Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên báo cáo tổng kết đề tài khoa học cấp trường

BỘ CÔNG THƯƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƯỜNG Tên đề tài Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng c[.]

BỘ CÔNG THƯƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƯỜNG Tên đề tài: Khảo sát số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên Mã số đề tài: 21/1CB03 Chủ nhiệm đề tài: TS Võ Thị Thanh Hà Đơn vị thực hiện: Khoa Khoa học Tp Hồ Chí Minh, … LỜI CÁM ƠN Trong trình thực đề tài “Khảo sát số phương trình đạo hàm riêng cấp khơng ngun”, chúng tơi nhận quan tâm, khích lệ từ phía lãnh đạo Khoa Khoa học Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp TPHCM Hơn nữa, đề tài thực nhờ hỗ trợ mặt kinh phí từ phía trường Đại học Công nghiệp TPHCM Chúng xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc tới Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghiệp TPHCM, lãnh đạo Khoa Khoa học bản, phản biện giúp đỡ chúng tơi hồn thành đề tài nghiên cứu PHẦN I THƠNG TIN CHUNG I Thơng tin tổng qt 1.1 Tên đề tài: Khảo sát số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên 1.2 Mã số: 21/1CB03 1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực đề tài TT Họ tên (học hàm, học vị) Đơn vị cơng tác Vai trị thực đề tài TS Võ Thị Thanh Hà Khoa Khoa học Chủ nhiệm đề tài ThS Hồ Duy Bình Đại học Thủ Dầu Một Thành viên 1.4 Đơn vị chủ trì: Khoa Khoa học 1.5 Thời gian thực hiện: 12 tháng 1.5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 03 năm 2021 đến tháng 03 năm 2022 1.5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng… năm… 1.5.3 Thực thực tế: từ tháng 03 năm 2021 đến tháng 03 năm 2022 1.6 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có): (Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết nghiên cứu tổ chức thực hiện; Nguyên nhân; Ý kiến Cơ quan quản lý) 1.7 Tổng kinh phí phê duyệt đề tài: 55 triệu đồng II Kết nghiên cứu Đặt vấn đề a) Tình hình nghiên cứu quốc tế Trong năm gần đây, nhiều tốn khơng thể mơ hình hố phương trình vi phân đạo hàm riêng với đạo hàm cấp nguyên phương trình elliptic, parabolic hay hyperbolic Việc mơ hình hố toán dẫn đến khái niệm đạo hàm cấp không nguyên Những thập kỷ gần giai đoạn tốn với đạo hàm cấp khơng nguyên phát triển mạnh mẽ ứng dụng sâu rộng vào nhiều lĩnh vực khoa học với số lượng lớn báo, sách chuyên khảo nhiều nhà toán học giới S.G Samko, A.A Kilbas, O.I Marichev [41,50], R Gorenflo, Y Luchko [3,4,5,5], K.S Miller, Bertram Ross [7,8], I Podlubny [9], R Hilfer [10], K Diethelm [11], [1] S.G Samko, A A Kilbas and Oleg I Marichev; Fractional integrals and derivatives, Theory and Applications, Gordon and Breach Science, Naukai Tekhnika, Minsk (1987) [2] K.S Miller, S.G Samko, Completely monotonic functions, Integral Transforms Spec Funct, 12 (2001), 389–402 [3] R Gorenflo, F Mainardi, Fractional calculus: Integral and differential equations of fractional order, in: A Carpinteri, F Mainardi (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer-Verlag, New York, (1997), 223–276 [4] Y Luchko, Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 351(2009), 218-223 [5] Y Luchko, Some uniqueness and existence results for the initial–boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation, Comput Math Appl, 59 (2010), 1766–1772 [6] F Mainardi, Y Luchko and G Pagnini The fundamental solution of the space-time fractional diusion equation, Fract Calc Appl Anal, (2001), 153-192.[7] K.S Miller and B Ross; An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, Jon Wiley and Sons, New York (1993) [8] K.S Miller, S.G Samko, Completely monotonic functions, Integral Transforms Spec Funct, 12 (2001), 389–402 [9] I Podlubny; Fractional differential equations, Academic Press, London, 1999 [10] R Hilfer; Fractional calculus in Physics, World Scientific, Singapore (2000) [11] Kai Diethelm; The analysis of fractional differential equations, Springer, Berlin, 2010 b) Tình hình nghiên cứu nước Ở Việt Nam nay, có cơng trình lĩnh vực phương trình vi phân với đạo hàm cấp khơng ngun Chẳng hạn nhóm nghiên cứu GS Nguyễn Đình Cơng PGS Đồn Thái Sơn (Viện Tốn Học) với cơng trình [1,2,3], nhóm nghiên cứu PGS Trần Đình Kế (Đại Học Sư Phạm Hà Nội) với cơng trình [4,5,6] [1] N.D Cong, D.T Son, S Siegmund, H.T Tuan, An instability theorem for nonlinear fractional differential systems Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 22 ( 2017), 3079 - 3090 [2] N.D Cong, H.T Tuan, Existence, Uniqueness and exponential boundedness of global solutions to delay fractional differential equations, Mediterranean Journal of Mathematics, 14 (2017) [3] N D Cong, H T Tuan, Generation of nonlocal fractional dynamical systems by fractional differential equations Journal of Integral Equations and Applications, 29 (2017), 1-24, [4] T.D Ke, D Lan, Fixed point approach for weakly asymptotic stability of fractional differential inclusions involving impulsive effects J Fixed Point Theory Appl, 19 (2017), 2185-2208 [5] T.D Ke, V T Tran, Finite-time attractivity for semilinear fractional differential equations Results Math, 73 (2018), – 19 [6] J Kemppainen, J Siljander, V Vergara, R Zacher, Decay estimates for time-fractional and other non-local in time subdiffusion equations in , Mathematische Annalen, 366 (2016), 941–979 c) Đánh giá kết cơng trình nghiên cứu công bố (ưu, khuyết, tồn tại…) Các cơng chưa khảo sát tính chỉnh tốn ngược thời gian Cũng tồn nghiệm tính quy hóa cho tốn thuận Đó động lực để thực đề tài d) Tính cấp thiết tiến hành nghiên cứu (tính mới, tính khoa học) Đây hướng nghiên cứu mẻ, có nhiều tiềm thu hút quan tâm lớn từ nhà toán học Ở đề tài này, chúng tơi khảo sát số tốn cho phương trình với đạo hàm cấp khơng ngun phương trình Rayleigh-Stokes, phương trình khuếch tán, … cho trường hợp tất định trường hợp ngẫu nhiên Mục tiêu Mục tiêu tổng quát a) • • • Khảo sát tính tồn tại, nghiệm tính quy hóa nghiệm cho tốn phi tuyến hai trường hợp tất định ngẫu nhiên Chỉ tính khơng chỉnh xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho tốn ngược thời gian Nghiên cứu phương pháp số để minh họa cụ thể cho đánh giá sai số tốc độ hội tụ nghiệm chỉnh hóa b) Mục tiêu cụ thể Đối với hai loại toán tất định ngẫu nhiên, hướng đến nội dung sau: • • • • Sử dụng định lý điểm bất động Banach để thiết lập tồn tại, nghiệm tốn khơng gian nghiệm thích hợp Sử dụng tính chất hàm Gamma, hàm Beta, hàm Mittag-Leffler để đánh giá toán tử nghiệm, kết hợp với việc sử dụng phép nhúng khơng gian Sobolev, để thiết lập tính quy hóa nghiệm khơng gian khác Đưa ví dụ minh họa cụ thể để tính khơng chỉnh cho nghiệm tốn ngược thời gian Sau đó, sử dụng phương pháp chỉnh hóa thích hợp phương pháp chặt cụt, phương pháp Quasi-reversibility, phương pháp lọc, … để xây dựng nghiệm chỉnh hóa Sau đưa đánh giá hội tụ nghiệm chỉnh hóa, chúng tơi sử dụng ví dụ số cụ thể để minh họa cho kết Phương pháp nghiên cứu Nội dung 1: Thiết lập công thức nghiệm - Cách tiếp cận: Lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng khải triển chuỗi Fourier không gian Hilbert Nội dung 2: Khảo sát tính chất nghiệm - Cách tiếp cận: Lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng định lý điểm bất động Banach để thiết lập tồn tại, nghiệm Nội dung 3: Thiết lập tính quy/Thiết lập nghiệm xấp xỉ - Cách tiếp cận: Lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Chỉ tính khơng chỉnh xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho toán ngược thời gian Đối với toán thuận, chúng tơi sử dụng tính chất hàm Gamma, hàm Beta, hàm Mittag-Leffler để đánh giá toán tử nghiệm, kết hợp với việc sử dụng phép nhúng không gian Sobolev, để thiết lập tính quy hóa nghiệm khơng gian khác Nội dung 4: Viết báo - Cách tiếp cận: Lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Lý thuyết Tổng kết kết nghiên cứu Trong đề tài này, nghiên cứu tốn xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp không nguyên Conformable Bằng Phương pháp Fractional Tikhonov, thiết lập nghiệm chỉnh hóa đánh giá hội tụ cho hai trường hợp chọn tham số hậu nghiệm tiên nghiệm Hơn nữa, phương pháp chặt cụt xét đến Đánh giá kết đạt kết luận Đề tài ý tưởng không trùng lặp với cơng trình cơng bố ngồi nước Sản phẩm đề tài báo thuộc danh mục Scopus (Q3) Tóm tắt kết (tiếng Việt tiếng Anh) Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm conformable: (𝛾) 𝐶𝑜𝐷𝑡 𝑢 − ∆𝑢 = 𝛷(𝑡)ℱ(𝑥), 𝑥 𝜖 𝛺, < 𝛾 < 1, (𝑥, 𝑡) 𝜖 𝛺 × (0, 𝑇) Chúng khảo sát nội dung sau: ➢ Đánh giá sai số nghiệm nghiệm chỉnh hóa cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm ➢ Đánh giá sai số nghiệm nghiệm chỉnh hóa cách chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm ➢ Thiết lập nghiệm chỉnh hóa đánh giá sai số In this report, we study inverse source for diffusion equation with conformable derivative: (𝛾) 𝐶𝑜𝐷𝑡 𝑢 − ∆𝑢 = 𝛷(𝑡)ℱ(𝑥), 𝑥 𝜖 𝛺, where < 𝛾 < 1, (𝑥, 𝑡) 𝜖 𝛺 × (0, 𝑇) We survey the following issues ➢ The error estimate between the sought solution and the regularized solution under a priori parameter choice rule ➢ The error estimate between the sought solution and the regularized solution under a posteriori parameter choice rule ➢ Regularization and estimate by Truncation method III Sản phẩm đề tài, công bố kết đào tạo 3.1 Kết nghiên cứu ( sản phẩm dạng 1,2,3) TT Ghi chú: Tên sản phẩm Bài báo Scopus Yêu cầu khoa học hoặc/và tiêu kinh tế - kỹ thuật Đăng ký Đạt 01 01 - Các ấn phẩm khoa học (bài báo, báo cáo KH, sách chuyên khảo…) chấp nhận có ghi nhận địa cảm ơn trường ĐH Công Nghiệp Tp HCM cấp kính phí thực nghiên cứu theo quy định - Các ấn phẩm (bản photo) đính kèm phần phụ lục minh chứng cuối báo cáo (đối với ấn phẩm sách, giáo trình cần có photo trang bìa, trang trang cuối kèm thông tin định số hiệu xuất bản) 3.2 Kết đào tạo Thời gian Tên đề tài TT Họ tên thực đề tài Tên chuyên đề NCS Đã bảo vệ Tên luận văn Cao học Nghiên cứu sinh Học viên cao học Sinh viên Đại học Ghi chú: - Kèm photo trang bìa chuyên đề nghiên cứu sinh/ luận văn/ khóa luận bằng/giấy chứng nhận nghiên cứu sinh/thạc sỹ học viên bảo vệ thành công luận án/ luận văn;( thể phần cuối báo cáo khoa học) IV Tình hình sử dụng kinh phí T T A B Nội dung chi Chi phí trực tiếp Thù lao chủ nhiệm đề tài Thuê khốn chun mơn Văn phịng phẩm Chi phí gián tiếp Tổng số Kinh phí duyệt (triệu đồng) 55.000.000 34.910.700 19.861.700 227.600 55.000.000 Kinh phí thực (triệu đồng) 55.000.000 34.910.700 19.861.700 227.600 55.000.000 Ghi V Kiến nghị ( phát triển kết nghiên cứu đề tài) VI Phụ lục sản phẩm ( liệt kê minh chứng sản phẩm nêu Phần III) Hợp đồng thực đề tài nghiên cứu khoa học Thuyết minh đề tài phê duyệt Quyết định nghiệm thu Hồ sơ nghiệm thu (biên họp, phiếu đánh giá, bảng tổng hợp điểm, giải trình, phiếu phản biện) Sản phẩm nghiên cứu (bài báo) Chủ nhiệm đề tài Tp HCM, ngày tháng năm Phòng QLKH&HTQT Khoa Khoa học Trưởng khoa PHẦN II BÁO CÁO CHI TIẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Khảo sát số Phương trình đạo hàm riêng Cấp khơng ngun Võ Thị Thanh Hà Ngày 18 tháng 04 năm 2022 Chương Giới thiệu toán Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp khơng nguyên Conformable: (γ) CoDt u − ∆u = Φ(t)F ( x ), < γ < 1, ( x, t) ∈ Ω × (0, T ) Chúng tơi khảo sát nội dung cụ thể sau: • Đánh giá sai số nghiệm nghiệm chỉnh hóa cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm • Đánh giá sai số nghiệm nghiệm chỉnh hóa cách chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm • Thiết lập nghiệm chỉnh hóa đánh giá sai số L p Xét toán (γ) CoDt u( x, t) − ∆u( x, t) = Φ(t)F ( x ), x ∈ Ω, (1.1) u( x, t)| x∈∂Ω = 0, t ∈ (0, T ), (1.2) u( x, 0) = u0 ( x ), x ∈ Ω, (1.3) u( x, T ) = ℓ( x ), x ∈ Ω, (1.4) với ràng buộc điều kiện đầu điều kiện cuối (γ) Hàm u = u( x, t) biểu thị cho mật độ chất vị trí x thời điểm t CoDt ký hiệu đạo hàm Conformable theo biến thời gian với cấp đạo hàm γ ∈ (0, 1)
Φ ≤ Φ ϵ ( t ) ≤ B | Φ |, | Φ | (2.1) Chứng minh Chứng minh bổ đề có [20] Bổ đề 2.2 Những điều sau đúng: 2d d < s ≤ 0, p ≥ , d − 4s d 2d D(As ) ,→ L p (Ω), − < s ≤ , p ≤ · d − 4s L p (Ω) ,→ D(As ), − 2.2 (2.2) Công thức hàm nguồn F Trong mục này, giới thiệu nghiệm mild toán giá trị đầu sau  γ  CoDt u( x, t) − ∆u( x, t) = Φ(t)F ( x ), x ∈ Ω u( x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ],   u( x, 0) = u0 ( x ), x ∈ Ω (2.3) Dùng phương pháp tách biến để tìm nghiệm (2.3) Giả sử u có biểu diễn chuỗi Fourier sau ∞ u( x, t) = u ( t ) e ( x ) , with u ( t ) = u (· , t ) , e (·) j j j j ∑ (2.4) j =1 Từ (2.4), ta có ∞ u j (t) = ∑ h
exp − λ j tγ γ−1 u0,j j =1 + F (·), e j (·) Z t i

ςγ−1 exp − λ j tγ − ςγ γ−1 Φ(ς)dς e j ( x ) (2.5) Đặt t = T u0,j = 0, ta nhận ∞ ℓ j (x) = u j (T ) = ∑ j =1 T h F (·), e j (·) Z i
ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς e j ( x ) (2.6) 2.3 Tính khơng chỉnh tốn tìm hàm nguồn Từ (2.6), ta có ∞ ∑ RT F (x) = j =1 ℓ(·), ej (·) · ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς
nghĩa ∞ ∑ RT F (x) = j =1 ℓ(·), ej (·) ej (x) · (2.7) ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς
2.3 Tính khơng chỉnh tốn tìm hàm nguồn Định lý 2.1 Bài toán xác định hàm nguồn khơng chỉnh Chứng minh Ta xác định tốn tử tuyến tính L : L2 (Ω) → L2 (Ω) sau: h ZT ∞ LF ( x ) = ∑ ς j =1 = Z γ −1 exp − λ j ( T − ς )γ γ γ −1
Φ(ς)dς i F (·), e j (·) e j ( x ) (2.8) k ( x, ξ )F (ξ )dξ, Ω ∞ k( x, ξ ) = ∑  ZT j =1 ς γ −1 exp − λ j ( T − ς )γ γ γ −1
 Φ(ς)dς e j ( x )e j (ξ ) Vì k ( x, ξ ) = k(ξ, x ), nên L toán tử tự liên hợp Tiếp theo ta chứng minh tính compact Giả sử ta xác định L N sau  N  ZT
γ −1 γ γ −1 L N F (x) = ∑ ς exp − λ j ( T − ς )γ Φ(ς)dς F (·), e j (·) e j ( x ) (2.9) j =1 Dễ dàng kiểm tra L N toán tử bị chặn, hữu hạn chiều Khi đó, từ (2.8) (2.9), ta có: L N F − LF L (Ω) = ∞  ZT j = N +1 ∑ ≤Φ ∞ ∑ 2
ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς F (·), e j (·)  ZT ς j = N +1 γ −1 exp − λ j ( T − ς )γ γ γ −1
2 dς F (·), e j (·) | {z Vγ2 } (2.10) 2.3 Tính khơng chỉnh tốn tìm hàm nguồn Xét tích phân Vγ = ZT γ
ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 dς, cách đặt Vγ = γ ZT ςγ = ω, sử dụng phương pháp đổi biến, ta có γ

 1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 dς ≤ − exp − λ j T γ γ−1 ≤ · (2.11) λj λj Kết hợp (2.10) (2.11), ta có L N F − LF L (Ω) ≤Φ ∞