Luận văn dáng điệu nghiệm của một lớp bất đẳng thức vi biến phân (tt)

i Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Độ đo không compact 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Nửa dòng đa trị tập hút nửa dòng đa trị Tính giải đoạn compact tồn nghiệm phân rã 2.1 Tính giải đoạn compact 2.2 Sự tồn nghiệm phân rã 12 Sự tồn tập hút tồn cục 14 3.1 Nửa dịng đa trị sinh hệ 14 3.2 Sự tồn tập hút toàn cục Cτ 15 Tài liệu tham khảo 16 Lời mở đầu Đặt vấn đề Xét hệ bất đẳng thức vi biến phân x0 (t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), xt )u(t), t ∈ [0, T ], (0.1) hv − u(t), F (x(t)) + G(u(t))i ≥ 0, ∀v ∈ K, t ∈ [0, T ], (0.2) x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (0.3) x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ K ⊂ Rm với K tập lồi đóng, A ∈ Rn×n , B, F, G, h hàm phi tuyến Bất đẳng thức vi biến phân (differential variational inequality - DVI) nghiên cứu cách hệ thống cơng trình Pang Stewart [14] Trong cơng trình này, tác giả đề cập đến DVI mơ hình nhiều tốn học, mạng điện, hệ động lực kinh tế, mạng lưới giao thơng, Về mặt tốn học, DVI xem hệ vi phân với ràng buộc phía, chứa nhiều lớp toán biết hệ vi phân đại số, toán bù vi phân, Hệ (0.1)-(0.3) mơ hình tiêu biểu DVIs có trễ không gian hữu hạn chiều Hệ nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu năm gần Với mong muốn tìm hiểu bất đẳng thức vi biến phân không gian hữu hạn chiều, chọn vấn đề "Dáng điệu nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân" làm đề tài nghiên cứu luận văn 2 Mục đích nghiên cứu Trình bày số kết gần tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp DVI (0.1)-(0.3) dựa cơng trình [1] Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu bất đẳng thức biến phân; Tìm hiểu lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều; Nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ (0.1)-(0.3) Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: Hệ DVI (0.1)-(0.3) • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số phương pháp công cụ giải tích bao gồm: • Lý thuyết hệ động lực vơ hạn chiều; • Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén Dự kiến đóng góp Chứng minh chi tiết kết cơng trình [1] 3 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Độ đo không compact Cho E khơng gian Banach Kí hiệu P(E) = {B ⊂ E : B 6= ∅} B(E) = {B ∈ P(E) : B bị chặn} Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ β : B(E) → R+ gọi độ đo không compact (MNC) E β(co Ω) = β(Ω) với Ω ∈ B(E), co Ω bao lồi đóng Ω Một MNC gọi (i) đơn điệu với Ω0 , Ω1 ∈ B(E), Ω0 ⊂ Ω1 β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 ); (ii) khơng kì dị β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với a ∈ E , Ω ∈ B(E); (iii) bất biến nhiễu compact β(K ∪ Ω) = β(Ω) với K tập compact tương đối E Ω ∈ B(E); (iv) nửa cộng tính đại số β(Ω0 +Ω1 ) ≤ β(Ω0 )+β(Ω1 ) với Ω0 , Ω1 ∈ B(E); (v) quy β(Ω) = tương đương với tính compact tương đối Ω; Một số ví dụ quan trọng MNC 4 Ví dụ 1.1 Độ đo không compact Hausdorff χ(·), định nghĩa sau: với Ω ∈ B(E), χ(Ω) = inf{  > : Ω có  − lưới hữu hạn} Khi χ(·) MNC thỏa mãn tất tính chất nêu Định nghĩa 1.1 Ví dụ 1.2 Ký hiệu C([0, T ]; Rn ) không gian hàm liên tục [0, T ], nhận giá trị Rn Xét độ đo không compact xác định sau χT (D) = lim sup max kx(t) − x(s)k δ→0 x∈D t,s∈[0,T ],|t−s| Từ suy G(t, ϕ) compact Cτ , G(t, ·) có giá trị compact Tiếp theo, ta có kết sau 15 Bổ đề 3.1 Các giả thiết (H1) − (H5) thỏa mãn Khi G(t, ·) ánh xạ đa trị compact với t > τ Hệ 3.1 Giả sử giả thiết (H1) − (H5) thỏa mãn Khi nửa dịng đa trị G nửa compact tiệm cận Bổ đề 3.2 Giả sử giả thiết (H1) − (H5) thỏa mãn Khi G(t, ·) u.s.c với t ≥ 3.2 Sự tồn tập hút toàn cục Cτ Để áp dụng Định lí 1.2, cần G có tập hấp thụ Cτ Chúng ta sử dụng kết sau Mệnh đề 3.1 ([10]) (Bất đẳng thức Halanay) Cho hàm f : [t0 − τ, T ) → R+ , ≤ t0 < T < +∞ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân hàm f (t) ≤ −γf (t) + ν sup f (s), s∈[t−τ,t] với t ≥ t0 , γ > ν > Khi f (t) ≤ κe−`(t−t0 ) , t ≥ t0 , với κ = sup f (s) ` nghiệm phương trình γ = ` + νe−`τ s∈[t0 −τ,t0 ] Sử dụng bất đẳng thức Halanay, ta kết sau Bổ đề 3.3 Giả sử giả thiết (H1∗ ) (H2) − (H5) thỏa mãn Khi nửa dịng đa trị G có tập hấp thụ, 2ηB ηG (1+ηF )+ηh < a Bây ta phát biểu định lí tồn tập hút tồn cục Định lí 3.1 Với giả thiết (H1∗ ) (H2) − (H5) thỏa mãn, nửa dịng đa trị G sinh (0.1)- (0.3) ln có tập hút tồn cục compact 2ηB ηG (1 + ηF ) + ηh < a 16 Tài liệu tham khảo [1] N.T.V Anh, T.D Ke, Asymptotic behavior of solutions to a class of differential variational inequalities, Ann Polon Math 114 (2015), No 2, 147-164 [2] J.-P Aubin, A Cellina, Differential Inclusions Set-Valued Maps and Viability Theory Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 264 SpringerVerlag, Berlin, 1984 [3] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 1992 [4] E.P Avgerinos, N.S Papageorgiou, Differential variational inequalities in RN Indian J Pure Appl Math 28 (1997), no 9, 1267-1287 [5] J Banas and L Olszowy, On a class of measures of noncompactness in Banach algebras and their application to nonlinear integral equations, J Anal Appl 28 (2009), 475-498 [6] D Bothe, Multivalued Perturbations of m-Accretive Differential Inclusions, Israel J Math 108 (1998), 109-138 [7] T Caraballo, P.E Kloeden, Non-autonomous attractors for integrodifferential evolution equations, Discrete Contin Dyn Syst Ser S (2009) 17-36 [8] J Gwinner, On differential variational inequalities and projected dynamical systems - equivalence and a stability result Discrete Contin 17 Dynam Syst 2007, Dynamical Systems and Differential Equations Proceedings of the 6th AIMS International Conference, suppl., 467476 [9] J Gwinner, A Note on Linear Differential Variational Inequalities in Hilbert Spaces Syst Model Opt., Vol 391, 2013, 85-91 [10] A Halanay, Differential Equations, Stability, Oscillations, Time Lags, Academic Press, New York and London 1996 [11] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 [12] Z Liu, N.V Loi, V Obukhovskii, Existence and Global Bifurcation of Periodic Solutions to a Class of Differential Variational Inequalities Int J Bifur Chaos, Vol 23, No (2013), 1350125 [13] V.S Melnik, J Valero, On attractors of Multivalued Semi-Flows and Differential Inclusions, Set-Valued Analysis (1998), 83-111 [14] J.-S Pang, D.E.Stewart, Differential variational inequalities Math Program Ser A 113 (2008) 345-424 [15] J Diestel, W M Ruess, W Schachermayer, Weak compactness in Ll (µ, X), Proc Amer Math Soc 118 (1993), 447 - 453 [16] I Ekeland, R Temam, Convex analysis and variational problems Society for industrial and Applied Mathematics, (SIAM), Philadenphia, PA, 1999