BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phi Long MỞ RỘNG T* VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA MỘT SỐ ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG 6 CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành ph[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phi Long MỞ RỘNG T* VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA MỘT SỐ ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phi Long MỞ RỘNG T* VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA MỘT SỐ ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG CHIỀU Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng cá nhân hướng dẫn PGS.TS Lê Anh Vũ TS Dương Minh Thành Những kết luận văn mà khơng trích dẫn kết nghiên cứu Nguyễn Phi Long MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 Đại số Lie .5 1.2 Đại số Lie toàn phương Chương TÍCH NỬA TRỰC TIẾP CỦA MỘT ĐẠI SỐ LIE BỞI BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP 12 2.1 Các định nghĩa 12 2.2 Các ví dụ .14 Chương MỞ RỘNG T* CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC CHIỀU 18 3.1 Định nghĩa 3.1 18 3.2 Mở rộng T* đại số Lie giải chiều 21 3.3 Không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân .24 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut (V): nhóm tự đẳng cấu khơng gian vectơ V Aut g : nhóm tự đẳng cấu tuyến tính g : trường số phức C k (g,V ) : không gian ánh xạ k tuyến tính phản xứng từ g× g× × g vào V End(V) : không gian đồng cấu không gian vectơ V g* : không gian đối ngẫu đại số Lieg GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng qt cấp n hệ số thực Lie(g ) : đại số Lie nhóm Lie g Span{X,Y} : khơng gian sinh X,Y T * (g) : mở rộng T* g θ θ MỞ ĐẦU Các không gian véctơ luận văn xét chủ yếu trường số phức hữu hạn chiều Như biết, dạng Killing công cụ hữu ích việc nghiên cứu đại số Lie nửa đơn nhờ tính chất đối xứng, bất biến khơng suy biến nó, chẳng hạn chứng minh Định lý KostantMorosov Lý thuyết Lie Nhắc lại Định lý Kostant- Morosov định lý đóng vai trị trung tâm tốn phân loại quỹ đạo phụ hợp đại số Lie cổ điển o(m) sp(2n) (xem tài liệu [4], [9] để biết thêm chi tiết) Một câu hỏi đặt liệu có tồn đại số Lie mà có dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến không suy biến không? Ta gọi đại số Lie đại số Lie toàn phương Tất nhiên theo Tiêu chuẩn Cartan ta xét câu hỏi cho lớp đại số Lie giải câu trả lời có, ví dụ cho chúng đại số Lie kim cương g = span{Z , P,Q, X } với tích Lie xác định: [X , P] = P , [ X ,Q] = −Q [P,Q] = Z , dạng song tuyến tính đối xứng cho B( X , Z ) = B(P,Q) = , trường hợp khác Đây đại số Lie giải bốn chiều nghiên cứu nhiều Lý thuyết Lie Chúng ta thấy luận văn thực chất đại số Lie kim cương mở rộng T* đại số Lie giải không giao hốn chiều Một ví dụ khác quen thuộc Lý thuyết đại số Lie sau: * cho g đại số Lie g không gian đối ngẫu g Biểu diễn đối phụ hợp ad * : g → End (g * ) định nghĩa * ad * ( X )( f )(Y ) = − f ([ X ,Y ]) với X ,Y ∈ g f ∈ g * tương đương: ad ( X )( f ) = − f ad ( X ) * * Ta xét tích nửa trực tiếp h = g ⊕ g ánh xạ ad sau: [X ,Y ]h =X,Y [ g], [ X , f ] = ad* ( X )( f ) , [ f , g] = tương đương: [ X + f ,Y + g ] = [ X ,Y]g + f ad (Y ) − g ad ( X ) Khi h trở thành đại số Lie tồn phương với dạng song tuyến tính bất biến định nghĩa : B( X + f ,Y + g) = f (Y ) + g( X ) với X ,Y ∈g f , g * ∈ g Lưu ý rằng, có đại số Lie khơng có tính chất thế, ví dụ đại số Lie giải chiều g = span{X, Y} với [X,Y] = Y , đại số Lie Hersenberg chiều kiểu tổng quát 2n+1 chiều, đại số Lie filiform Câu hỏi liên quan đến tồn đại số Lie toàn phương đặt từ lâu gần quan tâm nghiên cứu xuất nhiều công cụ dành cho chúng (xem [3], [9], [11],[13] ) mở rộng T* công cụ hữu dụng để làm việc trường hợp giải Bản thân khái niệm đại số Lie tồn phương cơng cụ mở rộng T* hồn tồn tổng qt lên cho trường hợp siêu đại số Lie toàn phương [2] áp dụng cho nhiều đại số không kết hợp khác [3] Trong luận văn tiếp cận đại số Lie toàn phương theo hướng quen thuộc, tiếp cận theo hướng thấp chiều Vì mở rộng T* trường hợp chiều chiều tầm thường nên trường hợp chiều Cách tiếp cận có lợi điểm chỗ xem xét nhiều khái niệm phức tạp lớp đại số Lie tồn phương ví dụ cụ thể chiều thấp sau tổng quát trở lại khái niệm Điều giúp cho việc nghiên cứu đại số Lie toàn phương dễ dàng Một lợi điểm khác thông qua việc phân loại nghiên cứu tính chất đáng ý đại số Lie toàn phương thấp chiều, đưa nhiều ví dụ cho lớp đại số Lie toàn phương để từ hi vọng tìm thấy đối tượng cơng cụ nghiên cứu Vì lý toán phân loại chiều thấp sau tăng dần số chiều ln giải song song với tốn nghiên cứu tính chất tổng quát nghiên cứu đại số hữu hạn chiều Ví dụ đại số Lie tồn phương giải đến chiều phân loại [14], trường hợp chiều xét [6], phân loại đại số Lie toàn phương lũy linh đến chiều tìm thấy [7] Vì đạo hàm phản xứng đóng vai trò quan trọng nghiên cứu đại số Lie toàn phương, cụ thể phương pháp mở rộng kép Do luận văn chúng tơi tính tốn cách cụ thể khơng gian đạo hàm phản xứng đại số Lie giải chiều thu từ mở rộng T* đại số Lie giải chiều Từ tính tốn này, chúng tơi hi vọng thu tồn mở rộng kép đại số Lie tồn phương Nội dung luận văn chia thành ba chương Chương chủ yếu dành để nhắc lại số khái niệm kết cần thiết liên quan đến đại số Lie toàn phương Ở chúng tơi trình bày thêm kết phân loại đến đẳng cấu đẳng cự đại số Lie toàn phương giải chiều thực [10] Phân loại dựa theo phương pháp mở rộng kép (xem [9] [11]) khác với mở rộng T* đề cập luận văn Chương dành cho việc liệt kê trường hợp đặc biệt mở rộng T*, tích nửa trực tiếp đại số Lie giải chiều biểu diễn đối phụ hợp Chương giới thiệu khái niệm mở rộng T* đưa [3] Bằng cách tính tốn cụ thể 2-đối chu trình cyclic, chúng tơi liệt kê tồn mở rộng T* đại số toàn phương giải chiều Từ kết chúng tơi nhận phân loại đại số Lie tồn phương giải chiều Chương Tiếp theo chương tính tốn chi tiết để thu mô tả cụ thể không gian đạo hàm phản xứng đại số toàn phương giải chiều bất khả phân Phần cuối luận văn dành để bình luận kết đề xuất vài toán mở Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Anh Vũ TS Dương Minh Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Anh Vũ Dương Minh Thành Xin chân thành cám ơn thầy Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Vĩnh Kim toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Chương MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN Chương chủ yếu nhắc lại số khái niệm kết cần thiết liên quan đến đại số Lie toàn phương như: định nghĩa đại số Lie, đại số Lie con, ideal, đại số Lie toàn phương …đồng thời trình bày thêm kết phân loại đến đẳng cấu đẳng cự đại số Lie toàn phương dựa theo phương pháp mở rộng kép 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1.1 Một không gian véctơ g trường gọi đại số Lie trường g cho phép nhân [.,.] (được gọi móc Lie), [ ] g × g → g , :( x, y ) [ x, y ] cho tiên đề sau thỏa mãn: (i) Song tuyến tính: λ [ x1+ λ2 x2 , y] = λ1 [x1 , y] + λ2 [x2 , y] [ x, λ1 y1 + λ2 y2 ] = λ1 [x, y1] + λ2 [x, y2 ] ∀ λ ,λ ∈ , x , x , y , y , x, y ∈ g (ii) Phản xứng: [ x, x] = 0,1 ∀ 2x∈ g 2 (iii) Thỏa mãn đồng thức Jacobi: [ [x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = , ∀x, y, z ∈ g Số chiều đại số Lie g số chiều không gian véctơ g Cho g không gian hữu hạn chiều trường Giả sử số chiều ... trị quan trọng nghiên cứu đại số Lie toàn phương, cụ thể phương pháp mở rộng kép Do luận văn chúng t? ?i t? ?nh t? ??n cách cụ thể không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie giải chiều thu t? ?? mở rộng T* ... chi ti? ?t) M? ?t câu hỏi đ? ?t liệu có t? ??n đại số Lie mà có dạng song tuyến t? ?nh đối xứng, b? ?t biến không suy biến không? Ta gọi đại số Lie đại số Lie t? ??n phương T? ? ?t nhiên theo Tiêu chuẩn Cartan ta... DỤC VÀ ĐÀO T? ??O TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phi Long MỞ RỘNG T* VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA M? ?T SỐ ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG CHIỀU Chuyên ngành: Hình học T? ?pơ Mã số: 60