Đối đồng điều của đại số lie toàn phương thấp chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hà Thị Ngọc Phượng ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hà Thị Ngọc Phượng ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS DƯƠNG MINH THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu độc lập riêng Mọi kế thừa phát huy kết nhà khoa học trích dẫn rõ ràng quy định Các kết nghiên cứu luận văn tơi tự tìm hiểu, phân tích cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung yêu cầu đề tài cần nghiên cứu Học viên Hà Thị Ngọc Phượng LỜI CẢM ƠN Để hồn thành chương trình cao học viết luận văn này, nhận hướng dẫn nhiệt tình q thầy trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, động viên giúp đỡ từ gia đình bạn bè Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Dương Minh Thành Thầy quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn để giúp tơi hồn thành luận văn thạc sĩ Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy bảo suốt trình học tập Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, thầy Trần Tuấn Nam, cô Phạm Thị Thu Thủy, q thầy tận tình dạy bảo mở mang cho nhiều kiến thức Toán học, đặc biệt kiến thức chuyên ngành Đại số, làm tảng vững để học tập nghiên cứu Xin cảm ơn bạn học lớp Đại số Lý thuyết số Khóa 27 bạn bè người thân hết lịng động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi Gia đình tơi ln nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tơi hồn thành khóa học luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 Hà Thị Ngọc Phượng BẢNG KÍ HIỆU Trường số phức End V  Không gian đồng cấu không gian vector V gl  n  Đại số Lie ma trận vuông cấp n trường sl  n  Đại số Lie ma trận vng cấp n có vết trường C k  g,V  Không gian ánh xạ k - tuyến tính phản xứng từ g   g vào V span X ,Y  Không gian sinh sở  X ,Y  dim  g Số chiều không gian vector g g* Không gian đối ngẫu đại số Lie g  Tổng trực tiếp   Tổng trực tiếp trực giao 3  g*  Không gian - dạng phản xứng g* MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Đại số Lie đại số Lie toàn phương, đối đồng điều đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie 1.2 Đại số Lie toàn phương 1.3 Đối đồng điều đại số Lie 12 Chương Đại số Lie toàn phương thấp chiều 15 2.1 Phân loại đại số Lie toàn phương đến chiều 15 2.2 Đại số Lie toàn phương đại số Lie toàn phương giải chiều 17 Chương Tính tốn họ đối đồng điều đại số Lie 24 3.1 Mô tả không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie 24 3.2 Tính tốn trực tiếp nhờ tốn tử đối bờ 40 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Các không gian vectơ xét trường số phức hữu hạn chiều Trong Lý thuyết đại số Lie, toán nghiên cứu đối đồng điều đại số Lie toán lý thú mức độ giải hạn chế Cụ thể, toán đơn giản lĩnh vực mơ tả nhóm đối đồng điều đại số Lie cho trước giải số họ đại số Lie dừng lại việc mô tả số chiều nhóm đối đồng điều số trường hợp đơn lẻ Đối với trường hợp đơn giản nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘 (𝔤, ℂ) với 𝔤 đại số Lie cho trước số chiều nhóm tồn nhiều câu hỏi Một kết nhiều người nhắc đến công thức số Betti, tức số chiều nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘 (𝔤, ℂ), đại số đại số Lie Heisenberg 2n+1 chiều h2 n1 L J Santharoubane tìm năm 1983:  2n   2n  bk       [1] Gần đây, H Pouseele [2] chứng minh kết k k      sau: giả sử g mở rộng đại số Lie chiều Z đại số Lie Heisenberg h2 n1 dãy khớp  h2 n1   g   Z  0 cho g tác động tầm thường tâm z  W h2 n1 Đặt f  g / z Khi đó: bk (f ), b (f )  b (f ), k 2  k bk (g)  2bn1 (f )  2bn1 (f ), b (f )  b (f ), k 1  k 1 bk 1 (f ), k  0, k  1,  k  n, k  n  1, n   k  2n, k  2n  1, k  2n  dùng kết để tìm cơng thức tính số Betti cho hai họ đại số Lie:  g sinh sở xi , yi , w, z ,  i  n ,  z, xi   yi ,  xi , yi   w  g sinh sở xi , w, z ,  i  2n ,  z, xi   xi1 với  i  2n  1,  z, x2n   w ,  xi , x2ni1   (1)i w với  i  n Trong luận văn này, quan tâm nhiều đến tốn cụ thể tính tốn đối đồng điều cho lớp đại số Lie đặc biệt, lớp đại số Lie toàn phương Đây lớp đại số Lie trang bị thêm dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến, khơng suy biến chúng coi lớp đại số Lie tổng quát đại số Lie nửa đơn với dạng song tuyến tính đối xứng khái quát từ dạng Killing Lớp đại số Lie toàn phương đề cập sách chuyên khảo V Kac (1985) [3] sau số nhà tốn học quan tâm nghiên cứu [trích dẫn cơng trình Medina, Bordemann, Benayadi] Một toán đưa phân loại đại số Lie toàn phương chiều thấp Cơng trình phải kể đến kết phân loại trường hợp lũy linh đến chiều G Favre L J Santharoubane [4], sau cơng trình khác [5] đại số Lie toàn phương giải đến chiều trường số thực, [6] trường hợp lũy linh đến 10 chiều Điều dẫn tới câu hỏi: liệu mơ tả tường minh nhóm đối đồng điều đại số Lie toàn phương thấp chiều hay không? Và câu hỏi đưa đến việc thực đề tài luận văn Một lý chúng tơi quan tâm đến việc tính tốn đối đồng điều đại số Lie tồn phương trường hợp 𝔤 đại số Lie tồn phương, việc tính tốn 𝐻2 (𝔤, ℂ) số chiều trở nên đơn giản có nhiều cách nhờ kết đưa [7] “New Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras, and Cohomology” tác giả G Pinczon R Ushirobira năm 2007 (J of Lie Theory) Cụ thể hơn, ta thu nhóm 𝐻2 (𝔤, ℂ) số chiều thông qua hai cách: mô tả không gian đạo hàm phản xứng 𝔤 tính tốn trực tiếp nhóm 𝐻2 (𝔤, ℂ) nhờ tốn tử đối bờ  đơn giản   I ,. với I 3- dạng liên kết với 𝔤 .,. tích Super – Poisson định nghĩa khơng gian Λ(𝔤∗ ) chứa dạng đa tuyến tính phản xứng 𝔤 Việc mô tả tường minh nhóm đối đồng điều giúp cung cấp thêm thơng tin đại số Lie tồn phương, từ giúp hiểu biết thêm lớp đại số Phần nội dung luận văn chia thành ba chương Chương dành chủ yếu để giới thiệu định nghĩa số kết đại số Lie đại số Lie toàn phương Chương hai chủ yếu dành để khảo sát đại số Lie toàn phương phân loại đại số Lie toàn phương đến chiều dựa kết báo khoa học [8] Chương ba trình bày lại cách rõ ràng chi tiết kết báo khoa học [9] tác giả Dương Minh Thành Trong tập trung tính tốn họ đối đồng điều đại số Lie, mơ tả nhóm đối đồng điều 𝐻2 (𝔤, ℂ) số chiều hai phương pháp Đối với đại số Lie thông thường ta mô tả khơng gian đạo hàm phản xứng từ tính số chiều 𝐻2 (𝔤, ℂ) Đối với đại số Lie tồn phương ta tính tốn trực tiếp nhờ tốn tử đối bờ Mặc dù có nhiều cố gắng việc hoàn thành luận văn hạn hẹp kiến thức thời gian nên chắn luận văn cịn có sai sót khơng mong muốn Rất mong nhận đánh giá, nhận xét phản hồi từ quý thầy cô bạn Chương Đại số Lie đại số Lie toàn phương, đối đồng điều đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1.1 Cho g khơng gian vector trường Khi đó, g gọi đại số Lie g trang bị phép tốn (gọi tích Lie hay móc Lie) .,. : g  g  g  X ,Y   X ,Y  thỏa mãn tính chất sau: i Phép tốn .,. ánh xạ song tuyến tính; ii Phép tốn .,. phản xứng, tức  X , X   , với X g ; iii  X , Y , Z   Y ,  Z , X    Z ,  X , Y   0, X , Y , Z  g (Đồng thức Jacobi) Số chiều đại số Lie g số chiều khơng gian vector g Ví dụ: Cho V khơng gian vector trường F Kí hiệu gl V  tập hợp tất ánh xạ tuyến tính f : V  V Khi gl V  không gian vector trường F Ta xác định tích Lie gl V  sau:  x, y  x y  y x với x, y  gl V  kí hiệu cho tích hai ánh xạ Định nghĩa 1.1.2 Cho g đại số Lie Một không gian vector A g gọi đại số Lie g  X ,Y   A với X ,Y g Định nghĩa 1.1.3 Cho g đại số Lie Một không gian vector I g gọi ideal g  X ,Y   I với X  g,Y  I (tính hút) 37 B  D  X  , X    B  X , D  X    a62  B  D  X  , X    B  X , D  X    a72  a63 B  D  X  , T    B  X , D T    a42  a64 B  D  X  , Z1    B  X , D  Z1    a12  a65 B  D  X  , Z    B  X , D  Z    a22  a66 B  D  X  , Z    B  X , D  Z    a32  B  D  X  , X    B  X , D  X    a53  a71 B  D  X  , T    B  X , D T    a43   a74 B  D  X  , Z1    B  X , D  Z1    a13  a75 B  D  X  , Z    B  X , D  Z    a23  a76 B  D  X  , Z    B  X , D  Z    a33  a77 B  D T  , X    B T , D  X    a54  B  D T  , Z1    B T , D  Z1    a14  a45 B  D T  , Z    B T , D  Z    a24  a46 B  D T  , Z    B T , D  Z    a34  B  D  Z1  , X    B  Z1 , D  X    a55  a11 B  D  Z1  , Z    B  Z1 , D  Z    a25  a16 B  D  Z1  , Z    B  Z1 , D  Z    a35  a17 B  D  Z  , X    B  Z , D  X    a56  B  D  Z  , Z    B  Z , D  Z    a36  38      Suy D        a11 a12 a13 a14 a25 a22 a23 a24 a25 0 a77 a17 0 a42 a43 a14 a24 0 a71 a11 0 a72 a42 a12 a22 a71 a72 a43 a13 a23 a17         a77  Vì D đạo hàm phản xứng g nên ta có: D  X1   D  X , X    D  X  , X    X , D  X  dẫn tới a11  a77  a22 a42  Từ tính tốn tương tự ta thu được:  2x     D     y  a c 0 z x d a z 0 x 0 0 e 0 a y 2x 0 b a x b e c d      , với a, b, c, d , e, x, y, z      x  So sánh kết với đạo hàm g :      ad  X         0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  , 0  0  39      ad  X         0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0      ad T         0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      ad  Z1         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0      ad  Z         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0  0  , 0  0  0  0  , 0  0  0  0  , 0  0  0  0  0 0  0  40 Từ đó, ta thấy đạo hàm đại diện tham số đạo hàm đại diện tham số x, y, z , chứng tỏ dim H  g7,1, 3.2   Tính tốn trực tiếp nhờ tốn tử đối bờ Trong phần này, cách áp dụng kết báo [7] ta trình bày việc mơ tả nhóm đối đồng điều H  g,  đại số Lie toàn phương Mệnh đề 3.2.1 Cho V không gian vector I k - dạng  k V *  Khi dimVI  k I  I khả phân dimVI  k Nếu VI có sở 1 , , k  I có dạng I  1   k với   Đại số Lie tồn phương có số tính chất đáng ý sau: Định nghĩa 3.2.2 Cho  g, B  không gian vector tồn phương Khi đó: 1)  X , X  g đạo hàm   g*  định nghĩa  X   X1, X , , X r 1     X , X1, X , , X r 1  , r  g*  , X , X , , X r 1  g 2) Trên g chọn sở trực chuẩn cố định  X1, , X n  Khi tích Super-Poisson   g*  định nghĩa: ,  ' :  1 k 1         ' ,     g  ,  '    g  n k j 1 Xj * * Xj Bằng cách áp dụng tính chất tính Super-Poisson định nghĩa đại số dạng đa tuyến tính phản xứng đại số Lie tồn phương, G Pinczon R Ushirobira phân loại hoàn toàn đại số Lie toàn phương [7] gồm sl  , g (đại số Lie kim cương), g5 , g6 41 Ví dụ 3.2.3 Xét đại số Lie g  sl   , từ định nghĩa dạng song tuyến tính ta tính 3-dạng I liên kết: I  e1 , e2 , e3   B e1 , e2 , e3   B  e3 , e3   Từ suy I  e1*  e2*  e3* Vì: B  g,       g    X ,Y    f  X ,Y , f  g*   X  I  , X  g e  I   e  e1*  e2*  e3*   e2*  e3* , 1 e  I   e  e1*  e2*  e3*   e1*  e3* , 2 e  I   e  e1*  e2*  e3*   e1*  e2* 3   spane1*  e2* , e2*  e3* , e1*  e3* Nên ta tính B2  g, Trong đó: Z  g,    2  g*  I ,  0 Áp dụng cơng thức tích Super – Poisson [7] ta có: I , e *  e2*  e1*  e2*  e3* , e1*  e2*  B  e1 , e1  e2*  e3*  e2*  B  e1 , e2  e2*  e3*  e1*  B  e2 , e1  e1*  e3*  e2*  B  e2 , e2  e1*  e3*  e1*  B  e3 , e1  e1*  e2*  e2*  B  e3 , e2  e1*  e2*  e1*  Do e1*  e2*  Z  g,  Tương tự ta có được: Z  g, Từ suy H  g,   spane1*  e2* , e2*  e3* , e1*  e3*   Z  g,  / B  g,   Ví dụ 3.2.4 Xét đại số Lie kim cương g  g4  span X , P, Q, Z  Ta tính 3-dạng I liên kết sau: I  X , P, Q   B   X , P  , Q   B  P , Q   , I  X , P, Z   B   X , P  , Z   B  P, Z   , I  P, Q, Z   B   P , Q  , Z   B  Z , Z   Suy ra: I  X *  P*  Q* B 42 I , X    X * *  P*  Q* , X *  B  X , X  P*  Q*  B  P, X  X *  Q*  B  Q, X  X *  P*  Tương tự ta tính I , P*  X *  P* , I , Q*   X *  Q* , I , Z *  P*  Q*   span X * nên Suy Z  g, H  g,  X  I    X  X *  P*  Q*   P*  Q* ,   span  X *  P  I   P  X *  P*  Q*   X *  Q* , Q  I   Q  X *  P*  Q*   X *  P* Nên B2  g,   X  I  , X  g  span X *  P* , P*  Q* , X *  Q* Áp dụng cơng thức tính tích Super – Poisson [7], ta có: I , X *  P*    X *  P*  Q* , X *  P *   B  X , X  P *  Q *  P *  B  X , P  P*  Q*  X *  B  P, X  X *  Q *  P *  B  P , P  X *  Q *  P *  B  Q, X  X *  P *  P *  B  Q , P  X *  P *  X *   X *  P*  Z  g,  Bằng tính tốn tương tự, ta suy ra:   span X *  P* , X *  Q* , P*  Q* Z  g, Từ ta H  g,   Z  g,  / B  g,   Ví dụ 3.2.5 Xét đại số Lie g = g5  span X1, X ,T , Z1, Z2 , từ định nghĩa dạng song tuyến tính B , ta tính - dạng liên kết I sau: I  X , X ,T   B  X , X ,T   B T ,T   1, trường hợp khác Nên ta tìm I  X1*  X 2*  T I , X    X * *  X 2*  T , X 1*  B  X , X  X 2*  T  B  X , X  X 1*  T  B T , X  X 1*  X 2*  I , X   , I , T   X * * *  X 2* , I , Z1*  X 2*  T , I , Z 2*   X1*  T 43   Suy Z  span X1* , X 2* nên H  span  X 1*  ,  X 2*   X  I    X  X1*  X 2*  T *   X 2*  T * , 1  X  I    X  X1*  X 2*  T *   X1*  T * , 2 T  I   T  X1*  X 2*  T *   X1*  X 2* Do B2  g,   X  I  , X  g  span X1*  X 2* , X1*  T * , X 2*  T * Áp dụng cơng thức tính tích Super – Poisson [7] ta được: I , X  X    X  X  Z  g,  I , X  T    X  T  Z  g,  I , X  Z    X  T  X I , X  Z    X  Z  Z  g,  I , X  T    X  T  Z  g,  I , X  Z    X  Z  Z  g,  I , X  Z   X  T  X I , Z  T    X  X  Z I , Z  T    X  X  Z I , Z  Z   X  T  Z  X  T  Z Nhận xét: I , X  Z   I , X  Z   X * * * * * 2 * * * * * * * * * 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Nên X 1*  Z1*  X 2*  Z 2*  Z  g, * * * *  T *  X 2*  X 2*  T *  X1*   Từ ta thu được: Z  span X1*  X 2* , X1*  T * , X1*  Z 2* , X 2*  T * , X 2*  Z1* , X1*  Z1*  X 2*  Z 2* Suy ra: 44   span X 1*  Z 2*  ,  X 2*  Z1*  ,  X 1*  Z1*  X 2*  Z 2*  H  g, dim  H  g, hiển nhiên   Ví dụ 3.2.6 Xét đại số Lie g = g6  span X1, X , X , Z1, Z2 , Z3 , từ định nghĩa dạng song tuyến tính B , ta xác định - dạng liên kết sau: I  X , X , X   B  X , X , X   B  Z , X   , trường hợp khác Suy I  X1*  X 2*  X 3* Áp dụng cơng thức tính tích super-Poision [7], ta thu được: I , X    X * *  X 2*  X 3* , X 1*  B  X , X  X 2*  X 3*  B  X , X  X 1*  X 3*  B  X , X  X 1*  X 2*  0, I , X   , I , X   , I , X   , I , Z   X I , Z   X  X * * * * * * *  X 3* , I , Z    X * *  X 3* * Do Z  span X1* , X 2* , X 3* H  g6,1 ,   span X *   ,  X 2*  ,  X 3*   X  I    X  X1*  X 2*  X 3*   X 2*  X 3* 1  X  I    X  X1*  X 2*  X 3*   X1*  X 3* 2  X  I    X  X1*  X 2*  X 3*   X1*  X 2* Từ ta suy B2  g,   X  I  , X  g  span X1*  X 2* , X1*  X 3* , X 2*  X 3* Áp dụng công thức tính tích Super – Poisson [7], ta thu được: I , X *  X 2*   X 1*  X 2*  X 3* , X 1*  X 2*  B  X , X  X 2*  X 3*  X 2*  B  X , X  X 2*  X 3*  X 1*  B  X , X  X 1*  X 3*  X 2*  B  X , X  X 1*  X 3*  X 1*  B  X , X  X 1*  X 2*  X 2*  B  X , X  X 1*  X 2*  X 1*  Từ ta suy X1*  X 2*  Z  g, Tính tốn tương tự ta thu được:  45 Z  g,   span X  I  , X i*  Z *j i , X1*  Z1*  X 2*  Z 2* , X 1*  Z1*  X 3*  Z3* , i với  i, j  Điều chứng tỏ: H  g,   span X i*  Z *j i  ,  X 1*  Z1*  X 2*  Z 2*  ,  X 1*  Z1*  X 3*  Z 3*  với  i, j  Suy dim  H  g,   Ví dụ 3.2.7 Xét đại số Lie g  g7,1  span X1, X , X ,T , Z1, Z2 , Z3 với  X , X   X1 ,  X ,T   X ,  X , Z1   Z2 ,  X , Z2   T ,  X , Z1   Z3 , T , Z2   Z3 Dạng song tuyến tính B xác định B  X i , Zi   B T ,T   1, với  i  Từ định nghĩa dạng song tuyến tính B , ta xác định - dạng liên kết sau: I  X , X , Z1   B  X , X , Z1   B   X1, Z1   1 Tính tốn hồn tồn tương tự, ta có: I  X ,T , Z2   B  X ,T , Z2   B  X , Z   trường hợp khác Suy I  X 3*  X 2*  Z1*  X 3*  T *  Z2* Áp dụng công thức tính tích Supper-Poision [7], ta tính được: I , X   X  X , I , X   X  T , I , X   ,  I , T    X I , Z   , I , Z    X  Z I , Z   X  Z * * * * * * * Điều chứng tỏ Z  g, * * * * * * *   span X 3* , Z1* H  g,  X  I    X  X 3*  X 2*  Z1*  X 3*  T *  Z 2*   X 3*  Z1* , 2  Z 2* , *   span  X 3*  ,  Z1*   X  I    X  X 3*  X 2*  Z1*  X 3*  T *  Z 2*   X 2*  Z1*  T *  Z 2* , * 46 T  I   T  X 3*  X 2*  Z1*  X 3*  T *  Z 2*   X 3*  Z 2* , Z  I   Z  X 3*  X 2*  Z1*  X 3*  T *  Z 2*   X 3*  X 2* , 1 Z  I   Z  X 3*  X 2*  Z1*  X 3*  T *  Z 2*   X 3*  T * 2 Từ đó, ta thấy:   span X 3*  Z1* , X 3*  Z2* , X 3*  T * , X 3*  X 2* , X 2*  Z1*  T *  Z2* B2  g, Áp dụng cơng thức tính tích Super – Poisson [7], ta thu được: I , X *  X 2*   X 3*  T *  X1* điều chứng tỏ X1*  X 2*  Z  g,  Tính tốn cách tương tự, ta có:  X 1*  X 3* , X 2*  X 3* , X 3*  T * , X 3*  Z1* ,  Z  g,   span  * * * * * * * * * *  X  Z , Z1  Z , X  Z  X  Z  X  T  So sánh với: B2  g,   span X 3*  Z1* , X 3*  Z2* , X 3*  T * , X 3*  X 2* , X 2*  Z1*  T *  Z2* Từ ta kết luận được: H  g,   span X 1*  X 3*  ,  Z1*  Z 2*  ,  X 2*  Z 2*  X 3*  Z 3*  X 2*  T *  dim  H  g,   Nhận xét: Với hai phương pháp ta mơ tả đồng thời tính số chiều nhóm đối đồng điều đại số Lie toàn phương thấp chiều    Cụ thể ta kiểm tra kết sau [11]: g H1 g4 X* g5 H  g,  H  g, X *  Z1*  Z 2* X1* , Z1*  X 2* , Z2*  X1* , X * Z  X Z  X * * bk  g,  * * T *  X1*  Z1* , T *  X1*  Z 2* , T  X Z * * *  1,0,1  2,3,3,2 47 X1*  X 2*  Z1* , X1*  X 2*  Z2* , X1*  Z2* , X1*  Z3* , X1* , X *  Z * , X *  Z * , 2 g6,1 X , X *  Z* , X *  Z* , 3 * X 3* X Z  X Z , * * * * X 2*  Z2*  X 3*  Z3* X1*  X 2*  Z3* , X1*  X 3*  Z1* , X1*  X 3*  Z2* , X 2*  X 3*  Z1* , X1*  Z2*  Z3* , X 2*  Z1*  Z3* , X Z Z , * * * 3,8,12,8,3 X1*  Z1*  Z2*  X 3*  Z2*  Z3* , X1*  Z1*  Z3*  X 2*  Z2*  Z3* , X 2*  Z1*  Z2*  X 3*  Z1*  Z3* g6,2       1,0 g6,2 1 g6,2  1 g6,3 g7,1 X X * X 3* X , * Z g7,2 X1*  Z1* X 3* * * X 3* , X1*  X 3*  Z1* , X  Z  Z  X  Z  Z * X1*  Z1* , X1*  Z2* , X Z * * * * Z Z * * * * * 1,1,2,1,1 X1*  X 3*  Z1* , X1*  Z2*  Z3* , 1,3,4,3,1 X 2*  Z1*  Z3* , X1*  Z1*  Z3*  X 2*  Z2*  Z3* X Z , X Z , * * * * X1*  Z2* X1*  X 3* , Z1*  Z2* , X 2*  Z 2*  X 3*  Z 3* 2 X 2*  T * X 2*  X 3* , X1*  Z1* X1*  X 3*  Z1* , X1*  X 2*  Z3* , 1,3,4,3,1 Z2*  Z2*  Z3* , X1*  Z1*  Z3*  X 2*  Z2*  Z3* X1*  X 3*  Z1* , X1*  Z2*  Z3* , X Z Z  X Z Z * * * * * * Z1*  Z2*  Z3* , X1*  X 3*  Z2* , X Z Z  X Z Z * * * * * * T *  X 2*  X 3* , T *  X 2*  Z 2* , 1,1,3,1,1  2,3,3,3,2,2  2,2,3,3,2,2 48 X1*  Z1*  Z3*  T *  Z2*  Z3* Z 2* X1*  X 2*  Z3* , g7,3 X 3* X 1*  Z1*  Z 3*  X 2*  Z 2*  Z 3* 2T *  Z1*  Z 2* 1,0,2,2,0,1 49 KẾT LUẬN Nghiên cứu mô tả đối đồng điều đại số Lie toàn phương hướng nghiên cứu nhiều vấn đề chưa giải Các kết luận văn dừng lại tính tốn cụ thể mơ tả tính số chiều nhóm đối đồng điều đại số Lie toàn phương thấp chiều Từ kết luận văn, có thêm nhiều ví dụ, hiểu thêm số phương pháp tính tốn để từ hy vọng giải vấn đề sâu hơn, tổng quát nghiên cứu đối đồng điều đại số Lie toàn phương đại số Lie giải Đồng thời, luận văn cho số ý tưởng nghiên cứu thời gian tới sau: i Xem xét nghiên cứu số họ đại số Lie toàn phương tổng qt mơ tả đối đồng điều chúng A Medina làm [10] ii Áp dụng tính tốn cho lớp đại số Lie toàn phương phân loại khác lớp đại số Lie toàn phương lũy linh (đã phân loại đến 10 chiều), lớp đại số Lie tồn phương kì dị (ứng với 3-dạng liên kết I có dạng tích 1-dạng với 2dạng), lớp đại số Lie symplectic (thay tồn dạng song tuyến tính đối xứng B để trở thành đại số Lie tồn phương tồn dạng symplectic) hay cho họ siêu đại số Lie [12] (lớp siêu đại số Lie lớp tổng quát lớp đại số Lie) 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L J Santharoubane, “Cohomology of Heisenberg Lie algebras”, Proc Amer Math Soc 87 (1983), 23-28 [2] H Pouseele (2005), “On the cohomology of extensions by a Heisenberg Lie algebra”, Bull Austral Math Soc 71, 459-470 [3] V Kac (1985), Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, 1985 [4] G Favre and L.J Santharoubane (1987), Symmetric, invariant, nondegenarate bilinear form on a Lie algebra, J of Algebra 105, 465483 [5] H Baum and I Kath (2003), Doubly extended Lie groups curvature, holonomy and parallel spinors, Differential Geom Appl 19(3), 253280 [6] I Kath (2007), Nilpotent metric Lie algebras and small dimension, J Lie Theory 17(1), 41-61 [7] G Pinczon and R Ushirobira (2007), New Applications of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras, and Cohomology, J Lie Theory 17, pp 633-667 [8] P T Dat, D.M Thanh and L.A Vu (2012), “Solvable quadratic Lie algebras in low dimensions”, East – West J of Math 14(2), pp 208218 [9] M T Dương (2013), “The cohomology group H  g,  of the elementaryquadratic Lie algebras”, J of Science, Ho Chi Minh city University of Education, No 47 (81), pp 25-36 [10] A Medina and P Revoy (1985), “Algèbres de Lie et produit scalaire invariant”, Ann Sci Éc Norm Sup., 4ème sér T.18, 553-561 51 [11] T T H Cao, M T Duong (2015), “The Betti numbers and the vector space of skew-symmetric derivations of solvable quadratic Lie algebras with demension  ”, J of Sceince, Ho Chi Minh city Univ of Education, No (70), pp 100-110 [12] Cao Trần Tứ Hải, Dương Minh Thành (2016), “Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều”, Tạp chí khoa học ĐHSP TP.HCM, Số 12(90) ... Chương Đại số Lie đại số Lie toàn phương, đối đồng điều đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie 1.2 Đại số Lie toàn phương 1.3 Đối đồng điều đại số Lie ... bạn 4 Chương Đại số Lie đại số Lie toàn phương, đối đồng điều đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1.1 Cho g không gian vector trường Khi đó, g gọi đại số Lie g trang... 12 Chương Đại số Lie toàn phương thấp chiều 15 2.1 Phân loại đại số Lie toàn phương đến chiều 15 2.2 Đại số Lie toàn phương đại số Lie toàn phương giải chiều 17