Một số vấn đề về bài toán bất đẳng thức tựa biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– LÊ DIỄM HƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TỰA BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– LÊ DIỄM HƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TỰA BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Lương THANH HÓA, NĂM 2022 Danh sách Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1243 /QĐ-ĐHHĐ ngày 13 tháng năm 2022 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ PGS TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐHGD-ĐHQGHN UV Phản biện TS Hoàng Nam Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện PGS TS Trần Đình Kế TS Đỗ Văn Lợi Trường ĐHSP Hà Nội Ủy viên Trường Đại học Hồng Đức Thư ký Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 18 tháng năm 2022 TS Nguyễn Văn Lương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Lê Diễm Hương i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Nguyễn Văn Lương Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Lương, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu để em hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giảng dạy lớp K13 cao học Tốn Giải tích, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Giải tích PPGD Tốn khoa KHTN trường Đại học Hồng Đức, trường THPT Nga Sơn tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng năm 2022 Lê Diễm Hương ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viêt tắt ký hiệu iv Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Một số vấn đề liên quan tới dãy số chuỗi số thực 3 1.2 Một số khái niệm kết giải tích hàm Chương Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân 13 2.1 2.2 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân tồn nghiệm Thuật tốn chiếu qn tính giải toán bất đẳng thức 13 2.5 tựa biến phân 18 Ví dụ số 31 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iii CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực RN Tập hợp vectơ thực N chiều ∥x∥ Chuẩn vectơ x ⟨x, y⟩ Tích vơ hướng hai vectơ x y ∥A∥ Chuẩn ma trận A PS (x) Hình chiếu x lên tập S C[a, b] Tập hàm liên tục [a, b] iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần đầu vào năm 1966 báo Hartman Stampachia Bài toán bất đẳng thức biến phân khái niệm toán học hợp nhiều khái niệm quan trọng giải tích tốn ứng dụng tốn điểm bất động, toán tối ưu, toán cân mạng, hệ phương trình phi tuyến, nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, kinh tế học, Một mở rộng quan trọng toán bất đẳng thức biến phân toán bất đẳng thức tựa biến phân Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân giới thiệu lần Bensoussan Lion đầu năm 70 kỷ XX nghiên cứu toán điều khiển Lý thuyết toán bất đẳng thức tựa biến phân cơng cụ tốn học để giải tốn lý thuyết trị chơi, toán cân toán tối ưu, nên gần đây, lý thuyết toán bất đẳng thức tựa biến phân nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Hai vấn đề quan trọng nghiên cứu toán bất đẳng thức tựa biến phân tồn nghiệm xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức tựa biến phân Sự tồn xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức tựa biến phân yêu cầu giải đồng thời toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động tương ứng Do đó, có nhiều kết cho tốn bất đẳng thức biến phân, kết cho tốn bất đẳng thức tựa biến phân khơng nhiều Ngồi ra, kỹ thuật dùng để giải toán bất đẳng thức biến phân thường không áp dụng cho toán bất đẳng thức tựa biến phân Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài tìm hiểu trình bày số kết tồn nghiệm số phương pháp giải xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức tựa biến phân cho tốn tử đơn điệu mạnh khơng gian Hilbert Đối tượng nghiên cứu Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân cho toán tử đơn điệu mạnh Phạm vi nghiên cứu Sự tồn nghiệm phương pháp giải toán bất đẳng thức tựa biến phân Phương pháp nghiên cứu • Phân tích, tổng hợp nghiên cứu tài liệu liên quan • Hệ thống hoá kết tồn nghiệm xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức tựa biến phân Ý nghĩa luận văn Luận văn tìm hiểu trình bày số kết tồn nghiệm cho toán bất đẳng thức tựa biến phân cho toán tử đơn điệu mạnh.Tìm hiểu, hệ thống trình bày số phương pháp giải toán bất đẳng thức tựa biến phân cho toán tử đơn điệu mạnh Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học ngành Tốn Cấu trúc luận văn Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương • Chương Kiến thức sở Trong chương này, trình bày số kiến thức dãy số thực, chuỗi số thực, giải tích hàm • Chương Bài tốn bất đẳng thức tựa biến phân Trình bày nội dung luận văn, bao gồm khái niệm toán bất đẳng thức tựa biến phân, tồn nghiệm toán bất đẳng thức tựa biến phân cho toán tử đơn điệu mạnh số phương pháp chiếu quán tính giải xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức tựa biến phân Chương 1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Một số vấn đề liên quan tới dãy số chuỗi số thực Trong phần chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất liên quan tới dãy số chuỗi số thực Nội dung liên quan tới phần tìm thấy hầu hết tài liệu giải tích cổ điển, chẳng hạn [1, 2] Định nghĩa 1.1.1 Một dãy số ánh xạ u : N → R thường kí hiệu {un }n≥1 {un }∞ n=1 đơn giản {un } Định nghĩa 1.1.2 Cho {un } dãy thực Ta nói {un } dãy tăng (tương ứng, tăng ngặt) un ≤ un+1 (tương ứng, un < un+1 ) với n ∈ N Ta nói dãy {un } giảm (tương ứng, giảm ngặt) un+1 ≤ un (tương ứng, un+1 < un ) với n ∈ N Dãy {un } gọi đơn điệu (tương ứng, đơn điệu ngặt) dãy tăng giảm (tương ứng, tăng ngặt giảm ngặt) Từ định nghĩa ta thấy rằng: 1) Nếu dãy {un } {vn } tăng (tương ứng, giảm) dãy {un + } tăng (tương ứng giảm) 2) Nếu dãy {un } {vn } tăng (tương ứng, giảm) số hạng thuộc R+ dãy {un } tăng (tương ứng, giảm) Định nghĩa 1.1.3 Cho {un } dãy thực Khi đó, dãy dãy {un } gọi bị chặn tồn số thực M cho un ⩽M với n Dãy {un } gọi bị chặn tồn số thực m cho un ≥ m với n Dãy {un } gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Định nghĩa 1.1.4 Cho {un } dãy số thực Khi đó, số thực ℓ gọi giới hạn dãy số {un } với số ε > 0, nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên N cho với n > N ta có | un − ℓ |< ε ||xk − xk−1 k→∞ = Áp dụng Bổ đề 1.1.20 cho (2.27), ta kết luận dãy {xk } hội tụ tới x∗ Định lý chứng minh  Tiếp theo chúng tơi trình bày hội tụ R-tuyến tính dãy số xk sinh Thuật tốn 2.3 cho số trường hợp đặc biệt tham số Định lý 2.3.2 Xét toán bất đẳng thức tựa biến phân (2.1) với F µđơn điệu mạnh L-Lipschitz giả sử tồn λ ≥ cho (2.3) thoả  mãn Gọi xk dãy sinh Thuật toán 2.3 với γ ≥ thoả mãn (2.8), dãy {αk }, {θk } thoả mãn điều kiện: p 1 < αk = α < k β := − 2µγ + γ L2 +λ cho β > ; 2 − β2 ≤ θk = θ < β2  Khi đó, xk hội tụ R-tuyến tính tới nghiệm x∗ ∈ K (x∗ ) toán bất đẳng thức tựa biến phân (2.1) − β2 , nên < − β (1 + θ) < Do đó, Chứng minh Vì θ < β
− α − β (1 + θ) ∈ (0, 1)


Đặt T y k := PK(yk ) y k − γF y k Từ thuật toán (2.11), với nghiệm x∗ toán bất đẳng thức tựa biến phân, ta có k+1 x − x∗


2 = (1 − α) xk − x∗ + α T y k − x∗ 2
= (1 − α) xk − x∗ + α T y k − x∗
2 −α(1 − α) xk − T y k 2 ≤ (1 − α) xk − x∗ + αβ y k − x∗ (1 − α) xk+1 − xk − (2.28) α  2 ≤ (1 − α) xk − x∗ + αβ (1 + θ) xk − x∗ 2  −θ xk−1 − x∗ + θ(1 + θ) xk − xk−1 23 (1 − α) xk+1 − xk α 2

= − α − β (1 + θ) xk − x∗ − θαβ xk−1 − x∗ 2 (1 − α) k+1 x − xk +θ(1 + θ)αβ xk − xk−1 − α Điều suy k+1 (1 − α) k+1 x x − x∗ + − xk α

≤ − α − β (1 + θ) xk − x∗ 2 −θαβ xk−1 − x∗ + θ(1 + θ)αβ xk − xk−1 (2.29) − Vì < αk = α < , ta có ∥xk+1 − x∗ + xk+1 − xk ∥2 2

⩽ − α − β (1 + θ) xk − x∗ − θαβ xk−1 − x∗ +θ(1 + θ)αβ xk − xk−1 2

≤ − α − β (1 + θ) xk − x∗ + θ(1 + θ)αβ xk − xk−1

= − α − β (1 + θ) ×   k k θ(1 + θ)αβ k−1 ∗ x − x x − x + (1 − α (1 − β (1 + θ))) k 

 k ∗ 2 k−1 x −x ≤ − α − β (1 + θ) + x −x , (2.30) bất đẳng thức cuối thu từ điều kiện θ(1 + θ)αβ