Theo tính chất không gianTôpô suy ra tổn tại duy nhất một không gian Tôpô Tụ trên X nhận .⁄¿ làm hệ các lân cận của x và theo định nghĩa của _⁄£thì ta thấy ngay #2?. là cơ sở lân cận của
Trang 1f BO GIAO DUC VA DAO TAO ` TRUONG DALHOC SU PHAM
KHOA TOAN
Lo
Khoa luận tot nghiệp
NGUYEN LY ENTROPI
TRONG MOT SO KHONG GIAN TOPO
Bộ mơn: Tốn Giải Tích
GVHD: PTS.Nguyén Bich Huy SVTH: Pham Van Hién
Trang 2
Loken un U8 wgbeity bikin 1965 - 1994 Bp méo Tod Gide Tick
MỤC Lục
=<©
1; LỚI VỀ Mi cá 1442400202063 A868046060/6%yawas Trang 2
1:11 nội TÂN, sxö::2c55á2-Gi2G0041G010àả48/006i020)04d4160444G0/6xia22181G4112/00 Trang 3
Bs HãI 1: Nguyễn lý EOHPODasaeeeeaeseagadosuevedaeeennnardtbeamannsene Trang 4
I Nguyên lý Entropi trừu tượng .- -cs«-s<<cằ Trang 4 II Một số mở rộng nguyên lý Entropi - 5⁄52 Trang 6
4 Bài 2: Không gian Tôpô kiểu E -. 552cc Trang 10
I Không gian Tôpô kiểu E -.-oĂSĂ<5c5cxsvee Trang 10
II Ấp dụng nguyên lý Entropi trong KG Tôpô kiểu E Trang 15 5 Bài 3: Các ứng dụng trong không gian Tôpô kiểu FE Trang 17
I Nguyên lý biến phân Ekerland - 5 5<<-52 Trang 17 YT Định ý điểm bất động 02c 02006 ỹŸyŸe Trang 22 Š,.Tãi Hậu that KH¬O tua ceeieseuonaoareiiaaaadnesaeeanodenvee Trang 26
Trang 3
Á„X, «2 XẾT sý6‹/ Áđ« 7S — 7/7 BG mon Token Git Tick
7 ,
Sot cdin on
Em xin chan thành aẳm ơn Thay NVguyén
- Rich Huy da tan tình qiảng dạu em trong
nhang nam hoe qua, tạo nến Kiến thức quu bau va da hướng dan cho em thee hizn ban luận vdn
nay
Em củng xửi shan thanh edm ơn quy Thay
C6 va Ban Chi SVhiem khoa Toan da tan tinh
gidng day husng dẫn em trong sudt qua trình
| hoe tạp ở ‘Pai hoc va da tao điều kizn cho em
shia Wie bin Coan cite Wy,
U day la lain ddu tien em thực hign
nghiem tue vite nghien atu khoa hoe nén chde
chẩn có nhiêu sai sdf va han chế Em kink mong
sự đóng gop xdy dung cua cua Quy Thay Co
Em xin chan thank cam on f
tw
Trang 4Locke she 84 whet, bia 1965 — 7/// Bp mde Tod Gites Tih LOI NOI DAU > Ee
Một tập hợp X có thứ tự được liểu là tập được xếp một phần nghĩa là giữa một số cặp phần từ của X được xác định quan hé “s"sao cho với mọi x, y, z € Ä ta có:
l) xẾx
ii) Nếu x <y và y <x thì kéo theo x = y
iit) Nếu x <y và y <z thì kéo theo x < z
Quan hệ thứ tự trong một tập hợp được ting dụng nhiều trong Giải tích hàm và Tôpô Thông thường việc đưa vào một quan hệ thứ tự thích hợp sẽ giúp khắc phục các xây dựng Tôpô phúc tạp trong các chứng mình hoặc làm giảm bớt các giả thiết về ánh xạ Chẳng hạn bổ dé Zorn va cdc dạng tương đương của nó dùng để chứng mình định lý Hahn - Banach, định lý Tychonov về tích các không gian Compac, Hay như trong luận văn này là tính liên tục dưới của ánh xạ
Trong luận văn này chúng tôi trình bày nguyên lý
EntropL trong một tập hợp được xếp, tìm ra một số mở rộng
của nó (Bài 1l) Từ những mở rộng đó chúng tôi chứng mình một số kết quà về bài toán biến phân, về điểm động trong một loạt các không gian Tôpô đặc biệt (Bài 3) Loạt các
không gian đặc biệt này được gọi chung là không gian Tôpô
Trang 5Ladin uhr 164 ghey hha IF9S — 1994 BG =4» lá» (x4 Fe£ §, NGUYEN LY ENTROPI LNGUYÊN LÝ ENTROPI TRƯỮU TƯỢNG ĐINH LÝ 1.1 Giả sử:
(1)X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy đơn điệu tăng trong X có một cận trên, nghĩa là mỗi dãy (u„} có u; < uạ„; với mọi neN, luôn suy ra tổn tại v € X sao cho u„ < v, với mọi n e N,
(2)S: X23 [-,+#) là một hàm đơn điệu ting va bi chan trên,
nghĩa là từ u < v luôn luôn suy ra S(u) < S(v) và tổn tại một số thực c sao cho S(u) < c, với mọi u € X
Thế thì:
Tổn tại u € X sao cho:
(3) Với mọi v e X, v >u kéo theo S(u) = S(v)
Chứng mình định lý
Chọn một phần tử cố định tuỳ ý u = u, thuộc X rồi dựng theo quy nap day (u;)„ đơn điệu tăng như sau:
Giả sử u„ đã chọn, chúng ta đặt:
M, = {u e X|u„<u] và ff, = Sup S(x)
se My,
Nếu (3) thỏa với u„ thì chúng ta đã chứng mình xong
Nếu không, ta có B„ > S(u,) và có thể chọn một u„„, sao cho:
B„ - S(u;„¡) S Z (B„ - S(u,)]
Trang 6Lukin utr TE nghety bhia 1995 — 1999 BG mde Toke Gots Tick
Giả sử u không thỏa (3) thì tổn tại v e V sao cho u < v mà
S(u) < S(v) Dãy (S(u,))„ đơn điệu tăng và bị chặn trên nên theo (2) nó
hội tụ
Từ u„< u với mọi n và tính đơn điệu của S ta suy ra:
lÌma › = S(u„) < S(u)
Vì v >u mà u 3 u„ với mọi n nên v 3 u„ với mọi n Vậy v € M, với mọi n Do đó ta có 2 S(u,,¡) - S(u,) 3 Ba z S(v) với mọi n Chon > ø ta có: lim S(u,) > S(v) ae? Từ đó ta suy ra được S(u) > S(v) mâu thuẫn với giả thiết của phản chứng Vậy định lý được chứng minh HE QUA 1.2: Giả sử:
(1)X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy đơn điệu giảm trong X có một cận đưới, nghĩa là mỗi dãy {u„} có u„„¡ < uạ với mọi n € N, luén suy ra tổn tại v e X sao cho u„ 3 v, với mọi n e N
(2)S: X >[-s, +) là một hàm đơn điệu tăng và bị chặn dưới,
nghĩa là từ u < v luôn luôn suy ra S(u) < S(v) và tổn tại một số thực c sao cho S(u) > c, với mọi u e X
Thế thì:
Tổn tại u e X sao cho :
(3) Với mọi v e X, u 3 v kéo theo S(u) = S(v)
Chúng mình lệ quả
Định nghĩa quan hệ mới trên X như sau: x 3` y © y 3x
Khi đó mọi đãy tăng trong X đều có cận trên
Trang 7
Laden wh XếY s24 Á« 1995 — 7994 lệ xóa led (ó4 Tech
Thật vậy nếu dãy (uạ)„ tăng suy ra uạ¿;¡ >` uạ với mọi n suy ra u„ > uạ„¡ nên (u,)„ là dãy giảm với “> “ vì vậy theo giả thiết định lý tổn tại u sao cho u„> u với mọi n suy ra u 3” uạ với mọi n
Đặt S': X > R xác định bởi S`(x) = -S(x) với mọi x e X Khi đó vì § là hàm tăng bị chặn dưới nên S” là hàm tăng bị chặn trên (với quan
hệ mới)
Thật vậy nếu x2’ y <> y >x = S(y) = S(x) = S’(x) 2 S'(y)
(ting), tiv S(x) > a (chan dudi) vdi moi x suy ra S’(x) S -a (chan trén) Ấp dụng nguyên lý vdi S’ ta c6 tén tai u € X sao cho với mọi
ve Xmà v>`unghĩa là v <u thì S'(u)= S'(v)
Hệ quả được chứng minh
u MOT SO MO RONG CUA NGUYEN LY ENTROPI
ĐỊNH LÝ 1.3:
Giả sử:
(1) X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy đơn điệu tăng trong X có một cận trên, nghĩa là mỗi dãy {uạ} có uạ < uạ¿¡ với mọi n€N, luôn suy ra tổn tại v X sao cho uạ < v, với mọi n e N
(2) Q,: X > [- 0 ,+0)(A € D vdi D 1a mot tập có thứ tự toàn
phần) là một họ các hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên, nghĩa là từ u < v luôn luôn suy ra (;(u) < @;(v) và tổn tại một số thực c
sao cho @;(u) < c, với mọi u € X
(3) Ta xây dựng hàm í, : X > R được xác định
f;(u) = sup {@;(x) |x>u | Giả sử @; thỏa điều kiện:
Với mọi u e X nếu D; z |A.e D | p,(u) < f,(u)} # @ thì P,(u)+ f,(u) 2 ave ul <ø,(v) }#Ø Thế thì:
Tổn tại u e X sao cho :
(1) Với mọi v e X, v >u kéo theo @;(u) = 0;(v) với mọi À e D
Trang 8
Ladin whe UH rghety 4a 7S — 70// BG mén Todp Gide Tick
Chiing minh dinh I
Chọn một phần tử cố định tuỳ ý u = u¡ thuộc X rồi dựng theo quy
nap day (u,), đơn điệu tăng như sau:
Giả sifu, da chọn, chúng ta đặt: Mạ = {u e X| uy <u] Khi đó f;(u,) = sup {i q›(x)]
Xét A e D, ta có hai trường hợp
I) Nếu như (4) thỏa với ^À thì ta ngưng xét À,
2) Ngược với l) ta sẽ có (0;(uạ) < Í;(uạ) suy ra
Dị ={^AeD| 0;(u,) < 6(u,)} # Ø, nên theo giả thiết định lý ta có:
V,en{ve u, | p,(u)+ f,(u)
Ae D, 2
<ø,(v) )#Ø
Chọn Uns € Va
Cứ như vậy ta sẽ xây dựng dudc mét day (u,), tang trong X (Do
Uns; € V, ta SUY ra Uy S Uys; VOI MO! N)
Theo giả thiết định lý thì tổn tại cận trên u của (uạ); tức là uạ < u với
mọi n
Bây giờ ta sẽ chứng minh u là phần tử cẩn tìm:
Thật vậy, lấy ve X mà v > u và À e D, ta có hai trường hợp xảy ra:
I Nếu đãy (u,)„ bị dừng ở bước nọ tức là với mọi x € X ma x 2 u, thì ta
SẼ có @;(X) = q›(ua ) Khi đó ta có u 3 uạ vì u 3 uạ với mọi n, suy ra v 2u; và vì vậy (0;(v) = @;(u; ), @¿(u) =@¿(uạ ) suy ra 0¿(v) = @()
2 Day (u,), vO han phan ur
Xét dãy ((;(u,))„ tăng bị chặn trên nên hội tụ
Mà ta có uạ < u < v nên do @; là hàm tăng ta suy ra
@;(uạ) < 0;(u)Š MACY)
Cho n > © ta dude lim (0;(u;) < @;¿(u) < @;(v) (*)
Trang 9
Lauder wher C1 nghety hha I995 — 1994 BG mdm Toke Gk Tock
Vi Hạ Ssv VE M, “> (q0;(u;) + (0;(v) < q@;(u„) + f,(u,) < 2@;(uz„¡)
Cho n > ta được lim@;(u„) + @;(v) < 2lim @;(u,) => @;(v) < lim @;(u„)
see a%«
Kết hợp (*) ta suy ra lim (@;(u„) = t0;(u) = t0¿(v)
Định lý được chứng mình
Nhân vét:
Tập hợp X nêu trong các định lý trên là tập được xếp, có thể là
xếp bộ phận cũng có thể là xếp toàn phẩn Tuy nhiên trong trường hợp X được xếp toàn phần thì với dinh lý 1.3 chúng ta có thể chỉ: ra một điểu kiện đủ để (3) đúng:
Ta gọi (0) là điều kiện sau:
“Với mọi u e X nếu D, z [À e D | @;(u)< f;(u)} # @Ø thì
Alive | M,(u)+ f,(u)
Aa tT 2
S—,(v) } #2”
Ta xét diéu kién (ii) : X 1A compac và g, nWfa lién tuc trén Ta sẽ chứng minh rang tif (ii) suy ra (i):
Với mọi u € X, dat V", = {v2 u | P,(u) + f,(u) <ø,(v) }
2
Do u cố định và 2 cũng cố định nên từ tính nửa liên tục trên của
@; thì mọi tập hợp {v | @;(v) > a| là tập đóng suy ra V”; là tập đóng
Tiếp theo ta sẽ chứng minh họ ( V”; |; „p là họ tập hợp có tâm thì
khi đó do tính compac của X ta sẽ được V”; # Ø Le Dh Đặt Dạ, là tập con hữu hạn khác rỗng của Dị, (giả sử rằng D, 4 @) Din = (Aas Age -oce An} Để chứng mình V”;¿ # Ø không mất tính tổng Le Dw
quát ta chỉ cần chifng minh rang V°, > V", # Ø, À¡ và À; thuộc Dị;
Do 3; thuộc D, nên theo phẩn chứng minh của định lý thì
Vv", + 2
Trang 10
Á.Á,- uhr tit vgbety bhda I995 — 1994 KỆ án led» (các Tế
Lấy vị thuộc V”; , nếu vị V”; thì coi như ta đã chứng minh xong Nếu vị không thuộc V”; thì do vị > u nên ta có: (0 (u) < @a (vị) < ' CS dụ) suy ra tổn tại vạ € V*; để 2 1 ,(u}+* TT (}) 2 (; và xếp toàn phẫn của X ta suy ra v; 3 vị >u = @¿ (v;) < Í› (u) và
(0; (u) < @; (Vị) < sø,(v;) <f,(u) Do tinh tăng của
Trang 11Laden whe Ub1 wghaty Áz« 7/5 — 1999 BG mon Token Gti Tock
§, KHONG GIAN TOPO KIEU F
| KHONG GIAN TOPO KIEU F
DINH NGHIA 2.1:
Một không gian Tôpô (X,T) được gọi là kiểu F nếu nó là Tôpô Hausdorff và với mỗi x «< X, tổn tại một cơ sở lân cận 2=[{[U,A, 9) | ÀeD,t>0 của x thỏa các tính chất sau đây:
(F-1) Néu y € UA, 0, thix € UA, 0;
(F-2) U,(A, 0) C U,(p, 8) với À > pts s;
(F-3) Với mdi A € D thi tén tai up € D ma jp >A sao cho
y € U,(Ô, tị + tạ) nếu như U,(p, tị) 0 Up, ) # @ ; (2.1)
(F-4) X =U (UA, U] với mỗi À e D và x e X
Lưu ý: D là một tập được xếp thẳng theo nghĩa V 3, 3; œ ÐD thì 3 À œD sao cho À¿ < À, k = 1,2 ĐỊNH LÝ 2.2: Đặt M = { đ; |À e D | là họ các giả Metric trên X thỏa các điểu kiện sau: (Q-1) d;(x, y) = 0 với mọi 2 e D khi và chỉ khi x = y ; (Q-2) dy(x, y) = daly, x) ; (Q-3) d;(x, y) < d,(x, y) với À < H; (Q-4) Với mỗi 2 € D thì tổn tại € D với A < pp sao cho đ;(x, Y) < d,(x, z) + d,(z, Yy) Vx,y,zeX Đặt BAA, O= ly e X | d;(x, y) < tỊ, với x e X và t>0
Khi đó tổn tại duy nhất một Tôpô Hausdorff Tự trên X sao cho (X, Tự) là một không gian Tôpô kiểu F và #4 = (B,(x, t) | À e D,t>0] là một cơ sở lân cận của x với Tụ
Trang 12
Locke when t34 veghity bikin 1965 — 1964 Bj mie Tod Git Tick
Tôpô Tụ được gọi là Tôpô trên X xây dựng bởi họ M các giả
Metric
Chứng minh định lý
4= [W|WecX tổn tại B,(^A,0cCW| với mỗi x e X Dễ dàng kiểm tra được là N, thỏa các điều kiện:
(1) Nếu W c.⁄4£thì x e W vì d;(x, x) = 0 với mọi À của D suy
ra x € B,(À,L)cC W
(2) ˆ Nếu W,W;e.⁄cthì W¿¬W¿ e.⁄⁄ Nếu B,Q4, tị) CW,
và B,(A,, tạ) Cc W> thi B,(max{A,, A>}, min{t;, tạ})
c= WwW, nr W;s
(3) Nếu We.⁄cvà Wc Vthì Ve.⁄4.B,A,cWCcV
(4) Nếu W e ⁄4£ thì tổn tại V € _#£sao cho Vc W và W e 4
với mọi y € V,
Ta c6 W cA, va B,(A, t) Cc W vai dA € D va t > 0 Theo Q-
4 thì tổn tại > À sao cho d;(x, y) < d,(x, z) + d,(z, y)
Chon V = B,(u, 2) e 4£ nếu lấy y e V thì ta có B,(\, t2) chứa trong W Thật vậy lấy z B,(u, 2) suy ra d„(y, z) < U2 va
từ y V nên d,x, y) < 12
Vậy dạ(x, z) < 2 +2 = t cho nên z € B,(A, t) c W và
By(u, t2) c W nghĩa là W c4
Vậy (4) được thỏa
Theo tính chất không gianTôpô suy ra tổn tại duy nhất một không gian Tôpô Tụ trên X nhận ⁄¿ làm hệ các lân cận của x và theo định nghĩa của _⁄£thì ta thấy ngay #2? là cơ sở lân cận của x
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng Tự là Tôpô Hausdorff
Lấy x, y e X và x # y Theo Q-l ta có tổn tại ^ D sao cho d;(x, y) = t
> 0 Theo Q-4 thi tén tại p € D, pp > A sao cho d(x, y) $ d(x, z) + d,(z, y) Vx, y,z € X
Trang 13
Laden uhm 164 vghatp bhéa 995 — 1999 BG mdr Tok Gide Tock
Vậy ta có B,(u, U2) Om Bip, V2) = @ vi nếu có z c B,úu, 2) By(u, V2) thi d(x, y) < V2 + V2 = t(') Vay Ty 1a Hausdorff Dé thay %, thdéa cac tinh chat ti F-1 dén F-4: F-lI : y e B,(, U thì ta có d;(x, y) < t © d;(y, Xx) < t = x € BJA, t) F-2: Lay y € B,(A, U thì d;(x, y) < t Khi đó nếu có h < 2 và s>t thì từ Q-3 ta có d,(x, y) < d;(x, y) < L< s © y e B,(u, 0)
Vậy B,(A, t) c B,(p, U)
F-4: Hiển nhiên X | ]\U,(A.:)) với mỗi À € D va x e X Ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại Thật vậy lấy x e X thì rõ rằng d;(x, x) = 0 < tLnên x € U,(Q@,, Ð c |]\U,(4,9):
F.3: Véi méi 24 € D = tén tai p > A, p e€ D: dy(x, y) $ d(x, z) + dz y) Vox y, z € X Và nếu
B,(u, V2) B,/(u, U2) # ©Ø suy ra có z € B,(, t2) A By(p, 2)
=> d;(x, Y) < tị + ty; = y € B,A, tị +lạ) Vậy (X, Tụ) là một không gian Tôpô kiểu F ĐINH LÝ 2.3:
Cho (X, T) là một không gian Tôpô kiểu E Khi đó tổn tại một họ các giả Metric M = {d; lre DỊ X thỏa các tinh chất từ Q-1 đến Q-4
như trong định lý 1.3 trên va Ty = T Trong trường hợp đó thì M được gọi là họ các giả Mêtric gắn với T
Chứng mình định lý
Trang 14laden wn tht ghey bhba 1965 ~ 1944 Bj mde Token Gk Tick
Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng M = {d, | A € D } thda cdc tinh chat từ Q-1 đến Q-4 Hiển nhiên thấy rằng từ F-l suy ra được Q-2 và từ F-2
suy ra được Q-3
Q-1: Theo định nghĩa d¿ = d;(x, x) = 0 Ngược lại lấy x # y thi theo tinh chat Hausdorff cba T t6n tai U,(A, t) va Uy(yt, s) sao
cho U,(A, 1) A Up, s) =O => y € UA, 0 = d(x, y) 20> 0
Q-4: Lấy 2 € D Theo F-3 t6n tai e D, pp > À sao cho
y € U,(A, ty + &) n€u như U,(u, tị) ¬ U/(h, tạ) # Ø Theo định nghĩa
đu(x, z) và du(y, z), với mọi e > 0 tuỳ ý tổn tại tị và ty dương mà
đu(x, Z7) < tị < d,(x, z) + £/2 và d,(y, z) < tạ < dụ(y, z) + t/2
=7 € U,(u, tị) U¿(u, t;) nên theo trên thì y € U,(A, t) + tạ) Vậy đ;(x, y) < tị + tạ < đu(x, z) + d,(z, y) + Do tính bất kỳ của £ nên đ;(x, y) < đ,(x, z) + d,(y, Z) Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng T =Tụ Theo định lý 1.3 trên ta có Z4 = (B,(x,t)| À e D,t>0) là một
cơ sở lân cận của x với Tụ; trong đó B,(, U = {y e X| d;(x, y) < tÌ > B,(A, c U,(À., U và U,(A, V2) c BAA, Vậy T = Tụ VÍ 4: 1 Mọi không gian Metric (X, d) là một không gian Tôpô kiểu F Thật vậy, chúng ta có thể lấy một tập xếp thẳng D bất kỳ, có thể là D = (0, 1) và định nghĩa d;(x, y) = d(x, y) với mọi ^ € D va x,y € X
Khi đó có thể thấy dễ dàng là {d, | A e DỊ thỏa các tính chất Q-I tới Q-4 trong định lý 2.2 Do đó (X, Tạ) là một không gian
Tôpô kiểu F trong đó Tạ chính là Tôpô sinh bởi Metric d trên X,
Trang 15Laden sin 81 vghesty bia 1915 — 7/0 Bp min Toke, Gch: Tick
That vay, dat Y= (U, | a e DỊ là một cơ sở lân cận cân đối của 0 Định nghĩa trên Ð một thứ tự là œ < B ©@ Uy c U„ Theo tính chất cơ sở cân đối ta có ngay D = (D, <) là một tập được xếp thẳng
Dat UA, 0 =x+tU; với x eX,À ceD,t>0
Như vậy, 2 = {U,(A, | À eD,Lt >0) là một cơ sở lân cận
`
cua X
2⁄có tính chất : Mọi U, trong là cân đối và đối xứng, và với mỗi U, e Zthì tổn tại một Us e sao cho Up + Uạ C Uạ
Từ đó không khó để chứng minh rằng 2⁄4 (x e X) thỏa các tính chất F-I tới F-4:
F-1: y e U,(QA, 0 thì tổn tại z e U; sao cho y = X + tz ©@ X= y +tz
<> x € USA, 0)
F-2: Nếu có Ji < 2 trong D và s > L thì theo cách đặt ta có U; c Ú,
và tUy CsÚ, €>x + tU; Œ x + sU, hay U;(Q, L) Cc U,(p, 0
F-3: Lấy À e D thì có tổn tại U,, w e D thỏa U, + U, c U¿ (> Uy, c Uy & uw > A) Do đó mà nếu có
U,(u, tị) ¬ U¿(u, tạ) # Ø thì ta có thể lấy z e U,(u, tạ) ^ U¿(u, tạ)
tức là có z¡ và z; thuộc Ú, sao cho z = X + tịz¡ = Y + lzZ¿ ©
Yy = X + hz, - G2 = x + UZ, + b(-2¿) € x + LU, + GU,
<x +(t, +t)U, do U,+U, c U, Vay theo cach dat ta có
y € U,(A, t +)
Trang 16Laden when ZẤY „0, Á/⁄« 7ØS — 2/77 Bp xóa Tole Git Tick
H " ne NGUYÊN LÝ ENTROPI TRONG KHÔNG GIAN
TOPO KIEU F
BO DE 2.5:
Cho
(X, T) là một không gian Tôpô kiểu F day di va (d, | 4 © D) 1a
họ các giả Metric gắn với T
: X > R là hàm nửa liên tục đưới và bị chặn dưới k: D > (0, +z )là một hàm giảm
Chúng ta định nghĩa một quan hệ "'<” trên X như sau
x<y khi và chỉ khi đ;(x, y)< k(1) (@(x) - @(y)) voi moi A € D Khi đó (X, <) là một tập hợp được xếp và trên đó có phần tử lớn nhất Chứng mình bổ đề Trước hết ta sẽ chứng minh rằng '*<* là một quan hệ thứ tự trong X: Rõ ràng là x < x với mọi x € X
Nếu x, y e X mà x < y và y < x thì theo định nghĩa *<"” chúng ta có w(x) 2 fy) va @(y) > (x) cho nên ta có @(x) = @(y) suy ra
d;(x, y) = 0 với mọi À € D tương đương x = y
Cuối cùng ta xét tính bắc cẩu, nếu x, y, z e X và x < y, y < z thì ta có đạ(x, y) < k(œ)(@(x) - @(y)) và dạ(y, z) < k(œ)(o@(y) - (z)) với mọi a D Từ đây theo (Q-4) thì tốn tại e D mà À < sao cho đ;(x, Z) < d,(x, y) + du(y, z) < k(t)(@(x) - 0(2)) Mà k là giảm nên ta có k(tU) < k(À) suy ra đ;(x, Z) < k(A)(@(x) - @(2)) với moi A € D suy ra x <z
Đo đó "<” là một quan hệ thứ tự trên X
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh (X, <) có phần tử lớn nhất
Trang 17Laden whn tht oghety bad 1995 — 7994 Bp wb Token Ca: Tick
“* @, bi chặn trên đo (p bị chặn dudi va k(A) > 0 với moi A ED
s% Với mọi € D,x<y @O0€d,(x, y) SM Cy) - My (X) suy ra @¿ tăng % Đặt Í; : X: © [-œ, +œ) với f;(x) = sup{ @› (y)Ìy 2x)
Lấy u e X và đặt Dị = [À e D Ì @;(u) < fñ;(u) } Giả sử D, z Ø,
suy ra có thể lấy ÀA¿ € D; : @› (u) < f; (u) hay u) + I P x, ( 5 Ky, < f,,(u) Khi đó vì Í; (u) = sup {t;¿ (y) ly >u] nên tổn tại v >u sao cho \ vê Tâc @„,() + fy (u) py, (u) < (0; (u) < ; sp, (u) Sh(u)(*) suy ra ve Vị = [xu | “¬= } - ~k(Ä,).i /x> Từ (*) suy ra k(Ây)⁄2 (u) + (=k(À,).nfXx) xe) TẾ 7ÿ TT) 2
Vì k(1) > 0 với mọi À e D nên nếu nhân hai vế bất đẳng thức trên với
Trang 18Laden utr XÁY s22, Á(ax 2S — 76/7 BG win Toke Git Tock §, CAC UNG DUNG TRONG KHONG GIAN
TOPO KIEU F
I NGUYEN LY BIEN PHAN EKELAND
DINH LY 3.1: Cho
(X, T) la một không gian Tôpô kiểu F đây đủ và (d; | ^ e DỊ là
họ các giả Metric gắn với T
(p: X > (-œ, + ] là một hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới, (p(X) # +00 h: D > (0, +œ ) là một hàm tăng Khi đó với mỗi e > 0 và mọi xạ e X thỏa 0(%¿) < inf(o(x) | x e X) +e, Tổn tại phần tử x e X sao cho () — 0(x)<9Œ);
(uu) dạ(x, Xe) RA) với mọi À e D;
(uu) Với mỗi x e X mà x # x thi tén tai Ay € D sao cho
(p(x) > (x) - Eh(Ao)d (x, x)
Chúng minh dinh ly
Trên X ta xác định một quan hệ thứ tự như sau:
Trang 19lade whe 161 nghity Mad 1995 ~ 1999 BG mén Token Git Tick Ta cin chifng minh x € S
Lấy À c D thì theo tính chất Q-4 có p € Dsao cho p>A va
đ;(x‹, Xa) € du(X‹, X„) + d,(X„, xa) với mọi n Cho n tiến tới vô cùng ta được d;(X-, Xe) Šlim d,(Xø, Xạ) Vì xạ © S nén x, > Xp hay ta cd limd,(Xa, Xe) S limz;ealeŒœ)- ø(x,)| Mà @ là hàm nửa liên tục dưới nên ta suy r4 lịm đdụÍX, Xo) S$ =noal96)- g(x, )] T904) ø(x.)] (lưu ý h(^) là hàm tăng)
Vậy d;(%X‹, Xạ) < ——lø(x,)- @(x.)] © X- >Xạ SUY ra X‹ € S h(a)
Vậy S là tập đóng Từ đó theo giả thiết định lý ta có (S, Tx) cũng là một không gian Tôpô kiểu E đầy đủ
Khi đó nếu đặt k(A) = - an thì (S, T»), @s và k(A) thỏa tất cả
điểu kiện của bổ để 2.5 vì vậy (S, >) là tập hợp được xếp và trên S có phần tử lớn nhất, ta gọi phần tử đó là x Khi mì
I) xe Snên x > xạ suy ra đ;(Xo, x)< mui g(#) với mọi
À e D suy ra @(%ạ) 3 p(x)
¡) Từ giả thiết định lý (xo) < info(x) | x e XỊ] + eta có [ø(x,)= ø(#)]< £ suy ra d;(Xọ, x) < 7 [9+)-ø(Œị= — —.c=— éh(A) h(Â)
iii) Gia „ iii) không đúng thì ta có tổn tại x` € X mà x' # x thỏa d;(x`), x)< (ø(x)- ø(x')]với mọi ^ e D hay điều đó có nghĩa là =r x`>x Theo tính chất Q-4 thì tổn tại thuộc D mà Ịt > À sao cho: d(xX) S d(x’, x) + d(x,x%9) < | [p(x,) - ø(x')] £ h()
Sayin) ø(x')| (Do h(2) là hàm tăng) Vậy x9 < x’ nén x’ € S va x <x' điều này vô lý vì x phải là phần tử lớn nhất trong S Vay iii) đúng
Trang 20
Laken hn 18 ngbeity, bbe 1995 - 1964 Bp mde Todo Gide Tick
Định lý được chứng minh
DINH LY 3.1’:
Cho
(X, T) la một không gian Tôpô kiéu F day đủ có
% ={U,(A, t) | A € D, t > 0} 1a mét co sd lân cận của x (x € X)
với các tính chất F-I tới F-4
(: XS (-œ, +œ ] là một hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới, p(x) # +00, Vx Ee X
h: D >(0, +œ ) là một hàm tăng Khi đó với mỗi e > 0 và mọi xạ X thỏa
(Xu) < inf[{ p(x) lxe X} +6, tổn tại phần tử x e X sao cho () — @(x)<@Œ); a \ () FEUA[ (+6) Vb>0,VAED; (uu) Với mỗi x € X ma x ¥ x thi ton tai Ag € D va 8 > 0 sao cho x € Ux(Ay, MA) (@( x) - @(x)) + 8) Chứng mình định lý
Theo các định lý 22 và 2.3 thì tổn tại họ các giả Metric
(dạ Ì^ e DỊ thỏa mãn các tính chất Q-1 dén Q-4 sao cho với moi x X
thì U,(A, 0 = {y © X Ídạ(x, y) < tJ
Như vậy ta thấy các điều kiện của định lý 3.1 được thỏa mãn suy ra ton tai x € X sao cho:
i) p(x) < P(X)
li) d(x, Xo) Š is vdi moi A € D, Vay néu ta c6 6 > 0 thì
] - I
, — => U.(Â.,——+ð)
đ;(x, Xa) < ia) +6 x€6U,( WA) +O)
li) Với mỗi x ce X ma x # x thi c6 Ag € D sao cho (x) > @(x) - ch(A)đ, (x,x) Nên có thể lấy 6 > 0 di nhd dé
Trang 21
Ludn uhm tél nghitp bkhod 1995 — 1999 BG mén Toke Gti Tick i EMA ) p(x) = M(x) - ch(Àa)đ, (x,x) +ỗ hay đ, (x.x) > [( x ) - @(x)] + cox € U5, aa 19G): q(x)] + ð ) Định lý được chứng mình HỆ QUÁ 3.2: 1 Trường hợp không gian Metric: Cho
(X,T) là một khơng gian Metric day du
§p: X >3 (-œ, + ] là một hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới (0(x) #+œ,VxeX Khi đó với mỗi £ >0 và mọi xạ e X thỏa ((X;) < Inf{@(x) | xeX|+£E, Tén tai phan tt x € X sao cho (i) p(x) So); (ii) d(x, Xo) S1; (iii) Với mọi x € X mà x # x ta có (0(X) > @( x) - ed(x, x ) Chứng mini hệ quả
Từ ví dụ 2.4 phẩn I ta thấy không gian Metric day đủ (X, T) cũng là không gian Tôpô kiểu F đẩy đủ với D = (0, 1) chẳng hạn và d,(x, y) = dx(x, y) v6i moi A D (dx là hàm khoảng cách trên X) trong
đó {d; | A e DỊ là họ các giả Metric gắn với T
Khi đó ta thấy ngay hệ quả suy trực tiếp từ định lý 3.1 trong đó ¡)
không có gì để chứng minh, ta chỉ kiểm tra ii) và iii):
ii) Chon ham h: D >3 RẺ với h(A) = I vei moi A 6 D thi ta có
đ;ạ(x, Xạ) < a <> d(x, Xo) < 1 vdi moi A e D,
Trang 22
Ludo 2 XẾ s4 4e 7Š — 77/7 BG wén Toke Gide Tick
iti) p(X) > M(x) - Eh(Ap)d,, (x.x) <> (x) > @(x) - ed(x, x) V À € D và x# x Hệ quả được chứng mình 2 Trường hợp không gian Tôpô Hausdorff: Cho
(X, T) là một không gian Tôpô Hausdoff đầy đủ
2= (U„ | œ Ð] là một cơ sở lân cận cân đối của phần tử 0 trong X (p: X >(-œ, +ø ] là một hàm nửa liên tục đưới bị chặn dưới O(x)#4+00,VxeEX h: D >2 (0, +) là một hàm tăng Khi đó với mỗi e > 0 và mọi xạ e X thỏa (@(xụ) < Inf{0(x) lxe X) +6, Tổn tại phần tử x e X sao cho (i) @(x)<g(o);
(fi) h(A)(x -x)€U; với mọi ÀA e X
(iii) Với mỗi x e X mà x # x thì tổn tại Às e D và ô >0 sao cho (x -X) # ( mê (@( x) - @(x)) + ð) U;
Chứng minh: hệ quả
Từ ví dụ 2.4 phần 2 ta thấy không gian Tôpô Hausdorff (X, T) cũng là một không gian Tôpô kiểu F trong đó hệ cơ sở lân cận của x
thỏa các tính chất từ F-I đến F-4 là U, = (U, (A,0Ì U, (4,0 = x+tU)]
Vxe€eX
Như vậy theo kết quả định lý 3.1' ta thấy ¡) không có gì để chứng
minh mà ta chỉ kiểm tra ii) và iii):
ii) x € UA +) Võ >0 = có thể chọn ö đủ nhỏ để có
Se =e itty we (nate f¥
y € U, sao cho x = Xp + ( ly > x + Xp ay)
h(A)( x - Xo )=y € U¡
Trang 23
Laden whe TL rebety bhod 1995 — 1999 BG wmén Token Gti Tick
" : = 1
iii) Gid sv (x -x)e (Fao
theo nhv ii) ta cé6 x € U,Qo, na - @x)] + ư ) vơ lý vì £ ° x € Uo, AID [@( x) - @(x)] + ð ) (@(x) - @(x)] + ð)U, thì lý luận Vy G-x)* CN l0(x) - 0(x)] + ð)U,, ILDINH LY DIEM BAT DONG DINH LY 3.3: Cho
(X, T) là một không gian Tôpô kiểu F đẩy đủ và {d; Ì A e DỊ là
giải Metric gắn với T
po: X > RỶ là một hàm nửa liên tục dưới k:D >2 (0, +z ) là một hàm giảm Cho trước ánh xạ f : X >3 X thỏa điều kiện: d(x, £(x)) S K(A)L@(x) - @(f(x))]}V À e D Khi đó f có điểm bất động trong X, nghĩa là tổn tại xẹ € X sao cho F(X) = Xo Chứng mình định lý
Theo bổ để 2.5 thì với giả thiết định lý ta có (X, < ) là một tập được xếp có phần tử lớn nhất với ''<** được định nghĩa:
x<y ©d;(x, y) < k(À)[@(x) - @(y)] với mọi 2 e D
Goi phan tử lớn nhất trên X là x Khi đó do giả thiết ta có
d;(x‹, f(xs)) < k(A)[@(x‹) - @(f(x‹))] với mọi A € D điều này chứng tỏ x» < f(x.) nhung x lại là phần tử lớn nhất trên X nên ta suy ra Í(X.) = X«
nghĩa là x« là điểm bất động của f trên X
Định lý được chứng minh
Trang 24
Ladin ihe tél nghafp bhek 1995 — 1994 KỆ máu le (6 Tick
DINH LY 3.3’:
Cho
(X, T) 1A một không gian Tôpô kiểu F đây đủ
Z/ ={U,A@, Ð) lAeD.t> 0] là một cơ sở lân cận của x (x e X)
với các tính chất F-I1 tới F-4
: X > R' là một hàm nửa liên tục dưới
k:D>(0, +œ ) là một hàm giảm
Cho trước ánh xạ f: thỏa điểu kiện: với mỗi x c6 X thì (p(x) 2 @(f(x)) và f(x) e U;(AÀ, k(A){o(x) - @(f(x))] +e) Ve>0, VÀeD
Khi đó f có điểm bất động trong X Chứng minh định: lý
Theo định lý 2.2 và 2.3 thì ta gọi {d; | Xe DỊ là họ các giả Metric gắn với T với d;(x, y) = inf{t > 0 | x e UA, t)}
Từ bổ để 2.5 thì (X, <) là một tập được xếp có tổn tại phần tử lớn nhất với “<* được định nghĩa: x < y < d,(x, y) < k(A)[@(x) - œ@(y)] với
mọi À e D
Giả sử gọi phần tử lớn nhất là x‹ thì theo giả thiết định lý ta có (0(x‹) > p(f(xe)) va Í(x‹s) e Ú, (À, k(A)[@(x‹) - @(f(xs))] + e) V e > 0 với
moi A € D nghĩa là d;(x‹, f(x‹)) < [k(À){@(x-) - @(f(xs))] + e]
Do tính nh tuỳ ý của c€ ta suy ra d;(x‹, f(x‹)) < k(A)[@(x‹) - @(f(x‹))] e3 x‹ < f(x‹) mà x‹ là phần tử lớn nhất trên X suy ra x‹ = f(x‹) là điểm bất động của f trên X Định lý được chứng minh HỆ QUA 3.4: 1 Trường hợp không gian Metric Cho
(X, T) là một không gian Metric đầy đủ ( : X >2 RỶ là một hàm nửa liên tục dưới
Trang 25
Lud udin tét vghety bheod 1965 — 7/// Bj min Todor Gk Tick
Nếu ánh xạ f : X > X thỏa điều kiện
d(x, f(x)) < 0(%) - (f(x)) V x e X
Thì f có điểm bất động trong X Chứng mini hệ quả
Theo ví dụ 2.4 phan I ta thấy (X, T) cũng là một không gian Tôpô kiểu F đây đủ với D = (0, l), d;(x, y) = d(x, y)
Đặt k: D >3 RỶ với k(À) = l với moi Ae D thi ta thay d(x, f(x)) < @(x) - @(f(x)) € d;(x, f(x)) < k(A)[@(x) - @Œ(x))] đồng thời mọi giả thiết định lý 3.3 được thỏa mãn nên trên X có điểm bất động cua f, 2 Trường hợp không gian Tôpô Hausdorff Cho
(X, T) là một không gian Tôpô Hausdorff đầy đủ
2= (U„ Ì œ e DỊ là một cơ sở lân cận cân đối của phần tử 0 trong X
( : X > R' là một hàm nửa liên tục dưới
k:D >2 (0, +z) là một hàm giảm
Cho trước ánh xạ f: X >3 X thỏa điều kiện Với mỗi x e X, È(x) = o(x) - (f(x)) > 0 và (f(x) - x) e k(À)¿(x)U; VÀeD Khi đó f có điểm bất động trong X
Chitng minh hé quả
Từ ví dụ 2.4 phần 2 ta thấy không gian Tôpô Hausdorff (X, T)
cũng là một không gian Tôpô kiểu F trong đó hệ cơ sở lân cận của x
thỏa các tính chất từ F-1 đến F-4 là % = (U, (A, 9Ì U, (A, ) = x + tU;]}
VxeX
Theo giả thiết ta có (f(x) - x) e k(2)¿(x)U; nghĩa là có y e U;
sao cho f(x) - x = k(A)b(x)y <— Í(x) = x + k(A)$(x)y e x + k(À)$(x)U;
© fix) € U, (A, k(A)O(x)) suy ra với mọi e > 0 tuỳ ý thì ta có f(x) € U; (À, k(A)$(x) + €)
Trang 26
Ladin whe tl vghaty bho 7/5 — 7/// EG wén Token (46 Tick
Đồng thời moi diéu kiện của định lý 3.3' được thỏa mãn nên có tốn tai điểm bất động của f trên X
Ras = 2
Trang 27
(u.l¿ cấm KT hhia T1995 — 7999 EG men Tedhe (e4 Tock
Tải LIEU THAM KHAO
1 Jin- Xuan Fang