Các bất đẳng thức łojasiewicz sụ ton tại và tính toán các số mũ

VI3NHÀNLÂMKHOAHOCVÀCƠNGNGH3VI3TNAM VISNTỐNHOC HỒNGPHIDŨNG CÁCBATĐANGTHÚCŁOJASIEWICZ:S ỤTONT ẠII VÀTÍNHTỐNCÁCSOMŨ LUN ÁNTIENSĨTỐNHOC U HàNi-2021 VI3NHÀNLÂMKHOAHOCVÀCƠNGNGH3VI3TNAM VISNTỐNHOC ———————- HỒNGPHIDŨNG CÁCBATĐANGTHÚCŁOJASIEWICZ:S ỤTONT ẠII VÀTÍNHTỐNCÁCSOMŨ LUN ÁNTIENSĨTỐNHOC U Chunngành:Hìnhhocvàtơpơ Mãso:9460105 Ngưàiàihưàiángdȁnkhoahoc:nkhoahoc:P GS.TSKH.HàHuyVui HàNi-2021 TĨMTAT LunánnghiêncuvecácbatđȁngngthcŁojasiewicz,baogombatđȁngngthcŁojasiewicz gradient nham khǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngo sát tô pô cǔa mam hàm trườnga mam hàm trườngng hợppđịaaphươngngvàsụtontạiicǔa mam hàm trườngabatđȁngngthcŁojasiewiczcőđientrongtrườngnghợpptồnc ục.Cụthehơngn,trongtrườngnghợppđịaaphươngng,lunánnghiêncucácbatbien tơ pơ cǔa mam hàm trườnga kỳ dịa đườngngcongphȁngngsau:thươngngcụcvàsomũŁojasiewiczgradient Trong trườngng hợpp toàn c ục, lu n án nghiên c u sụ ton t ạii, őn đ ịanh c ǔa mam hàm trườnga c nsaisoHoălder,bat ng ng th cojasiewicztonc c trongmoiliờnhviicỏc giỏ tra Fedoryuk đ c bi t Bên cạinh đó, lu n án nghiên c u sụ ton tạii cǔa mam hm trnga c n sai soHoăldervbatngngth cojasiewiczgradientchohmanhnghapctrongcỏccau trỳc o-toitieu Lunángomcóbonchươngngnhưsau: TrongChươngng1,chúngtơinhaclạiimtsokienthccơngsơngvehàmgiǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngitích,Đnh ịa lýPuis eux,cácbatđȁngngthcŁojasiewicz,hìnhhoccǔa mam hàm trườngacáccautrúcotoitieu,tpnađạiisovàmtsoketquǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngtronggiǎo sát tô pơ cǔa mam hàm trườngitíchbienphân Trong Chươngng 2, chúng tơi trình bày khái ni m đa giác Newton tươngngngvớii m t cung phươngng pháp trượpt đe tính khai trien Newton-Puiseux đa ịa phươngng.Chúngtôisd ụ n g phươngngphápnàyđetínhcácthươngngcụcvàsomũŁojasie wicz gradient trườngng hợpp ph c Tđó, ch ng minh t pcác thươngng cục so mũ Łojasiewicz nh ng bat bien tô pô trườngng hợppkỳdịađườngngcongphȁngngphckhôngnhatthietthugon.Mtsoướiclượpnghiuquǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngve so mũ Łojasiewicz đượpc đưara chươngng TrongChươngng3,vớiif l àmtđathcnbienthục,chúngtôithietlpmtso công th c cǔa mam hàm trườnga t pΛ+(f)là t p giá trịa có t p dướii m c tươngng ng có c n saisoHoăldertonc c thoo sỏt tụ pụ ca cỏc mam hàm trườngm ãn.Ngồirachúngtơitrìnhbàyđ ctr ng c ǔa mam hm trnga c nsai soHoăldertrờnt p f V1: =x∈ R n: ∂x ( x)=0 n Chúngtôikhǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngosátmoiliênhg i atpcácgiátrịaFedoryukvớiiőnđịanhcǔa cỏc mam hm trngacnsaisoHoălde rtonc c Túchỳngtụiphõnlo i i đ ượp c toànbcáckieuőnđ ịa nh cǔa mam hàm trườngac n s a i s o H oăldertonc c theot p c ỏ c g i t r ịa Fedoryuk.C h ú n g tôic h n g minhrangneutpcácgiátr ịa Fedoryuk làhuh ại nthì tpΛ +(f)khácrőng.T đósuyra,trongtr ường ngh ợp p haibien,tpΛ +(f)lnkhácrőng.Chúngtơiđ a ramtvớdcbitvemtathcmkhụngtontiimtgiỏtranomtpdii m ctngngngnh nc nsaisoHoăldertonccviit pcỏcgiỏtraFedoryuklvụhin Ngoi ra, chỳng tụi thiet l p quy trình tính tốn t p Λ+(f)bang khai trienNewtonPuiseuxtại i vôh ại nc ǔa mam hàm trườngađ ường ngcongđ ạiiso.Bênc ạinh đó,chúngtơitính mtsovídụminhhoạicho mtsokieuőnđ ịanhđãđ ượpcphân loại i Ve bat đȁngng th c Łojasiewicz toàn c ục, xác đ ịanh công th c tườngngminhcǔa mam hàm trườngatpΛ(f),làtpcácgiátrịatmàthớitạiiđónhnbatđȁngngthc Łojasiewicztồn cục.Chúngtơichúýđencácgiátrịabiêncǔa mam hàm trườngatpΛ(f), chúng giá trịaFedoryuk đ c bi t Hơngn n a, chǐ m t so ví dụ ve t p m t so ví d ụ ve t p Λ(f)này Đienhình ví dụ ve đa th c hai bien mà khơng có giá trịatnào đef−1(t)có bat đȁngngthcŁojasiewicztồncục,nóicáchkhácΛ(f)=∅ TrongChươngng4,chúngtơiđưaratiêuchuȁngntontạiicǔa mam hàm trngac nsaisoHoălderchocỏchmanhnghapc,liờntctrongcỏccautrỳcotoitieuvmoiliờnhc a cỏc mam hm trng a c nsaisoHoălderviiieuki nPalais- Smale.Vsaucựng,chỳngtụinghiờnc u bat ngng th c ojasiewicz gradient cạinh thới trườngng hợpp hàm địanh nghĩa đượpc,liêntụctrongcáccautrúcotoitieu ABSTRACT ThethesisstudiesŁojasiewiczinequalities,theyareŁojasiewiczgradientin-equality for investigating the topology of function germs in the local case andtheexistenceforclassicalŁojasiewiczinequalityintheglobalcase.Explicitly,inthelo calcase,thethesisinvestigatestopologicalinvariantsofplanecurvesingu-larities: Polar quotients and Łojasiewicz gradient exponents In the global case,thethesisstudiestheexistence,stabilityofglobalHoălderianerrorboundsandglobaloj asiewiczinequalityintherelationshipwithFedoryukvalues.Besides,westudytheexi stenceofglobalHoălderianerrorboundsandojasiewiczgradi-ent inequalityfor definablefunctions ino-minimal structures Thethesisconsistsoffourchapters: In Chapter 1, we recall some basic results on analytic functions, Puiseux’s theorem, Łojasiewicz inequalities, geometry of o-minimal structures, semialgebraicsets,variationalanalysisandrequiredproperties InChapter2,werecalltheNewtonpolygonrelativetoanarcanduseslidingmethod to computelocal Newton-Puiseuxexpansions We usesliding methodto compute polar quotients and Łojasiewicz gradient exponent in the complexcase.Consequently,weprovethatthesetofpolarquotientsandŁojasiewiczgradientexponentarebothtopologicalinvariantsforplanecurvesingularities(notnecessarilyre duced) InChapter3,firstly,assumethatfisarealpolynomialinnvariables,wegive somef o r m u l a s f o r Λ +(f)which i s t h e s e t o f v a l u e s t s u c h t h a t i t s s u b levelset admitsaglobalHoălderianerrorbound.Moreover,wegiveacharacterizationofgl obalHoălderianerrorboundontheset f V1: =x∈ R n: ( x)=0 ∂x n Next, we investigate the relationship between the set of Fedoryuk values and sta- bilityofglobalHoălderianerrorbounds.WeprovethatiftheFedoryuksetisfinite, then +(f)is n o n e m p t y s e t T h i s i m p l i e s t h a t , i n t h e c a s e o f t w o v a r i a b l e s , t h e setΛ+(f)is always non-empty set We give a special example of a polynomial,wheretheFedoryuksetisinfiniteandtheredonotexistanyvaluesuchth atits sub-levelsetadmitsaHoălderianerrorbound.Moreover,weclassifyallofthe typesofstabilityofglobal Hoălderianerror bounds Moreover,wegiveapr ocedure for computing ofΛ+(f)byusing Newton-Puiseux expansions at infinityofalgebraiccurves.Besides,wecomputeanexplicitexampletoillustrateso me typesofstability About global Łojasiewiczinequality, we give some explicit formulas forΛ(f)whichisthesetofvaluetsuchthatitsfibref−1(t)admitsglobalŁojasiewiczinequa lity.Wen o t i c e the valuesofboundary ofthes e t Λ(f),they arespecialFedoryukvalues Moreover,wepointoutsomeinterestingexamplesaboutit.Specially, we give a polynomial in two variables satisfies: There is no valuetsuchthatf 1(t)admitstheglobalojasiewiczinequality,i.e. (f)= InChapter4,wegiveacriterionfortheexistenceofglobalHoălderianerrorbounds for definable functions in o-minimal structures and the its relation toPalais-Smale condition In conclusion, we study Łojasiewicz gradient inequalitynearthefiberforcontinuous,definablefunctionsino-minimalstructures LICAMĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên c u c ǔa mam hàm trườnga tơi đ ượpc hồn thành dướiisụ hướing dȁngn cǔa mam hàm trườnga PGS TSKH Hà Huy Vui Các ket qu ǎo sát tô pô cǔa mam hàm trường viet chung v ớii tácgiǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngkhácđãđượpcsụnhattrícǔa mam hàm trườngacácđongtácgiǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngtrướickhiđưavàolunán.Cácket quǎo sát tô pô cǔa mam hàm trường đượpc nêu lu n án trung th ục ch ưa t ng đ ượpc cơng bo batkỳ cơngtrình nàokhác HàNi,tháng12năm2021 Tácgiálunán Hoàng Phi Dũng LICÁMƠNN Lu n án đượpc hồn thành tạii Vi n Tốn hoc dướii sụ h ướing d ȁngn c ǔa mam hàm trườnga thaytôi, PGS TSKH Hà Huy Vui Thay dành rat nhieu cơng s c s ụ kiên nhȁngnđedȁngntơitngbướicvàoHìnhhocđạiisothụcvàLýthuyetKỳdịa,giúptơilàmquen vớii bat đȁngng th c Łojasiewicz, khai trien Puiseux cǔa mam hàm trườnga đườngng cong đạiiso,kỳdịatạiivơhạincùngvớiicáchlàmtốnvàcáchtưduyhìnhhoc.Bêncạinhđó,Thay đãđtbàitốnvàgợpiýliêntụcchotơitrongqtrìnhlàmvicchungvớiiThay.Thayđãdìudattơimt qtrìnhdàitthờngi đạii hoc, cao hoc nghiên cusinh.Đượpclàmvicdướiisụhướingdȁngncǔa mam hàm trườngaThaylà m t may man lớin cǔa mam hàm trườngađờngi tơi, đe tơi có the hieu m t cách nghiêm túc ve vi c hoc Tác giǎo sát tô pô cǔa mam hàm trường xin đượpc bàytǒlịngbietơngnvàkínhtrongsâusaccǔa mam hàm trườngamìnhđenThayHàHuyVui Tácgi ǎo sát tô pô cǔa mam hàm trường xintrântrongc ǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngm ơngnPGS.TS.Ph ạimTien S ơng n vàTS.NguyenHongĐ c venhngthǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngolun,gópýcùnggiúpđỡ quý báu Trong trình hoc t p,qbáu.Trongqtrìnhhoctp,hai anh giúp tơi hieu ve kỳ dịa đườngng cong phȁngng, cau trúc o-toi tieu kháinimđagiácNewtontươngngngvớiimtcung.Hơngnna,cácanhcịnlàđongtácgiǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngtron gmtcơngtrìnhchungcǔa mam hàm trườngalu nán Tácgiǎo sát tơ pô cǔa mam hàm trườngcũngtrântrongcǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngmơngnVinTốnhoc,TrungtâmĐàotạiosauđạiihoc,các phịng ch c cǔa mam hàm trườnga Vi n Toán hoc cho tác giǎo sát tô pô cǔa mam hàm trường m t mơi trườngng hoc t pvànghiênculýtươngngđecóthehồnthànhlunánnày Tácgiǎo sát tô pô cǔa mam hàm trường x intrântrongc ǎo sát tô pô cǔa mam hàm trường m ơng nphịng Hìnhhoctơpơđãt ại o đieukinthunlợpi đe tác giǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngđượpc tham gia cácsinh hoạit khoahoc hithǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngo thườngng niên cǔa mam hàm trườngaphịngt2 đennay Trongsuotqtrìnhhoctp,tácgiǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngcũngđãnhnđượpcsụgiúpđỡ quý báu Trong trình hoc t p,vàđngviêncǔa mam hàm trườnga cácanh Đinh SĩTip, NguyenTat Thang, VũThe Khôi, TranGiang Nam,LêQThườngng,TranNamTrung,ĐőTrongHồng,ĐồnTháiSơngn,HoMinhTồ n,PhạimHùngQvàchịaNguyenThịaThǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngo.Tácgiǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngxinchânthànhcámơngn.Ngồira,t ácgiǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngxincǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngmơngnmtsonghiêncusinhnhưcácanhHùng,Tâm, Kiên, Quyet, Bình, hoc t p nghiên c u t ạii Vi n Toán hoc ve nh ngtraođői,chiasětrongqtrìnhhoctạiiVinTốnhoc Tác giǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trường xin chân thành cám ơngn Ban Giám đoc, Ban ch ǔa mam hàm trường nhi m Khoa C ơng b ǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngn 1và đong nghi p cǔa mam hàm trườnga Hoc vi n Công nghB ưu Vien thơng t ạio đieukinthunlợpiđetácgiǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngvahồnthànhvichoctp,vađǎo sát tơ pô cǔa mam hàm trườngmbǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngocôngvicgiǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngngdạiycǔa mam hàm trườngamình Cuoicùng,tácgiǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngxinđượpcbàytǒlịngbietơngntớiihaingườngimevàcácanhchịa em giađìnhđãlnđngviên,kiênnhȁngn,chờngđợpiketquǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườnghoctp.Đc bi t ngườngi vợp Thanh Nga gái Thǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngo Nguyên, nh ng ngườngi hysinhratnhieu,luônlolang,mongmǒitôitienbtngngày Lunánnàytôixinđ ượp c dànhtngchonhngng ường imàtôiyêuth ương ngvà xint ươngngnhớiđenngườngiChaquácocǔa mam hàm trườngamình MỤCLỤC Cáckýhiu Máđau xi Chưàiơngng1.Mtsokienthcchuanbị 1.1 CácbatđȁngngthcŁojasiewiczvàĐịanhlýPuiseux .6 1.1.1 Hàmgiǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngitíchnhieubien 1.1.2 Cácbat đȁngngthc Łojasiewicz 1.1.3 ĐịanhlýPuiseux 1.2 Mtvàiketquǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngtrongcautrúco-toitieuvàhình hocnađạiiso .11 1.3 Mtsoketquǎo sát tô pô cǔa mam hàm trườngtronggiǎo sát tô pơ cǔa mam hàm trườngitíchbienphân .15 Chưàiơngng2.B a t bientôpôcúakỳdịđưàiàngcongphang:Cácthưàiơngngcụccvà somũŁojasiewiczgradient 17 2.1 ĐagiácNewtontươngngngvớiimtcung 18 2.2 Tínhbatbientơpơc ǔa mam hàm trườnga th ươngng cụ c 21 2.3 CácsomũŁojasiewiczgradientvàmtvàiướiclượpnghiuquǎo sát tô pô cǔa mam hàm trường .26 2.3.1 SomũŁojasiewiczgradientcǔa mam hàm trườngamamhàmgiǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngitíchphc .27 2.3.2 SomũŁojasiewicz gradientcǔa mam hàm trườngamam hàmgiǎo sát tơ pơ cǔa mam hàm trườngitích thục 32 2.3.3 Ướiclượpnghiuquǎo sát tô pô cǔa mam hm trngcỏcsomojasiewicz 35 Chingng3.Sctontiivonnhcỳac nsaisoHoălder,batangth c ojasiewicztoncccvcỏcgiỏtrFedoryuk cbit 39 3.1 C nsaisoHoăldertonc cca cỏc mam hàm trườngat pdướiim c 42 3.2 Moiliênhg i acácgiátrịaFedoryukvớiisụtontạiicǔa mam hàm trngacỏccnsai soHoăldertoncc 50 3.3 Cáckieuőnđịa nh cǔa mam hm trngacỏcc nsaisoHoăldertoncc .57 3.3.1 TrườngnghợpptpFedoryuklàtprőng 58 3.3.2 TrườngnghợpptpFedoryuklàmttphuhạinvàkhácrőng 59 3.3.3 TrườngnghợpptpFedoryuklàmttpvôhạin 61