420 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM GAP CHO BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC TỰA BIẾN PHÂN LOẠI MINTY SV Ngô Thị Hoài An ThS Nguyễn Văn Hưng ThS Võ Minh Tâm Tóm tắt Trong viết này, chúng tơi xét toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty xây dựng hàm gap tham số cho toán Sau đó, chúng tơi thiết lập tính nửa liên tục dưới, nửa liên tục liên tục cho hàm gap tham số Các kết cải thiện mở rộng số kết Lalitha Bhatia [J Optim Theory Appl 148 (2011), 281-300] Mở đầu Lý thuyết tối ưu lĩnh vực kinh điển Tốn học có nhiều ảnh hưởng đến nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế xã hội Trong năm gần đây, lý thuyết tối ưu phát triển mạnh mẽ với nhiều cơng trình nghiên cứu nhiều hướng khác nhiều tác giả nước Những hướng nghiên cứu loại toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán cân khai thác sâu sắc, chẳng hạn tính đóng, tính compắc, tính ổn định bao gồm loại nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên, liên tục, tồn loại hội tụ cho tập nghiệm, Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ khơng gian Ơclít hữu hạn chiều giới thiệu lần Giannessi [6] Về sau, có nhiều tác giả mở rộng nghiên cứu cho tốn khơng gian khác Tính ổn định nghiệm cho loại tốn bất đẳng thức biến phân véctơ quan tâm với nhiều cơng trình nghiên cứu cơng bố.Có nhiều cơng cụ nghiên cứu tính ổn định nghiệm, cơng cụ hàm gap tỏ hiệu Khái niệm hàm gap giới thiệu Auslender (1976) sử dụng cho việc khảo sát tồn nghiệm cho toán tối ưu, xem [1] Ngoài ra, hàm gap sử dụng hiệu để xét tính ổn định đặt chỉnh tập nghiệm hay tính tốn biên sai (error bound) cho toán tối ưu tham số sau nhiều tác giả mở rộng đến loại toán khác bất đẳng thức biến phân cân bằng, xem [4,5,7,9-13,17] tài liệu có liên quan khác Đặc biệt, [12] Lalitha Bhatia sử dụng hàm gap để nghiên cứu tính ổn định cho tốn bất đẳng thức tựa biến phân vô hướng phụ thuộc tham số loại Minty Bởi ứng dụng hiệu hàm gap việc nghiên cứu tính ổn định tập nghiệm cho loại toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân cân tài liệu giới thiệu động lực nghiên cứu từ [12], viết này, xây dựng hàm gap tham số cho loại toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty (viết tắt, (MQVIP)) Đồng thời, tính nửa liên tục liên tục hàm gap tham số khảo sát Các kết cải thiện mở rộng so với kết nghiên cứu [12] Trong mục tiếp theo, chúng tơi thiết lập tốn (MQVIP) trình bày số kiến thức liên quan đến kết Trong Mục 3, hàm gap tham số xây dựng cho toán (MQVIP), tính chất nửa liên tục liên tục hàm gap tham số xem xét Những nhận xét kết luận hướng nghiên cứu tiếp tục cho kết viết trình bày Mục 421 Giới thiệu toán kiến thức Lấy X không gian véctơ tôpô Hausdorff không gian tôpô Hausdorff Cho L( X , R n ) khơng gian tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Rn K : X X ,T : X 2L( X ,R n) ánh xạ đa trị, g : X X X f : X X R n ánh xạ đơn trị, liên tục Ký hiệu z , x giá trị tốn tử tuyến tính z L( X , R n ) x X , ta giả sử .,. liên tục Với , xét toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty sau: (MQVIP) Tìm x K ( x , ) cho z , g ( y, x , ) f ( y, x , ) intR n , y K ( x , ), z T ( y, ) Trong ký hiệu số không âm phần số không âm R n R n = {t = (t1, t2 , , tn ) R n | ti 0, i = 1, 2, , n} intR n = {t = (t1, t2 , , tn ) R n | ti > 0, i = 1, 2, , n} ký hiệu chuyển vị Với , đặt E( ) := {x X | x K ( x, )} : X ánh xạ đa trị, cho ( ) tập nghiệm (MQVIP) Trong suốt viết giả sử ( ) với lân cận Tiếp theo mục này, gọi lại số định nghĩa tính chất chúng trình bày [2, 3] Trước hết, nghiên cứu khái niệm nửa liên tục nửa liên tục theo nghĩa Berge Giả sử X Y hai không gian tôpô Hausdorff Ðịnh nghĩa 2.1 (a) Ánh xạ đa trị F : X 2Y gọi B -nửa liên tục (gọi tắt B -lsc) x0 với tập mở V Y thỏa F ( x0 ) V tồn lân cận U x0 cho F (U ) V (b) Ánh xạ đa trị F : X 2Y gọi B -nửa liên tục (gọi tắt B -usc) x0 với lân cận V F ( x0 ) tồn lân cận U x0 cho F (U ) V (c) Nếu (a) (tương ứng (b)) thỏa với x0 domF ta nói F B -lsc (tương ứng B -usc) (d) F gọi B -liên tục B -lsc B -usc Trong đó, domF kí hiệu cho miền hiệu F xác định domF := {x X |F ( x) } 422 Mệnh đề 2.2 Cho ánh xạ đa trị F : X 2Y Nếu F có giá trị compắc, F usc x0 khi, với lưới {x } X hội tụ x0 với lưới { y } F ( x ) , tồn y F ( x) lưới { y } { y } cho y y Mệnh đề 2.3 Cho G : X 2Y ánh xạ đa trị W : X Y R hàm giá trị thực Nếu W liên tục X Y G B -liên tục với giá trị compắctrên X V ( x) := max W ( x, y ) yG ( x ) liên tục X Ðịnh nghĩa 2.4 Một ánh xạ đơn trị f : X R gọi nửa liên tục (tương ứng trên) với r R tập mức {x X | f ( x) r} (tương ứng {x X | f ( x) r} ) đóng f gọi liên tục nửa liên tục nửa liên tục Kết Trong mục này, chúng tơi xây dựng hàm gap tham số cho tốn (MQVIP) Ðồng thời, tính nửa liên tục liên tục hàm gap tham số khảo sát Ðịnh nghĩa 3.1 Hàm số h : X R gọi hàm gap phụ thuộc tham số (hay hàm gap tham số) toán (MQVIP) thỏa mãn tính chất sau: (a) h( x, ) với x E( ) , (b) h( x0 , ) = x0 ( ) Bây giả sử K ( x, ) T ( y, ) tập compắc với ( x, ) X ( y, ) X Chúng ta định nghĩa hàm số h : X R sau h( x, ) = max max { max ( z, g ( y, x, ) f ( y, x, ))i }, x E ( ), zT ( y , ) yK ( x , ) (1) 1i n ( z, g ( y, x, ) f ( y, x, ))i z, g ( y, x, ) f ( y, x, ) , i = 1, 2, , n thành phần thứ i Vì K ( x, ) T ( y, ) tập compắc, nên h( x, ) xác định Sau giả sử g ( x, x, ) = f ( x, x, ) = , với x E( ) Ðịnh lí 3.2 Hàm số h( x, ) định nghĩa phương trình (1) hàm gap tham số toán (MQVIP) Chứng minh Chúng ta định nghĩa hàm số h : X L( X , R n ) R sau: h( x, z, ) = max { max ( z, g ( y, x, ) f ( y, x, ))i }, x E ( ), z T ( y, ) yK ( x, ) 1i n (a) Ta dễ dàng thấy h ( x, z , ) , x E( ), z T ( y, ), Cho giả sử ngược lại tồn x0 E ( ) , z0 T ( y, ) cho 423 h( x0 , z0 , ) < , > h( x0 , z0 , ) = max { max ( z0 , g ( y, x0 , ) f ( y, x0 , ))i }, yK ( x0 , ) 1i n { max ( z0 , g ( y, x0 , ) f ( y, x0 , ))i }, y K ( x0 , ) 1i n Điều ta lấy y = x0 Do đó, h ( x, z, ) = max { max ( z, g ( y, x, ) f ( y, x, ))i } 0, x E ( ), z T ( y, ) yK ( x, ) 1i n Do đó, với z T ( y, ) , ta có h( x, ) = max max { max ( z, g ( y, x, ) f ( y, x, ))i } zT ( y , ) yK ( x, ) 1i n (b) Từ định nghĩa hàm số h(.,.) , h( x0 , ) = với y K ( x0 , ) z T ( y, ) , max ( z, g ( y, x0 , ) f ( y, x0 , ))i 0, 1i n max ( z, g ( y, x0 , ) f ( y, x0 , ))i 0, y K ( x0 , ), z T ( y, ) 1i n đó, tồn số i0 n , ( z , g ( y, x0 , ) f ( y, x0 , ))i 0, y K ( x0 , ), z T ( y, ) tương đương với z, g ( y, x0 , ) f ( y, x0 , )) intRn , y K ( x0 , ), z T ( y, ) Điều có nghĩa là, x0 ( ) W Ví dụ 3.3 Lấy X R , n 1, = [1, 2], K ( x, ) = [0, ], T ( y, ) = [1,1 y ] g ( y, x, ) = y x, f ( y, x, ) = Bây ta xét tốn (MQVIP), tìm x K ( x, ) cho z, g ( y, x, ) f ( y, x, ) = z( y x) 0, y K ( x, ), z T ( y, ) Tính tốn ta ( ) = {0} với [1, 2] Bây ta chứng tỏ h( x, ) hàm gap tham số (MQVIP) Thật vậy, ta có max max[ z, g ( y, x, ) f ( y, x, )]i zT ( y , ) yK ( x, ) 1i n h( x, ) = max = max max {z ( x y )} zT ( y , ) yK ( x , ) = max z ( x 0) zT ( y , ) 424 = zx max z[1,1 y ] = 2 x xy x = ( ) x (0, ] Do đó, h( x, ) hàm gap tham số toán (MQVIP) X = R , n = 2, = [0,1] , 3.4 Lấy K ( x, ) = [ ,0], 1 T ( y, ) = , g ( y, x, ) = y x, f ( y, x, ) = Bây ta xét tốn 2 (MQVIP), tìm x K ( x, ) cho Ví dụ 1 1 z, g ( y, x, ) f ( y, x, ) = ( y x), ( y x) intR 2 , y K ( x, ) 2 2 Dễ dàng tính tốn ( ) = { } Bây ta chứng tỏ h( x, ) hàm gap tham số (MQVIP) Thật vậy, ta có max max[ z, g ( y, x, ) f ( y, x, )]i zT ( y , ) yK ( x, ) 1i n h( x, ) = max 1 1 = max max ( y x), ( y x) 2 yK ( x, ) 2 = max ( x y ) y[ ,0] = ( x ) x = ( ) x ( ,0] Do đó, h( x, ) hàm gap tham số toán (MQVIP) Nhận xét 3.5 Nếu X R m , f ( y, x, ) = , g ( y, x, ) = y x, n 1, tốn (MQVIP) dần tốn bất đẳng thức tựa biến phân vơ hướng phụ thuộc tham số loại Minty (viết tắt, (MVI)) xét [12] sau: (MVI) Tìm x K ( x , ) cho z, y x 0, y K ( x , ), z T ( y, ) Khi hàm gap tham số cho toán (MVI) [12] trường hợp đặc biệt hàm gap h( x, ) chúng tơi 425 Ðịnh lí 3.6 Xét toán (MQVIP) Nếu điều kiện sau xác định: (i) K (.,.) B - nửa liên tục X ; (ii) T (.,.) B - nửa liên tục X Thì h(.,.) nửa liên tục X Chứng minh Cho r R giả sử {( x , )} X thỏa mãn h( x , ) r , ( x , ) ( x0 , ) , ta phải chứng tỏ h( x0 , ) r Thật vậy, từ h( x , ) r ta có max ( z, g ( y, x , ) f ( y, x , ))i r zT ( y , ) yK ( x, ) 1i n max max max ( z, g ( y, x , ) f ( y, x , ))i r , y K ( x , ), z T ( y, ) (2) 1i n Vì K (.,.) B -nửa liên tục X , nên với y0 K ( x0 , ) , tồn y K ( x , ) cho y y0 Do T (.,.) B - nửa liên tục X nên với z0 T ( y0 , ) , tồn z T ( y , ) cho z z0 Vì y K ( x , ) z T ( y , ) nên từ (2) suy max ( z , g ( y , x , ) f ( y , x , ))i r 1i n (3) Do f (.,.,.) , g (.,.,.) .,. liên tục, nên {max1i n( z, g ( y, x, ) f ( y, x, ))i } liên tục Do đó, ta lấy giới hạn (3) có max ( z0 , g ( y0 , x0 , ) f ( y0 , x0 , ))i r 1i n (4) Do y0 K ( x0 , ) z0 T ( y0 , ) tùy ý, nên từ (4) suy h( x0 , ) = max ( z, g ( y, x0 , ) f ( y, x0 , ))i r zT ( y , ) yK ( x0 , ) 1i n max max Ðiều chứng tỏ rằng, với r R , tập mức {( x, ) | h( x, ) r} đóng Do W đó, h(.,.) nửa liên tục X Nhận xét 3.7 Trong trường hợp đặc biệt Nhận xét 3.5 Bổ đề 4.1 [12] trường hợp đặc biệt Định lí 3.6 Tuy nhiên phương pháp chứng minh Định lí 3.6 chúng tơi khác phương pháp chứng minh Bổ đề 4.1 [12] Ðịnh lí 3.8 Xét tốn (MQVIP) Nếu điều kiện sau xác định: (i) K (.,.) B -liên tục với giá trị compắc X ; (ii) T (.,.) B -liên tục với giá trị compắc X Thì h(.,.) liên tục X 426 Chứng minh Từ kết Ðịnh lí 3.6, h(.,.) nửa liên tục X Do đó, để chứng minh h(.,.) liên tục X , ta cần chứng minh h(.,.) nửa liên tục trên X Thật vậy, ta lấy r R Giả sử {( x , )} X thỏa mãn h( x , ) r , ( x , ) ( x0 , ) Chúng ta chứng minh h( x0 , ) r Vì h( x , ) r , , ta có max ( z, g ( y, x , ) f ( y, x , ))i r zT ( y , ) yK ( x , ) 1i n max max Xét lại hàm h ( x, z , ) định nghĩa phần đầu chứng minh Ðịnh lí 3.2 sau h( x, z, ) = max max ( z, g ( y, x, ) f ( y, x, ))i , x E ( ), z T ( y, ) yK ( x, ) 1i n Vì f (.,.,.) , g (.,.,.) .,. liên tục, ta có {max1i n( z, g ( y, x, ) f ( y, x, ))i } liên tục, K (.,.) B -liên tục với giá trị compắc X Vì vậy, theo Mệnh đề 2.3, ta suy h ( x, z , ) liên tục Từ tính compắc T ( y, ) , tồn z T ( y, ) cho h( x , ) max ( z, g ( y, x , ) f ( y, x , ))i zT ( y , ) yK ( x , ) 1i n max max = h( x , z , ) = max ( z , g ( y, x , ) f ( y, x , ))i r yK ( x , ) 1i n max Từ tính compắc K ( x , ) , tồn y K ( x , ) cho max ( z , g ( y , x , ) f ( y , x , ))i r 1i n (5) Vì K (.,.) B -nửa liên tục với giá trị compắc X , tồn y0 K ( x0 , ) cho y y0 (có thể lấy lưới { y } { y } cần thiết) Vì T (.,.) B - nửa liên tục với giá trị compắc X , tồn z0 T ( y0 , ) cho z z0 (có thể lấy lưới {z } {z } cần thiết) Do {max1i n( z, g ( y, x, ) f ( y, x, ))i } liên tục Lấy giới hạn (5), ta có max ( z0 , g ( y0 , x0 , ) f ( y0 , x0 , ))i r 1i n 427 Vì vậy, với y K ( x0 , ) z T ( y, ) , ta có h( x0 , ) = max ( z, g ( y, x0 , ) f ( y, x0 , ))i r zT ( y , ) yK ( x0 , ) 1i n max max Ðiều chứng tỏ rằng, với r R , tập mức {( x, ) | h( x, ) r} đóng Do đó, h(.,.) W nửa liên tục trên X Nhận xét 3.9 Trong [12], Lalitha Bhatia xét tính nửa liên tục hàm gap cho toán (MVI) Tuy nhiên tác giả chưa xét tính nửa liên tục tính liên tục cho hàm gap tham số Vì vậy, Ðịnh lí 3.8 chúng tơi Kết luận Trong viết này, thiết lập hàm gap tham số cho tốn (MQVIP) (xem Định lí 3.2) Đồng thời, tính nửa liên tục liên tục hàm gap tham số xem xét (xem Định lí 3.6 Định lí 3.8) Các kết cải thiện mở rộng so với kết hàm gap [12] Từ kết viết này, thời gian tới tiếp tục nghiên cứu số vấn đề cịn mở, là: - Thiết lập loại hàm gap tham số quy mới, từ xét tính nửa liên tục liên tục chúng Đồng thời, tìm biên sai dựa hàm gap tham số quy thuật tốn tìm nghiệm - Khảo sát tính nửa liên tục dưới, tính nửa liên tục Hausdorff, tính liên tục tính liên tục Hausdorff tập nghiệm toán (MQVIP) Tài liệu tham khảo [1] A Auslender, Optimization: Méthods Numériques, Masson, Paris, France (1976) [2] J.P Aubin, I Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York, (1984) [3] C Berge, Topological Spaces, Oliver and Boyd, London (1963) [4] G.Y Chen, C.J Goh, X.Q Yang, On Gap Functions for Vector Variational Inequalities, Non Optim Appl 38 (2000), 55–72 [5] C.R Chen, S.J Li, Z.M Fang, On the solution semicontinuity to a parametric generalized vector quasivariational inequality, Comput Math Appl 60 (2010), 2417–2425 [6] F Giannessi, Theorems of alternative, quadratic programmes and complementarity problems, in: R W Cottle, F Giannessi, J L Lions (Eds.), Variational Inequalities and Complementarity Problems, Wiley, Chichester, (1980), 151-186 [7] F Giannessi, On some connections among variational inequalities, combinatorial and continuous optimization, Annals of Operations Research 58 (1995), 181–200 [8] D.W Hearn, The gap function of a convex program, Operations Research Letter 1(1982), 67–71 428 [9] N.V Hung, Stability of a solution set for parametric generalized vector mixed quasivariational inequality problem, J Inequal Appl 276 (2013), 1–13 [10] N.V Hung, L.H.M Van, V.M Tam, On the semicontinuity of solution sets for parametric vector quasi-variational inequality problems, J Sci Hue Univ 96 (2014), 71–85 [11] B.T Kien, On the lower semicontinuity of optimal solution sets, Optimization, 54(2005), 123-130 [12] C.S Lalitha, G Bhatia, Stability of parametric quasivariational inequality of the Minty type, J Optim Theory Appl 148(2011), 281-300 [13] J Li, Z.Q He, Gap functions and existence of solutions to generalized vector variational inequalities, Appl Math Lett 18(2005), 989–1000 [14] S.J Li and C.R Chen, Stability of weak vector variational inequality problems, Nonlinear Anal TMA 70 (2009), 1528–1535 [15] R.T Rockafellar, R.J Wets, Variational analysis, Springer, Berlin (1998) [16] N Ð n, Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ (2007) [17] J Zhao, The lower semicontinuity of optimal solution sets, J Math Anal Appl 207(1997), 240-254 ... h(.,.) W nửa liên tục trên X Nhận xét 3.9 Trong [12], Lalitha Bhatia xét tính nửa liên tục hàm gap cho toán (MVI) Tuy nhiên tác giả chưa xét tính nửa liên tục tính liên tục cho hàm gap tham... số cho tốn (MQVIP) Ðồng thời, tính nửa liên tục liên tục hàm gap tham số khảo sát Ðịnh nghĩa 3.1 Hàm số h : X R gọi hàm gap phụ thuộc tham số (hay hàm gap tham số) tốn (MQVIP) thỏa mãn tính. .. ) hàm gap tham số toán (MQVIP) Nhận xét 3.5 Nếu X R m , f ( y, x, ) = , g ( y, x, ) = y x, n 1, toán (MQVIP) dần toán bất đẳng thức tựa biến phân vô hướng phụ thuộc tham số loại Minty