Dáng đi u nghi m cua các bất đẳng thức vi biến phân

B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯNGĐẠIHOCSƯPHẠMHÀNI  NGUYENTH±VÂNANH DÁNGĐIUNGHIMCUACÁCBAT ĐANGTHỨCVIBIENPHÂN LU¾NÁNTIENSĨTỐNHOC HàNi-2019 NGUYENTH±VÂNANH DÁNGĐIUNGHIMCUACÁCBAT ĐANGTHỨCVIBIENPHÂN Chunn g n h : Phươngt r ì n h v i p h â n v tí c h p h â n Mãs o : 9.46.01.03 LU¾NÁNTIENSĨTỐNHOC NGƯIHƯNGDANKHOAHOC PGS.TS.TRANĐìnHKE HàNi-2019 MỤCLỤC LICAMĐOAN LICÁMƠN DANHSÁCHKÝHIU MĐAU Chương1 KIENT H Ứ C C H U Ȁ N B ± 20 1.1 NỦAN H Ó M M ® T T H A M S O 20 1.1 Nảa nhómtuyentính 20 1.1.2 Nảanhómphituyen 23 1.2 Đ®ĐOKHƠNGCOMPACT(MNC)VÀCÁCƯCLƯNG 27 1.3 GIẢITÍCHĐATR±,ÁNHXẠNÉNVÀCÁCбNHLÝĐIEM BATĐ®NG 33 1.3.1 M®tsovanđevegiảitíchđatrị 33 1.3.2 Ánhxạnénvàm®tsođịnhlýđiembatđ®ng 35 1.4 TP HÚTT OÀ N C Ụ C C Ủ A NỦ A D ÒN G Đ A T R ± 36 1.5 M®TS O K E T Q U Ả B Ő T R 37 1.5.1 M®tsobatđȁngthácthườngdùng 37 1.5.2 M®tsobőđevàđịnhlý 38 1.5.3 M®tsokhơnggianhàm 39 Chương2 BATĐANGTHỨCVIBIENPHÂNTRONGKHƠNGGIANHữUH Ạ N C H I EU 41 2.1 ĐT BÀITOÁN 41 2.2 SỤT O N T Ạ I N G H I N M 42 2.3 SỤTONTẠINGHINMPHÂNRà 48 2.4 TPHÚTTỒNCỤCCHONỦADỊNGĐATR±SINHBI DVI Chương3 51 BATĐANGTHỨCVIBIENPHÂNDẠNGPARABOLIC- ELLIPTICT R O N G K H Ô N G G I A N V Ô H Ạ N C H I E U 57 3.1 ĐT BÀITOÁN 57 3.2 SỤT O N T Ạ I N G H I N M 58 3.3 SỤTONTẠITP HÚTTOÀNCỤC 69 3.4 ÁPDỤ NG Chương4 74 BATĐANGTHỨCVIBIENPHÂNDẠNGPARABOLIC- PARABOLICT R O N G K H Ô N G G I A N V Ô H Ạ N C H I E U 78 4.1 ĐT BÀITOÁN 79 4.2 SỤT O N T Ạ I N G H I N M 85 4.3 SỤTONTẠITP HÚTTOÀNCỤC 94 4.4 ÁPDỤ NG KETLU¾NVÀKIENNGH± 99 103 Nhǎngk e t q u ả đ ã đ t đ ợ c .103 Đex u a t m ® t s o h n g n g h i ê n c u ti e p t h e o .103 TÀIL I U T H A M K H Á O 106 LICAMĐOAN Tôix i n c a m đ o a n c c k e t q u ả n g h i ê n c u t r o n g l u ná n D n g đ i un g h i mcủa bat đȁng thúc vi bien phânlà cơng trình nghiên cáu riêng tơi, hồnthànhd i s ự h n g d a n c ủ a P G S T S T r a n Đ ì n h K e C c k e t q u ả t r o n g l u nán hồn tồn trung thực chưa tàng cơng bo bat kỳ m®t cơngtrìnhnghiêncáunàokhácmàtơibiet HàN®i,ngày tháng năm2019 Nghiêncáusinh NguyenThịVânAnh LICÁMƠN Lu n án hoàn thành hướng dan nghiêm khac, t n tình, chu đáocủa PGS.TS Tran Đình Ke Tác giả xin bày tỏ lịng kính biet ơn sâusactớiThayvìsựtntâmhướngdanmàThaydànhchotácgiảtrongsuotqtrình hoc t p Thayđãlnsȁnsàngđónnhnnhǎngýkien,lnsátsaogiảithíchvàchỉdanchotácgiả.TácgiảxincảmơnThaymoi chieuthátưhàngtuan dành thời gian mình, khơng ngan ngại bảo, chia sẻ, trao đőicácvanđemới,cácphươngpháp,đườnghướngchotácgiảvàchonhómnghiêncáu.Ng ồinhǎnghànhtrangqbáuvemtkhoahoc,sựđ®ngviêncủaThaydànhchotácgiảlàn guonđ®nglựclớngiúptácgiảsaymêtrongnghiêncáu Tác giả xin trân gải lời cảm ơn đen Ban Giám hi u, Phịng Sau Đạihoc, Ban Chủ nhi m Khoa Tốn-Tin thay B® mơn Giải tích, khoaTốn-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, nơi tác giả hoc t p cơng tác,đã ln giúp đơ, đ®ng viên, tạo môi trường thu n lợi cho tác giả Tác giả xinđcbitcảmơnTS.TranThịLoan,PGS.TS.CungTheAnh,TS.NguyenNhưThang,TS DươngAnhTuanvì khíchlv s ự t n tình góp ýlun án Tác giả xin gải lời cảm ơn sâu sac đen thay H®i đong, đãdành nhieu thời gian, công sác tâm huyet đe đóng góp nhǎng ý kien q báugiúpcholunáncủatácgiảđượchồnthànhtotnhat Tácg i ả x i n g ả i l i c ả m n c h â n t h n h đ e n c c b n b è , n h ǎ n g n g i c ù n g chungc h í h n g , l u ô n g i ú p đ t c g i ả t r o n g s u o t q u t r ì n h n g h i ê n c u Sau cùng, tác giả xin gải lời cảm ơn tà t n đáy lịng đen gia đình, nơi lndànhchotácgiảtìnhuthươngvơhạn.Neukhơngcósựgánhvácvàsansẻt àgiađình,tácgiảkhơngthecóđượcnhǎngketquảnày NguyenThịVânAnh LICÁMƠN DANHSÁCHKÝHIU R tphợpcácsothực R+ tphợpcácsothựckhơngâm J =[0,T]v i T > (E,ǁ·ǁ E) khônggianBanachvớichuȁnǁ·ǁE 2E hocáctpconcủaE P(E) ={A∈2E:A/=∅}} Pb(E) ={A∈P(E):Alàt pb ị c h n}Pc(E) ={A∈ P(E) :Alàt pđóng}K(E) ={A∈P(E):Al compact} Kv(E) ={A∈P(E):Alàtploivàcompact} L(E) khơng gian tốn tả tuyen tính, bị ch n trênkhơnggianBanachE C(X;Y) khơnggiancáchàmliêntụctàXvàoYCτ =C([−τ,0];E) BE[a,r] ={x∈E:ǁx−aǁ≤r}I ánhxạđong nhat → h®itụmạnh ~ h®itụyeu h.k.n haukhapnơi DI baohàmthácviphân DVI batđȁngthácvibienphân VI batđȁngthácbienphân DVI-PE batđȁngthácvibienphândạngparabolicelliptic DVI-PP batđȁngthácvibienphândạngparabolicparabolic MĐ A U Lýdochon đe tài Lýthuyet định tính phương trình vi phân(ODE)trải qua m®tthek p h t t r i e n , đ ã c h n g t ỏ v a i t r ò q u a n t r o n g c ủ a n ó t r o n g v i cmơh ì n h hóav g i ả i q u y e t n h i e u b i t o n c ủ a t ự n h i ê n v k ĩ t h u t.Trongn h ǎ n g t h pkỉ cuoi the kỉXX,phương trình vi phân đại so quan tâm nghiên cáu vànhieuketquảquantrongđãđượcthietlp(xem[12,47]).Theođó,cácphươngtrìnhviphân đạiso(DAE)đã sả dụng nghiên cáu tốn vehthong mạng n,hcơ hoc có ràng bu®c, phản hóa hoc, đóvi csảdụng phương trình vi phân thường khơng the mơ tả het yeu to ràngbu®c.Tuynhiên,khinghiêncáuhđ ® n g lựctiepxúccómasátcủa vttheđadi nhaycáchlai ghép hoc, cácODEvàDAElại trở nên hạn che, phátsinh đieuki nràng bu®c nam dạng bat đȁng thác (ràng bu®c m®t phía), vàđieuki nve ngat qng hoc tiep xúc ho c toán kĩ thutchuyen mạch (xem [4,22]) Chính v y, đe nghiên cáu cáchvi phân với ràngbu®c thỏa mãn yêu cau tà thực tien địi hỏi nhà tốn hoc phảikhảo sát lớp tốn r®ng hơn, cácbat đȁng thúc vi bien phân, đóbaogomm®tlớpbàitốnquantronglàcáchbùviphân Thu t ngǎbat đȁng thúc vi bien phân (Differential variational inequality DVI)được sả dụng lan đau tiên Aubin Cellina [5] năm 1984 cuonsáchchunkhảovebaohàmthácviphân.Trongđócáctácgiảxétbàitốn   ∀t≥0,x(t)∈K,  supy∈K⟨xJ(t)−f(x(t)),x(t)   −y⟩= ,x(0)=x0, vớiKlàm®ttploi,compactkhácrongtrongRn.Bangvicsảdụnghàmnón8 (1) pháptuyencủatpK,bàitốntrênđượcđưavebaohàmthácviphân    fJ(t)∈F(x(t)),x(0) =x0 Tà đó, tác giả sả dụng cơng cụ giải tích đa trị đe nghiên cáu tínhgiải tốn (1) Đen năm 1997, tốn bat đȁng thác vi bien phânđược mở r®ng Avgerinous Papageorgiou báo [6] Hai nhà tốnhocđãnghiêncáuvenghi mtuanhồncholớpDVIkhitploi,đóng,compactKbien thiêntheothờigiant   −xJ(t)∈N K(t)(x(t))+F(t,x(t)),h.k.nt ∈[0,b],  x(0)= x(b) ởđóNK(t)(x(t))lànónpháptuyencủatploiK(t)tạiđiemx(t) M®t nhǎng cơng trình có ý nghĩa tiên phong nghiên cáu cácDVIm®t cách cóhthong nhóm tác giả J.S Pang D.E Stewart năm 2008(xem [49]) Bang vi c xem xét bat đȁng thác vi bien phân mơ hình ket hợpgiǎaphươngtrìnhviphâncóràngbu®cthỏamãnm®tbatđȁngthácbienphân,cácDV Iđã cho phép mơ tả q trình có ket hợp hai yeu to: yeu to đ®ng lực yeu to ràng bu®c dạng bien phân Bài tốnDVI[49] phátbieutőngqtvớimơhìnhcụthenhưsau:Tìmcphàm(x,u),t r on gđ ó x làhàmliên tụctuytđoivàulàhàmkhảtíchthỏa mãnh: xJ(t)=f(t,x(t),u(t)), (2) ⟨v−u(t),F(t,x(t),u(t)⟩≥0,h.k.nt ∈[0,T];∀v∈K (3) ĐtS O L ( K,φ)l t pn g h i mc ủ a b i t o n b i e n p h â n ⟨ v−u,φ(u)⟩ ≥0, ∀v∈K.Khiđótachuyen(2)-(3)vedạng xJ(t)=f(t,x(t),u(t)), u(t)∈SOL(K,F(t,x(t),·))