 , T, γ) 18 1− 2ξ · 2ξ −1 B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ) (3.44) 3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm Tiếp theo, F (·) − F β(ϵ) (·) F (·) − F β(ϵ) (·) ∞ = ∑ j =1 +∞ = ∑ j =1 ∑ (3.45) L2 ( Ω ) [ β(ϵ)]2 [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) [ β(ϵ)]2 S(λ j , γ, Φ) α2 + S(λ j , γ, Φ) ∞ ≤ thỏa ràng buộc sau L2 ( Ω ) 2ξ F (·), e j (·) e (x) S(λ j , γ, Φ) j 2ξ [ β(ϵ)]2 S(λ j , γ, Φ) j =1 F (·), e j (·) e j ( x ) [ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ) 2ξ L2 ( Ω ) L2 ( Ω ) F (·), e j (·) e j ( x ) 1− 2ξ L2 ( Ω ) J1 ∞ × [ β(ϵ)]2 S(λ ∑ j , γ, Φ ) j=1 [ β ( ϵ )]2 + S( λ j , γ, Φ ) F (·), e j (·) 2ξ S(λ j , γ, Φ) e (x) 2ξ j 2ξ L2 ( Ω ) (3.46) J2 Từ (3.45), tiếp tục áp dụng bổ đề 3.5 phần (b), ta 1 J1 ≤ (ϵ + δϵ)1− 2ξ = ϵ1− 2ξ (1 + δ)1− 2ξ (3.47) Tương tự đánh giá Z2 , ta có [ β(ϵ)]2 < 1, [ β(ϵ)]2 + |S(λ j , γ, Φ)|2ξ dẫn đến ∞ J2 ≤ ∞ ≤ 2ξ F (·), e j (·) ∑ |S(λ j , γ, Φ)|2ξ −1 ej (x) j =1 ∑ j =1 L2 ( Ω ) 2ξ −1 λj |4A(Φ, λ1 , T, γ)| m m λ− j λ j F j (·)e j ( x ) 1 2ξ L2 ( Ω ) − m −1 M 2ξ ≤ |4A(Φ, λ1 , T, γ)| 2ξ −1 λ2ξ (3.48) Kết hợp (3.45) (3.48), ta kết luận F (·) − F β(ϵ) (·) L2 ( Ω ) 1 − m −1 ≤ ϵ1− 2ξ M 2ξ (1 + δ)1− 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)| 2ξ −1 λ2ξ · Cuối cùng, từ (3.42) (3.44), ta khẳng định F (·) − F βϵ(ϵ) (·) L2 ( Ω ) ≤ ϵ1− 2ξ M 2ξ X2 (Φ, Φ, δ, B, A) 19 3.3 Phương pháp chặt cụt X2 (Φ,Φ, δ, B, A) (3.49) , 2ξ − Φ |Φ| max = 4A(Φ, λ1 , T, γ) + 1 1− 2ξ − m −1 + (1 + δ)1− 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)| 2ξ −1 λ2ξ 1 (m+1)−2ξ − 2ξ 4ξ (Φ) 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|2ξ λ1 (δ2 − 2) 4ξ × B(|Φ|, |Φ|) 2ξ −1 B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ) Chứng minh hoàn thành (3.42) (3.44) 3.3 Phương pháp chặt cụt Trong mục này, ta giả sử ℓϵ liệu nhiễu thỏa ∥ℓϵ − ℓ∥L p (Ω) ≤ ϵ (3.50) Định lý 3.3 Giả sử ℓϵ thỏa (3.50) Giả thiết F thuộc D(Aζ ) với ζ > Với nghiệm chỉnh hóa sau: Nϵ ϵ FN (x) = ϵ ∑ j =1 ℓϵ (·), e j (·) e j ( x ) , FNϵ ( x ) = |S(λ j , γ, Φϵ )| Nϵ ∑ j =1 ℓ(·), e j (·) e j ( x ) · |S(λ j , γ, Φ)| (3.51) Bằng cách chọn Nϵ = ϵ(h−1)(ζ −m+1) , < h < 1, (3.52) − ( p − 2) ω ω ω < m ≤ 0, , 0≤ζ< · 4p ta có ϵ FN (·) − F (·) ϵ 2ω L ω −4ζ (Ω) → ϵ → Chứng minh Theo phép nhúng Sobolev L p (Ω) → D(Am ), tồn số dương, ∥ℓϵ − ℓ∥D(Am ) ≤ Cm,p ∥ℓϵ − ℓ∥L p (Ω) ≤ Cm,p ϵ 20 (3.53) 3.3 Phương pháp chặt cụt Với ζ > 0, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có ϵ FN (·) − F (·) ϵ D(Aζ ) ϵ ≤ FN (·) − FNϵ (·) ϵ ϵ (·) − F (·) Đầu tiên, ta xét FN Nϵ ϵ D(Aζ ) D(Aζ ) + FNϵ (·) − F (·) D(Aζ ) · (3.54) d Thật vậy, ta có với < m < ϵ FN ( x ) − F Nϵ ( x ) ϵ λ j ≤Nϵ ℓϵ (·) − ℓ(·), e j (·) e j ( x ) S(λ j , γ, Φϵ ) ∑ = j =1 λ j ≤Nϵ + ∑ |S(λ j , γ, Φϵ )|−1 − |S(λ j , γ, Φ)|−1 (3.55) ℓ(·), e j (·) e j ( x ) j =1 Từ (3.55), sử dụng bất đẳng thức tam giác ( a + b)2 ≤ 2a2 + 2b2 , ∀ a, b ≥ 0, ta có ϵ FN (·) − FNϵ (·) ϵ λ j ≤Nϵ ≤2 ∑ j =1 λ j ≤Nϵ ≤2 ∑ j =1 λ j ≤Nϵ ≤2 ∑ j =1 2ζ −2m λj D(Aζ ) λ j ≤Nϵ λ2m ℓϵ (·) − ℓ(·), e j (·) |2 j 2ζ −2m+2 λj 2ζ −2m+2 λj j =1 λ2m ℓϵ (·) − ℓ(·), e j (·) j + | A(Φ, λ1 , T, γ)|2 ∥ℓϵ − ℓ∥2D(Am ) | A(Φ, λ1 , T, γ)|2 + ∑ +2 |S(λ j , γ, Φϵ )|2 2ζ |S(λ j , γ, Φ − Φϵ )|2 λ j ℓ(·), e j (·) |S(λ j , γ, Φϵ )|2 |S(λ j , γ, Φ)|2 32∥Φϵ − Φ∥2L ∞ (0,T ) | Φ |2 32∥Φϵ − Φ∥2L ∞ (0,T ) | Φ |2 ∞ λ j ≤Nϵ ∑ j =1 ∑ λj 2ζ 2ζ λj ℓ(·), e j (·) |S(λ j , γ, Φ)|2 F (·), e j (·) · j =1 (3.56) Theo điều kiện (3.53), ta có ϵ FN (·) − FNϵ (·) ϵ D(Aζ ) ≤ ϵ2 2Cm,p | A(Φ, λ1 , T, γ)| (Nϵ )2ζ −2m+2 + 32ϵ2 ∥F ∥2D(Aζ ) · | Φ |2 Tiếp theo, ta có ước lượng sau F (·) − FNϵ (·) D(Aζ ) ∞ ≤ ∑ λ j ≥Nϵ ≤ Nϵ −2ζ 2ζ λj λj −2ζ ∞ ℓ(·), e j (·) −2ζ 2ζ λ j λ j F (·), e j (·) ≤ ∑ |S(λ j , γ, Φ)| λ ≥Nϵ j ∞ ∑ λ j ≥Nϵ 2ζ F (·), e j (·) λj ≤ Nϵ −2ζ F · D(Aζ ) (3.57) 2ω Theo phép nhúng Sobolev D(Aζ ) → L ω−4ζ (Ω), kết hợp (3.54) (3.57), ta có kết 21 2 3.3 Phương pháp chặt cụt luận ϵ FN (·) − F (·) ϵ ≤C 2ω ω −4ζ ϵ ≤ C FN (·) − F (·) ϵ (Ω) L ϵ FNϵ (·) − FNϵ (·) D(Aζ ) D(Aζ ) + C FNϵ (·) − F (·) D(Aζ ) √ 2CCm,p ϵ 2Cϵ −ζ ζ − m +1 (Nϵ ) + + C Nϵ F D(Aζ ) ≤ |Φ| | A(Φ, λ1 , T, γ)| √ √ 2CCm,p 2Cϵ h ≤ϵ + + Cϵζ (1−h)(ζ −m+1) F D(Aζ ) · (3.58) | Φ | | A(Φ, λ1 , T, γ)| √ 22 Tài liệu tham khảo [1] A.R.Khalil, A.Yousef, M.Sababheh, A new definition of fractional derivetive , J Comput Appl Math., 264 (2014), pp 65-70 [2] A.Abdeljawad, R.P Agarwal, E Karapinar, P.S.Kumari, Solutions of he Nonlinear Integral Equation and Fractional Differential Equation Using the Technique of a Fixed Point with a Numerical Experiment in Extended b-Metric Space, Symmetry 2019, 11, 686 [3] B.Alqahtani, H Aydi, E Karapinar, V Rakocevic, A Solution for Volterra Fractional Integral Equations by Hybrid Contractions Mathematics 2019, 7, 694 [4] E Karapinar, A.Fulga,M Rashid, L.Shahid, H Aydi, Large Contractions on Quasi-Metrics Spaces with a Application to Nonlinear Fractional DifferentialEquations, Mathematics 2019, 7, 444 [5] E.Karapinar, Ho Duy Binh, Nguyen Hoang Luc, and Nguyen Huu Can, On continuity of the fractional derivative of the time-fractional semilinear pseudoparabolic systems, Advances in Difference Equations (2021) 2021:70 [6] A.Salim, B Benchohra, E Karapinar, J E Lazreg, Existence and Ulam stability for impulsive generalized Hilfer-type fractional differential equations Adv Differ Equ 2020, 601 (2020) [7] Kilbas, A.A.; Srivastava, H.M.; Trujillo, J.J Theory and Application of Fractional differential equations In North—Holland Mathematics Studies; Elsevier Science B.V.: Amsterdam, The Netherlands, 2006; Volume 204 [8] I Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, USA, 1999 [9] T Abdeljawad, On conformable fractional calculus, J Comput Appl Math., 279 (2015), 57-66 [10] A Jaiswad, D Bahuguna, Semilinear Conformable Fractional Differential Equations in Banach spaces, Differ Equ Dyn Sys., 27 (2019), no 1-3, pp 313-325 [11] Kirsch A (2011) An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Volume 120 of Applied Mathematical Sciences, Springer, New-York, second edition 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [12] F Yang, C L Fu, The quasi-reversibility regularization method for identifying the unknown source for time fractional diffusion equation, Appl Math Model., 39(2015)1500-1512 [13] Nguyen Anh Triet and Vo Van Au and Le Dinh Long and Dumitru Baleanu and Nguyen Huy Tuan, Regularization of a terminal value problem for time fractional diffusion equation, Math Meth Appl Sci, 2020 [14] F Yang, Y P Ren, X X Li, Landweber iterative method for identifying a spacedependent source for the time-fractional diffusion equation, Bound Value Probl., 2017(1)(2017)163 [15] F Yang, X Liu, X X Li, Landweber iterative regularization method for identifying the unknown source of the time-fractional diffusion equation, Adv Differ Equ., 2017(1)(2017)388 [16] Yaozong Han, Xiangtuan Xiong, Xuemin Xue, A fractional Landweber method for solving backward time-fractional diffusion problem, Computers and Mathematics with Applications, Volume 78 (2019) 81–91 [17] Huy Tuan Nguyen, Dinh Long Le, Van Thinh Nguyen, Regularized solution of an inverse source problem for a time fractional diffusion equation, Applied Mathematical Modelling 000 Vol (2016), pages 1–21, doi: 10.1016/j.apm.2016.04.009 [18] Nguyen Huy Tuan, Le Dinh Long, Fourier truncation method for an inverse source problem for space-time fractional diffusion equation, Electron J Differential Equations, Vol 2017 (2017), No 122, pp 1-16, ISSN: 1072-6691 URL: http://ejde.math.txstate.edu or http://ejde.math.unt.edu [19] Daniel Gerth and Esther Klann and Ronny Ramlau and Lothar Reichel, On fractional Tikhonov regularization, Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2015 [20] Xiangtuan Xiong, Xuemin Xue, A fractional Tikhonov regularization method for identifying a space-dependent source in the time-fractional diffusion equation, Applied Mathematics and Computation 349 (2019) 292-303 [21] Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ (2006) Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Volume 204 (North-Holland Mathematics Studies), Elsevier Science Inc New York, NY, USA [22] Le Dinh Long, Nguyen Hoang Luc, Yong Zhou and Can Nguyen, Identification of Source term for the Time-Fractional Diffusion-Wave Equation by Fractional Tikhonov Method, Mathematics 2019, 7, 934; doi:10.3390/math7100934 24 ... thể mơ hình hố phương trình vi phân đạo hàm riêng với đạo hàm cấp nguyên phương trình elliptic, parabolic hay hyperbolic Việc mơ hình hố tốn dẫn đến khái niệm đạo hàm cấp không nguyên Những thập...LỜI CÁM ƠN Trong trình thực đề tài ? ?Khảo sát số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên? ??, nhận quan tâm, khích lệ từ phía lãnh đạo Khoa Khoa học Ban Giám hiệu Trường... HỌC Khảo sát số Phương trình đạo hàm riêng Cấp không nguyên Võ Thị Thanh Hà Ngày 18 tháng 04 năm 2022 Chương Giới thiệu tốn Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định hàm nguồn cho phương