(LA) “Tính toán đoi đong đieu và bài toán phân loại đại so lie, siêu đại so lie toàn phương ”

1 LICAMĐOAN Tênt ô i l C a o Tr an T H ải , t ác g i ảc ủ a l u ná n ti e n s ĩ : “ Tí n h t o n đ o i đ o n g đ ie u vàbàitốnphânloạiđạisoLie,siêuđạisoLietồnphương”dướisựhướngdancủaPGS TS Lê Anh Vũ TS Dương Minh Thành Bang danh dự mình, tơi xin camđoan cơng trình tơi nghiên cáu thực hi n, khơng có phan chépbat hợp pháp tà cơng trình nghiên cáu tác giả khác Nhǎng ket quảtrong lu n án mà khơng trích dan nhǎng ket tơi nghiên cáu được.Tat nhǎng giúp cho vi c thực hi n lu n án cảm ơn tintríchdantronglunánđãđượcghirõnguongoc Ngườicamđoan CaoTran Tfí Hải thơng MỤCLỤC LICAMĐOAN i MỤCL Ụ C i DANHMỤCCÁCKÝHINU v MĐAU Chương0 Mts o k i e n t h fí c k e t q u ảc b ả n 12 0.1 NhómLievàđạisoLie-ĐoiđongđieucủađạisoLie 0.1.1 NhómL i e v Đ i s o L i e 12 12 0.1.2 CáckieuđạisoLie 13 0.1.3 ĐoiđongđieucủađạisoLie 15 0.2 ĐạisoLietoànphươngvàđoiđongđieu 17 0.2.1 KháinimđạisoLietoànphương 17 0.2.2 Tíchsuper-PoissonvàtínhtốnđoiđongđieuđạicủasoLietồn phương 19 0.3 SiêuđạisoLietoànphươngvàđoiđongđieu 19 0.3.1 KháinimsiêuđạisoLievàsiêuđạisoLietồnphương 19 0.3.2 Tíchs u p e r Z ×Z2−Poissont r ê n s i ê u đ i s o n g o i v đ o i đ o n g đieucủasiêuđạisoLietoànphương 21 Chương1 CáclpđạisoLiethficgiảiđưcviđạisodȁnxuatsochieu hocđ o i c h i e u t h a p v tí n h t o n đ o i đ o n g đ i e u 23 1.1 Phânl o i đ i s o L i e t h ự c g i ả i đ ợ c v i đ i s o d a n x u a t đ o i c hi e u 24 1.1.1 Mởr®ngđạisoLiebởim®tđạohàmvàđongdạngtỉl 24 1.1.2 MôtảlớpLie(n+1,n) .25 1.1.3 BàitoánphânloạiLie(n+1,n) .28 1.2 BàitoánphânloạiđạisoLiethựcgiảiđượcvớiđạisodanxuatđoichieu23 1.2.1 Bàit o n w i l d .32 1.2.2 Môt ả l p L i e ( n+2,n) 33 1.2.3 Bàit o n p h â n l o i L i e ( n+2,n) .35 1.2.4 M®tl p c o n đ cb i tc ủ a L i e ( n+2,n) 38 1.3 Tínht o n đ o i đ o n g đ i e u c ủ a đ i s o L i e c ó đ i s o d a n x u a tt h a p c h i e u ho cđoichieuthap 46 1.3.1 SoB e tti c ủ a c c l p đ i s o L i e g i ả i đ ợ c c ó i d e a l d a n x u a t c h i e u 1.3.2 SoBetti củam®tlớpđạisoLieKimcươngtőngquát .51 1.4 KetlunChương1 55 Chương2 Vài l p đại so Lie tồn phương giải đưc tính tốn đoiđongđieu 56 2.1 Mởr®ngk ép,m ởr ®ng T ∗vàbài tốnphân l oại đạisoLie toàn phương giảiđượctheosochieu .56 2.1.1 Mởr ® n g k é p v m r ® n g T ∗ 56 2.1.2 Phânl o i c c đ i s o L i e t o n p h n g g i ả i đ ợ c t h e o s o c h i e u 58 2.2 PhânloạicácđạohàmphảnxángcủacácđạisoLietồnphươnggiải đượccósochieu≤7 62 2.3 Môtảđ oi đong e uc đại so Lie t oà np hư n g gi ải đư ợc thap c hi e u 2.4 SoBettithá haicủacácđạisoLietoànphươnglũylinhkieuJordan 66 69 2.4.1 ĐạisoLietồnphươnglũylinhkieuJordan .69 2.4.2 Tínht o n s o B e tti t h h a i c ủ a c c đ i s o L i e t o n p h n g l ũ y linhkieuJordan .70 2.5 KetlunChương2 82 Chương3 Vài l p siêu đại so Lie toàn phương giải đư c tính tốnđoiđongđieu 83 3.1 M®ts o c n g c ụ v p h n g p h p c a n t h i e t c h o b i t o n p h â n l o i s i ê u đạisoLietồnphươngvàtínhtốnđoiđongđieu 84 3.1.1 QuyđạophụhợpcủađạisoLiesymplectic sp(2n) .84 3.1.2 Mởr®ngképvàmởr®ngképtőngquátcủas i ê u đ i s o L i e t o n phương 88 3.2 Phânl o i s i ê u đ i s o L i e t o n p h n g g i ả i đ ợ c c h i e u b a t k h ả p h â n 91 3.3 Phânl o i s i ê u đ i s o L i e t o n p h n g g i ả i đ ợ c c h i e u b a t k h ả p h â n vớiphanchȁn6c hi eu 94 3.4 ĐoiđongđieuthánhatvàtháhaicủasiêuđạisoLietoànphươngcơbản1063.5 Ketl u nC h n g .111 KETL U N .112 DANHMỤCCÁCCƠNGTRÌNHĐÃCƠNGBOCỦATÁCGIẢ 115 TÀIL I N U T H A M K H Ả O 116 DANHMỤCCÁCKÝHIU ⊕ : Tőngt r ự c ti e p ⊗,∧ : Tíchtenxơvàtíchngồi ad,ad∗ I⊥ : Bieudi e n phụhợpvàbi e udi e nđoi p hụ hợp : ThànhphantrựcgiaocủaI ⊕⊥ : Tőngtrựctieptrựcgiao End(g) : Khơnggiancácbienđőituyentính củag C,R : Trườngsophác ,trường sothực Tθ∗(g) : Mởr ® n g T ∗ X∗ : Phantảđoingaucủ aX.Der(g) : Khônggiancácđạohàmcủag Dera(g,B) : Khôngg i an cácđ ạohàm phảnx án gcủ a( g,B).adg : Khơnggiancácđạohàmtrongcủag Ck(g,V) : Khơnggiancácán hxạ k-tuyentínhphảnxáng laygiátrịtrên V δ : Tốntảđoibờ(hayTốntảviphân) Zk(g,V) : Khơnggiancáck- đ o i chutrình Bk(g,V) : Khơnggiancáck-đoibờ Hk(g,V) : Nhómđoiđongđieuthák i ∼= : Đȁngc au đȁngcự g0 : Phanc h ȁ n c ủ a s i ê u đ i s o L i e g =g0⊕ g1 g1 : Phanl ẻ c ủ a si ê u đ i s o L i e g =g0⊕ g1 Alt(g0,C) : Khơnggiancácdạngđatuyentínhphảnxángtrên g 0.Sym(g1,C) : Khơnggiancácdạngđatuyentínhđoi xángtrêng 1.C(g,C) : Siêuđạisongồi {.,.} : Tíchsuper-Poisson I : 3-dạngliênket MĐ A U Tínhcapthiet,ýnghĩakhoahoc vàthfictiencủa đetài LýthuyetnhómLievàđạisoLie(goichunglàlýthuyetLie)đượckhởixướngbởiSophus Lie, nhàtốnhocNaUytàthpniên70củathekXVIIIvà phát trienbởinhieunhàtốnhoctrênthegiớitrong suot thekXIXvà đau thekXXnhưFelixKlein,FriedrichEngel,WilhelmKilling,ElieCartan,HermannW eyl,Ngày nay, lý thuyet Lie phát trien đáng ke có rat nhieu dụng nhieu lĩnhvực Toán hoc, Cơ hoc, Vtlý Kinh te, Tài Lý thuyet Lie khơngchỉgiảiquyetnhieuvanđeliênquanđenHìnhhoc,Tơpơ,PhươngtrìnhViphân,Cơhoc, Vtlý, mà cịn ket noi Toán hoc lý thuyet với the giới hi n thực, đ c bi t cácvanđecủaKinhtexãh®i.Chínhvìthe,lýthuyetLietrởthànhm®ttrongnhǎnglĩnhvực thu hút nhieu quan tâm nghiên cáu giới Toán hoc the giới Cũng nhờtamảnhhưởngđó,nhǎngbàitốncơbảncủaLýthuyetLienhưlàphânloạinhómLievàđạ isoLie,đạisoLietồnphương,siêuđạisoLie,siêuđạisoLietồnphương, cùngn h ǎ n g tí n h t o n đ o i đ o n g đ i e u t r ê n c h ú n g l u ô n n h nđ ợ c s ự q u a n t â m c ủ a c®ngđongtốn hoc Nhóm Lie m®t nhóm đong thời m®t đa tạp khả vi, phép tốnnhóm tương thích với cau trúc khả vi Trong q trình nghiên cáu “nhóm phépbien đői vơ bé” (theo thu t ngǎ ban đau Lie) nhóm Lie, đại so Lie đời.TronglýthuyetLie,m®tđieukháthúvịlà,cóm®ttươngáng11giǎatpcácnhómLieliênthơngđơnliênvàtphợpcácđạisoLie.Dođó,moiphépphânloạitrênm®tlớp nhóm Lie liên thơng đơn liên đeu có m®t “bản phân loại” trênlớp tương đại so Lie ngược lại Tùy vào tàng tình huong cụ the, ta cóthetiepc nbàitốntrênlớpnhómLiehaytrênlớpcácđạisoLietươngáng.Tronglu nánnày,chúngtơitiep cnbàitốnphânloạ itr ên lớpcác đại so L ie TheođịnhlýLevi-Malshev,moiđạisoLiehǎuhạnchieutrênm®ttrường cóđcso khơng đeu phân tích thành tích nảa trực tiep m®t đại so nảa đơn vàm®tide alg iải đ ợ c (x e m cá c tàili uc Le v i [ 103]năm 905 M als h e v [ 67]n ă m 1945).Tàđó,bàitốnphânloạicácđạisoLietőngqtđượcquyvephânloạicácđạisoLienảađơn vàđạisoLiegiảiđược.Thtmaymanlàbàitốnphânloạicácđạiso Lie nảa đơn giải quyet tri t đe Cartan [101] năm 1894 (trênC) bởiGantmacher [48] năm 1939 (trênR) Bởi v y, người ta cịn phải xét tốn phânloạicácđạisoLiegiảiđược Khác với trường hợp đại so Lie nảa đơn, vi c phân loại lớp đại so Lie giảiđượckhókhănhơnnhieuvàchođennayđóvanlàm®tbàitốnmởlớn.Cácphânloạimới làm đượcchom®tvàitrườnghợpriêngtrênnhǎnglớpconcủalớpcácđạisoLie giải Như ta biet, m®t nhǎng cách phő bien đe phân loại đại so Liegiải phân loại phan mở r®ng giải lũy linh (nilradical) nó.Tác là, bat đau với đại so Lie lũy linh sau phân loại đại so Lie giảiđược nh n đại so Lie lũy linh nilradical Phương pháp khởi xướng bởiMubarakzyanov vào năm 1963 báo [71,72] ông phân loại đại so Liegiải chieu trường có đ c so khơng Sả dụng m®t phương pháp,Mubarakzyanov[73]vàTurkowski [94]cũngphân loạixongcác đạisoLiegiảiđ ược6chieu.Tieptheođó,cácketquảcủaShabanskayavàThompson[86,91] nhưNdogmo Winternitz [109,76] cho thay rang phương pháp mở r®ng hi uquảđoivớivicphânloạicácđạisoLiegiảiđượcchieuhǎuhạntùyý Nhac lại rang, m®t tốn phân loại goi làwildhay có tính chat wild (tạmdịch hoang dã hay vơ vong) neu cháa tốn phân loại c p ma tr n vngcapn(nlà m®t so ngun dương tùy ý) sai khác m®t tương đương đong dạng (xem[31], [32]).TheoBelitskiivàSergeichuk[ 17,Section1],vi cphânloạitri tđecpmatrnvng capn(nlà m®t so ngun dương tùy ý) theo quan hđong dạng khơngthegiảiquyetđược.Nóicáchkhác,bàitốnwildlàkhơngthegiảiquyetđượ c.Cácbàibáo[15],[16],[24],[17],[47],[90]cùngnhieutàiliuthamkhảotrongchúngđãdanra hàng loạtbàitốnphânloạicótínhchatwild.Chȁnghạn,Belitskiivàcácc®ngsự[15, Theorem 4] năm 2009 rang trường đóng đại so đ c so khác 2, bàitoánph ânlo ại c ác đ ạisoL ie lũy linh bc2 v ớiđ ại s o danx uat chie ucó tí n h chat wild Bởi the, toán phân loại đại so Lie lũy linh wild Vì lớp đại so Lie giảiđượccháalớpcácđạisoLielũylinhnênbàitốnphânloạiđạisoLiegiảiđượcđương nhiêncũngwild Vìtí n h p h c t p v tí n h c h a t w i l d c ủ a b i t o n p h â n l o i đ i s o L i e g i ả i đ ợ c , ngườitathườngtìmcáchthuheplớpcácđoitượngcanphânloạiđedekiemsốthơnđong thời đetínhwildbịphávơ.Cóítnhatbacáchtiepcnđethuhepcácđoitượngphân loại the Thá nhat cách phân loạitheo so chieu(tác co định so chieucủa đại so Lie can phân loại) Thá hai cách phân loạitheo cau trúc(tác bősung thêm m®t cau trúc hay m®t vài tính chat đ c bi t cho lớp đại so Lie can phânloại).Th áb a c h í n h l p h o i h pcả h a i c c h t r ê n , t ác l v ac o đ ị n h s o c h i e u v àa b ő sungcautrúcmôtcáchhợplýđephânloại Ve hướng thá nhat phân loại theo so chieu, nhieu thp kqua, dườngnhư người ta không the vượt qua so chieu khoi lượng tính tốn sě trở nên khőnglo, ho trợ phan mem tính tốn chun dụng Sě khả thihơn tiep c n toán phân loại đại so Lie giải theo hướng thá hai thá ba,tác bő sung cau trúc ho c phoi hợp vi c co định so chieu lan bő sung cau trúc.Trong lu n án này, theo hướng thá ba, tác bő sung cau trúc thích hợpđongthờiphoihợpvớihướngcođịnhsochieum®tcáchhợplý Trước het, chúng tơi xét lớp đại so Lie giải với tính chat bő sung sochieu ho c so đoi chieu đại so (hay ideal) dan xuat co định trước Cụ the, takýh i uL i e ( n,k) ( n,kl c c s o t ự n h i ê n , < k < n )l l p c c đ i s o L i e t h ự c g i ả i đượcnchieu với ideal loại dan xuatkchieu Vài th p niên gan đây, toán phân lớpLie(n,k)v i k = ,2đ ã đ ợ c c c n h t o n h o c q u a n t â m n g h i ê n c u r ® n g r ó i N m 1993,lpLie(n,1)ócphõnloihontonbiSchăobeltrongbibỏo[84].Lpny ch bao gom đại so Lie affine thực, đại so Lie Heisenberg thực mở r®ng tam thường chúng đại so Lie giao hoán.Tànăm 1993 cho đen năm 2010,m®t lớp Lie(n,2) phân loại [84], [42] [56] Cho đen đau năm2022 này, nhờ dùng công thác đe xác định so chieu cực đại đại so giao hoáncủađ i s o L i e m a t r nc ủ a S c h u r [ 89]v J a c o b s o n [ 55],l p L i e ( n,2)đ ã đ c l i t k ê v phân loại đay đủ [66] Bài toán phân loại lớpLie(n, k) với 3≤k≤n−2 vanchưađượcgiảiquyet Tronglunánnày,vebàitốnphânloạiđạisoLiethựcgiảiđược,chúngtơiquan tâm nghiên cáu lớp đại so Lie thực giải với đại so dan xuat thap chieu ho cđoi chieu thap đạt m®t so ket khả quan Đau tiên ket ve phânloạitritđelớpLie(n+1,n)cácđạisoLiethựcgiảiđượcn +1chieu v ới đ ại s oda n xuatn c h i e u ( t c l đ o i c h i e u ) t h ô n g q u a đ o i đ o n g đ i e u t h n h a t c ủ a đ i s o d a n xuatnày vớ ibie udie nph ụ hợp (Đ ịnhlý1 ).Tiep đe nlàkhȁng đ ịnh phânlo ại lớp Lie(n+2, n) đại so Lie thực giải đượcn+2 chieu với đạiso dan xuatnchieu(táclàđoichieu2)làbài toánwild(Địnhlý 1.2).Sau cùnglàketquả phân loạitri tđem®tlớpconđ cbitcủalớpLie(n+2,n)trongđótínhchatwild bịphávơ(Đị nhlý1.3) Mt khác,cũngtheo hướngcau trúc,ganđây xuathin m®tđoi tượngđạisoLiegiảiđược với cau trúc bő sung m®t dạng song tuyen tính khơng suy bien bat bienđoivớitíchLie.ChúngđượcgoilàcácđạisoLietồnphương(dịchtàthutngǎtiengAnh“qu adraticLiealgebras”).VicxétcautrúcsongtuyentínhbősungnàyđượcgợiýtàdạngKilli ng.Giảsảglàm®tđạisoLie(trênm®ttrườngnàođó).DạngKillingKtrêngđược xác định bởiK(X, Y) =tr(adX◦adY) với moiX, Y∈g Hien nhiêndạng KillingKlà dạng song tuyen tính, đoi xáng trêngvà đ c bi t bat bien đoivới tích Lie trêng, tác làK([X, Y],Z) =K(X,[Y, Z]) với moiX,Y,Z∈g Neugnảa đơn,Kcòn thỏa mãn tính chat khơng suy bien (Tiêu chuȁn Cartan) Nhờ dạngKilingvớicáctínhchatkhálýthúketrên,nhieubàitốnliênquan đenđạisoLienảa đơn giải quyet, chȁng hạn tốn phân loại quy đạo phụ hợp củacácđạisoLiecőđieno(m)vàsp(2n)đãđượcgiảiquyettronvennhờtínhchatbatbienvà khơngsuybiencủadạngKilling(xem[28],ĐịnhlýKostantMorosovđebietthêmchitiet).Tuynhiênrattiec,khiggiảiđược,dạngKillinglạisuybien M®t cách tự nhiên nảy sinh câu hỏi: Ton hay khơng nhǎng đại so Lie giải đượcmà xuat hi n m®t dạng song tuyen tính đoi xáng, bat bien khơng suy bien.Câutrảlờilàkhȁng định.Taxétm®tvídụ,đượcxemlàmởđaucho lớpcácđạis oLietồnphương,đólàđạisoLieKimcươngphác(trênC)g:=span{X,P, Q,Z}vớitíchLieđượcchobởi: [X,P]:=P,[X,Q]:=−Qv [P,Q]:=Z Trêngtađịnhnghĩam®tdạngsongtuyentínhđoixángBxácđịnhnhưsau: B(X,Z)=B(P,Q):=1, trường hợp khác bang khơng De thayBnhư the dạng song tuyen tính, đoixáng,batbienvàkhơngsuybien.Nghĩalà gtrởthànhm®tđạisoLietồnphươn gvớidạngsongtuyentính batbienB M®tv í d ụ k h c , c ó t h e x é ttí c h n ả a t r ự c ti e p h =g⊕g∗củag vớik h ô n g g i a n đ o i ngaug ∗bởibieudienđoiphụhợpad ∗nhưsau: [X,Y]h:=[X,Y]g,[X,f]:=ad∗ (X)(f),[f,g]:=0;X,Y∈g;f,g∈g∗ Trênh,taxétdạngsongtuyentínhBxácđịnhnhưsau: B(X+f,Y+ g):=f(Y)+g(X)vớ i mo i X ,Y∈gvàf, g∈g ∗ KhiđóBcũnglàm®tdạngsongtuyentính,đoixáng,batbienvàkhơngsuybientrên h Như the làhcũng trở thành m®t đại so Lie tồn phương với dạng song tuyen tínhbatbienB Chính nhǎng ví dụ dan đen khái ni mđạisoLietồn phương(đại soLiemàtrênđótontạim®tdạngsongtuyentínhđoixáng,khơngsuybienvàbatbien).Lớpcácđạiso Lie tồn phương có the xem m®t lớp tőng qt hóa lớp đạisoLienảađơnvớidạngsongtuyentínhđoixángđượckháiqttàdạngKilling Nhǎng câu hỏi xoay quanh đại so Lie toàn phương đượcđ tra tà lâu nhưnggan nhà toán hoc quan tâm nghiên cáu xuat hinnhieu công cụdành cho chúng(xem, chȁng hạn [107], [58], [44] [25]), đ cbit sau nhǎng pháthi n ve moi liênhchtchě giǎa đại so Lie toàn phương với m®t so tốn thu®c lĩnh vựcV tlý (xem [45], [29] tàili utrích dan đó) Các đại so Lie tồnphươngcóthetőngqtlênchokháinimsiêuđạisoLietồnphương(xem[18]) Tàv i t h pn i ê n g a n đ â y , b i t o n p h â n l o i đ i s o L i e t o n p h n g v s i ê u đ i s o Lieto àn p h n g b at đ a u th u h ú t s ự c hú ý c n h i e u nh t o n h o c G an đ â y n t p h ả i keđe n c c c ơn gt r ì nh [ 14],[ 62],[ 29],[ 37], [ 20]và [ 40].Bở i t he ,c hú ng tơi c óc ơs ởđ e tiept ụ c n g h i ê n c u b i t o n p h â n l o i c ó tí nhthờisựvànhienghĩakhoahocnày