Đối đồng điều địa phương môđun a minimax

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Chƣơng Hoa Anh ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MƠĐUN -MINIMAX LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Chƣơng Hoa Anh ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Tốn Tin, lãnh đạo chun viên Phịng KHCN-SĐH trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Tơi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên, GS.TS Bùi Xuân Hải quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số khóa 24 trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh Cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Minh Trí (Đại học Đồng Nai) dành thời gian đọc toàn luận văn cho tơi nhiều nhận xét, góp ý q báu để luận văn hồn thành tốt Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập trình thực luận văn Tp.HCM, ngày tháng năm 2015 Chương Hoa Anh BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT Spec R : Tập iđêan nguyên tố vành R Ass(M) : Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M V() : Tập iđêan nguyên tố (trong vành R cho trước) chứa iđêan . HomR(M, N) : Tập tất R-đồng cấu f : M ⟶ N Supp(M) : Giá môđun M Gdim M : Chiều Goldie môđun M GdimM : Chiều Goldie -tương đối môđun M Hi ( M ) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M theo iđêan . E(M) : Bao nội xạ môđun M  (M ) : Môđun -xoắn môđun M MP : Địa phương hóa mơđun M iđêan ngun tố P MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm tử Ext 1.2 Địa phương hóa 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết giá 1.4 Hàm tử -xoắn 12 1.5 Môđun đối đồng điều địa phương 14 1.6 Bao nội xạ 16 1.7 Số Bass 20 Chƣơng 2: MÔĐUN -MINIMAX VÀ CHIỀU GOLDIE 21 2.1 Chiều Goldie 21 2.2 Môđun minimax 22 2.3 Môđun -minimax 24 Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MƠĐUN -MINIMAX 32 3.1 Mơđun -cominimax đối đồng điều địa phương 32 3.2 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết 36 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Cho R vành Noether giao hoán,  iđêan R, M R-môđun hữu hạn sinh Một câu hỏi quan trọng đại số giao hoán đưa tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương thứ i Hi  M  hữu hạn Brodmann Lashgari [11, Định lý 2.2] cho M R-môđun hữu hạn sinh số nguyên không âm t cho môđun đối đồng điều địa phương H0  M  , H1  M  , , Ht 1  M  hữu hạn sinh Khi đó, Ass R Ht  M  hữu hạn Theo [5] R-mơđun M có chiều Goldie hữu hạn ( G dimM <  ) M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không, bao nội xạ E(M) M phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích (nội xạ) Ngồi ra, R-mơđun M có chiều Goldie -tương đối hữu hạn chiều Goldie môđun -xoắn Γ(M ) M hữu hạn Ta gọi R-môđun M -minimax chiều Goldie -tương đối môđun thương M hữu hạn Luận văn trình bày khái niệm, tính chất mơđun -minimax (viết tắt -minimax) cho thấy kết Brodmann Lashgari cho lớp R-mơđun -minimax Cụ thể nội dung luận văn chứng minh định lý sau đây: Định lý 3.2.2 Cho R vành giao hoán Noether,  iđêan R M R-môđun -minimax Cho t số nguyên không âm cho Hi  M  minimax với i < t Khi đó, với R-mơđun -minimax N Ht  M    R-môđun Hom R R / ,Ht  M  / N -minimax Nói riêng, chiều Goldie Ht  M  / N hữu hạn Ass R (Ht  M  / N ) hữu hạn Nội dung luận văn bao gồm chương, tóm tắt sau: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại khái niệm số kết hàm tử Ext, địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết giá, hàm tử -xoắn, môđun đối đồng điều địa phương, bao nội xạ số Bass Chƣơng 2: Môđun -minimax chiều Goldie Chương trình bày khái niệm chiều Goldie, mơđun -minimax số tính chất mơđun minimax, có tính chất quan trọng Mệnh đề 2.3.3 áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2 Chƣơng 3: Đối đồng điều địa phƣơng môđun -minimax Chương chia mục nhỏ 3.1 3.2 Mục 3.1 trình bày khái niệm mơđun cominimax số tính chất nó, có tính chất quan trọng Hệ 3.1.6 áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2 Mục 3.2 cho thấy kết Brodmann Lashgari [11, Định lý 2.2] cho lớp R-mơđun minimax, phần luận văn Trong Chương vành R ln vành giao hốn, Chương Chương vành R ln vành giao hốn Noether có đơn vị khác không,  iđêan R Môđun đối đồng điều địa phương thứ i M theo iđêan  định nghĩa sau: i i H ( M ) = lim Ext R ( R / n , M ) n≥1 Độc giả tham khảo thêm [12, Định lý 1.3.8] Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, trình bày số khái niệm, tính chất, mệnh đề mà sử dụng chương chương 3, vành R chương vành giao hốn Chúng tơi khơng chứng minh chi tiết tính chất, mệnh đề, định lý chương này, độc giả tham khảo thêm số tài liệu [1], [2], [3], [4], [7], [12], [15], [16] 1.1 Hàm tử Ext Cho A, C R-môđun Xét phép giải xạ ảnh C n 1 X :  X n  X n-1   X1  X  C  Phức thu gọn tương ứng X là: n 1 X :  X n  X n1   X1  X  Ta có dãy nửa khớp sau: 0 1  n 1 Hom( X , A) :  Hom( X ,A)  Hom( X ,A)   Hom( X n 1 ,A)   n 1 n  Hom( X n ,A)  Hom( X n 1 ,A)  đồng cấu  n  (1)n 1 *n 1 , với n  Với số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n phức là:   Hn Hom  X ,A  Kerδ n / Im δ n-1, gọi tích mở rộng n-chiều mơđun A C, kí hiệu Ext nR (C,A) Khi vành R rõ, ta kí hiệu đơn giản Extn(C,A) Mệnh đề 1.1.1 Cho A, C R-môđun Khi Ext0(C,A) ≅ Hom(C,A) Mệnh đề 1.1.2 Tích mở rộng n-chiều Extn hàm tử hai biến, phản biến theo biến thứ hiệp biến theo biến thứ hai Nói riêng, Ext n (, B) (tương ứng Ext n ( A,  ) ) hàm tử phản biến (tương ứng hàm tử hiệp biến) từ phạm trù môđun đồng cấu tới phạm trù Ab nhóm Abel, với mơđun A (tương ứng môđun B) Mệnh đề 1.1.3 Với R-mơđun G dãy khớp ngắn R-mơđun χ ζ   A   B   C   ta ln có khớp dài sau: * * ζ χ *   Ext n ( B,G )   Ext n ( A,G)   Ext n+1 (C,G)   , (1) χ ζ E E * * *   Ext n (G,B)   Ext n (G,C )   Ext n+1 (G,A)   (2) Các dãy bắt đầu thành viên (bên trái) tương ứng ⟶ Hom(C,G) = Ext0(C,G) (đối với dãy (1)) ⟶ Hom(G,A) = Ext0(G,A) (đối với dãy (2)) kéo dài bên phải theo tất n = 0, 1, 2,… Mệnh đề 1.1.4 Cho A môđun vành R Khi phát biểu sau tương đương (i) A xạ ảnh (ii) Ext( A, B)  với môđun B vành R (iii) Ext n ( A, B)  với n > môđun B vành R Mệnh đề 1.1.5 Cho B môđun vành R Khi phát biểu sau tương đương (i) B nội xạ (ii) Ext( A, B)  với môđun A vành R (iii) Ext n ( A, B)  với n > môđun A vành R Mệnh đề 1.1.6 Cho họ môđun {X i }iI R-mơđun A Khi đó, ta có đẳng cấu Ext n ( A,  X i )   Ext n ( A,X i ) iI iI Mệnh đề 1.1.7 Cho A B R-môđun tùy ý, 0M  P  A0 dãy khớp ngắn tùy ý, P mơđun xạ ảnh R Khi ta có Ext n ( A, B)  Ext n1( M , B) víi mäi n  Mệnh đề 1.1.8 Cho A B R-môđun tùy ý,  B  J  B'  dãy khớp ngắn tùy ý, J mơđun nội xạ R Khi ta có Ext n ( A, B)  Ext n1( A, B ') víi mäi n  1.2 Địa phƣơng hóa Vành R vành giao hốn có đơn vị ≠ Định nghĩa 1.2.1 ( Iđêan nguyên tố) Iđêan P R gọi nguyên tố P ≠ R với x,y ∈ R, từ xy ∈ P suy x ∈ P y ∈ P Iđêan nguyên tố P R gọi tối tiểu  iđêan nguyên tố thực nhỏ chứa  Định nghĩa 1.2.2 Một tập S ⊂ R gọi tập nhân R S thỏa tính chất là: ∈ S với x,y ∈ S xy ∈ S 28 n (ii) Giả sử M   M i , Mi -minimax với i Bằng phương pháp i 1 quy nạp ta thấy cần chứng minh cho trường hợp n = Với n = ta có dãy khớp ngắn  M1  M1  M  M  Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 M1  M -minimax ∎ Hệ 2.3.5 Cho  iđêan R Cho M R-môđun hữu hạn sinh N R-mơđun -minimax Khi đó, Ext iR  M,N  ToriR  M,N  R-mơđun -minimax với i Nói riêng, Ext iR  R / ,N  ToriR  R / ,N  Rmôđun -minimax với i Chứng minh: Khi R Noether M hữu hạn sinh, giả sử M có phép giải tự sau :  :  Fn  Fn-1   F1  F0  đó, mơđun tự Fi có hạng hữu hạn với i ≥ Như vậy, Ext iR  M,N  = Hi  Hom R  • , N   môđun thương môđun tổng trực tiếp N Từ Hệ 2.3.4 ta suy Ext iR  M,N  -minimax với i  Tương tự, ta suy ToriR  M,N  -minimax với i  ∎ Mệnh đề 2.3.6 Cho  iđêan R M R-môđun -minimax cho Ass R M  V   Khi đó, Hi  M  -minimax với i  Chứng minh : 29 Nếu i = 0, H0  M  = Γ  M  môđun M, áp dụng Mệnh đề 2.3.3,  ta suy   M  -minimax Mặt khác, Ass R M / Γ  M  Ass R M   AssR M  V   ta suy M  Γ  M  Do đó, theo Mệnh đề 1.5.7 (i) Hi  M   với i > Vậy ta suy Hi  M  -minimax với i  ∎ Định lý 2.3.7 Cho  iđêan R Cho M R-môđun hữu hạn sinh N R-môđun tùy ý Cho t số nguyên không âm cho Ext iR  M,N  minimax với i  t Khi đó, với R-môđun hữu hạn sinh L thỏa Supp L ⊆ Supp M Ext iR  L,N  -minimax với i  t Chứng minh: Từ giả thiết Supp L ⊆ Supp M, ta áp dụng định lý Gruson [17, Định lý 4.1] ln tồn chu i hữu hạn  L  L1   L k  L , nhân tố L j / L j 1 ảnh đồng cấu tổng trực tiếp hữu hạn M Bằng cách sử dụng dãy khớp ngắn thích hợp, ta quy trường hợp k = Khi đó, có dãy khớp ngắn 0 K Mn  L 0 (*) với n ∈ ℕ R-môđun K hữu hạn sinh Bây giờ, ta chứng minh định lý phép quy nạp t Thật với t = 0, n Hom R ( L, N ) môđun Hom R (M , N ) nên từ giả thiết Hệ 2.3.4 ta suy Ext 0R  L, N   HomR ( L, N ) -minimax Với t  , ta giả sử 30 Ext Rj  L ', N  -minimax với j  t  với R-môđun hữu hạn sinh L ' thỏa SuppL '  SuppM Từ dãy khớp ngắn (*) cảm sinh dãy khớp dài … Ext iR1  K , N   Ext iR  L, N   Ext iR (M n , N )  … Do giả thiết quy nạp nên ta có Ext iR1  K , N  -minimax với i  t Mặt khác, theo Hệ 2.3.4 Ext iR n (M , N )   Ext iR  M , N  -minimax Ta áp dụng i 1 n Mệnh đề 2.3.3 suy Ext iR  L, N  -minimax với i  t ∎ Hệ 2.3.8 Cho  iđêan R, cho t số nguyên không âm Khi đó, với R-mơđun M điều kiện sau tương đương: Ext iR  R / ,M  -minimax với i  t (i) (ii) Với iđêan  R chứa  Ext iR  R / ,M  -minimax với i  t (iii) Với R-môđun hữu hạn sinh N thỏa SuppN ⊆ V() Ext iR  N ,M  minimax với i  t (iv) Với iđêan nguyên tố tối tiểu   Ext iR  R / ,M  -minimax với i  t Chứng minh: Dễ thấy từ (i) ta suy (iii), từ (iii) ta suy (ii) từ (ii) ta suy (iv) Do đó, ta cần chứng minh từ (iv) ta suy (i) Giả sử 1, , ,  Ext iR R / n iđêan nguyên tố tối tiểu , theo giả thiết R-mơđun j,M  -minimax với j  1,2, , n Theo Hệ 2.3.4, 31 n  j 1 Ext iR SuppR / R / j,M  Ext iR n n j 1 j 1 ( R / j , M ) -minimax Mặt khác Supp(  R / nên từ Định lý 2.3.7 ta suy Ext iR  R / , M  -minimax.∎ j)  32 Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX Trong chương ta giả thiết R vành giao hốn Noether 3.1 Mơđun -cominimax đối đồng điều địa phƣơng Cho R vành Noether,  iđêan R M R-môđun M gọi -cofinite thỏa điều kiện Supp M ⊂ V() ExtiR ( R / , M ) R-môđun hữu hạn sinh với i (độc giả tham khảo thêm [14]) Từ định nghĩa lớp môđun -cofinite môđun -minimax trên, [8] J.Azami, R.Naghipour B.Vakili cho định nghĩa mối liên quan lớp mơđun đó, định nghĩa lớp môđun -cominimax Định nghĩa 3.1.1 Cho R vành Noether  iđêan R M gọi R-môđun -cominimax thỏa điều kiện Supp M ⊆ V() Ext iR  R / ,M  minimax với i  Ví dụ 3.1.2 (i) Cho  iđêan R M R-môđun -minimax thỏa SuppM  V   Khi đó, áp dụng Hệ 2.3.5 ta suy M -cominimax Nói riêng, R-môđun minimax với giá nằm V() -cominimax (ii) Với  iđêan R R-mơđun -cofinite -cominimax Nói riêng, môđun Noether với giá V() -cominimax Mệnh đề 3.1.3 Cho  iđêan R dãy khớp ngắn R-môđun  M '  M  M ''  33 hai số môđun M ' , M, M '' -cominimax Khi đó, tất mơđun M ' , M, M '' -cominimax Chứng minh: Dãy khớp  M '  M  M ''  cảm sinh nên dãy khớp dài … Ext iR  R / , M   Ext iR  R / , M ''  Ext iR1  R / , M '   Ext iR1  R / , M   … Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 trên, ta có điều phải chứng minh ∎ Hệ 3.1.4 Cho  iđêan R Cho f : M ⟶ N đồng cấu hai môđun -cominimax cho ba mơđun Kerf, Imf Cokerf cominimax Khi đó, ba mơđun -cominimax Chứng minh: Ta có dãy khớp sau:  Kerf  M  Im f  0,  Im f  N  Cokerf  Sau đó, áp dụng Mệnh đề 3.1.3 ta có điều cần chứng minh ∎ Mệnh đề 3.1.5 Cho  iđêan R Cho M R-môđun cho SuppM  V   0:M có chiều Goldie hữu hạn Khi đó, M có chiều Goldie hữu hạn Chứng minh: Từ giả thiết 0:M  có chiều Goldie hữu hạn SuppM  V   , áp dụng định lý Bourbaki [13, Bài tập 1.2.27] ta suy Ass R M hữu hạn Mặt khác, với  Ass R M có đẳng cấu 34  , M   Hom R k  với k   Hom R k   ,0 :M R    không gian vector, k    R / R Vì   , M  hữu hạn, suy G dim M   ∎ Từ Mệnh đề 3.1.5 ta có hệ sau: Hệ 3.1.6 Cho  iđêan R M R-mơđun -cominimax Khi đó, M có chiều Goldie hữu hạn Nói riêng, tập iđêan nguyên tố liên kết M hữu hạn Mệnh đề 3.1.7 Cho  iđêan R Cho M R-môđun cho Hi  M  -cominimax với i Khi đó, Ext iR  R / ,M  -minimax với i Chứng minh: Trường hợp i  mệnh đề ln Với i  , ta quy nạp theo i Ta xem   M   Thật vậy, đặt M  M /   M  Khi ta có dãy khớp dài … Ext iR  R / ,   M    Ext iR  R /   , M   Ext iR R / , M  …   đẳng cấu Hi  M   Hi M với i > Theo Mệnh đề 2.3.3, ta giả sử M -xoắn tự Gọi E bao nội xạ M đặt L  E / M Khi đó,   E   Hom R  R / , E   nên ta suy đẳng cấu Hi  L   Hi 1  M  Ext iR  R / , L   Ext iR1  R / , M  với i  Do ta điều phải chứng minh ∎ 35 Mệnh đề 3.1.8 Cho  iđêan R M R-môđun cho Ext iR  R / ,M  -minimax với i Nếu t số nguyên không âm cho Hi  M  -cominimax với i  t Ht  M  -cominimax Chứng minh:   H  M  Ta chứng minh quy nạp theo t Đặt M  M /   M  H0 M    Hi  M   Hi M với i  Nếu t  , theo giả thiết  i -  cominimax với i Áp dụng Mệnh đề 3.1.7 Ext iR R / , M -minimax với i,   M  -cominimax Với t  , giả sử mệnh đề cho t  Với   M  -cominimax từ dãy khớp dài cảm sinh   … Ext iR  R / ,   M    Ext iR  R / , M   Ext iR R / , M  … cho phép giả sử M -xoắn tự Gọi E bao nội xạ M đặt L  E / M Khi đó,  E  Hom R  R / , E   , ta đẳng cấu Hi  L   Hi 1  M  Ext iR  R / , L   Ext iR1  R / , M  , với i  Giả thiết quy nạp áp dụng cho L với Ht 1  L  -cominimax Do ta điều phải chứng minh ∎ Hệ 3.1.9 Cho  iđêan R M R-môđun -minimax Nếu t số nguyên không âm cho Hi  M  -cominimax với i  t Ht  M  cominimax Chứng minh: Hệ suy từ Hệ 2.3.5 Mệnh đề 3.1.8 ∎ 36 Hệ 3.1.10 Cho  iđêan R M R-mơđun -minimax Khi Hi  M  -cominimax với i  Chứng minh: Với H0  M  môđun M, áp dụng Mệnh đề 2.3.3 Ví dụ 3.1.2 (i) ta suy H0  M  -cominimax Ngoài ra, Hi  M   với i  Áp dụng Hệ 3.1.9 ta có điều phải chứng minh ∎ 3.2 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết Ở chủ yếu áp dụng kết chứng minh để chứng minh tính hữu hạn Cụ thể tính hữu hạn trình bày định lý 3.2.2 Đây phần khái quát hóa kết Brodmann Lashgari cho lớp mơđun -minimax Để độc giả dễ nắm cách chứng minh, chứng minh ý quan trọng trước Định lý 3.2.1, sau áp dụng trực tiếp Định lý 3.2.1 vào chứng minh Định lý 3.2.2 Định lý 3.2.1 Cho  iđêan R cho M R-môđun Cho t số nguyên không âm cho Hi  M  -cominimax với i  t Ext tR  R / , M  -minimax Khi đó, với mơđun -minimax N Ht  M  Rmôđun hữu hạn sinh L thỏa SuppL  V   R-mơđun HomR  L, Ht  M  / N  - minimax Chứng minh: Từ dãy khớp ngắn  N  Ht  M   H t  M  / N  cảm sinh dãy khớp dài sau: 37     Hom R L, Ht  M   Hom R L, Ht  M  / N  Ext1R  L, N   … Theo Hệ 2.3.5 Ext1R  L, N  -minimax Vậy theo Mệnh đề 2.3.3 với  R-môđun Hom R L, Ht  M    -minimax Hom R L, Ht  M  / N  -  minimax Theo Hệ 2.3.8, ta cần chứng minh R-môđun Hom R R / , Ht  M   -minimax Ta chứng minh quy nạp theo t Khi t  , theo giả thiết R-mơđun ExtR0  R / , M   HomR  R / , M  minimax nên ta suy Hom R  R / ,  M   -minimax Mặt khác, ta có đẳng    cấu HomR R / , H0  M   HomR  R / ,  M   nên Hom R R / , H0  M   - minimax Với t  , giả sử định lý cho t  Do   M  -cominimax nên Ext iR  R / ,  M   -minimax với i  Mặt khác, từ dãy khớp ngắn   M   M  M /  M   cảm sinh nên dãy khớp Ext tR  R / , M   Ext tR  R / , M /   M    Ext tR1  R / ,  M   t Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 giả thiết R-mơđun Ext R  R / , M /   M   0 minimax Với H  M /   M    Hi  M /   M    Hi  M  với i  nên ta suy Hi  M /   M   -cominimax với i < t Do đó, ta xem   M   Gọi E bao nội xạ M đặt M1  E / M ta có   E   Hom R  R / , E   , ta suy Hi  M1   Hi 1  M  Ext iR  R / , M1   Ext iR1  R / , M  với i  Giả thiết quy nạp áp dụng 38   cho M1 với giả thiết Hom R R / ,Ht 1  M1  -minimax Vậy ta suy Hom R  R / ,Ht  M   -minimax ∎ Bây giờ, chúng tơi có cơng cụ cần thiết để chứng minh định lý luận văn này, khái quát hóa kết Brodmann Lashgari Định lý 3.2.2 Cho  iđêan R cho M R-môđun -minimax Cho t số nguyên không âm cho Hi  M  -minimax với i  t Khi đó,  với môđun -minimax N Ht  M  R-mơđun Hom R R / , Ht  M  / N  -minimax Nói riêng, chiều Goldie Ht  M  / N hữu hạn, tập AssR (Ht  M  / N ) hữu hạn Chứng minh: Do M R-môđun -minimax, nên Ext tR  R / , M  -minimax, với SuppM ⊆ V(), nên Supp R Hi  M   V( ) -cominimax với i  t Ta có dãy khớp ngắn  N  Ht  M   H t  M  / N  (*) cảm sinh dãy khớp dài sau:     Hom R R / , Ht  M   Hom R R / , Ht  M  / N  Ext1R  R / , N   … Theo Hệ 2.3.5 Ext1R  R / , N  -minimax, Từ Định lý 3.2.1 cho ta suy   R-môđun Hom R R / , Ht  M  -minimax Do đó, theo Mệnh đề 2.3.3   Hom R R / , Ht  M  / N -minimax Từ (*) ta có dãy khớp dài 39      Ext iR1 R / , Ht  M  / N  Ext iR  R / , N   Ext iR R / , Ht  M     minimax với i Mặt khác, Supp M ⊆ V() nên Supp R  Ht  M  / N  ⊆ V() Dùng cách quy nạp Định lý 3.2.1, ta suy Ext iR R / , Ht  M  / N - Do Ht  M  / N -cominimax Theo Hệ 3.1.6 Ht  M  / N có chiều Goldie hữu hạn tập AssR (Ht  M  / N ) hữu hạn ∎ Từ Định lý 3.2.2, kết luận rằng, lớp môđun -minimax kết tính hữu hạn Brodmann Lashgari [11, Định lý 2.2] 40 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kết chủ yếu sau:  Định nghĩa số tính chất mơđun -minimax Mệnh đề 2.3.6, Định lý 2.3.7, Hệ 2.3.8  Một số tính chất đặc trưng đối đồng điều địa phương môđun cominimax Mệnh đề 3.1.7, Mệnh đề 3.1.8, Hệ 3.1.10  Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết đối đồng điều địa phương môđun -minimax Định lý 3.2.2, Hệ 3.2.3 Vì thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn đồng nghiệp góp ý dẫn thêm để luận văn hoàn chỉnh 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2006), Giáo trình đại số đại, NXB Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [2] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc Gia, Tp Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Tiến Quang (2008), Giáo trình mơđun nhóm Aben, NXB Đại học Sư Phạm, Hà Nội [4] Dương Quốc Việt (2013), Cơ sở lí thuyết module, NXB Đại học Sư Phạm, Hà Nội Tiếng Anh [5] K.Divaani-Aazar, M.A Esmkhani (2005), Artinanness of local cohomology modules of ZD-modules, Comm Algebra 33, 2857-2863 [6] M.Aghapournahr, L.Melkersson (2010), Finiteness properties of minimax and coatomic local cohomology modules, Arch Math.519-528 [7] M.F.Atiyah, I.G.Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison – wesley Publishing Company, Inc [8] J.Azami, R.Naghipour, B.Vakili (2008), Finiteness properties of local cohomology modules for -minimax modules, Proc Amer Math Soc.137, 439-448 [9] H Bass (1963), On the ubiquity of Gorenstein rings, Math Z 82, 8-28 [10] K.Bahmanpour, R.Naghipour (2008), On the cofiniteness of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc.136, 2359-2363 42 [11] M.P.Brodmann, F.A.Lashgari (2000), A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc.128, 2851-2853 [12] M.P.Brodmann, R.Y.Sharp (1998), Local Cohomology : an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, Cambridge [13] W.Bruns, J.Herzog.(1998), Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol.39, Cambridge Univ Press, Cambridge [14] R.Hartshorne (1970), Affine duality and cofiniteness, Invent Math.9, 145-164 [15] H.Matsumura (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin [16] H.Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [17] W.Vasconcelos (1974), Divisor Theory in Module Categories, North – Holland Publishing Company, Amsterdam [18] T.Zink (1974), Endlichkeitsbedingungen f u r moduln u ber einem Noetherschen ring, math Nachr.164, 239-252 [19] H.Z o chinger (1986), Minimax – moduln, J Algebra 102 1-32 [20] H.Z o chinger (1988), U ber die Maximalbedingung f u r radikalvole Untermoduln, Hokkaido Math J 17, 101-116 ...  R / , M   -minimax. ∎ j)  32 Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU Đ? ?A PHƢƠNG C? ?A MÔĐUN  -MINIMAX Trong chương ta ln giả thiết R vành giao hốn Noether 3.1 Môđun -cominimax đối đồng điều đ? ?a phƣơng Cho R... Từ điều này, [8] J.Azami, R.Naghipour B.Vakili định ngh? ?a lớp môđun  -minimax sau: Định ngh? ?a 2.3.1 Cho  iđêan R Một R -môđun M gọi ? ?minimax (minimax theo iđêan ) chiều Goldie -tương đối môđun. .. Goldie môđun M GdimM : Chiều Goldie -tương đối môđun M Hi ( M ) : Môđun đối đồng điều đ? ?a phương thứ i môđun M theo iđêan . E(M) : Bao nội xạ môđun M  (M ) : Môđun -xoắn môđun M MP : Đ? ?a phương