Toán học cao cấp tập 3 nguyễn đình trí , tạ văn đĩnh, nguyễn hồ quỳnh

NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (Chủ biên) TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYEN Hồ QUỲNH TOAN HỌC CAO CAP TẬP BA PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIỀU BỊIẾN SỐ CD NHÀ XUẤT BÀN GIÁO DỤC NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên) TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN HĨ QUỲNH TỐN HỌC CAO CẤP TẬP BA PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SƠ (Tái bàn lẩn thứ chín) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Chương ỉ HÀM SỐ NHIÊU BIẾN số 1.1 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1.1 Định nghĩa hàm sô nhiêu biến sô Xét không gian Euclide n chiếu Rn (n > 1) Một phần tử X € Rn n số thực (Xj , x2, , xn) D tập hợp Rn Người ta gọi ánh xạ f : D -* R xác định X = (Xị , x2, , xn) G D f-» u = f(x) = f(xp x2, xn) e R hàm số n biến số xác định D ; D gọi miên xác dịnh hàm số f ; X|, x2, xn gọi biến số độc lập Nếu xem X, , X-,, , x„ cac tọa độ điểm M e Rn hệ tọa độ thỉ củng viết u = f(M) Trong trường hợp thường gặp n — hay n = 3, người ta dùng kí hiệu z = f(x, y) hay u = f(x, y, z) Trong giáo trình ta chi xét hệ tọa độ đêcac vng góc 1.1.2 Tập họp Rn • Giả sử M(Xị , x2 , , XR), N(y, , y2 , ỵn) hai điểm trorig Rn Khoảng cách hai điểm ấy, kí hiệu d(M, N), cho công thức n d(M, N) = (2 (Xj - yi)2)1/2 I *= Có thể chứng minh ràng với ba điểm A, B, c bất kl Rn, ta có d(A,C) d(A,B) + d(B,C) (bỗt đẰng thức tam giác) • Mo điểm thuộc R" Người ta gọi E - lán cận cùa M(1 tập hợp tẵt điểm M Rn cho d(Mo,M) < E Người ta gọi lân cận M tập hợp chứa E - lân cận đo' Mo• diểtn nằm điểm E tập họp Rn Điểm M e E gọi cùa E tổn £ - lân cận đo' M hoàn toàn E Tập hợp E gọi mỏ đêu điểm w Điểm N G Rn gọi điểm biên tập hợp E E - lân cận N đếu vừa chứá điểm thuộc E, vừa chứa điểm không thuộc E Điểm biên cùa tập hợp E thuộc E, khơng thuộc E Tập hợp tất điểm biên E gọi biển • Tập hợp E gọi dóng chứa điếm biên (tức biên cùa E phận E) Ví dụ : Tập hợp tất điểm M cho d(Mo, M) cho với cập điểm M’, M” thuộc D mà d(M’, M”) < -•-» f(x,yo) có đạo hàm X = xo, thi đạo hàm đo' gọi dạo hàm riéng cùa f dối với X M() kí hiệu fx(xo>yo) hay ỡu (xo>yo) hay ĩĩ (W yo) Ta có af _ x „ ax‘ —— (x„ > y,J = lim 7— ờx v °’ A ‘Ax Ax-»o Tương tự vậy, người ta định nghĩa đạo hàm riêng f y Mo, kí hiệu í) ỉ , 'ờ u fỵ(xo>yo) hay ịị (xo> yj hay tỹ yo) ■ Các đạo hàm riêng hàm số n biến số (n > 3) định nghỉa tương tự Khi tính đạo hàm riêng hàm số theo biến số nào, việc xem hàm số chi phụ thuộc biến số ấy, biến số khác coi không đổi, rỗi áp dụng quy tắc tính đạo hàm cùa hàm số biến số VÍ dụ : = x-v (x > ó) -— = yỵ) aX J VÌ dụ : * -— — XJ In X ay u = x3zarctg^ (z 0) 9u V au , —— = 3xzz arctg— , -— = XJ z âX z ay y2 z2 10 X3 z2 y2 + z2 ’ 16 Giải phương trình căp hai khuyết : 1) xy” - y’ = x2e* 2) y _ - x(x - 1) - o.y |x_2 - 1, y' |M_2 - -1 3>r + 2y(l-2y>-0,y|x_o = 0,y'|j_o = l 4) xy” - y’ = x2lnx, y |X=1 = - ị, y’ » -1 5) yy” - y’2 + y’3 = 6) y”2 + y’2 = a2 7) y” = À 2y 17 Giải phương trình vi phân : 1) x2(lnx - 1) y” - xy’ + y = 0, biết có nghiệm riêng dạng yj(x) = xữ, a E R 2) (2x + 1) y” + (4x - 2) y’ - 8y = 0, biết ràng có nghiệm riêng dạng yị(x) = e“*, a €■ R , 3) (x2 - 1) y” - 6y = 0, biết ràng có nghiệm riêng yj(x) có dạng đa thức 4) (2x - X2) y” + (x2 - 2) y’ + 2(1 - x)y = 0, y [ = 0, ix = = biết có nghiệm riêng yt(x) = e* y’ I 18 Giải phương trình (2x - X2) y” + 2(x - 1) y’ - 2y = -2 biết có hai nghiêm riêng y^x) = 1, y2(x) = X 19 Giải phương trình x(x + l)y” + (x + 2)y’ - y = X + ỉ biết ràng phương trình tương ứng cùa n - — < t < — £ A 25 Giải phương trình (1 + x2)y” + xy’ - y = bàng cách đổi biến số X = sht Giải phương trình x2y” - 2xy’ + (2 - x2)y = bàng y phép đổi hàm sổ phải tìm z = 26 27 Giải phương trình x2y” + 4xy’ + (x2 + 2)y = COíẻiX u phép biến đổi y = — 28 Đặt r = ^x2 + y2 + z2 Tỉm hàm số y>(r) hàm ■ % ư>(r) số u(x, y, z) = thỏa mãn phương trình 32u d2u , a2u S + 7-7 + TT = 4u dx ởy2 ởz2 29 Đặt r = ựx2 + y2 Tìm hàm số y>(r) hàm sổ Ở2U xy u(x, y) - ; 2.\x2—X _ n _ _ _ , < X < c , arcain(2x -1) „ ■ 4« - J? ^x -X2 2) y = Cx + (l+C)^ J _ • i X2 3)y = e"x(c+y) — ỘI 4) y « (1 + x2)(x + C) 6) y = lp(x ^2 t/x +1 5) y = (x + I)2 (y + X + I) ; 7) y2 - 2x = Cy3 (giải X theo y) ’ 8) y = Cx + x2arctg£ — 7rln(x2 + 1) 10) y = 9) y = o x2lnx y = (X2 + 1)"^ (y + ln|x| + C) Cx3 - + (2x2 - 1) ^1x2 + - y = x(l + J e’dt) ì) y2 XX c( H.1)24».^ 3) y lax + + Cx2) » J , 2) Ax2 + + Cế'2) - 4) y = e" * ( e* 5) x= 7(iiJ7]Tc) («^x theoy)ỉ6) X 9.y = X22 + I)2 -^+2- X3 - 267 •% 1) ~ + x + xy 11 +3y = c 2) 3) In I 31 y “ c ; I xl X -y > 4) 1) «(x) = * e ; *ye ( X2 + =c \ o/ > 3) a(xy) = x^y2 2) a(y) = -7 ; 77 + X2 - c y2 y ; I tó + -1- = c 21 xy X2 1} ? = c^4? ; 13- J" ln|x + yl — • = c 71 X +y X — —= c ; 6) X3 (1 + Iny) - y2 = c y ' 5) sin-j- — COS7 + X y 12 X4 + 3x2y2 + y3 = c 3) xy = C(x3 + y3) • X 2) y = *xarctg(ln| cl) t2 t4 4)x = t + t3,y = -y+3~+C 5) Phương trình Clairaut Nghiệm táng quát y = Cx 4- 77 Nghiệm kì dị y2 = 4x 6) Phương y = Cx + trình Lagrange Nghiệm tổng quát Nghiệm kì dị (x + y)2 + 2x - 2y + =0 (u + I)2 r— 2u - _ 7) X = -u + “In-;— + V3arctg f— + c u2-u + l V3 u2 y “ u3 + l , , , y’ (Tham số hóa phương trình theo t = —», rói dặt u = -p ’ 14 1) y = Ke p ; 3) y = K(x2 + y2) 268 K 2) y = X 4) (x2 + y2)2 = Kxy , Cx2 + 15 yc(x) = - xz, y =x 16 l)y-ết(x-l)+C1x2+C2 ;2)y = ~ (3x4-4x3-36x2+72x + 8) X3 y 3)y = 2S+I>; 4) y"3 O’* a) 5) y - Cị In lyl = X + C2 ■ 6) y = C2 ± acos(x + Cj) 7) y - ± g(x + Cj)^2 + c2 - 2x] 2) y = c^-2* + C2 J 17 l)y = C]X + C2ln|x| • „ - x) + _c,p [ -3|x ~ + 3xix2 — 1) X+1n 3) y = Cj(x — In|I 7^1 1] 4) y = X2 - ex~1 ■ 18 y = CjX2 + C2(x - 1) + 19- y = ^2~ln|x| + Cj(x + 2) + c2- + I ' 20 1) y = Ị (X -*ln(e + 1) + * -In c.)(e 2) y = e^Cj + *(e + l)+c ) + x)5/2) 3) y = CjCosx + C^inx - costxln Ị ( + 4) [ 4) y = *Cqe 2* + C2e-3x + e-2xln(l + e2^ + e-3x*arctge 5) y = CjCOSx + C^inx - Vcoa2x „ 5sinx + 7cosx 21 1) y = C.eK + c2e6x + — z 74 2) y - CjCos3x + CjSinSx + g®3* 269 3) y = Cj + C2e3x + X2 4) — _ e -x,„ y =a ex(C]C0SV2 X + C2siny2 x) + yj"(5cosx - 4sinx) 5) X y = CjCos2x + C2sin2x - coẩỉx 6) y = (Cj + C2*x)e~ 7) y = Cje5x + C2e4x — ( ,jX3 + X2 + 2x) e4x 8) y = 9) y = e-x(Clcos2x + c^iíứx) + e-* ( gXcos2x + ^■x2sin2x^ + 2x2e-x + C2e~5x + |ơx 10) X2 x2cos2x 4xsin2x I3cos2x y = CjCosx + CjSinx + y - I y— + g— + -—27— 11) y = Cj + C2e3x + gxe3x + 3x2 + 2x 12) 3x y = C.cosx + c,sinx — 7^rcos3x + ~7.-sinx 13) y = e-^Ci + 14) y = cosax + 2a (ex - 1) sinax + ~x2 — ^cos2x) 15) Nếu a # -3, y = (C, + C7x)e“3x + ' (X (a + 3)2 \ « + 3/ X3 Nếu a = -3, y s= (Cj + c^e 3x + ye 3x 270 .1 X Nếu m * 0, m * 1, y = c ,ex + C,enK + xex ’ ’J 1-m m 16) Nếu m = 0, y = Cjex + C2 + xe * Nếu m = 1, y = (Cj + Cix)e * Cj n r_ = -~r+ X2 r C7 X2 L 2 £ —=7 m m2 X2 + ” + 2x + —x2^ - X - 11 + £ ln2x - 77 In X I 16 J 22 y 23 y = Cjex + C2 - cosex 24 y 25 y = 26 y = xfC^ + c2e'x) 27 y = X2 = c —X • + -c *1 “ ~X x2~- 211 * —arctgK 11 + X2 2l+x2 4l+x2 + X2 + x) 4- C2(V + X2 - x) X2 (C.cosx + C2sinx — cosxln|cosx[ + xsinx) 28 y>(r) = Cje2r + C2e”2r 29 Nếu a # 2, a 4,