Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hà Thị Ngọc Phượng ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hà Thị Ngọc Phượng ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hà Thị Ngọc Phượng ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS DƯƠNG MINH THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu độc lập riêng Mọi kế thừa phát huy kết nhà khoa học trích dẫn rõ ràng quy định Các kết nghiên cứu luận văn tơi tự tìm hiểu, phân tích cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung yêu cầu đề tài cần nghiên cứu Học viên Hà Thị Ngọc Phượng LỜI CẢM ƠN Để hồn thành chương trình cao học viết luận văn này, nhận hướng dẫn nhiệt tình q thầy trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, động viên giúp đỡ từ gia đình bạn bè Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Dương Minh Thành Thầy quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn để giúp tơi hồn thành luận văn thạc sĩ Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy bảo suốt trình học tập Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, thầy Trần Tuấn Nam, cô Phạm Thị Thu Thủy, q thầy tận tình dạy bảo mở mang cho nhiều kiến thức Toán học, đặc biệt kiến thức chuyên ngành Đại số, làm tảng vững để học tập nghiên cứu Xin cảm ơn bạn học lớp Đại số Lý thuyết số Khóa 27 bạn bè người thân hết lịng động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi Gia đình tơi ln nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tơi hồn thành khóa học luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 Hà Thị Ngọc Phượng BẢNG KÍ HIỆU Trường số phức End V Không gian đồng cấu không gian vector V gl n Đại số Lie ma trận vuông cấp n trường sl n Đại số Lie ma trận vng cấp n có vết trường C k g,V Không gian ánh xạ k - tuyến tính phản xứng từ g g vào V span X ,Y Không gian sinh sở X ,Y dim g Số chiều không gian vector g g* Không gian đối ngẫu đại số Lie g Tổng trực tiếp Tổng trực tiếp trực giao 3 g* Không gian - dạng phản xứng g* MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Đại số Lie đại số Lie toàn phương, đối đồng điều đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie 1.2 Đại số Lie toàn phương 1.3 Đối đồng điều đại số Lie 12 Chương Đại số Lie toàn phương thấp chiều 15 2.1 Phân loại đại số Lie toàn phương đến chiều 15 2.2 Đại số Lie toàn phương đại số Lie toàn phương giải chiều 17 Chương Tính tốn họ đối đồng điều đại số Lie 24 3.1 Mô tả không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie 24 3.2 Tính tốn trực tiếp nhờ tốn tử đối bờ 40 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Các không gian vectơ xét trường số phức hữu hạn chiều Trong Lý thuyết đại số Lie, toán nghiên cứu đối đồng điều đại số Lie toán lý thú mức độ giải hạn chế Cụ thể, toán đơn giản lĩnh vực mơ tả nhóm đối đồng điều đại số Lie cho trước giải số họ đại số Lie dừng lại việc mô tả số chiều nhóm đối đồng điều số trường hợp đơn lẻ Đối với trường hợp đơn giản nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘 (𝔤, ℂ) với 𝔤 đại số Lie cho trước số chiều nhóm tồn nhiều câu hỏi Một kết nhiều người nhắc đến công thức số Betti, tức số chiều nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘 (𝔤, ℂ), đại số đại số Lie Heisenberg 2n+1 chiều h2 n1 L J Santharoubane tìm năm 1983: 2n 2n bk [1] Gần đây, H Pouseele [2] chứng minh kết k k sau: giả sử g mở rộng đại số Lie chiều Z đại số Lie Heisenberg h2 n1 dãy khớp h2 n1 g Z 0 cho g tác động tầm thường tâm z W h2 n1 Đặt f g / z Khi đó: bk (f ), b (f ) b (f ), k 2 k bk (g) 2bn1 (f ) 2bn1 (f ), b (f ) b (f ), k 1 k 1 bk 1 (f ), k 0, k 1, k n, k n 1, n k 2n, k 2n 1, k 2n dùng kết để tìm cơng thức tính số Betti cho hai họ đại số Lie: g sinh sở xi , yi , w, z , i n , z, xi yi , xi , yi w g sinh sở xi , w, z , i 2n , z, xi xi1 với i 2n 1, z, x2n w , xi , x2ni1 (1)i w với i n Trong luận văn này, quan tâm nhiều đến tốn cụ thể tính tốn đối đồng điều cho lớp đại số Lie đặc biệt, lớp đại số Lie toàn phương Đây lớp đại số Lie trang bị thêm dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến, khơng suy biến chúng coi lớp đại số Lie tổng quát đại số Lie nửa đơn với dạng song tuyến tính đối xứng khái quát từ dạng Killing Lớp đại số Lie toàn phương đề cập sách chuyên khảo V Kac (1985) [3] sau số nhà tốn học quan tâm nghiên cứu [trích dẫn cơng trình Medina, Bordemann, Benayadi] Một toán đưa phân loại đại số Lie toàn phương chiều thấp Cơng trình phải kể đến kết phân loại trường hợp lũy linh đến chiều G Favre L J Santharoubane [4], sau cơng trình khác [5] đại số Lie toàn phương giải đến chiều trường số thực, [6] trường hợp lũy linh đến 10 chiều Điều dẫn tới câu hỏi: liệu mơ tả tường minh nhóm đối đồng điều đại số Lie toàn phương thấp chiều hay không? Và câu hỏi đưa đến việc thực đề tài luận văn Một lý chúng tơi quan tâm đến việc tính tốn đối đồng điều đại số Lie tồn phương trường hợp 𝔤 đại số Lie tồn phương, việc tính tốn 𝐻2 (𝔤, ℂ) số chiều trở nên đơn giản có nhiều cách nhờ kết đưa [7] “New Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras, and Cohomology” tác giả G Pinczon R Ushirobira năm 2007 (J of Lie Theory) Cụ thể hơn, ta thu nhóm 𝐻2 (𝔤, ℂ) số chiều thông qua hai cách: mô tả không gian đạo hàm phản xứng 𝔤 tính tốn trực tiếp nhóm 𝐻2 (𝔤, ℂ) nhờ tốn tử đối bờ đơn giản I ,. với I 3- dạng liên kết với 𝔤 .,. tích Super – Poisson định nghĩa khơng gian Λ(𝔤∗ ) chứa dạng đa tuyến tính phản xứng 𝔤 Việc mô tả tường minh nhóm đối đồng điều giúp cung cấp thêm thơng tin đại số Lie tồn phương, từ giúp hiểu biết thêm lớp đại số Phần nội dung luận văn chia thành ba chương Chương dành chủ yếu để giới thiệu định nghĩa số kết đại số Lie đại số Lie toàn phương Chương hai chủ yếu dành để khảo sát đại số Lie toàn phương phân loại đại số Lie toàn phương đến chiều dựa kết báo khoa học [8] Chương ba trình bày lại cách rõ ràng chi tiết kết báo khoa học [9] tác giả Dương Minh Thành Trong tập trung tính tốn họ đối đồng điều đại số Lie, mơ tả nhóm đối đồng điều 𝐻2 (𝔤, ℂ) số chiều hai phương pháp Đối với đại số Lie thông thường ta mô tả khơng gian đạo hàm phản xứng từ tính số chiều 𝐻2 (𝔤, ℂ) Đối với đại số Lie tồn phương ta tính tốn trực tiếp nhờ tốn tử đối bờ Mặc dù có nhiều cố gắng việc hoàn thành luận văn hạn hẹp kiến thức thời gian nên chắn luận văn cịn có sai sót khơng mong muốn Rất mong nhận đánh giá, nhận xét phản hồi từ quý thầy cô bạn 4 Chương Đại số Lie đại số Lie toàn phương, đối đồng điều đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1.1 Cho g khơng gian vector trường Khi đó, g gọi đại số Lie g trang bị phép tốn (gọi tích Lie hay móc Lie) .,. : g g g X ,Y X ,Y thỏa mãn tính chất sau: i Phép toán .,. ánh xạ song tuyến tính; ii Phép tốn .,. phản xứng, tức X , X , với X g ; iii X , Y , Z Y , Z , X Z , X , Y 0, X , Y , Z g (Đồng thức Jacobi) Số chiều đại số Lie g số chiều khơng gian vector g Ví dụ: Cho V khơng gian vector trường F Kí hiệu gl V tập hợp tất ánh xạ tuyến tính f : V V Khi gl V không gian vector trường F Ta xác định tích Lie gl V sau: x, y x y y x với x, y gl V kí hiệu cho tích hai ánh xạ Định nghĩa 1.1.2 Cho g đại số Lie Một không gian vector A g gọi đại số Lie g X ,Y A với X ,Y g Định nghĩa 1.1.3 Cho g đại số Lie Một không gian vector I g gọi ideal g X ,Y I với X g,Y I (tính hút) 5 Ví dụ: Cho đại số Lie g ta kí hiệu g, g X ,Y X ,Y g g, g ideal g gọi ideal dẫn xuất đại số Lie g Định nghĩa 1.1.4 Cho g đại số Lie Một ideal I g gọi ideal thuộc tâm 𝔤 I , g Kí hiệu Z g X g X , Y 0, Y g ideal g gọi ideal tâm g Định nghĩa 1.1.5 Cho g đại số Lie a ideal g Khi khơng gian thương g / a đại số Lie thương Trong tích Lie ideal thương cho X a,Y a X ,Y a với X ,Y g Định nghĩa 1.1.6 Cho đại số Lie g trường Ta kí hiệu: 1 n n 1 n 1 g g, g, g g , g , , g g , g Khi đại số Lie g gọi giải tồn m \ 0 cho g 0 m Ta kí hiệu Rad g ideal giải lớn g Định nghĩa 1.1.7 Cho đại số Lie g trường Ta kí hiệu: g1 g, g, g2 g, g1 , , gn g, gn1 Khi đại số Lie g gọi lũy linh tồn m \ 0 cho gm 0 Từ nhận xét g đại số Lie lũy linh hiển nhiên g giải Định nghĩa 1.1.8 Cho g1 , g2 hai đại số Lie trường Khi ánh xạ tuyến tính : g1 g2 gọi đồng cấu đại số Lie bảo tồn tích Lie, tức X , Y X , Y , X , Y g1 Nếu đẳng cấu ta nói đẳng cấu đại số Lie, đồng thời g1 g2 hai đại số Lie đẳng cấu Trong toán phân loại đại số Lie, người ta ý đến tính đẳng cấu đại số Lie Cụ thể hơn, người ta không phân biệt hai đại số Lie đẳng cấu với mà coi chúng (sai khác đẳng cấu đại số Lie) Định nghĩa 1.1.9 Một đại số Lie g 0 gọi nửa đơn khơng có ideal giải khác 0 (hay Rad g 0 ) Định nghĩa 1.1.10 Một đại số Lie khơng giao hốn g đơn khơng có ideal ngồi 0 g Định nghĩa 1.1.11 Cho g đại số Lie V khơng gian vector Kí hiệu End V không gian đồng cấu từ V vào V Khi End V đại số Lie với tích Lie [ f , g ] f g g f với f , g V Ta nói biểu diễn g V đồng cấu đại số Lie từ g vào End V , tức là: X , Y X , Y , X ,Y g Trong trường hợp này, V gọi g module Với số nguyên k , kí hiệu C k g,V không gian ánh xạ k tuyến tính phản xứng từ g g g vào V k C g,V V Ví dụ: Đối với đại số Lie g X g Kí hiệu ánh xạ tuyến tính: ad X : g g Y ad X (Y ) X ,Y Khi biểu diễn phụ hợp (adjoint representation) g g định nghĩa bởi: ad : g gl g X ad X Để hiểu rõ biểu diễn phụ hợp đại số Lie, ta xét trường hợp cụ thể g span X ,Y với X ,Y Y (xem X tác động vào Y Y ) 7 Khi ánh xạ ad tính tốn sau: ad X X X , X , ad X Y X ,Y Y , adY X Y , X Y adY Y Y ,Y 0 0 Từ ta suy ra: ad X gl 2, 0 , 0 adY gl 2, 1 0 Xét tích Lie: ad X , adY ad X adY adY ad X 0 0 0 0 0 1 0 adY ad X ,Y Thật ta chứng minh kết tổng quát ad X ,Y ad X , adY , X ,Y g với đại số Lie Do ánh xạ ad thỏa mãn tính chất ad X , Y ad X , ad Y đồng cấu đại số Lie Định nghĩa 1.1.12 Cho g đại số Lie g* X i* : g khơng gian đối ngẫu g Khi đó, ánh xạ: ad * : g End g* X ad * X : g* g* ad * X f f ad X g* với f g* gọi biểu diễn đối phụ hợp (coadjoint representation) g g* 1.2 Đại số Lie toàn phương Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian vector phức g Một dạng song tuyến tính B : g , gọi là: i Đối xứng B X ,Y B Y , X với X ,Y g ii Không suy biến B X ,Y với Y g X iii Bất biến (hay gọi kết hợp) nếu: B X , Y , Z B X , Y , Z , X ,Y , Z g Một đại số Lie g tồn dạng song tuyến tính đối xứng, không suy biến bất biến gọi đại số Lie toàn phương Đại số Lie toàn phương thường kí hiệu g, B Ta có số ví dụ đại số Lie tồn phương: Ví dụ 1.2.2 Trong với tích Lie tích có hướng, dạng tồn phương tích vơ hướng Ví dụ 1.2.3 Cho g span X ,Y tích Lie cho X ,Y Dạng song tuyến tính đối xứng B cho B X ,Y , trường hợp cịn lại Ví dụ 1.2.4 Cho g span X , P, Q, Z tích Lie cho X , P P , X , Q Q , P, Q Z , trường hợp cịn lại Khi g gọi đại số Lie kim cương Đại số đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính cho bởi: B X , Z B P, Q , trường hợp lại Định nghĩa 1.2.5 Cho g, B đại số Lie toàn phương V không gian vector g Khi ta định nghĩa thành phần trực giao V V X g B X , Y 0, Y V Cho V ,W không gian vector g Khi ta có tính chất sau: a) g ; b) Nếu V W V W ; c) V W d) V V W V W V W ; V dim V dim V dim g Một phần tử X g gọi tự đẳng hướng B X , X Một không gian V g gọi tự đẳng hướng hoàn toàn B X ,Y với X ,Y V Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có V V Ta có số tính chất lí thú đại số Lie toàn phương sau: Mệnh đề 1.2.6 Cho g, B đại số Lie toàn phương Định nghĩa ánh xạ : g g* , X Y B X ,Y với g* không gian đối ngẫu g Khi đẳng cấu, đồng thời biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp g tương đương với Chứng minh Giả sử g đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không suy biến B Nhắc lại biểu diễn phụ hợp ad đối phụ hợp ad * định nghĩa sau: ad : g End g với ad X Y X ,Y ad * : g End g* với ad * X f f ad X Cho : g g* ánh xạ xác định X B X ,. Do B không suy biến nên đẳng cấu Hơn ta có ad X Y Z B X ,Y , Z B Y , X , Z , X g , nghĩa ad ad * tương đương Nghiên cứu đại số Lie tồn phương quy nghiên cứu đại số Lie toàn phương bất khả phân nhờ phân tích sau: Mệnh đề 1.2.7 Cho g, B đại số Lie toàn phương a) Nếu I ideal g Khi I ideal g Hơn nữa, thu hẹp B I I không suy biến thu hẹp B I I không suy biến, I , I 0 I I 0 , g I I b) Nếu Z g dim Z g dim g, g dim g tâm g Z g g, g 10 Chứng minh a) Nếu I ideal g Lấy A I , X g ta có: B A, X , Y B A, X ,Y với Y I (do I ideal g ) Do đó: A, X I Suy I ideal g Giả sử B I I không suy biến Lấy X I thỏa mãn B X , I X I B X , I Do B I I không suy biến nên X Suy B I I không suy biến Nếu I , I ideal g B I , I , X B I , I , X với X g B không suy biến g nên I , I 0 Nếu X I I B X , I Do B không suy biến I nên X Do I I 0 Ta có: 0 I I I I I I Suy I I b) I I hay g I I Nếu X Z g X , g 0 B X , g, g B X , g, g X g, g Nên Z g g, g dim Z g dim g, g dim g Nếu thu hẹp B I I khơng suy biến ta gọi I ideal không suy biến g g I I Vì tổng trực tiếp tổng trực tiếp trực giao nên ta dùng kí hiệu sau: g I I Định nghĩa 1.2.8 Một đại số Lie toàn phương g bất khả phân g phân tích thành hai ideal g g1 g2 g1 0 g2 0 11 Định nghĩa 1.2.9 Cho g, B g ', B ' hai đại số Lie tồn phương Ta nói g, B g ', B ' đẳng cấu đẳng cự tồn đẳng cấu đại số Lie A : g g ' thỏa mãn: B ' A X , A Y B X ,Y , X ,Y g Trong trường hợp ta nói A đẳng cấu đẳng cự Như vậy, A đẳng cấu đẳng cự A vừa đẳng cấu vừa đẳng cự Chú ý rằng, tính chất đẳng cấu tính chất đẳng cấu đẳng cự không tương đương Mệnh đề 1.2.10 Cho g, B đại số Lie tồn phương khơng giao hốn Khi tồn ideal tâm z ideal l 0 cho: i g z l , z, B zz l, B ll đại số Lie toàn phương Hơn nữa, l khơng giao hốn ii Tâm Z l l tự đẳng hướng hoàn toàn, tức Z l l,l , dim Z l dim l dim l,l iii Cho g ' đại số Lie toàn phương A : g g ' đẳng cấu đại số Lie Khi đó: g z' l' z ' A z thuộc tâm, l ' A z , Z l ' tự đẳng hướng hoàn toàn, l l' đẳng cấu với Hơn nữa, A đẳng cấu đẳng cự l l' đẳng cấu đẳng cự Định nghĩa 1.2.11 Một đại số Lie toàn phương g khác 0 gọi đại số Lie rút gọn có tâm tự đẳng hướng hồn tồn 12 Theo Mệnh đề 1.2.7, từ tính chất bất biến khơng suy biến dạng song tuyến tính xác định g , ta dễ dàng chứng minh g, g Z g Do đó, Z g tự đẳng hướng hoàn toàn Z g g, g 1.3 Đối đồng điều đại số Lie Cho g đại số Lie, V không gian vector : g End V biểu diễn g V , tức X , Y X , Y , X ,Y g Nói cách khác, đồng cấu đại số Lie từ g vào đại số End V chứa tự đồng cấu V Trong trường hợp này, V g module Với số nguyên k , kí hiệu C k g,V khơng gian ánh xạ k tuyến tính phản xứng từ g g g vào V k C g,V V Định nghĩa 1.3.1 Định nghĩa toán tử đối bờ k : C k g,V C k 1 g,V sau: k k f X , , X t 1 X i f X , , X i , , X k i i 0 k 1 i j i j f X i , X j , X , , X i , , X j , , X k với f C k g,V , X , , X k g , kí hiệu X i để X i khơng có cơng thức Ta kiểm tra k k 1 Thông thường ta kí hiệu k khơng quan tâm đến số Khi thỏa mãn tính chất 13 Định nghĩa 1.3.2 Ta nói f C k g,V k đối chu trình f f k đối bờ có g C k 1 g,V cho f g Kí hiệu Z k g,V tập hợp k đối chu trình B k g,V tập hợp k đối bờ, tức Z k g,V Ker k B k g,V Im k 1 Công thức chứng tỏ B k g,V Z k g,V ta có khơng gian thương Z k g,V / B k g,V Không gian thương kí hiệu H k g,V gọi nhóm đối đồng điều thứ k g V Mỗi phần tử thuộc H k g,V gọi k đối chu trình Hiện hiểu biết nhóm đối đồng điều đại số Lie chưa nhiều Bài tốn chúng tơi đặt tìm cách mơ tả tường minh nhóm đối đồng điều đại số Lie g cho trước tính chiều H k g,V Một công thức thường sử dụng để tính số chiều dim H k g,V sau: n dim H k g,V dim Ker k 1 dim Ker k m , k n n n 1 n k n dim g , m dim V k k k Định nghĩa 1.3.3 bk g dim H k g, gọi số Betti thứ k g Ví dụ 1.3.4 Với n , kí hiệu hn đại số Lie Heisenberg 2n chiều, đó, J Santharoubane chứng minh [1] rằng: 2n 2n bk hn , với k n k k Định nghĩa 1.3.5 Cho không gian vector phức V hữu hạn chiều trang bị dạng song tuyến tính đối xứng B (ta gọi V , B khơng gian 14 vector tồn phương) Năm 2007, G Pinczon R Ushirobira giới thiệu khái niệm tích super-Poisson không gian V * chứa dạng song tuyến tính phản xứng V sau: , ' 1 X X ', k V * k 1 n j 1 j j ' V * , X j j 1 sở trực chuẩn V n Với đại số Lie toàn phương g, B ta định nghĩa - dạng liên kết với g xác định bởi: I X ,Y , Z B X ,Y , Z , X ,Y , Z g Khi ta có đẳng thức I , I , I , (xem [7]) ... Chương Đại số Lie đại số Lie toàn phương, đối đồng điều đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie 1.2 Đại số Lie toàn phương 1.3 Đối đồng điều đại số Lie ... bạn 4 Chương Đại số Lie đại số Lie toàn phương, đối đồng điều đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1.1 Cho g không gian vector trường Khi đó, g gọi đại số Lie g trang... 12 Chương Đại số Lie toàn phương thấp chiều 15 2.1 Phân loại đại số Lie toàn phương đến chiều 15 2.2 Đại số Lie toàn phương đại số Lie toàn phương giải chiều 17