Ve m t so phương trình elliptic và hyperbolic phi tuyen suy bien

B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯNGĐẠIHOCSƯPHẠMHÀNI ——————–* — — — — — — — DƯƠNGTRONGLUYN VEMTSOPHƯƠNGTRÌNHELLIPTICVÀHYPER BOLICPHITUYENSUYBIEN LUNÁNTIENSĨTỐNHOC HÀNI-2017 B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯNGĐẠIHOCSƯPHẠMHÀNI ——————–* — — — — — — — DƯƠNGTRONGLUYN VEMTSOPHƯƠNGTRÌNHELLIPTICVÀHYPERBOLI CPHITUYENSUYBIEN Chunngành:Phươngtrìnhviphânvàtíchphân Mãs o : LUNÁNTIENSĨTỐNHOC Ngưihưngdȁnkhoahoc:GS.TSKH.NguyenMinhTrí LICAMĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cáu tơi Các ket quảnày làm hướng dan GS.TSKH.Nguyen Minh Trí Cácket tronglun án viet chung với thay hướng dan đeu sựnhatt r í c ủ a t h a y h n g d a n k h i đ a v o l u ná n C c k e t q u ả t r o n g lun án trung thực chưa tàng công bo cơng trìnhcủacáctácgiảkhác Nghiêncúusinh:DươngTrongLuyn LICẢMƠN Lu n án thực hi n hồn thành B® mơn Giải tích, KhoaTốn - Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, hướng dan củaGS.TSKH.Nguyen Minh Trí Thay dan dat tác giả làm quen vớinghiêncáukhoahockhitácgiảcịnlàhocviêncaohoc.Ngồinhǎngchỉdan ve m t khoahocsựđ®ngviênvàlịngtintưởngcủathaydànhchotácgiảlnlàđ®nglựcgiúptácgiảtintưởngvàsay mêtrongnghiêncáu khoa hoc Với tam lịng tri ân sâu sac, tác giả xin bày tỏ lòng bietơnchânthànhvàsâusacnhatđoivờithay Tác giả xin trân gải lời cảm ơn đen Ban Giám hi u, Phòng sauĐạih o c , B a n C h ủ n h i mK h o a T o n T i n , T r n g Đ i h o c S p h m HàN®i,đcbitlàcácthaygiáo,cơgiáotrongB®mơnGiải tích,KhoaTốn - Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, thay giáo, giáotrong Phịng Phương trình vi phân, Vi n Tốn hoc, ln giúp đơ,đ®ngvi n,tạomơitrườnghoctpnghiêncáuthunlợichotácgiả Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hi u, anh chị em Khoa Tự nhiên,Trường Đại hoc Hoa Lư tạo moi đieu ki n thu n lợi giúp tác giảtrongqtrìnhhoctpnghiêncáuvàhồnthànhlunán Tácg i ả x i n t r â n t r o n g c ả m n q u y N A F O S T E D đ ã t i t r ợ c h o t c giảtrongsuotquátrìnhhocnghiêncáusinh Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, nhǎng ngườiđã dành cho tác giả tình yêu thương tron ven, tàng ngày chia sẻ, đ®ngviêntácgi ảvư ợt qua moi khókhăn đ e ho ànthành l u nán Mncl n c Trang Licamđoan Licảmơn Mncl n c Mtsoquyưcvàkí hiu Mđ a u Tongquan 10 Chương1.M T S O K I E N T H Ứ C C H U A N B ± 17 1.1 1.2 Tốntả∆γvàm®tsokhơnggianhàm 17 1.1.1 Tốnt ả ∆ γ 17 1.1.2 M®tsokhơ ng gianhàm 19 1.1.3 M®ts o tí n h c h a t 20 Tphúttồncục vàtínhchat 23 1.2.1 M®tsođ ịnh n gh ĩa 23 1.2.2 M®ts o tí n h c h a t 26 Chương2 SỰTON TẠI NGHI M VÀ TÍNH CHÍNH QUYCỦANGHIMCỦABÀITỐNBIÊNĐOIV IPHƯƠNGTRÌNHELLIPTICSUYBIEN 2.1 28 M®tso đ ị nh l í v e s ự t o n t i n g h i my e u .28 2.1.1 Địnhlívesựtontạinghimyeu 29 2.1.2 Địnhlívesựtontạinghimyeukhơngâm 41 2.2 Tínhchínhquycủanghimcủabàitốnbiênellipticsuy bien 44 Chương3.TP HÚT TỒN CỤC ĐOI VI PHƯƠNGTRÌNHH Y P E R B O L I C T A T D A N C H Ứ A T O Á N T Ử ELLIPTICSUYBIENMẠNHTRONGMIENB±CH N52 3.1 3.2 Sựtontạivàduynhatcủanghimtích phân 53 3.1.1 Đtbàitoán .53 3.1.2 Sựtontạivàduynhatcủanghimtích phân .54 SựtontạitphúttồncụctrongS 12 (k, k ) ,0 3.3 (Ω)×L2(Ω) Đánhgiásochieufractalcủatphúttồncục 69 Chương4.TP HÚT TỒN CỤC ĐOI VI PHƯƠNGTRÌNHH Y P E R B O L I C T A T D A N C H Ứ A T O Á N T Ử GRUSHIN TRÊNTỒN KHƠNG GIAN 82 4.1 4.2 Sựtontạiduynhatcủanghimtíchphân 83 4.1.1 Đtbàitốn .83 4.1.2 Sựtontạivàduynhatcủanghimtích phân .84 Sựt o n t i t p h ú t t o n c ụ c t r o n g Sk 2(RN)×L 2(RN) .86 Ketl unvàk ie nn gh ị 111 Cácketquảđạtđư ợc 111 Kiennghị m®tsovanđ enghi ênc áuti eptheo 111 Danhm n c c n g t r ì n h k h o a h o c c ủ a t c g i ả l i ê n q u a n đ e n luná n Tàiliuthamkhảo 113 113 MTSOQUYƯCVÀKÍHIU Trongtồn b®lun án,ta thongnhat m®tso kíhiunhư sau: RN khơnggianvectơthựcNchieu R+ tpcácsothựckhơngâm R ∗+ tpc c so thựcdương |x| chuȁnEuclidcủaphantảxtrongkhônggianR N Ck(Ω) khônggiancáchàmkhảviliêntụcđencapktrongmienΩ C0∞(Ω) khôngg i a n c c h m k h ả v i v ô h n c ó g i c o m p a c tt r o n g Ω Lp(Ω) khơnggiancáchàmlũythàabcpkhảtíchLebesguetron gmienΩ H′ khônggianđoingaucủakhônggianBanachH ⟨··,·⟩ đoingau giǎaH v H ′ (·,·)H tíchvơhướngtrongkhơnggianH Id ánhxạđongnhat ~ h®itụyeu ‹→ phépnhúngliêntục ‹→‹→ phépnhúngcompact Vol(Ω) đ®đ o L e b e s g u e c ủ a t pΩ t r o n g k h ô n g g i a n R N ∆x ToántảLaplacetheobienxtrongRN : ∆y N1 Σ ∆ x= ∂22 ∂x i i=1 Σ N2 ToántảLaplacetheobienytrongR N : ∆ y= ∂22 ∂y j=1 j ∆z ToántảLaplacetheobienztrongRN : N3 Σ ∆ z= l=1 ∂2 ∂zl2 MĐ A U Lídochonđetài Líthuyetphươngtrìnhviphânđạohàmriêngđượcnghiêncáuđautiêntro ngcáccơngtrìnhcủaJ.D’Alembert(1717-1783),L.Euler(1707-1783), D Bernoulli (17001782),J.Lagrange (1736-1813), P Laplace(1749-1827), S Poisson(17811840) vàJ.Fourier (1768-1830), làm®t cơng cụ đe mơ tả hoc mơ hình giải tích củaV tlí.V o g i ǎ a t h e k XI Xvớis ự x u a t h i nc c c ô n g t r ì n h c ủ a R i e m a n n , lí thuyetphươngtrìnhviphânđạohàmriêngđãchángtỏlàm®tcơngcụ thiet yeu nhieu ngành toán hoc Cuoi thek XIX,H Poincaréđã moi quanhbi n cháng giǎa lí thuyet phương trình vi phânđạo hàm riêng ngành tốn hoc khác Sang thekXX,lí thuyetphương trình vi phân đạo hàm riêng phát trien vơ mạnh mě nhờcó cơng cụ giải tích hàm, đ cbi tlà tà xuat hi n lí thuyet hàm suyr®ngdoS.L.SobolevvàL.Schwartzxâydựng Nghiên cáu phương trình, hphương trình elliptic tőng qt vàphương trình hyperbolic đóng vai trị rat quan trong lí thuyetphương trình vi phân Hi n ket theo hướng tươngđoihồnchỉnh.Cùngvớisựpháttrienkhơngngàngcủatốnhoccũngnhư khoahoccơngnghn h i e u bàitốnliênquantớiđ®trơncủanghimcủa phương trình, hphương trình khơng elliptic phương trìnhhyperbolic tat dan suy bien xuat hi n Có m®t so lớp phương trình,trong có lớp phương trình elliptic suy bien phương trình hyperbolictatdansuybien,ởm®tkhíacạnhnàođócũngcóm®tsotínhchatgiongvới phương trình elliptic phương trình hyperbolic tat dan cháa tốntả∆.Tuynhiêncácketquảđạtđượcchocácphươngtrìnhelliptic