Dáng đi u nghi m cua phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa tre

B®GIÁODỤCCVÀĐÀOTẠOO TRƯNGĐẠIHOCSƯPHẠMHÀNI ———————* — — — — — — — NGUYENNHƯQUÂN DÁNGĐIU NGHIM CUAPHƯƠNGTRÌNH VÀBAOHÀMTHỨCVIPHÂNPHÂNTHỨCHỨATRE Chuyênn g n h : P h ơng n g t r ì n h v i p h â n v t í c h p h â n Mãs o : TĨMTATLU¾NÁNTIENSĨTỐNHOC HàNi-2018 Lu¾nánđược c hồnthànhtại:Trườngi:Tr ường ng Đại:Trườngi hocSưphại:TrườngmHà Ni Ngườngih ướngdan ngdan khoahoc: PGS.TS.TranĐìnhKe TS.NguyenThành Anh Phảnnbi¾n1:GS.TSKH.ĐinhNhoHào,Vi¾nTốnhoc Phảnnbi¾n2:PGS.TS.NguyenSinhB ản y,Tr ườngngĐ ại:Trường i hocTh ương ngM ại:Trường i Phảnn bi¾n3:PGS.TS.CungTheAnh,Tr ường ng ĐHSPHàNi Lu¾nánsẽđượccbảnov¾trướngdancHiđongchamlu¾náncapTrườngnghoptại:TrườngiTrườngngĐ ại:Trường i h o c S p h ại:Trường m H N iv o h o i g i ờng n g y t h n g n ă m Cóthetìmhieulu¾nánt ại:Trườngith ưvi¾n:Thưvi¾nQuoc Gia,HàNihocThư vi¾nTr ường ng Đ ại:Trường ihoc Sưph ại:Trường mHà Ni MĐ A U Tőngquanvevanđenghiêncfíuvà lídochonđetài Giải tích phân thá cho bat nguon tà câu hỏi đưa vào năm 1695 L ´Hospital Leibniz Đó làm the đe khái quát hóa khái ni m giải tíchb c ngun cho trường hợp có b c bat kỳ? Qua lịch sả ba the khình thành vàpháttrien,trongm®tthờigiandàitathayranggiảitíchphântháchủyeuthuhútsựquantâmcủa nhàtốnhoc,dochưabiet nhieuđen cácángdụng củanóvàotrongthực tien lĩnh vực khoa hoc khác Tuy nhiên, nhǎng th pkgan cónhieu nhà nghiên cáu dành quan tâm cho giải tích phân thá thay rang đạohàmvàtíchphânphânthálàcơngcụcóthemơtảtot hơnnhieuhintượngtrongthegiới tự nhiên ky thu t là: hnhớt đàn hoi, phân cực chat n mơi,sóngđintà,sựtruyennhit,kythut chetạongườimáy,hsinhhoc,tàichínhvàm®tso lĩnh vực khác(xemAhmed(2007),ButzervàHilfer (2000), Kilbas(2006)).Tronglịch sả, giải tích phân thá thu hút ý nhieu nhà toán hoc tiên phongnhư Euler, Laplace, Fourier, Liouville, Riemann, Laurant, Hardy, Riesz Các ángdụngcủagiảitíchphânthátrongvtlýđautiênđượcthựchinbởiAbelvàHeaviside.Ngàyn ay,phươngtrìnhviphânphânthácóángdụngr®ngrãitronghauhetcáclĩnhvựckhoahoc.Trong nhiengdụngthựcte,sảdụngphươngtrìnhviphânphânthámanglạihiuquảtothơnsovớip hươngtrìnhviphâncőđien Lýthuyetđịnhtínhvàángdụngcủaphươngtrìnhviphânphânthátrongvtlý,kythu t, kinh te, sinh hocvàsinhtháihocđượcnghiêncáur®ngrãi,cóthetìmthaytrongcác cơng trình Kiryakova (1994), Mainardi (1997), Metzler (1995), MilRos Samko(1993) trích dan Khi xem xét mơ hình thực tien, đ c bi t trongcácbàitốnđieukhienthìtrelàm®tnhântokhơngthetáchrời.Dođó,cáchc ó trethuhút đượcsựquantâmcủanhieunhàtốnhoc,ởđóvicnghiêncáudángđiutimcnnghimlàm®t trongnhǎngbàitốnquantrongvàhapdannhat Trong nhieu mơ hình dụng, người ta sả dụng phương trình vi phân đạo hàmriêngphânthádạng ∂tαu(t,x)=∆u(t,x) (1) vớib cđạohàmα∈(0,2],∆làtoántảLaplace.T r n g h ợ p α ∈(0,1),n ó l p h n g trình khuech tán, dụng vtlý Nigmatullin (1986) đe mơ tảq trình khuech tán mơi trường vtli u fractal (m®t dạng đ c bi t vtli uxop).T r n g h ợ p α ∈ (1,2),n ó l p h n g t r ì n h s ó n g p h â n t h , m ô t ả s ự l a n t r u y e n c ủ a sóngcơtrongvtliunhớtđànhoi Lýthuyetcơsởvephươngtrìnhviphânphântháđãđượcpháttrienvàtrìnhbàytrongnhieutàiliu, cóthekeđencáccuonsáchtiêubieuKilbas(2006),MilRos(1993),Podlubny (1999) Nhǎng ket gan ve phương trình vi phân phân thá chủ yeudànhchotínhgiảiđượctrongkhoảngthờigianhǎuhạn(xemPhung (2013),R.N.Wang(2011), J Wang (2012) tài li u tham khảo đó) tính đieu khien được(chínhx c h o cx a p x ỉ , x e m S a k t h i v e l ( 1 ) , J W a n g ( 1 , 2 ) ) T r ongkhilý thuyet őn định cho phương trình vi phân b c ngun có lịch sả phát trien lâu dài đạtđượcn h i e u k e t q uả q u a n tr o n g (x e m D r iv e r ( 7 ) , D r a b e k ( 0 ) , Ha l e ( 9 ) c ù n g vớicáctríchdan)thìcácketquảvetínhőnđịnhđoivớicácphươngtrìnhviphânphânthá cịn biet đen Trên thực te, vi c sả dụng công cụ phő bien phươngpháph m L y a p u n o v c h o c c p h n g t r ì n h v i p h â n p h â n t h g pn h i e u k h ó k h ă n d o victín h đạo hàmp hânthácủa cácph iemhà m Lyapunov rat khóthự chi n Quaylạiphươngtrình(1)trongtrườnghợp α∈(1,2),m ® t d n g t n g t ự c ủ a n ó đượcx emxétlà ∫ ∂tu(t,x)= t − (t s)α−2 (2) ∆u(s,x)ds Γ(α−1) Phương trình goi phương trình tán xạ-sóng (m®t dạng trung gian giǎaphươngt r ì n h k h u e c h t n ( α= ),v p h n g t r ì n h s ó n g ( α= )),đ ợ c F u j i t a n g h i ê n cáulanđaunăm1990.Phươngtrìnhvớinhieuphituyentươngángdạng ∫t ( t−s)α−2 ∆u(s,x)ds+f(u(t,x)), (3) ∂tu(t,x)= Γ(α−1) mơ tả q trình khuech tán kỳ dị truyen sóng vtli u nhớt đàn hoi (xemHilfer(2000 ),Ma inardi (2001), Metzler ( 20 00 )) Đen ghiêncáu lớpp h ơn g trìnhnày, ta thường chuyen ve phương trình vi phân khơng gian Banach Cụ the, tacót h e c o i u : [ ,T]→ L 2(Ω))l h m t h e o b i e n t n h ng i t r ị t r o n g L 2(Ω))x c đ ị n h b i u(t)=u(t,·).Khi đó,phươngtrình(3)cóthevietdướidạngphươngtrìnhviphântràutượng uJ(t)= ∫ ( t (4) t−s)α−2 Au(s)ds+f(t,u(t)), Γ(α−1) trongđóA=∆vớimienxácđịnhphùhợptheođieukinbiênvàf(t,u(t))=f(t,·,u(t,·)).Gan đây, van đe nghiên cáu dáng u ti m c n nghi m đoi với lớp phương trình nàynh nđư ợcsự qu a n tâm c m®ts o nh nghiêncá u, t uy nhi ênk e tquảđạ t đ ợc cịn hạn che Theo hieu biet chúng tơi, chưa có ket ve tính őn định nghi mcủaphươngtrìnhdạng(4)đượccơngbo.Chínhvìvychúngtơiđtvanđenghiêncáusựtontạivàtínhőn địnhcủanghimđoivớibàitốntőngqtsautrongkhơnggianBanachX : t u (t)= ∫ J (t s)α−2 (s)ds+f(t,u(t),ut),t >0,t Γ(α−1)A u − u(t+)−u(t )=I k(u(tk)),k∈Λ, − k k u(s¯)+g(u)(s¯)=ϕ(s¯),s¯∈[−h,0], tk,k∈Λ, (5) (6) (7) ởđâyAlàtốntảtuyentính,đóngvàkhơngbịchn,flàhàmphituyenxácđịnhtrênR+×X× Ch, hàm khơng cục b®g:PC([−h, T];X)→ Chvà hàm xungIk:X→X, + − k∈ΛvớiΛ ⊂ N l m ® tt pc h ỉ s o K ý h i uu (t ),u (t )tươngá n g l g i i h n p h ả i v k k tráicủautạitk;utl qkhácủahàmtrạngtháitínhtớithờiđiem t,nghĩalà ut (s¯)=u(t+s¯),s¯∈[−h,0] Bài tốn Cauchy với đieu ki n khơng cục b® hay đieu ki n xung nh n nhieuquan tâm nhà nghiên cáu nhǎng năm gan Đieu ki n khơng cục b®dạng(7)chotamơtảtothơncácmơhìnhthựctesovớiđieukinbanđaucőđien,ví dụnhưđieukin M Σ u(s)+ ciu(τi+s)=ϕ(s) i=1 chophé pm ô tả nh ǎn g đo đ ạc b ő sung t ại m ® t so th ời đ i e m thay v ì c hỉ đ o t ại t hờ i đ ie m banđau.Ýnghĩavtlývànhǎngketquảnghiêncáuđautiênvebàitốnkhơngcụcb®đã trình bày trongByszewski(1991).Sauđó,cácbàitốnkhácnhauvớiđieukinkhơng cục b® liên quan đen phương trình vi phân b c nguyên, bao hàm thácviphânbcnguyênnhnđượcsựquantâmratlớncủacácnhànghiêncáu.Liênquanđen ket ve tính giải được, chúng tơi trích dan cơng trình Chuong (2012),Hernández(2003),Jesús(2008),Ke(2012),Liu(2003).Mtkhác,đieukinxungdạng (6) thườngđượcsảdụngđemơtảcáchđ ® n g lựccótrạngtháithayđőiđ®tng®t.Velý thuyet h vi phân cháa xung, có the tham khảo tài li u Lakshmikantham (1989).Rõràng,bàitốnCauchytőngqtvớiđieukinkhơngcụcb®vàhingxungđóngm®tvait rịquantrongtrongvicmơtảnhieubàitốnthựcte Dựa ngun lí điem bat đ®ng, chúng tơi cháng minh nghi m khơng tốn(5)(7)c ó tí n h h ú tt o n c ụ c , n g h ĩ a l u (t)→0k h i t →+∞với m o i d ǎ k i nb a n đ a u b ị chn ϕ L u ý r a n g , n e u m ® t n g h i mc ủ a ( ) - ( ) c ó tí n h ti ê u h a o t h ì n ó c ũ n g ω -tuanhoànS timcn(xemAnd rad e(2010 )Cueva s(2009,2010 )) Tieptheo,chúngtơimởr®nglớpphươngtrình(4)chotrườnghợpphanphituyenlà hàmđatrịvớitrevơhạn uJ(t)∈ ∫ t(t s)α−2 −0 Γ(α−1)A u u0=ϕ∈B, (s)ds+F(t,ut),t>0, (8) (9) trongđó Al tốntảtuyentính đóngvàkhơngbịchn,Fl m®tánhxạđatrịxácđịnht r ê n m ® t t pc o n c ủ a R +× B,B l k h ô n g g i a n p h a đ ị n h n g h ĩ a t r o n g C h n g đâyα ∈ ( ,2)v u tl q u k h c ủ a h m t r n g t h i c h o t i t h i đ i e m t ,n g h ĩ a l ut(s)=u(t+s),s≤0 Trong toán này, hàm Fphi tuyen sinh tà hđieu khien với phản hoi đa trị(Kamenskii(2001)),vànhieubàitốnkhácnhưbàitốnchínhquyhóaphươngtrìnhviphân vớivephảikhơngliêntục(Filippov(1988)),hoctàbàitốnliênquanđenbatđȁngthácvibienphân(P ang(2008)).Trevơhạnthườngxuathintrongcácbàitốnđieukhien,khinhântođieukhienlaythơngtintà q hnhưng khơng cóthơngtinvethờiđiembatđauxuathintre.Mụcđíchchínhcủachúngtơikhinghiêncáubàitố nnàylàphântíchtínhőnđnhtimc¾nyeucủaanghimkhơng,đoivớih( ) ( ) dựatrênkháinimsau: Kíh i uΣ ( ϕ)làt pn g h i mc ủ a h (8)(9)v i đ i e u k i nb a n đ a u ϕ G i ả s ả r a n g 0∈Σ(0), tác (8) có nghi m không Nghi m không (8) goi làőnđ nh ti mc¾ny e u neu 1) Őnđnh,nghĩalàvớimoi ε>0tontại δ>0saochoneu |ϕ|B0,Dα,σlà đạo hàm phân thá có trongvới b cαtheo nghĩa Caputo,hàm trạng tháiunh n giá trị không gian Banach Xvới treut∈C([−h,0];X) xácđịnhb i u t(s)= u(t+s),s∈ [−h,0],A l m ® t t o n t ả t u y e n tí n h đ ó n g t r ê n X v h m phituyen f đ ợ c xácđịnhtrên [ ,T]×C([−h,0];X) đây,mụctiêucủachúngtơilàchángminhtínhgiảiđượccủabàitốn(10)-(12)dưới thiet l p tőngqt(khơngcóđieukinLipschitzđoivớifcũng tínhcompact nảa nhóm sinh bởiA, tình huong thảo lu n Feng(2016) đoi với trường hợpσ=0) Thêm nǎa, nghiên cáu dáng u nghi mcủa (10) thơng qua khái ni m tính hút thời gian hǎu hạn đưa Giesl(2012) Có the thay rang, dáng u ti m c n nghi m hvi phân thờigianđủlớnđãđượcnghiêncáuquahàngthek,thuđượcnhieuthànhtựucótínhhthong đóng m®t vai trị quan trong nhieu toán thực tien Tuy nhiên, nhieu dụng hi n tượng xảy thời gian ngan vi c phân tích dáng điucủanghim khoảng thời gian hǎu hạn lại đóng vai trị quan đangthuhútsựquantâmcủanhieunhàtốnhoc Trongn®idungnàychúngtơichángminhsựtontạinghimbangcáchsảdụngđịnh lí điem bat đ®ng cho ánh xạ nén, đieu yêu cau hàm phi tuyen fphải thỏa mãn tínhchính quy the hi n thơng qua đ® đo không compact Hausdorff Chú ý rang, trongthiet l p chúng tơi, hàm fcó the tăng trưởng tuyen tính Đe đạt ket quảve tính hút thời gian hǎu hạn nghi m, thực hi n m®t so ước lượngcục b® (ước lượng với dǎ ki n ban đau nhỏ) sả dụng bat đȁng thác Gronwall kì dị.Cuoi chúng tơi áp dụng ket tràu tượng cho m®t lớp phương trình đạo hàmriêngphânthácótrongtheo bienthờigian Mncđích–Đoitưn g –Phạmvinghiêncfíucualunán 2.1 Mncđích nghiên cfíu: Nghiên cáu dáng u nghi m m®t so h phânphânthácótretheocáchtiep cncủalýthuyetőnđịnh vi Đau tiên chúng tơi nghiên cáu tính őn định nghi m đoi với lớp phương trình vitích phân phân thá bao gom hi u xung đieu ki n khơng cục b® với tre hǎu hạn.Sauđ ó , c h ú n g t i n g h i ê n c u tí n h ő n đ ị n h ti mc ny e u c ủ a n g h i mt a m t h n g c h o baohàmthácvitích phânphânthácháatrevơhạn.Cuoicùnglunánđạtđượcm ®tsoketquảvetínhhúttrongkhoảngthờigianhǎuhạnđoivớiphươngtrìnhsóngphânthá có trong, nảa tuyen tính với tre hǎu hạn phan phi tuyen tăng trưởng tuyentính 2.2 Đoitưngnghiêncfíu:Tronglunánnày,tácgiảxétbalớpbàitốn: ∗L pthfí nhat: Phương trình vi tích phân phân thá dạng tán xạ-sóng với trehǎuhạn ∗L pthfí hai: Bao hàm thác vi tích phân phân thá dạng tán xạ-sóng với tre vơhạn ∗L pthfí ba: Phương trình sóng phân thá có nảa tuyen tính với tre hǎuhạn 2.3 Phạm vi nghiên cfíu: Phạm vi nghiên cáu lu n án the hi n thơng quacácn®idungsau ∗N idung 1:Nghiên cáu ton nghi m phương trình bao hàmthácviphânphânthávớitrehǎuhạnvàvơhạn ∗N idung 2:Nghiên cáu tính őn định nghi m đoi với lớp phương trình vitích phân phân thá bao gom hi u xung đieu ki n khơng cục b® với tre hǎuhạn ∗N idung 3:Nghiên cáu tính őn định ti m c n yeu nghi m đoi với bao hàmthácvitíchphânphânthádạngsóngkhuechtánvớitrevơhạn ∗N idung 4:Nghiên cáu tính hút khoảng thời gian hǎu hạn nghi mđoivớiphươngtrìnhviphânphânthácótrong(tempered)vớitrehǎuhạn Phươngphápnghiêncfíu Lunánsảdụngcáccơngcụcủagiảitíchđatrị,líthuyet nảanhóm,giảitíchphân t há, lí thuyet điem bat đ®ng, đe thực hi n n®i dung nghiên cáu nêu Ngồi raoivicỏcnđidungcthe,chỳngtụisdngmđtsokythuttngỏng: ã Nghiờncỏutớnhgiiccacỏcbitoỏnphituyen:Phngphỏpclngtheođokhụ ngcompact ã Nghiờncỏustontinghimphõnróvtocđphõnrócngnhtớnhnnh timc ny e u c ủ a n g h i m:S ả d ụ n g c c h ti e p c nc ủ a B u r t o n v F u r u m o c h i , k y thu t ve clngđokhụngcompactvcỏcnhlớiembatđngchoỏnhxnộn ã Nghiờn cáu tính hút thời gian hǎu hạn dựa khái ni m đưa bởiGieslvàRasmussen Cautrúcvàcácketquacualunán Ngoàip h a n M đ a u , K e t l u n,D a n h m ụ c c n g t r ì n h đ ã c ô n g b o v T i l i ut h a m khảo,lunánđượcchialàmbonchương:Chương1trìnhbàym®tsokienthácchuȁn bị.C h n g c h n g m i n h tí n h ő n đ ị n h c ủ a n g h i mc h o m ® t l p p h n g t r ì n h v i tí c h phânp h â n t h v i t r e h ǎ u h n C h n g n g h i ê n c u tí n h ő n đ ị n h ti mc ny e u c ủ a nghimchom®tlớpbaohàmthácvitíchphânphânthávớitrevơhạn.Chương4vớiphương trình vi phân phân thá có tre hǎu hạn, chúng tơi cháng minh tính húttrong khoảng thời gian hǎu hạn nghi m phan phi tuyen tăng trưởng tuyentính Ýnghĩacuacácketquacualunán Cáck e t q u ả th u đ ợ c t r o n g l u ná n g ó p p n l m p h o n g p h ú t h ê m h n g n g h i ê n cáuőnđịnhnghimchocácphươngtrìnhvàbaohàmthácvitíchphânphânthácótretrong khơng gian Banach tőng qt, có the áp dụng cho nhieu lớp phương trìnhđạohàmriêngphituyencũngnhưcác hviphânthườngcótre Chương1 KIENTHỨCCHUȀNB± Trong chương này, nhac lại ket ve giải tích phân thá, lí thuyetgiảit h c , l í t h u y e t đ ® đ o k h ô n g c o m p a c t ( M N C ) v n h x n é n , m ® t s o k i e n t h c v e giảitíchđa trị 1.1 GIÁITÍCHB¾CPHÂNSO Trong mục này, chúng tơi nhac lại m®t so khái ni m tính chat liên quan đen đạohàm,tích phânphânthávàphânthácótrong 1.2 LÍTHUYETGIÁITHỨC Mục trình bày m®t so khái ni m m®t vài ket liên quan đen hocosine,nảanhómvàgiảithác 1.3 ĐĐ O KHƠNGCOMPACTVÀCÁCƯCLƯNG Trong mục này, chúng tơi trình bày khái ni m đ® đo khơng compact m®t so ướclượngliênquanđenđ®đokhơngcompactHausdorff 1.4 1.4.1 ÁNHXẠNÉNVÀCÁCбNHLÍĐIEMBATĐNG Mtsovanđevegiaitíchđatrị Trình bày ve m®t so khái ni m ket giải tích đa trị Trong có khái ni mhàmchoncủahàmđatrị,sựtontạihàmchonvàm®tsoketquảthenchot 1.4.2 Ánhxạnénvàmtsođịnhlíđiembatđng Trongmụcnày,chúngtơitrìnhbàyvengunlíđiembatđ®ngchốnhxạnén 1.5 TÍNHŐNбNHCUACÁCHV I PHÂN đâychúngtơinhclạicáckháinimőnđịnhLyapunov,őnđịnhyeu,őnđịnhthờigianhǎuhạn,tín hhúttrongthờigianhǎuhạnvàm®tsotínhchatliênquanđencáckháinimnày 1.6 1.6.1 MTSOKETQUÁBŐTR Cáck h ô n g g i a n h m Trongmụ c n y, c hú n g t ô i n h a c lạ i m® t s o k h n g g ia n h m c a n d ù n g t r o n g l u ná n n như:L p(Ω)),1≤ p< + ∞;L ∞(Ω));L p( Ω) ) ,1≤ lo p< + ∞,v i Ω) l m i e n b ị c h nt r o n g R Cáck h ô n g g i a n h m p h ụ t h u ® c tch i g i a n , n h C ([a,b];E);L p(a,b;E);C h: = C ([−h,0];E),h >0cho trước, Elà khơng gian Banach Đ c bi t, chúng tơi trình by ve khụnggianphakieuHale-Kato B 1.6.2 Mtsobatangthfớcthngdựng Nhaclimđtsobatngthỏccsdngtronglunỏn:batngthỏcHăoldervmđtvidng cabatngthỏcGronwall