i LÍI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nhǎng ket quả được trình bày trong luªn án là mới, được công bo trên các tạp chí Toán hoc uy tín trong và ngoài nước Các ket quả nêu trong luªn án là trung thực và chưa[.]
i LÍI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nhǎng ket trình bày luªn án mới, cơng bo tạp chí Tốn hoc uy tín ngồi nước Các ket nêu luªn án trung thực chưa tàng công bo bat kỳ cơng trình khác Nghiên cúu sinh: Lê Giang ii LÍI CẢM ƠN Luªn án hồn thành với giúp ủng h® nhieu người Với lịng biet ơn chân thành nhat, tơi muon gải lời cảm ơn sâu sac tới tat nhǎng ủng h® giúp tơi hồn thành luªn án Trên het tơi muon gải nhǎng lời biet ơn chân thành nhat tới hai người Thay hướng dan GS Đo Đác Thái GS Gerd Dethloff, nhǎng người het lịng giúp đơ, đ®ng viên bảo tà nhǎng bước đau tiên cho đen nhǎng cơng vi»c cuoi luªn án Tôi muon gải lời cảm ơn đen Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i Trường Đại hoc Tőng hợp Brest (C®ng hịa Pháp) giúp tạo đieu ki»n thuªn lợi mà hai Trường dành cho tơi Đ°c bi»t Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, nơi mà tơi hoc tªp, cơng tác Tôi bày tỏ biet ơn chân thành đen Cục đào tạo với nước (Đe án 911) giúp v ng hđ tụi hon thnh luên ỏn Tụi muon gải lời cảm ơn tới Ban Chủ nhi»m Khoa Toán-Tin, đong nghi»p Khoa đong nghi»p seminar nghiên cáu Hình hoc phác Hình hoc đại so giúp rat nhieu suot q trình làm luªn án Cuoi tơi muon bày tỏ biet ơn tới gia đình tơi, nhǎng người ln bên tơi, đ®ng viên chia sẻ với tơi nhǎng vat vả khó khăn q trình hồn thành luªn án Mnc lnc Líi cam đoan i Líi cảm ơn ii Mð đau Tong quan Định lí khơng gian Schmidt cho mnc tiêu di đëng 1.1 M®t so khái ni»m hình hoc đại so hình hoc Diophantine 12 1.2 Các kien thác chuȁn bị 16 1.3 Định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu di đ®ng 18 1.3.1 M®t vài bő đe 18 1.3.2 Cháng minh Định lí 1.0.1 23 Dạng định lưñng định lí khơng gian Schmidt 35 2.1 Đ® cao xoan 39 2.2 M®t vài ước lượng ve đ® cao .42 2.3 Cháng minh Định lí 2.0.9 44 Dạng hi»u định lí khơng gian Schmidt trưíng hàm 58 3.1 Các khái ni»m kí hi»u 61 iii 3.2 Cách chon tac đa thác xác định X tà dạng Chow đa tạp X 62 3.3 M®t vài ket hi»u 64 3.4 Cháng minh định lí 3.0.8 74 Định lí thfí hai 83 4.1 Khái ni»m m®t vài ket tà lí thuyet Nevanlinna 85 4.2 Cat b®i cụ the định lí thá hai suy bien 87 4.2.1 M®t vài bő đe 87 4.2.2 Cháng minh định lí 4.0.2 88 Ket luªn kien nghị 95 Danh mnc cơng trình liên quan đen luªn án 96 Tài li»u tham khảo 97 MÐ ĐAU Lý chon đe tài Phương trình Diophantine h» phương trình giải tªp so ngun Z, tªp so hǎu tỉ Q, ho°c tőng quát vành hǎu hạn sinh Z ho°c trường hǎu hạn sinh Q Hình hoc Diophantine nghiên cáu phương trình Diophantine thơng qua ngơn ngǎ phương pháp hình hoc đại so trường khơng đóng đại so K Trong đó, lí thuyet Nevanlinna khảo sát tính chat đường cong chỉnh hình đa tạp đại so C Lí thuyet Nevanlinna v hỡnh hoc Diophantine ó phỏt trien đc lêp với qua vài thªp kỉ Tuy nhiên, thời gian gan đây, Osgood (xem [53, 54]), P Vojta (xem [77, 83]), Serge Lang (xem [35, 37]) m®t so người khác phát hi»n rang có tương đong đ°c bi»t giǎa hai đoi tượng Ví dụ m®t đường cong chỉnh hình khác hang mđt a i so tng ỏng vi mđt têp vô hạn điem hǎu tỉ Vojta đưa m®t tà đien ve tương Thơng qua tà đien đó, m®t so định lí lí thuyet Nevanlinna có the chuyen thành m®t ket hình hoc Diophantine Sự hieu biet ve moi liên h» giǎa hai van đe vòng 30 năm qua dan đen nhǎng bước phát trien vượt bªc hai lĩnh vực Nhieu giả thuyet đ°t vài chục năm trước giải quyet Các ket thường cháng minh lí thuyet Nevanlinna sau chuyen sang dạng tương chúng hình hoc Diophantine M°c dù vi»c chuyen sang m»nh đe tương vi»c làm hồn tồn hình thác, cháng minh chúng khơng hồn tồn vªy Trong lí thuyet Nevanlinna, có khái ni»m đạo hàm ánh xạ chỉnh hình Khái ni»m công cụ đ°c bi»t quan trong cháng minh Tuy nhiên, cho đen người ta van chưa the xây dựng khái ni»m tương tự lí thuyet so Trong thời gian gan đây, nhǎng ket lí thuyet so áp dụng định lí khơng gian Schmidt dan đen nhǎng ket tương tự lí thuyet Nevanlinna Khi nghiên cáu trường hàm đại so, ta thay hình hoc Diophantine lí thuyet Nevanlinna có liên quan mªt thiet với Ta thay rang m®t trường hàm đại so có nhieu tính chat so hoc trường so M°t khác, nhieu kĩ thuªt lí thuyet Nevanlinna có the áp dụng cho trường hàm đại so ket thu thường dạng hi»u nghĩa hang so liên quan có the tính tốn m®t cách hi»u qua q trình cháng minh Luªn án nham nghiên cáu moi liên h» giǎa lí thuyet Nevanlinna hình hoc Diophantine đ°c bi»t tªp trung vào định lí không gian Schmidt trường so trường hàm định lí thá hai Luªn án bao gom chương Mnc đích nghiên cfíu Mục đích luªn án nghiên cáu định lí khơng gian Schmidt trường so, trường hàm đại so định lí thá hai đoi với ho siêu m°t Đoi tưñng phạm vi nghiên cfíu Như trình bày phan lý chon đe tài, đoi tượng nghiên cáu luªn án moi quan h» sâu sac giǎa lí thuyet phân bo giá trị hình hoc Diophantine đ°c bi»t định lí khơng gian Schmidt trường so trường hàm định lí thá hai Trong luªn án, ket đạt mở r®ng ket đạt gan Phương pháp nghiên cfíu Đe giải quyet nhǎng van đe đ°t luªn án, chúng tơi sả dụng phương pháp nghiên cáu Lý thuyet phân bo giá trị, Hình hoc Diophantine, Hình hoc phác đong thời chúng tơi đưa nhǎng kĩ thuªt đe giải quyet van đe Các ket đạt đưđc j nghĩa đe tài Luªn án chia thành bon chương Chương dành cho vi»c nghiên cáu định lí khơng gian Schmidt trường so đoi với mục tiêu di đ®ng Cụ the sau giới thi»u lại khái ni»m ket hình hoc Diophantine, ket đạt tà trước đen vi»c nghiên cáu van đe này, chúng tơi cháng minh định lí không gian Schmidt cho mục tiêu ho siêu m°t di đ®ng khơng gian xạ ảnh Ket tőng quát hóa ket Ru-Vojta (xem [59]) Chương dành cho vi»c nghiên cáu dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt Sau nhac lại nhǎng ket quan thu tà trước đen nay, cháng minh dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt cho ho đa thác với nghi»m đa tạp xạ ảnh cho trường hợp tőng quát trường hợp nghiên cáu Evertse-Ferretti (xem [22]) Trong chương 3, chúng tơi giới thi»u dạng hi»u định lí không gian Schmidt trường hàm Cụ the chúng tơi mở r®ng ket trước đen trường hợp đa tạp xạ ảnh ho siêu m°t vị trí tőng quát Trong chương cuoi luªn án, chúng tơi nghiên cáu định lí thá hai lí thuyet phân bo giá trị Cụ the sau nhac lại nhǎng khái ni»m lí thuyet này, chúng tơi cải tien ket đạt gan Chen- Ru-Yan (xem [12]) bang vi»c đưa cat b®i cụ the cho định lí thá hai suy bien ba tác giả Cau trúc luªn án Bo cục luªn án ngồi phan mở đau phan phụ lục gom bon chương viet theo tư tưởng ke thàa Bon chương luªn án viet dựa bon cơng trình hai cơng trình ng, mđt cụng trỡnh ó c nhên ng v mđt cơng trình gải cơng bo Chương I: Định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu di đ®ng Chương II: Dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt Chương III: Dạng hi»u định lí khơng gian Schmidt Chương IV: Định lí thá hai Nơi thfic hi»n luªn án Luªn án thực hi»n khoa Toán, trường Đại hoc Sư phạm Hà n®i khoa Tốn, trường Đại hoc Tőng hợp Brest, C®ng hịa Pháp TONG QUAN Ta biet rang định lí khơng gian Schmidt m®t nhǎng van đe trung tâm hình hoc Diophantine Vào thªp kỉ 1970, Wolfgang Schmidt đưa nhǎng dạng đau tiên định lí Trong định lí Roth nghiên cáu xap xỉ so đại so so hǎu tỉ đường thȁng thực, định lí khơng gian nghiên cáu van đe xap xỉ đoi với ho siêu phȁng cho trước không gian chieu lớn xác định trường so đại so H.P Schlickewei (xem [65]) cải tien ket W Schmidt, xap xỉ thực hi»n đong thời đoi với tat nh giỏ mđt têp hu hn S cho trc m®t trường so cho trước Sau đó, Vojta (xem [79]) cải tien ket Schlickewei bang vi»c chỏng minh s đc lêp ca cỏc siờu phng loi trà tà lựa chon m®t so thơng so nhat định Vào thªp kỉ 2000, Corvaja-Zannier (xem [10]) Evertse-Ferretti (xem [22]) khái qt định lí khơng gian tới trường hợp nghi»m xét đa tạp xạ ảnh siêu m°t nam vị trí tőng quát Gan đây, Chen- Ru-Yan (xem [12]) sau A Levin (xem [42]) tőng quát hóa ket ho tới trường hợp divisor nam vị trí tőng qt Các định lí khơng gian Schmidt nhac đen có the xem định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu co định theo nghĩa siêu m°t ”mục tiêu” co định điem xap xỉ di đ®ng qua vơ hạn điem M®t hướng đe tőng qt hóa định lí khơng gian Schmidt cho phép cỏc mc tiờu ny di đng chêm R.Nevanlinna ó t van đe định lí thá hai với mục tiêu di đ®ng, tác hang so thay the hàm phân hình gi với log T (r, gi) = o(log T (r, f )) Ông giải quyet trường hợp cho ba mục tiêu di đ®ng bang cách sả dụng bien đői Mobius đe đưa ve trường hợp hang so Trường hợp tőng quát câu hỏi mở m®t thời gian dài Dạng yeu định lí thá hai khơng có cat bđi c chỏng minh mđt cỏch đc lêp bi C.F.Osgood (xem [53, 54]) N Steinmetz (xem [75]) (xem [64] đe biet thêm chi tiet) Đó đ®ng lực thúc đȁy Vojta đưa định lí Roth cho mục tiêu di đ®ng (xem [80]) Sau đó, M Ru Vojta (xem [59]) mở r®ng định lí đen định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu di đng Lêp luên ca Vojta, lay cm hỏng t bi báo N Steinmetz, thu định lí e cêp trờn nh l mđt hằ qu định lí khơng gian Schmidt Gan đây, Dethloff Tan (xem [15]) cháng minh định lí thá hai cho ánh xạ chỉnh hình khơng suy bien đại so C vào Pn(C) mục tiêu di đng chêm Qj Pn(C), j = 1, , q, (q ≥ n + 2) vị trí tőng qt Mục đích chúng tơi phan đau tiên luªn án cháng minh dạng so hoc định lí Cụ the chúng tơi sě cháng minh ”Định lí khơng gian Schmidt cho siêu m°t di đ®ng” Chương đau tiên luªn án viet dựa báo [28] Trong chương hai luªn án, chúng tơi nghiên cáu dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt Đây m®t cải tien rat quan định lí khơng gian con, ta đưa so siêu phȁng can thiet đe cháa tat nghi»m Schmidt (xem [69]) người đau tiên nghiên cáu van đe sau J.H-Evertse (xem [19]), J.H Evertse Schlickewei (xem [21]) cải tien ket ông bang vi»c đưa ch°n tot cho so siêu phȁng Nhǎng ch°n rat lớn chuȁn tac đoi với trường so K, đieu cot yeu nhieu dụng Nhǎng ket tiep tục cải tien Evertse Ferretti (xem [23]) Năm 2008, ho (xem [22], định lí 1.3) tőng quát ket tới trường hợp bat đȁng thác với đa thác nghi»m xét m®t đa tạp xạ ảnh n chieu PN , N ≥ n ≥ Trong chương hai ca luên ỏn, chỳng tụi s m rđng ket ho tới trường hợp tőng quát Chương viet dựa báo [30] Chương ba luªn án nghiên cáu dạng hi»u định lí khơng gian Schmidt trường hàm đại so với đ°c so Chúng muon lưu ý rang, trường so van chưa cháng minh dạng hi»u định lí Tuy nhiên với kĩ thuªt lí thuyet Nevanlinna, ta có the đưa dạng hi»u m®t vài ket quan trong hình hoc Diophantine trường hàm đại so Ket đau tiên áp dụng thành công kĩ thuªt định lí ABC trường hàm (xem [43], [78], [6], [76], [48], [33]) Sau đó, dạng hi»u định lí Roth, định lí Wirsing định lí Nochka-Chen-Ru-Wong [84, 87], tiep tục dựa kĩ thuªt Bang cách dựa phương pháp Vojta, J.Wang cháng minh dạng hi»u định lí khơng gian Schmidt cho dạng tuyen tính trường hàm đại so có đ°c so [86] Trong báo [1], An Wang mở r®ng ket J Wang cho dạng không tuyen tính Dựa cơng vi»c Evertse Ferretti [22], Ru Wang [63] tőng quát nhǎng ket tới trường hợp divisors đa tạp xạ ảnh X ⊂ PM sinh siêu m°t PM trường hàm có đ°c so Phương pháp cháng minh dựa cháng minh định lí tương trường so Van đe phải làm q trình tính tốn trở nên cụ the hi»u Như ta nói trên, Chen- Ru-Yan (xem [12]) Levin (xem [42], định lí 5.1) cháng minh định lí khơng gian Schmidt cho siêu m°t vị trí m- tőng quát trường so đong thời ket tương tự cho đường cong chỉnh hình Đây đ®ng lực cho báo chúng tơi [27] Chúng tơi tőng qt hóa ket Ru-Wang tới trường hợp siêu m°t nam vị trí m-dưới tőng quát Phan ba luªn án dùng đe trình bày ket (xem [27]) Trong phan cuoi luªn án, chúng tơi nghiên cáu định lí thá hai Định lí giǎ m®t vai trị quan trong lí thuyet Nevanlinna Thơng qua tà đien Vojta, định lí thá hai tương với định lí khơng gian Schmidt Được bat đau R Nevanlinna, định lí nghiên cáu rat sâu r®ng nhieu nhà nghiên cáu H Cartan (xem [92], ), W Stoll ([57]), M Ru ([60, 61, 62]), G Dethloff - T V Tan-Thai ([14] ), nhieu người khác Năm 2009, Min Ru (xem [62]) cháng minh định lí thá hai cho đường cong chỉnh hình khơng suy bien đại so vào đa tạp xạ ảnh với ho siêu m°t vị trí tőng qt Sau đó, ông Chen, Yan (xem [11]) cải tien ket bang vi»c đưa cat b®i cụ the cho hàm đem Năm 2012, ba tác giả cháng minh định lí thá hai cho trường hợp siêu m°t vị trí tőng quát (xem [12]) Trong báo ho, cat b®i khơng đưa m®t cách cụ the Khi muon áp dụng bat đȁng thác dạng định lí thá hai, m®t van đe cot yeu ta phải có bat đȁng thác với hàm đem cat b®i Đưa dạng so hoc tương định lí thá hai có cháa hàm đem cat b®i có lě m®t nhǎng van đe mở quan nhat hình hoc Diophantine Mục đích cải tien ket Chen-Ru-Yan bang cách đưa ước lượng cụ the cat b®i Chương cuoi luªn án viet dựa báo [29]