(Luận án tiến sĩ) Các bất đẳng thức Lojasiewicz Sự tồn tại và tính toán các số mũ

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC HỒNG PHI DŨNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWICZ: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TỐN CÁC SỐ MŨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC ———————- HỒNG PHI DŨNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWICZ: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TỐN CÁC SỐ MŨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Hình học tô pô Mã số: 46 01 05 Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Hà Huy Vui Hà Nội - 2021 TÓM TẮT Luận án nghiên cứu bất đẳng thức Łojasiewicz, bao gồm bất đẳng thức Łojasiewicz gradient nhằm khảo sát tô pô mầm hàm trường hợp địa phương tồn bất đẳng thức Łojasiewicz cổ điển trường hợp toàn cục Cụ thể hơn, trường hợp địa phương, luận án nghiên cứu bất biến tô pô kỳ dị đường cong phẳng sau: thương cực số mũ Łojasiewicz gradient Trong trường hợp toàn cục, luận án nghiên cứu tồn tại, ổn định cận sai số Holder, bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục mi liờn h vi cỏc ă giỏ tr Fedoryuk c biệt Bên cạnh đó, luận án nghiên cứu tồn cận sai số Holder bất đẳng thức ojasiewicz gradient cho hm nh ngha c ă cỏc cấu trúc o-tối tiểu Luận án gồm có bốn chương sau: Trong Chương 1, nhắc lại số kiến thức sở hàm giải tích, Định lý Puiseux, bất đẳng thức Łojasiewicz, hình học cấu trúc o-tối tiểu, tập nửa đại số số kết giải tích biến phân Trong Chương 2, chúng tơi trình bày khái niệm đa giác Newton tương ứng với cung phương pháp trượt để tính khai triển Newton-Puiseux địa phương Chúng tơi sử dụng phương pháp để tính thương cực số mũ Łojasiewicz gradient trường hợp phức Từ đó, chúng tơi chứng minh tập thương cực số mũ Łojasiewicz bất biến tô pô trường hợp kỳ dị đường cong phẳng phức không thiết thu gọn Một số ước lượng hiệu số mũ Łojasiewicz đưa chương Trong Chương 3, với f đa thức n biến thực, thiết lập số công thức tập Λ+ ( f ) tập giá trị có tập mức tương ứng có cận sai số Holder toàn cục thoả mãn Ngoài chúng tụi trỡnh by c trng ca cn sai ă s Holder trờn ă V1 := x Rn : ii ∂f (x) = ∂xn Chúng khảo sát mối liên hệ tập giá trị Fedoryuk với ổn định cận sai số Holder toàn cục Từ chúng tơi phân loại tồn kiu n nh ă ca cn sai s Holder ton cục theo tập giá trị Fedoryuk Chúng chứng ¨ minh tập giá trị Fedoryuk hữu hạn tập Λ+ ( f ) khác rỗng Từ suy ra, trường hợp hai biến, tập Λ+ ( f ) khác rỗng Chúng đưa ví dụ đặc biệt đa thức mà không tồn giá trị mà tập mức tương ứng nhận cận sai số Holder toàn cc vi cỏc giỏ tr Fedoryuk l vụ ă hạn Ngồi ra, chúng tơi thiết lập quy trình tính toán tập Λ+ ( f ) khai triển Newton-Puiseux vô hạn đường cong đại số Bên cạnh đó, chúng tơi tính số ví dụ minh hoạ cho số kiểu ổn định phân loại Về bất đẳng thức Łojasiewicz tồn cục, chúng tơi xác định công thức tường minh tập Λ( f ), tập giá trị t mà thớ nhận bất đẳng thức Łojasiewicz tồn cục Chúng tơi ý đến giá trị biên tập Λ( f ), chúng giá trị Fedoryuk đặc biệt Hơn nữa, chúng tơi số ví dụ tập Λ( f ) Điển hình ví dụ đa thức hai biến mà khơng có giá trị t để f −1 (t) có bất đẳng thức Łojasiewicz tồn cục, nói cách khác Λ( f ) = ∅ Trong Chương 4, đưa tiêu chuẩn tn ti ca cn sai s Holder cho ă cỏc hàm định nghĩa được, liên tục cấu trúc o-tối tiểu mối liên hệ cận sai số Holder với điều kiện Palais-Smale Và sau cùng, nghiờn cu ă bt ng thc ojasiewicz gradient cnh th trường hợp hàm định nghĩa được, liên tục cấu trúc o-tối tiểu iii ABSTRACT The thesis studies Łojasiewicz inequalities, they are Łojasiewicz gradient inequality for investigating the topology of function germs in the local case and the existence for classical Łojasiewicz inequality in the global case Explicitly, in the local case, the thesis investigates topological invariants of plane curve singularities: Polar quotients and Łojasiewicz gradient exponents In the global case, the thesis studies the existence, stability of global Holderian error bounds and ă global ojasiewicz inequality in the relationship with Fedoryuk values Besides, we study the existence of global Holderian error bounds and ojasiewicz gradiă ent inequality for definable functions in o-minimal structures The thesis consists of four chapters: In Chapter 1, we recall some basic results on analytic functions, Puiseux’s theorem, Łojasiewicz inequalities, geometry of o-minimal structures, semi-algebraic sets, variational analysis and required properties In Chapter 2, we recall the Newton polygon relative to an arc and use sliding method to compute local Newton-Puiseux expansions We use sliding method to compute polar quotients and Łojasiewicz gradient exponent in the complex case Consequently, we prove that the set of polar quotients and Łojasiewicz gradient exponent are both topological invariants for plane curve singularities (not necessarily reduced) In Chapter 3, firstly, assume that f is a real polynomial in n variables, we give some formulas for Λ+ ( f ) which is the set of values t such that its sub-level set admits a global Holderian error bound Moreover, we give a characterization of ă global Holderian error bound on the set ă V1 := x Rn : ∂f (x) = ∂xn Next, we investigate the relationship between the set of Fedoryuk values and stability of global Holderian error bounds We prove that if the Fedoryuk set is finite, ă iv then + ( f ) is non-empty set This implies that, in the case of two variables, the set Λ+ ( f ) is always non-empty set We give a special example of a polynomial, where the Fedoryuk set is infinite and there not exist any value such that its sub-level set admits a Holderian error bound Moreover, we classify all of the ¨ types of stability of global Holderian error bounds Moreover, we give a proceă dure for computing of + ( f ) by using Newton-Puiseux expansions at infinity of algebraic curves Besides, we compute an explicit example to illustrate some types of stability About global Łojasiewicz inequality, we give some explicit formulas for Λ( f ) which is the set of value t such that its fibre f −1 (t) admits global Łojasiewicz inequality We notice the values of boundary of the set Λ( f ), they are special Fedoryuk values Moreover, we point out some interesting examples about it Specially, we give a polynomial in two variables satisfies: There is no value t such that f −1 (t) admits the global Łojasiewicz inequality, i.e Λ( f ) = ∅ In Chapter 4, we give a criterion for the existence of global Holderian error ă bounds for definable functions in o-minimal structures and the its relation to Palais-Smale condition In conclusion, we study Łojasiewicz gradient inequality near the fiber for continuous, definable functions in o-minimal structures v LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hồn thành hướng dẫn PGS TSKH Hà Huy Vui Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 12 năm 2021 Tác giả luận án Hoàng Phi Dũng vi LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Viện Tốn học hướng dẫn thầy tơi, PGS TSKH Hà Huy Vui Thầy dành nhiều công sức kiên nhẫn để dẫn bước vào Hình học đại số thực Lý thuyết Kỳ dị, giúp làm quen với bất đẳng thức Łojasiewicz, khai triển Puiseux đường cong đại số, kỳ dị vơ hạn với cách làm tốn cách tư hình học Bên cạnh đó, Thầy đặt toán gợi ý liên tục cho tơi q trình làm việc chung với Thầy Thầy dìu dắt tơi q trình dài từ thời đại học, cao học nghiên cứu sinh Được làm việc hướng dẫn Thầy may mắn lớn đời tơi, để tơi hiểu cách nghiêm túc việc học Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc đến Thầy Hà Huy Vui Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Phạm Tiến Sơn TS Nguyễn Hồng Đức thảo luận, góp ý giúp đỡ quý báu Trong trình học tập, hai anh giúp hiểu kỳ dị đường cong phẳng, cấu trúc o-tối tiểu khái niệm đa giác Newton tương ứng với cung Hơn nữa, anh cịn đồng tác giả cơng trình chung luận án Tác giả trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, phịng chức Viện Tốn học cho tác giả môi trường học tập nghiên cứu lý tưởng để hồn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn phòng Hình học tơ pơ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả tham gia sinh hoạt khoa học hội thảo thường niên phòng từ 2010 đến Trong suốt trình học tập, tác giả nhận giúp đỡ động viên anh Đinh Sĩ Tiệp, Nguyễn Tất Thắng, Vũ Thế Khôi, Trần Giang Nam, Lê Quý Thường, Trần Nam Trung, Đỗ Trọng Hoàng, Đoàn Thái Sơn, Hồ Minh Toàn, Phạm Hùng Quý chị Nguyễn Thị Thảo Tác giả xin chân thành cám ơn Ngoài ra, tác giả xin cảm ơn số nghiên cứu sinh anh Hùng, Tâm, vii Kiên, Quyết, Bình, học tập nghiên cứu Viện Toán học trao đổi, chia sẻ trình học Viện Toán học Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám đốc, Ban chủ nhiệm Khoa Cơ đồng nghiệp Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng tạo điều kiện thuận lợi để tác giả vừa hoàn thành việc học tập, vừa đảm bảo cơng việc giảng dạy Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới hai người mẹ anh chị em gia đình động viên, kiên nhẫn, chờ đợi kết học tập Đặc biệt người vợ Thanh Nga gái Thảo Nguyên, người hy sinh nhiều, lo lắng, mong mỏi tiến ngày Luận án xin dành tặng cho người mà yêu thương xin tưởng nhớ đến người Cha cố viii MỤC LỤC Các ký hiệu xi Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các bất đẳng thức Łojasiewicz Định lý Puiseux 6 1.1.1 Hàm giải tích nhiều biến 1.1.2 1.1.3 Các bất đẳng thức Łojasiewicz Định lý Puiseux 1.2 Một vài kết cấu trúc o-tối tiểu hình học nửa đại số 11 1.3 Một số kết giải tích biến phân 15 Chương Bất biến tô pô kỳ dị đường cong phẳng: Các thương cực số mũ Łojasiewicz gradient 17 2.1 Đa giác Newton tương ứng với cung 18 2.2 Tính bất biến tơ pơ thương cực 21 2.3 Các số mũ Łojasiewicz gradient vài ước lượng hiệu 26 2.3.1 Số mũ Łojasiewicz gradient mầm hàm giải tích phức 27 2.3.2 Số mũ Łojasiewicz gradient mầm hàm giải tích thực 32 2.3.3 Ước lượng hiệu số mũ Łojasiewicz 35 Chương Sự tồn ổn định cận sai số Holder, bất ng thc ă ojasiewicz ton cc v cỏc giỏ tr Fedoryuk đặc biệt 39 3.1 3.2 Cận sai số Holder toàn cục tập mức 42 ¨ Mối liên hệ giá trị Fedoryuk với tồn cận sai số Holder toàn cục 50 ¨ 3.3 Các kiểu ổn định cận sai số Holder toàn cục 57 ă 3.3.1 Trng hp Fedoryuk tập rỗng 58 3.3.2 Trường hợp tập Fedoryuk tập hữu hạn khác rỗng 3.3.3 Trường hợp tập Fedoryuk tập vô hạn 61 ix 59 Bây giờ, ta giả sử tồn dãy x k ∈ R n \ S với x k → ∞ thoả mãn dist( x k , S) → ∞ f ( x k ) ∞ Không tổng quát, giả sử f ( x k ) → t0 ∈ [0, +∞) Tiếp tục sử dụng lập luận tương tự chứng minh Mệnh đề 3.2.4 (cũng [32, Định lý B]), ta có dãy yk → ∞ cho < f (yk ) ≤ f ( x k ) δ > đủ nhỏ cho ( f (yk + h) − f (yk )) ≥ −ǫk · λk h δ Điều kéo theo với h ∈ R n , < h < , ǫk = f ( x k ) λk = dist( x k , S) [ f (yk ) − f (yk + h)]+ ≤ ǫk λk h Từ định nghĩa độ dốc mạnh, ta có ≤ m f (yk ) ≤ |∇ f |(yk ) ≤ ǫk λk = 2ǫk dist( x k , S) Cho k → ∞ ta thấy ǫk = f ( x k ) → t0 dist( x k , S) → ∞ Vì m f (yk ) → Từ từ < f (yk ) ≤ f ( x k ), thay {yk } dãy cần, ta giả sử f (yk ) → t1 với ≤ t1 ≤ t0 Điều nghĩa hàm f không thoả mãn điều kiện Palais-Smale t1 , dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết Từ ta có điều phải chứng minh 4.2 Bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cạnh thớ Chú ý bất đẳng thức Łojasiewicz gradient (1.2) khơng cịn lân cận U khơng compact Chẳng hạn, xét ví dụ sau đây: Ví dụ 4.2.1 Xét f ( x, y) = ( xy + x + y)2 + x2 , f (0, 0) = 86 Xét dãy xk = k − k2 , k − , cho k → +∞ x k → +∞, 1+k ∇ f (xk ) = 0, 2( k − 1) (1 + k )2 → f ( x k ) = ( k − 1)2 → = + k2 Do đó, bất đẳng thức (1.2) khơng với U = R2 Đặt K∞ ( f ) := {t ∈ R | ∃{ x k } : x k → ∞, m f ( x k ) → 0, f ( x k ) → t} Đây tập giá trị Fedoryuk ta định nghĩa Chương trường hợp f hàm đa thức Ta đưa tiêu chuẩn sau cho tồn bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cho độ dốc không trơn f −1 ( Dǫ ) \ B R , Dǫ = (−ǫ, ǫ) với ǫ > đủ bé B R hình cầu tâm bán kính R với R đủ lớn Định lý 4.2.2 Cho f : R n → R hàm định nghĩa được, liên tục giả sử với ǫ > đủ bé K∞ ( f ) ∩ Dǫ = {0} Khi hai khẳng định sau tương đương: (i) Tồn δ > cho với dãy { x k } ⊂ f −1 ( Dδ ) thoả mãn điều kiện: x k → ∞ m f ( x k ) → 0, f ( x k ) → 0; (ii) Tồn R, δ > hàm ϕ : [0, δ) → R + định nghĩa được, đơn điệu tăng ngặt liên tục cho ϕ(0) = m f ( x ) ≥ ϕ(| f ( x )|), với x ∈ f −1 ( Dδ ) \ B R (4.4) Chứng minh (i ) ⇒ (ii ) : Cố định ǫ giả thiết định lý Đặt ϕ(t) := inf x ∈{z:| f (z)|=t}\Br m f ( x ), với t ∈ [0, ǫ) r > đủ lớn Dễ thấy từ Mệnh đề 1.2.7 Nhận xét 1.3.5, ta có ϕ hàm định nghĩa Ta phải chứng minh tồn δ1 đủ bé < δ1 < ǫ cho ϕ(t) > với t ∈ (0, δ1 ) Thật vậy, từ giả thiết K∞ ( f ) ∩ Dǫ = {0} suy (−ǫ, ǫ) không chứa giá trị thuộc K∞ ( f ) Giả sử với δ′ > 0, tồn giá trị t ∈ (0, δ′ ) 87 cho ϕ(t) = 0, tồn dãy x k ∈ { x : | f ( x )| = t} \ Br với t ∈ (0, ǫ) thoả mãn x k → ∞ cho m f ( x k ) → Bởi vậy, từ (i) ta suy f ( x k ) → từ lý luận f ( x k ) = t = 0, điều mâu thuẫn Mặt khác, từ công thức ϕ(t), áp dụng Định lý 1.2.9, tồn < δ2 ≪ cho ϕ(t) liên tục đơn điệu (0, δ2 ) Ta có ϕ(0) = ϕ(t) > với t ∈ (0, δ1 ) nên ϕ hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt (0, δ) (trong δ = min{δ1 , δ2 }) Từ định nghĩa ϕ, tồn R > (R > r) cho m f ( x ) ≥ ϕ(t) với x ∈ {z : | f (z)| = t} \ B R t ∈ (0, δ), điều nghĩa m f ( x ) ≥ ϕ(| f ( x )|) với x ∈ f −1 ( Dδ ) \ B R (ii ) ⇒ (i ) : Giả sử ta có (ii), nghĩa tồn R, δ > ϕ : [0, δ) → R + định nghĩa được, đơn điệu tăng ngặt, liên tục cho ϕ(0) = thoả mãn bất đẳng thức (4.4) Lấy dãy { x k } ⊂ f −1 ( Dδ ) \ B R cho x k → ∞ m f ( x k ) → Khi đó, với k đủ lớn, ta có m f ( x k ) ≥ ϕ(| f ( x k )|) ϕ(| f ( x k )|) → Từ ta có f ( x k ) → ϕ hàm liên tục, tăng ngặt [0, δ) ϕ(0) = Nhận xét 4.2.3 Trong trường hợp hàm định nghĩa tập K∞ ( f ) tập vơ hạn, trường hợp biến Thật vậy, xét hàm nửa đại số x Với t ∈ R, xét dãy x k = (t(1 + k2 ), k) Dễ thấy sau: f ( x, y) = + y2 x k k → ∞, ∇ f ( x ) = 1 + k2 Do đó, K∞ ( f ) = R 88 + 2tk + k2 → 0, f ( x k ) = t Trong Định lý 4.2.2, f hàm đa thức ϕ(t) hàm nửa đại số biến Khi đó, từ Bổ đề 1.2.12, tồn a > u > cho ϕ(t) = atu + o (tu ) với < t ≪ a Điều kéo theo ϕ(t) ≥ tu với t ∈ (0, ǫ) với ǫ đủ bé Từ ta có a ∇ f ( x ) ≥ ϕ(t) ≥ tu , với x ∈ f −1 (t) Do đó, ta bất đẳng thức Łojasiewicz gradient f −1 ( Dδ ) \ B R Kết thiết lập Tạ Lê Lợi với cách tiếp cận khác (xem [61, Mệnh đề 10]) Cụ thể, tác giả thiết lập bất đẳng thức gradient trường hợp cạnh thớ, không thiết vô hạn 89 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án bao gồm: Chứng minh thương cực số mũ Łojasiewicz gradient bất biến tô pô kỳ dị đường cong phẳng trường hợp kỳ dị phức, không thiết thu gọn Đưa ước lượng hiệu số mũ Łojasiewicz trường hợp đa thức biến Khảo sát tồn phân loại tất kiểu ổn định cận sai số Holder toàn cục Chỉ mối liên hệ gia cn sai s cng nh bt ng thc ă Łojasiewicz toàn cục với giá trị Fedoryuk đặc biệt Thiết lập quy trình tính tốn cụ thể cho trường hợp hàm đa thức biến thực Chỉ số ví dụ như: Đa thức có tập Fedoryuk vơ hạn tập giá trị có cận sai số Holder rỗng, đa thức biến không cú giỏ tr no cú th tng ng ă tho mãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục Đưa đặc trưng cho cận sai số Holder toàn cục cỏc hm liờn tc, nh ă ngha c v mi liên hệ điều kiện Palais-Smale cận sai số hàm liên tục, định nghĩa Thiết lập tiêu chuẩn cho tồn bất đẳng thức gradient cạnh thớ cho hàm định nghĩa Có thể phát triển kết luận án sau: • Nghiên cứu bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục trường hợp nhiều biến xem giá trị Łojasiewicz có phải giá trị rẽ nhánh vơ hạn hay khơng 90 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Phi-Dũng Hoàng, Lojasiewicz-type inequalities and global error bounds for nonsmooth definable functions in o-minimal structures, Bulletin of the Australian Mathematical Society, Vol 93, no.1 (2016), 99–112 Hong-Duc Nguyen, Tiến-Sơn Phạm and Phi-Dũng Hoàng, Topological invariants of plane curve singularities: Polar quotients and Lojasiewicz gradient exponents, International Journal of Mathematics, Vol 30, issue 14 (2019), 1950073, 19 pp Huy-Vui H and Phi-Dng Hong, Special Fedoryuk values and global Hăolderian error bounds for polynomial functions, submitted 91 Các kết luận án báo cáo • Seminar phịng Hình học Tơ pơ, Viện Tốn học • Seminar Viện nghiên cứu cao cấp Toán VIASM • Seminar mơn Giải tích Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội • Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học: 11/2015, 11/2016, 11/2017, 11/2018, 11/2019, 11/2020 • Hội nghị ĐAHITƠ tháng 10/2016 Bn Ma Thuột tháng 10/2021 Thái Ngun • Hội nghị Quantum Information Theory and related topics, ĐH Ritsumeikan, Shiga-Nhật Bản, 8/2016 Đà Nẵng 8/2017 • Hội nghị Tốn học Tồn Quốc Nha Trang, 8/2018 • Hội thảo Tối ưu Tính tốn khoa học, Ba Vì, 4/2015 4/2019 • Hội nghị "Singularity theory and its applications", Đà Lạt, 11/2020 92 Tài liệu tham khảo [1] V I Arnold, S M Gusein-Zade, A N Varchenko, Singularities of differentiable maps, Vol I and II, Monographs in Mathematics, 83 Birkhăauser Boston, Inc., Boston, MA, 1988 [2] D Azộ and J Corvellec, On the sensitivity analysis of Hoffman constants for systems of linear inequalities, SIAM J Optim., 12 (2002), 913-927 [3] D Azé, A survey on error bounds for lower semicontinuous functions, Proceedings of 2003 MODE-SMAI Conference of ESAIM Proceedings, EDP Sci., Les Ulis, vol 13, (2003), 1–17 [4] J Bochnak, J -J Risler, Sur les exposants de Łojasiewicz, Comment Math Helv., 87(4) (1975), 493–507 [5] J Bochnak, M Coste, M F Roy, Real algebraic geometry, Springer, 1998 [6] J Bolte, A Daniilidis, O Ley and L Mazet, Characterizations of Łojasiewicz Inequalities: Subgradient flows, talweg, convexity, Transactions of the A M S., vol 362, n 6, (2010), pp 3319–3363 [7] E Brieskorn, H Kn˝orrer, Plane algebraic curves, Birkh˝auser Verlag, Basel, 1986 [8] S A Broughton, Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces, Invent Math 92 (1988), no 2, 217–241 [9] T B Colding; W P Minicozzi II, Uniqueness of blowups and Łojasiewicz inequalities, Ann of Math (2) 182 (2015), no 1, 221–285 93 [10] J N Corvellec, V V Montreanu, Nonlinear error bounds for lower semicontinuous functions on metric spaces, Math Progam., Ser A, vol 114 (2008), 2, 291–319 [11] M Coste, An Introduction to O-minimal Geometry, Instituti Editoriali e poligrafici internazionali, Universita di Pisa, Pisa, 1999 [12] M Coste, M de la Puente, Atypical values at infinity of a polynomial function on the real plane: an erratum, and an algorithmic criterion, J Pure Appl Algebra, 162 (2001), 23–35 [13] D D’Acunto, K Kurdyka, Explicit bounds for the Łojasiewicz exponent in the gradient inequality for polynomials, Ann Polon Math., 87 (2005), 51–61 [14] J W Daniel, On perturbations in systems of linear inequalities, SIAM J Numer Anal., 10 (1973), pp 299–307 [15] S Deng, Perturbation analysis of a condition number for convex inequality systems and global error bounds for analytic systems, Math Program., vol 83 (1998), 263– 276 [16] S T Dinh, H V Ha, N T Thao, Łojasiewicz inequality for polynomial functions on non-compact domains, Int J of Math., 23 (2012), no.4, 1250033, 28 pp [17] S T Dinh, K Kurdyka, O Le Gal, Łojasiewicz inequality on non-compact domains and singularities at infinity, Int J of Math., 24 (2013), no 10, 1350079, pp [18] S T Dinh, H V Ha, T S Pham, Hăolder-Type Global Error Bounds for Nondegenerate Polynomial Systems, Acta Mathematica Vietnamica, 42 (2017), 563— 585 [19] A Durfee, Five definitions of critical points at infinity, Singularities, The Brieskorn Anniversary Volume, Progress in Math 162, Birkhauser Verlag, (1998), 345–360 94 [20] L van den Dries and C Miller, Geometric categories and o-minimal structures, Duke Math J., 84 (1996), 497–540 [21] L van den Dries, Tame Topology and O-minimal structures, Cambridge University Press, 1998 [22] D Drusvyatskiy, A S Lewis, Error Bounds, Quadratic Growth, and Linear Convergence of Proximal Methods, Math Ope Res., vol 43 (2018), No 3, 919–948 [23] I Ekeland, On the Variational Principle, J Math Anal Appl., 47 (1974), 324– 353 [24] L Grafakos, Classical Fourier Analysis, Spinger, 2008 [25] G.-M Greuel, C Lossen, E Shustin, Introduction to singularities and deformations, Math Monographs, Springer-Verlag, 2006 [26] J Gwozdziewicz, The Łojasiewicz exponent of an analytic function at an isolated zero, Comment Math Helv Vol 74(3) (1999), 364–375 [27] J Gwozdziewicz, A Lenarcik, A Ploski, Polar invariants of plane curve singularities: intersection theoretical approach, Demonstratio Mathematica, 43(2) (2010), 303–323 [28] H V Ha and D T Le, Sur la topologie des polynomes complexes, Acta Math Vietnam (1984) 21–32 [29] H V Ha, Nombres de Łojasiewicz et singularitiés l’infini des polynômes de deux variables complexes, C R Acad Sci Paris, Séries I Math 311 (1990), 429–432 [30] H V Ha, H D Nguyen On the Łojasiewicz exponent near the fibre of polynomial mappings, Ann Polon Math 94 (2008), 43–52 [31] H V Ha, H D Nguyen, Lojasiewicz inequality at infinity for polynomial in two real variables, Math Z., 266 (2010), 243–264 95 [32] H V Ha, Global Hăolderian error bound for non-degenerate polynomials, SIAM J Optim., 23 (2013), No 2, 917–933 [33] H V Ha, Computation of the Łojasiewicz exponent for a germ of a smooth function in two variables, Studia Math., 240 (2018), no 2, 161–176 [34] H V Ha, V D Dang, On the global Lojasiewicz inequality for polynomial functions , Ann Polon Math 112 (2019), 21–47 [35] H V Ha, T S Pham, Genericity in polynomial optimization, World Scientific Publishing, 2017 [36] H V Ha, N T Thao, Newton polygon and distribution of integer points in sublevel sets, Math Z., 395 (2020), no 3-4, 1067–1093 [37] A Haraux, Positively homogeneous functions and the Łojasiewicz gradient inequality, Ann Polon Math., 87 (2005), 165–174 [38] A J Hoffman, On approximate solutions of linear inequalities, Journal of Research of the National Bureau of Standards, 49 (1952), 263–265 [39] L Hormander, On the division of distributions by polynomials, Ark Mat N ă 53 (1958), 555–568 [40] L Hormander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Vol II, ă Springer-Verlag, 1990 [41] S Z Huang, Gradient inequalities With applications to asymptotic behavior and stability of gradient-like systems, Mathematical Surveys and Monographs, 126 American Mathematical Society, Providence, RI, 2006 viii+184 pp [42] A Ioffe, An invitation to tame optimization, SIAM J Optim., 19 (2009), No.4, 1894–1917 [43] A Ioffe, Metric regularity and subdifferential calculus, Uspehi Mat Nauk, 55 (2000), pp 103–162 (in Russian), English translation: Russian Math Surveys, 55 (2000), pp 501–558 96 [44] Z Jelonek, On bifurcation points of a complex polynomial, Proc Amer Math Soc., Vol 131, no (2002), 1361–1367 [45] J M Johnson, J Kollár, How small can a polynomial be near infinity?, Amer Math Monthly, 118 (1) (2011), 22–40 [46] A Jourani, Hoffman’s error bound, local controllability, and sensitivity analysis, SIAM J Control Optim 38 (3) (2000), 947–970 [47] J Kollár, An effective Łojasiewicz inequality for real polynomials, Period Math Hungar., 38 (3) (1999), 213–221 [48] A Kruger, H V Ngai, M Théra, Stability of error bounds for convex constraint systems in Banach spaces, SIAM J Optim., 20 (2010), No 6, 3280—3296 [49] T C Kuo, Computation of Łojasiewicz exponent of f ( x, y), Comment Math Helv., 49 (1974), 201–213 [50] T C Kuo, A Parusinski, Newton polygon relative to an arc, Real and Complex ´ Singularities (São Carlos, 1998), Chapman & Hall Res Notes Math., 412 (2000), 76–93 [51] K Kurdyka, On gradients of functions definable in o-minimal structures, Ann Inst Fourier, 48 (1998), 769–783 [52] Kurdyka, K., Michalska, M., Spodzieja, S Bifurcation values and stability of algebras of bounded polynomials, Adv Geom 14(4) (2014), 631–646 [53] K Kurdyka, T Mostowski, A Parusinski, Proof of the gradient conjecture of R ´ Thom, Ann of Math (2) 152 (2000), no 3, 763–792 [54] K Kurdyka, P Orro, S Simon, Semialgebraic Sard theorem for generalized critical values, J Diff Geom 56 (2000), 67–92 [55] K Kurdyka, S Spodzieja, Separation of real algebraic sets and the Łojasiewicz exponent, Proc Amer Math Soc., 142(9) (2014), 3089–3102 97 [56] A S Lewis, J S Pang, Error bounds for convex inequality systems, Generalized Convexity, Generalized Monotonicity, J P Crouzeix, J E Martinez-Legaz and M.Volle (eds) (1998), 75–110 [57] G Li, On the asymptotic well behaved functions and global error bound for convex polynomials, SIAM J Optim., 20 (2010), No.4, 1923–1943 [58] G Li, C Tang, Z X Wei, Error bound results for generalized D-gap functions of nonsmooth variational inequality problems, J Comp Appl Math 233 (2010), no 11, 2795-2806 [59] T L Loi, Lojasiewicz Inequalities for Sets Definable in the Structure Rexp , Ann Inst Fourier, 45 (1995), 951–957 [60] T L Loi, Lecture 1: o-minimal structures, The Japanese-Australian Workshop on Real and Complex Singularities—JARCS III, 19–30, Proc Centre Math Appl Austral Nat Univ., 43, Austral Nat Univ., Canberra, 2010 [61] T L Loi, Łojasiewicz inequalities in o-minimal structures, Manuscripta Math 150 (2016), no 1-2, 59–72 [62] S Łojasiewicz, Sur le problème de la division, Studia Math 18 (1959), 87–136 [63] S Łojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, Publ Math I.H.E.S., Bures-surYvette, France, 1965 [64] X D Luo, Z Q Luo, Extensions of Hoffman’s Error bound to polynomial systems, SIAM J Optim., (1994), 383–392 [65] Z Q Luo, P Tseng, Perturbation Analysis of a Condition Number for Linear Systems, SIAM J Matrix Anal App., 15 (1994), 636–660 [66] Z Q Luo, J.F Sturm, Error bound for quadratic systems, in High Perfomance Optimization, H Frenk, K Roos,T Terlaky, and Zhang, eds., Kluwer, Dordrecht, The Netherlands, (2000), 383–404 98 [67] Z Q Luo, New error bounds and their applications to convergence analysis of iterative algorithms, Math Progam Ser B, 88 (2000), no 2, 341–355 [68] J W Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Annals of Mathematics Studies vol 61, Princeton Univ Press, USA, 1968 [69] H V Ngai, A Kruger, M Théra, Stability of error bounds for semi-infinite convex constraint systems, SIAM J Optim., 20 (2010), No 4, 2080–2096 [70] J S Pang, Error bounds in Mathematical Programming, Math Program., Ser.B, 79 (1997), 299–332 [71] A Parusinski, On the bifurcation set of a complex polynomial with isolated singularities at infinity, Compositio Mathematica, 97 (1995), 369–384 [72] A Parusinski, A note on singularities at infinity of complex polynomials, Banach Center Publication, 39 (1997), 131–141 [73] A Parusinski, A criterion for topological equivalence of two variable complex analytic function germs, Proc Japan Acad Ser A Math Sci., 84 (8) (2008), 147–150 [74] T S Pham, An explicit bound for the Łojasiewicz exponent of real polynomials, Kodai Math J., 35(2) (2012), 311–319 [75] A Ploski, Polar quotients and singularities at infinity of polynomials in two complex variables, Ann Polon Math., 78(1) (2002), 49–58 [76] J.-J Risler and D Trotman, Bi-Lipschitz invariance of the multiplicity, Bull London Math Soc., 29(2) (1997), 200–204 [77] S Robinson, Regularity and stability of convex multivalued functions, Math Oper Res., (1975), no 2, 130–143 [78] R T Rockafellar, and R Wets, Variational Analysis, Grundlehren Math Wiss., 317, Springer, New York, 1998 99 [79] D T Lê, Topological use of polar curves, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics vol 29, AMS Providence, RI (1975), 507–512 [80] B Teissier, Introduction to equisingularity problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics vol 29, AMS Providence, RI (1975), 593–632 [81] B Teissier, Variétés polaires I Invariants polaires des singularités d’hypersurfaces, Invent Math 40(3) (1977), 267–292 [82] L V Thành, Affine polar quotients of algebraic plane curve, Acta Math Vietnam 17(2) (1992), 95–102 [83] R Thom, Ensembles et morphismes stratifies, Bull Amer Math Soc., 75 (1969), 249–312 [84] M Tibar, Polynomials and Vanishing Cycles, Cambridge Tracts in Mathematics, 170., Cambridge University Press, 2007 [85] R J Walker, Algebraic curves, Princeton University Press, 1950 100