Các tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương và dãy chính quy suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Thái Văn Dương CÁC TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình thực luận văn, nhận nhiều giúp đỡ, động viên từ q thầy cơ, gia đình bạn bè Vì vậy, trước tiên tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ mặt nghiên cứu niềm tin để hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến anh Nguyễn Minh Trí dành nhiều thời gian quý báu để đọc góp ý kiến cho luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Tốn – Tin học, phịng sau đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt luận văn Bên cạnh đó, tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô tổ môn Đại số nói riêng tồn thể q thầy khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Đại số lí thuyết số hết lòng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trình thực luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 Thái Văn Dương MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm vành môđun 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết - Biểu diễn thứ cấp 1.3 Chiều - Độ cao - Độ sâu 1.4 Hàm tử dẫn xuất trái 1.5 Hàm tử dẫn xuất phải 10 1.6 Giới hạn thuận 11 1.7 Môđun đối đồng điều địa phương 13 1.8 Môđun Lasker yếu môđun minimax 15 1.9 Bao nội xạ 16 Chương CÁC TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG 17 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương mơđun cofinite 17 2.2 Dãy quy suy rộng độ sâu suy rộng 25 2.3 Các tính chất hữu hạn đối đồng địa phương 31 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương A.Grothendieck công cụ quan trọng hình học đại số đại số giao hốn Do đó, nhiều nhà tốn học giới cố gắng nghiên cứu để xây dựng tính chất hữu hạn đối đồng địa phương Vào năm 2009, báo “Finiteness Properties Of Local Cohomology Modules And Generalized Regular Sequences” Kamal Bahmanour, Seadat Ollah Faramrzi Reza Naghipour với giả thiết cho R vành Noether giao hoán với đơn vị ≠ , a iđêan R M R-môđun ba tính chất quan trọng sau: Cho M hữu hạn sinh cho dim M / aM > Khi đó, tồn x ∈ R cho R-môđun  {N | N môđun H at ( M ) dimN ≤ } Rx + a -cofinite với t = gdepth(a , M ) Cho R vành nửa địa phương M Lasker yếu Nếu t số nguyên không âm cho dim H ( M ) ≤ với i < t Ass R H at ( M ) hữu hạn Cuối cùng, cho ( R, m) vành địa phương M hữu hạn sinh Cho t số nguyên không âm cho dim H ( M ) ≤ với i < t dim H at ( M ) > tồn dãy quy suy rộng x1 , x2 , , x t ∈ a M cho AssR H at ( m) \ {m} = Ass R M / ( x1 , x , , xt ) M \ {m} Trong luận văn này, chúng tơi giới thiệu tính chất hữu hạn đối đồng địa phương dãy quy suy rộng Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chúng trình bày số khái niệm mệnh đề sử dụng chương Chương 2: Các tính chất hữu hạn đối đồng địa phương dãy quy suy rộng Phần đầu, chúng tơi trình bày số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương mơđun cofinite Tiếp theo phần nói khái niệm vài tính chất dãy quy suy rộng độ sâu suy rộng Cuối cùng, chúng tơi đưa tính chất hữu hạn đối đồng điều địa phương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm vành môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Noether giao hốn I iđêan R Kí hiệu I Rad( I ) radical I định nghĩa tập I = {x ∈ R | x n ∈ I với n ∈ }} Định nghĩa 1.1.2 Cho vành R vành giao hoán có đơn vị ≠ Một tập S ⊂ R gọi tập nhân R i 1∈ S , ii Với x, y ∈ S xy ∈ S Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành giao hoán, S tập nhân R M R-môđun Trên M ×S ta định nghĩa quan hệ  sau ∀(m, s ), (m′, s′) ∈ M × S : ( m, s )  ( m′, s′) tồn t ∈ S cho t ( ms′ − m′s ) = Khi  quan hệ tương đương M × S Kí hiệu tập thương M × S  S −1M lớp tương đương ( m, s ) m s Trên S −1M xác định phép cộng nhân • Phép cộng: ∀ • Phép nhân ∀ m m′ m m′ s′m + sm′ + = , ∈ S −1M : s s′ s s′ ss′ m m′ m m′ mm′ = ∈ S −1R, ∀ ∈ S −1M : s s′ s s′ ss′ Khi S −1R -mơđun S −1M gọi môđun thương R-môđun M theo tập nhân S Đặc biệt, S = R \ p với p iđêan nguyên tố R mơđun thương S −1M kí hiệu M p Định nghĩa 1.1.4 Một vành R mà có iđêan tối đại m vành R gọi vành địa phương Kí hiệu ( R, m ) vành địa phương Định nghĩa 1.1.5 Một vành R ≠ gọi vành nửa địa phương có số hữu hạn iđêan tối đại m1 , m , , m r Định nghĩa 1.1.6 Một vành R gọi vành Noether (Artin) dây chuyền tăng (giảm) iđêan dừng sau hữu hạn bước 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết - Biểu diễn thứ cấp Định nghĩa 1.2.1 Cho a, b iđêan vành R Khi iđêan thương a b (a : b) = {x ∈ R | xb ⊆ a} , iđêan Đặc biệt (0 : b) gọi linh hóa tử b kí hiệu Ann(b) Ann(b) = {x ∈ R | xb = 0} Định nghĩa 1.2.2 Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết với M thỏa điều kiện sau i Có phần tử x ∈ M khác cho Ann( x ) = p , ii M chứa môđun đẳng cấu với R / p Tập hợp tất iđêan nguyên tố liên kết với M kí hiệu là: Ass R ( M ) Tập iđêan nguyên tố R kí hiệu Spec( R ) ) {p ∈ Spec( R ) | M p ≠ 0} Giá mơđun M kí hiệu Supp( M= Tập tất iđêan nguyên tố R chứa I kí hiệu V ( I ) = {p ∈ Spec( R) | I ⊆ p} Nếu M R-mơđun hữu hạn sinh Supp( M ) = V (Ann( M )) Nếu R vành Noether I iđêan R Supp( R / I ) = V ( I ) Mệnh đề 1.2.3 Nếu p phần tử cực đại tập hợp iđêan {Ann( x) | x ∈ M , x ≠ 0} p ∈ Ass( M ) Mệnh đề 1.2.4 Cho R vành Noether M mơđun hữu hạn sinh Ass( M ) ⊆ Supp( M ) phần tử cực tiểu Supp( M ) thuộc vào Ass( M ) Bổ đề 1.2.5 Cho dãy khớp R-môđun sau f g → M ′  → M  → M ′′  →0  Khi đó, ta có kết sau i Ass( M ) ⊂ Ass( M ′) ∪ Ass( M ′′) , ii Supp( = M ) Supp( M ′) ∪ Supp( M ′′) Mệnh đề 1.2.6 Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn sinh, I iđêan R Khi Supp( M ) ⊂ V ( I ) tồn số nguyên k cho I k M = Mệnh đề 1.2.7 Cho R vành Noether M mơđun hữu hạn sinh Ass( M ) tập hữu hạn Định nghĩa 1.2.8 Cho S R-mơđun Ta nói S thứ cấp S ≠ với r ∈ R rS = S tồn n ∈  cho r n S = Khi đó, p := (0 :R S ) iđêan nguyên tố R ta gọi S R-môđun p -thứ cấp Định nghĩa 1.2.9 Cho M R-môđun Nếu M phân tích thành tổng mơđun pi -thứ cấp (biểu diễn thứ cấp) M gọi R-mơđun biểu diễn Khi M = S1 + S2 + + Sn , với Si pi -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n) Biểu diễn thứ cấp M gọi tối tiểu i ii p1 , p2 , , pn iđêan nguyên tố phân biệt, Với j=1,2, ,n, ta có S j ⊄ n ∑ =i 1,i ≠ j Si Định nghĩa 1.2.10 Cho M R-mơđun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = S1 + S2 + + Sn , với Si pi -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n) Khi đó, n phần tử tập {p1 , p2 , , pn } , độc lập với cách chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu M gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết M Kí hiệu Mệnh đề 1.2.11 Cho → L → M → N → dãy khớp ngắn R-môđun biểu diễn R đồng cấu Mệnh đề 1.2.12 Cho M R-mơđun Artin r ∈ R rM = M r ∈ R \  p∈Att M p , i ii (0 :R M ) =  p∈Att M p Hệ 1.2.13 Cho ( R, m ) vành địa phương M R-môđun Artin Khi đó, M hữu hạn sinh có chiều dài hữu hạn Att M ⊆ {m} Bổ đề 1.2.14 Cho ( R, m ) vành địa phương M R-môđun Artin Giả sử x phần tử thuộc m cho V ( Rx) ∩ Att M ⊆ {m} R-mơđun M / xM có chiều dài hữu hạn Bổ đề 1.2.15 Cho ( R, m ) vành địa phương M R-môđun Artin Cho I iđêan R cho R-môđun Hom R ( R / I , M ) hữu hạn sinh V ( I ) ∩ Att M ⊆ V ( m ) 1.3 Chiều - Độ cao - Độ sâu Định nghĩa 1.3.1 Cho R vành khác Dãy hữu hạn iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pn , gọi dãy nguyên tố có chiều dài n Cho p ∈ SpecR , độ cao p kí hiệu ht(p) cận độ dài dãy nguyên tố với p = p0 Cho I iđêan thực vành R, ta định nghĩa độ cao I htI = inf{ht(p) | p ⊇ I } Định nghĩa 1.3.2 Chiều vành R kí hiệu dim R sup độ cao tất iđêan nguyên tố R = dim R sup{ht(mm ) | ∈ SpecR} , Chiều gọi chiều Krull R Chiều R-mơđun M kí hiệu • dim M = dim( R / Ann( M )) M ≠ • dim M = −1 M = Một vành R ≠ gọi chiều không tất iđêan nguyên tố tối đại Hệ 1.3.3 Một vành R ≠ Artin vành Noether có chiều khơng Mệnh đề 1.3.4 Cho R vành Noether M ≠ R-môđun hữu hạn sinh điều kiện sau tương đương i M có độ dài hữu hạn, ii Vành R / Ann( M ) Artin, iii dim M = Mệnh đề 1.3.5 Cho R vành Noether Khi điều kiện sau tương đương: i R vành Artin, ii Mọi iđêan p ∈ Spec( R ) iđêan tối đại R, iii Mọi iđêan p ∈ Ass( R ) iđêan tối đại R Định nghĩa 1.3.6 Cho R vành, M R-môđun, phần tử r ∈ R gọi M-chính quy rx ≠ với x ∈ M khác không Định nghĩa 1.3.7 Cho R vành, M R-môđun Một dãy phần tử x1 , x2 , , xn R gọi dãy M-chính quy hay M-dãy thỏa điều kiện sau i x1 M-chính quy, x2 ( M / x1M ) -chính quy, … , xn ( M / ( x1 , x2 , , xn−1 ) M ) -chính quy, 28 Chứng minh (i ) ⇒ (ii ) Ta chứng minh quy nạp theo r Trường hợp r = Ta có dim(Ext 0R ( R / a , M )) ≤ Vì dim(Ext 0R ( R / a , M )) ≤ nên a ⊄ p với p ∈  ( M ) Do đó, tồn x1 ∈a cho x1 ∉ p với p ∈  ( M ) Khi đó, dim(0 :M x1 ) ≤ nên theo Bổ đề 2.2.6 nên x1 phần tử quy suy rộng M Trường hợp r > Giả sử đến r − , ta chứng minh đến r Vì dim(0 :M x1 ) ≤ nên dim(Ext iR ( R / a , :M x1 )) ≤ với i Xét dãy khớp ngắn x1 → :M x1 → M → x1M → Suy ta có dãy khớp dài sau → Ext iR ( R / a , M ) → Ext iR ( R / a , x1M ) → Ext iR+1 ( R / a , :M x1 ) → , với i Vì dim Ext iR ( R / a , M ) ≤ dim(Ext iR ( R / a , :M x1 )) ≤ với i < r nên dim Ext iR ( R / a , x1M ) ≤ với i < r Tiếp tục xét dãy khớp ngắn → x1M → M → M / x1M → Suy ta có dãy khớp dài sau → Ext iR ( R / a , M ) → Ext iR ( R / a , M / x1M ) → Ext iR+1 ( R / a , x1M ) → , với i Do đó, dim Ext iR ( R / a , M / x1M ) ≤ với i < r − Khi đó, theo giả thiết quy nạp x2 , , xr dãy quy suy rộng M / x1M a Suy x1 , , xr dãy quy suy rộng M a (ii ) ⇒ (i ) Cho x1 , , xr dãy quy suy rộng M a p ∈ SuppM / aM cho dim R / m > Vì x1 , , xr dãy quy suy rộng M a nên theo Bổ đề 2.2.4 x1 / 1, , xr / dãy quy suy rộng M p aRp Khi đó, (Ext iR ( R / a , M )) p = với i < r Do đó, p ∉ Supp(Ext iR ( R / a , M )) Vì vậy, dim Ext iR ( R / a , M ) ≤ với i < r  29 Định nghĩa 2.2.8 Một dãy quy suy rộng x1 , , xr M a gọi dãy quy suy rộng tối đại khơng tồn y ∈a cho x1 , , xr , y dãy quy suy rộng M Định nghĩa 2.2.9 Độ dài dãy quy suy rộng tối đại M iđêan a R gọi độ sâu suy rộng M a kí hiệu gdepth(a , M ) Mệnh đề 2.2.10 Cho M R-môđun a iđêan R Khi = gdepth(a , M ) min{depth(aRmm , M ) : m ∈  ( M /aM )} = min{i : dim Ext iR ( R /a , M ) > 1} Chứng minh Đặt r = gdepth(a , M ) Giả sử x1 , , xr dãy quy suy rộng tối đại M a Mà theo Bổ đề 2.2.7 nên với i < r ta có dim Ext iR ( R / a , M ) ≤ dim Ext rR ( R / a , M ) > Vì vậy, = r min{i : dim(Ext iR ( R / a , M )) > 1} Hơn nữa, i < r Ext iR ( Rp / aRp , M p ) = với p ∈  ( M / aM ) tồn p ∈  ( M / aM ) cho Ext rR ( Rp / aRp , M p ) ≠ Vì vậy, = r min{depth(aRmm , M ) : m ∈  ( M /aM )}  Mệnh đề 2.2.11 Cho M R-môđun a iđêan R Khi g depth(a,M) = pin{i : tån t¹i p ∈  (Hai (M))} Chứng minh Đặt r = gdepth(a , M ) p ∈  ( M / aM ) Khi đó, ta có depth(aRp , M p ) ≥ r Do đó, H Rp ( M p ) ≅ ( H ( M )) p = với i < r Suy p ∉ SuppH ( M ) SuppH ( M ) ⊆ {m ∈ Supp( M / aM ), dim R / m ≤ 1}, với i < r Vì r = gdepth(a , M ) nên depth(aRp , M p ) = r với p ∈  ( M / aM ) Do đó, iđêan nguyên tố p phải thuộc vào SuppH ar ( M )  30 Bổ đề 2.2.12 Cho K R-môđun Giả sử K =  n≥1 (0 :K a n ) Khi i AssK = Ass(0 :K a ) , ii SuppK = Supp(0 :K a ) Chứng minh Chứng minh AssK = Ass(0 :K a ) AssK ⊃ Ass(0 :K a ) hiển nhiên Ta chứng minh AssK ⊂ Ass(0 :K a ) Đặt p ∈ AssK Khi m ∈ Ann(m) với m ∈ K Suy ra, tồn số nguyên a n m 0, a n −1m ≠ Suy n ≥ cho= m ∈ Ass(a n −1m) ⊆ Ass(0 :K a ) Do đó, AssK ⊂ Ass(0 :K a ) Chứng minh SuppK = Supp(0 :K a ) Theo Mệnh đề 1.2.4, phần tử tối tiểu SuppK ∈ AssK Supp(0 :K a ) ∈ Ass(0 :K a ) nên SuppK = Supp(0 :K a )  Mệnh đề 2.2.13 Cho M R-mơđun a iđêan R Khi g depth(a,M) = min{i : SuppH (M ) lµ tập vô hạn} Chng minh t r = gdepth(a , M ) Theo Mệnh đề 2.2.11 SuppH ar ( M ) tập vô hạn Ta chứng minh quy nạp theo r SuppH ( M ) tập hữu hạn với i < r Trường hợp r = hiển nhiên Trường hợp r = Khi đó, tồn phần tử quy suy rộng x1 ∈a M, theo Bổ đề 2.2.6, ta có dim :M a ≤ dim0 :M x1 ≤ Điều SuppH a0 ( M ) = Supp(0 :M a ) tập hữu hạn Trường hợp r > Ta giả sử r − , ta chứng minh đến r Cho x1 phần tử quy suy rộng M a Ta có gdepth(a , M / x1M )= r − Khi đó, theo giả thiết quy nạp SuppH ( M / x1 M) tập hữu hạn với i < r − Vì dim :M x1 ≤ nên dãy sau khớp → (0 :M x1 ) → M → M / (0 :M x1 ) → 31 Khi đó, H ( M ) ≅ H ( M / (0 :M x1 )) với i ≥ Vì vậy, dãy sau khớp x1 → M / (0 :M x1 ) → M → M / x1M → Do đó, ta có dãy khớp dài x1 → H −1 ( M ) → H −1 ( M / x1M ) → H ( M / (0 :M x1 )) → H ( M ) → , với i ≥ Vì ≤ i < r theo Bổ đề 2.2.12 suy = SuppH ( M ) Supp(0 :H i ( M ) x1 ) ⊆ SuppH −1 ( M / x1 M) a Vì vậy, SuppH ( M ) tập hữu hạn với i < r  Định lý 2.2.14 Cho M R-mơđun a iđêan R Khi AssH ( M ) tập hữu hạn với i ≤ gdepth(a , M ) Chứng minh Đặt r = gdepth(a , M ) Theo Mệnh đề 2.2.13 SuppH ( M ) tập hữu hạn với i < r Khi AssH ( M ) tập hữu hạn với i < r Theo ([15], Mệnh đề 5.5) AssH ar ( M ) tập hữu hạn Vậy AssH ( M ) tập hữu hạn với i ≤ r 2.3  Các tính chất hữu hạn đối đồng địa phương Bổ đề 2.3.1 Cho a iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh cho t dim( M / aM ) > t := gdepth(a , M ) Hom R ( R / a , H a ( M )) hữu hạn sinh H a0 ( M ), H a1 ( M ), , H at −1 ( M ) a -cofinite R-mơđun Khi Ass R H ( M ) hữu hạn với i ≤ t Để chứng minh bổ đề này, ta cần chứng minh định lý sau Định lý 2.3.2 Cho M R-môđun hữu hạn sinh khác không a iđêan R Cho t số nguyên không âm cho dimSuppH ( M ) ≤ với i < t i R-mơđun H ( M ) a -cofinite với i < t , ii R-môđun Hom R ( R / a , H at ( M )) hữu hạn sinh 32 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo t Trường hợp t = hiển nhiên Trường hợp t > , ta giả sử đến t − Bằng cách thay M M / Γa ( M ) , ta giả sử Rmôđun M a-xoắn tự Theo ([5], Bổ đề 2.1.1) a ⊄  p∈AssR M p Khi đó, ta đặt t −1 S :=  SuppH ( M ) T := {mm ∈ S | dimR / = 1} i =0 Chúng ta T tập hữu hạn Ta chứng minh phản chứng, giả sử T vơ hạn Khi đó, tồn ≤ j ≤ t − cho T ∩ SuppH aj ( M ) tập vơ hạn Vì dimSuppH ( M ) ≤ với i < t nên phần tử T ∩ SuppH aj ( M ) cực tiểu SuppH aj ( M ) Theo Mệnh đề 1.2.4 suy T ∩ SuppH aj ( M ) ⊆ Ass Haj ( M ) Mặt khác, theo giả thiết quy nạp R-mơđun H a0 ( M ), H a1 ( M ), , H at −2 ( M ) , a -cofinite R-môđun Hom R ( R / a , H at −1 ( M )) hữu hạn sinh Điều tập Ass Hai ( M ) hữu hạn với i < t Suy T ∩ SuppH aj ( M ) hữu hạn (mâu thuẫn) Vậy T tập hữu hạn Đặt T := {p1 , p2 , , pn } Khi đó, SuppH ajRp ( M pk ) ⊆ V(pk Rpk ) với i < t ≤ k ≤ n Vì vậy, H Rp ( M pk ) k k aRpk -môđun Artin Khi đó, theo Bổ đề 1.2.5 ta có V(aRpk ) ∩ Att Rp H Rp ( M pk ) ⊆ V(pk Rpk ), k k với i < t k = 1, 2, , n Ta đặt t −1 n U:=   {n ∈ SpecR | nRpk ∈ Att Rp ( H Rp ( M pk ))} =i 0= k k k Do đó, U ∩ V (a ) ⊆ T Mặt khác, tồn phần tử x thuộc a cho x ∉   q  ∪   p   q∈U \V (a )   p∈Ass R M  Ta xét dãy khớp ngắn 33 x → M → M → M / xM → Ta có dãy khớp dài sau x x → H aj ( M ) → H aj ( M ) → H aj ( M / xM ) → H aj +1 ( M ) → H aj +1 ( M ) → Với j ≥ , ta có dãy khớp ngắn sau → H aj ( M ) / xH aj ( M ) → H aj ( M / xM ) → (0 :H j +1 ( M ) x) → a Vì dimSuppH aj ( M ) ≤ với i < t dãy khớp nên dimSuppH aj ( M / xM ) ≤ với j < t − Theo giả thiết quy nạp R-môđun H a0 ( M / xM ), H a1 ( M / xM ), , H at −2 ( M / xM ) , a -cofinite R-môđun Hom R ( R / a , H at −1 ( M )) hữu hạn sinh = Lj : Đặt H aj ( M ) / xH aj ( M = ), j 1, 2, , t − Khi đó, theo Bổ đề 1.2.14 ( L j ) pk có độ dài hữu hạn với k = 1, 2, , n Vì vậy, tồn môđun hữu hạn sinh L jk L j cho ( L j ) pk = ( L jk ) pk Đặt L′j := L j1 + L j + + L jn L′j mơđun hữu hạn sinh L j cho Supp R L j / L′j ⊆ S \ {p1 , p2 , , pn } ⊆ MaxR j Kí hiệu MaxR tập tất iđêan tối đại R Ta đặt N j := H a ( M / xM ) tồn mơđun hữu hạn sinh N ′j N j cho dãy sau khớp → L j / L′j → N j / N ′j → (0 :H j +1 ( M ) x) → a Bây giờ, ta L j R-mơđun minimax Vì với j < t − 1, N j / N ′j a -cofinite nên Hom R ( R / a , L j / L′j ) R-môđun hữu hạn sinh Vì SuppL j / L′j ⊆ MaxR L j / L′j a -xoắn nên L j / L′j R-mơđun Artin Vì vậy, L j R-môđun minimax Ta xét dãy khớp ngắn sau → L j → N j → (0 :H j +1 ( M ) x) → a 34 Khi đó, Hom R ( R / a , L j ) R-môđun hữu hạn sinh với j < t Vì vậy, theo ([14], Mệnh đề 4.3) L j a -cofinite Suy R-môđun (0 :H j +1 ( M ) x) là a a -cofinite với j < t Suy R-môđun H at −1 ( M ) / xH at −1 ( M ) minimax a -cofinite Ta lại có Hom R ( R / a , :H t ( M ) x) ≅ Hom R ( R / a , H at ( M )) R-môđun a hữu hạn sinh Hơn nữa, R-mơđun (0:H j ( M ) x) H aj ( M ) / xH aj ( M ) a -cofinite a với j < t nên theo ([14], Hệ 3.4) ta suy H aj ( M ) a -cofinite với j < t  Hệ 2.3.3 Cho a iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh dim( M / aM ) ≤ R-mơđun H ( M ) a -cofinite với i Chứng minh Vì SuppH ( M ) ⊆ Supp(M / aM ) dim( M / aM ) ≤ nên dimSuppH ( M ) ≤ Áp dụng Định lý 2.3.2 suy H ( M ) a -cofinite với i  Hệ 2.3.4 Cho a iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh số nguyên t ≥ cho SuppH ( M ) hữu hạn với i < t Khi R-mơđun H a0 ( M ), H a1 ( M ), , H at −1 ( M ) , a -cofinite R-môđun Hom R ( R / a , H at ( M )) hữu hạn sinh Chứng minh Vì SuppH ( M ) hữu hạn với i < t nên dimSuppH ( M ) ≤ Áp dụng Định lý 2.3.2 ta suy điều phải chứng minh  Hệ 2.3.5 Cho ( R, m ) vành địa phương Cho a iđêa R M Rmôđun hữu hạn sinh Giả sử t := gdepth(a , M ) i H ( M ) a -cofinite với i < t , ii Hom R ( R / a , H at ( M )) hữu hạn sinh, 35 Ass R H ( M ) hữu hạn với i ≤ t , iii = iv t min{i | dimSuppH ( M ) > 1} Chứng minh Từ Hệ 2.3.4 Mệnh đề 2.2.13 ta suy điều phải chứng minh  Định lý 2.3.6 Cho a iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh cho dim( M / aM ) > t := gdepth(a , M ) tồn x ∈ R cho R-môđun  {N | N môđun H at ( M ) dimN ≤ } Rx + a - cofinite Chứng minh Đặt L:=  {N | N môđun H at ( M ) dimN ≤ } Chúng ta giả sử L ≠ Khi đó, theo Bổ đề 2.3.1 tập Ass R H at ( M ) hữu hạn Vì t dim R / m ≤ với p ∈ Ass R L dim R / m > với p ∈ Ass R H a ( M ) \ Ass R L nên dẫn đến tập  q∈AssR L q ⊄  p∈Ass x ∉  p∈Ass t R Ha ( M )\ AssR L t R Ha ( M )\ AssR L p tồn x ∈  q∈AssR L q cho b : Rx + a Khi đó, ta có dãy khớp ngắn p Đặt = 0  → H Rx ( H −1 ( M ))  → H bi ( M )  → H Rx ( H ( M ))  →0 , với i ∈  ( H at ( M )) = L nên dẫn đến dimHbi ( M ) ≤ với i < t Do đó, ta suy Vì H Rx H bt ( M ) R-mơđun b-cofinite Mặt khác, dimSuppH1Rx (Hat −1 ( M )) ≤ Vì R-mơđun (0 :H (0 :H t −1 Rx ( H a ( M (0 :H )) b) ⊆ (0 :H t ( M ) b) nên (0 :H t −1 Rx ( H a ( M )) b t −1 Rx ( H a ( M )) t b (M ) b) dimSuppHat −1 ( M ) ≤ nên hữu hạn sinh b) hữu hạn sinh Điều t −1 b) Artin Suy H Rx ( H a ( M )) Artin b-cofinite ([14], Mệnh đề 4.1) Do đó, từ dãy khớp ngắn ta cho i = t R-mơđun L b-cofinite  36 Bổ đề 2.3.7 Cho a iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh cho dim( M / aM ) > t := gdepth(a , M ) với số nguyên j tồn môđun hữu hạn sinh L j Ext Rj ( R / a , L) cho SuppExt Rj ( R / a , L) / L j ⊆ MaxR , với L=  {N | N môđun H at ( M ) dimN ≤ } Chứng minh Cho Ass R L \ MaxR := {p1 , , pn } Theo Bổ đề 2.3.1, R-môđun Hom R ( R / a , H at ( M )) hữu hạn sinh điều dẫn đến Rpi -mơđun Hom Rm ( Rmmm / aR i , L i ) hữu hạn sinh với chiều với i = 1, , n Do đó, i i Hom Rm ( Rmmm / aR i , L i ) có độ dài hữu hạn Theo ([14], Mệnh đề 4.1) nên Lpi Artin i i aRpi -cofinite Rpi -mơđun Vì vậy, R-môđun Ext Rj p ( Rpi / aRpi , Lpi ) hữu hạn sinh tồn môđun i hữu hạn sinh Lij Ext Rj ( R / a , L) cho ( Lij ) pi = (Ext Rj ( R / a , L)) pi với i = 1, , n Đặt L j := L1 j + + Lnj Khi đó, L j mơđun hữu hạn sinh Ext Rj ( R / a , L) cho SuppExt Rj ( R / a , L) / L j  {p1 , , pn } = ∅ Vì vậy, SuppExt Rj ( R / a , L) / L j ⊆ MaxR  Bổ đề 2.3.8 Cho M R-môđun N môđun M cho dim N ≤ Ass R M / N \ S ′( M ) ∪= MaxR Ass R M \ S ′( M ) ∪ MaxR Chứng minh Ta xét dãy khớp ngắn R-môđun sau  → N  → M  → M / N  →0 Theo ([12], Định lý 6.3) dim N ≤ nên dẫn đến Ass R M ⊆ Ass R M /N ∪ S ′( M ) 37 Lấy p ∈ Ass R M /N \ S ′( M ) ∪ MaxR Từ suy p ∉ Ass R N Vì dim N ≤ nên ta có N p = M p ≅ ( M / N) p Vì vậy, pRp ∈ AssRp M p p ∈ Ass R M  Định lý 2.3.9 Cho R vành nửa địa phương, a iđêan R M Rmôđun Lasker yếu Nếu t số nguyên không âm cho dim H ( M ) ≤ với i < t Ass R H at ( M ) hữu hạn Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo t Trường hợp t = Vì H a1 ( M ) ≅ H a1 ( M / H a0 ( M )) ta giả sử M a -xoắn tự Khi đó, iđêan a chứa phần tử x M-chính quy Xét dãy khớp ngắn x  → M  → M  → M / xM  →0 Suy dãy sau khớp β x H a0 ( M )  → H a0 ( M / xM )  → H a1 ( M )  → H a1 ( M ) Vì H a0 ( M / xM ) Lasker yếu nên Ass R H a0 ( M / xM ) / Kerβ hữu hạn Hơn nữa, H a0 ( M / xM ) / ker β ≅ :H ( M ) x Ass R H a1 ( M ) ≅ Ass R (0 :H ( M ) x) a a Vì vậy, Ass R H a1 ( M ) hữu hạn Trường hợp t > , ta giả sử đến t − Giả sử dim H at ( M ) ≤ Ta chứng minh Ass R H at ( M ) hữu hạn Ta giả sử có phần tử M quy x ∈a Xét dãy khớp ngắn sau x  → M  → M  → M / xM  →0 Suy ra, ta có dãy khớp sau ϕ ψ x H −1 ( M )  → H −1 ( M / xM )  → H ( M )  → H ( M ) Vì dim H ( M ) ≤ với i < t nên dim H ( M / xM ) ≤ với i < t − Do đó, theo giả thiết quy nạp suy Ass R H at −1 ( M / xM ) hữu hạn 38 Hơn nữa, dim H at −1 ( M ) ≤ nên dim Kerψ ≤ Do đó, theo Bổ đề 2.3.8, Ass R H at −1 ( M / xM ) / Kerψ hữu hạn Vì H at −1 ( M / xM ) / Kerψ ≅ :H suy Ass R (0 :H t ( M ) x) hữu hạn a t a (M ) x nên Mà Ass R H at ( M ) = Ass R (0 :H t ( M ) x) nên a Ass R H at ( M ) hữu hạn  Hệ 2.3.10 Cho R vành nửa địa phương, a iđêan R M Rmôđun Lasker yếu Cho t số nguyên không âm cho dim H ( M ) ≤ với i < t mơđun N H at ( M ) với dim N ≤ , nguyên tố liên kết Ass R H at ( M ) / N hữu hạn Chứng minh Từ Bổ đề 2.3.8 Định lý 2.3.9, ta có điều phải chứng minh  Định lý 2.3.11 Cho ( R, m ) vành địa phương, a iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh Cho t số nguyên không âm cho dim H ( M ) ≤ với i < t dim H at ( M ) > tồn dãy quy suy rộng x1 , , xt M a cho Ass R H at ( M ) \ {m} = Ass R M / ( x1 , , xt ) M \ {m} Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.1, tồn dãy quy suy rộng x1 , , xt M a Vì vậy, grade(aRp , M p ) = t với p ∈ S ( H at ( M )) Chú ý x1 / 1, , xt / dãy M p -chính quy Vì pRp ∈ Ass Rp H at R p ( M p ) nên mRmmmmm ∈ Ass Rmm Hom R ( R / aR , M / ( x1 , , xt ) M ) Do pRp ∈ Ass Rp M p / ( x1 , , xt ) M p Suy p ∈ Ass R M / ( x1 , , xt ) M Giả sử p ∈ Ass R H at ( M ) cho dim R / m = qRp ∈ SuppM p \ {pRp} Khi đó, x1 / 1, , xt / dãy M p -chính quy Vì M q ≅ ( M p )qRp nên hiển nhiên 39 x1 / 1, , xt / dãy quy pRp -lọc M p aRp Vì vậy, H at R p ( M p ) ≅ H a0R p (H t( x1 , , xt ) R p ( M p )) Suy pRp ∈ Ass Rp ( H (t x1 , , xt ) Rp ( M p )) Mặt khác, theo chứng minh ([17], Bổ đề 1.20), ta có đẳng cấu n n H (t x1 , , xt ) Rm ( M mmm ) ≅ lim  M / ( x1 , , xt ) M n∈ Khi đó, pRp ∈ Ass Rp M p / ( x1 , , xt ) M p Vì p ∈ Ass R M / ( x1 , , xt ) M Do đó, Ass R H at ( M ) \ {m} ⊆ Ass R M / ( x1 , , xt ) M \ {m} (1) Ngược lại, x1 , , xt dãy quy suy rộng M a dim R / m = , nên Rad (( x1 , , xt ) Rp ) = pRp Khi đó, ta có đẳng cấu Hat R p ( M p ) ≅ Ha0 R p (H t( x1 , , xt ) Rp ( M p )) Ta lập luận để thấy Ass R M / ( x1 , , xt ) M \ {m} ⊆ Ass R H at ( M ) \ {m} Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh (2)  40 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kết chủ yếu sau: Một số tính chất môđun đối đồng điều địa phương môđun cofine (Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.7, Định lý 2.1.10) Dãy quy suy rộng độ sâu suy rộng (Bổ đề 2.2.4, Bổ đề 2.2.6, Bổ đề 2.2.7, Mệnh đề 2.2.10, Mệnh đề 2.2.11, Mệnh đề 2.2.13, Mệnh đề 2.1.14) Các tính chất hữu hạn đối đồng điều địa phương dãy quy suy rộng (Bổ đề 2.3.1, Định lý 2.3.6, Định lý 2.3.9, Định lý 2.3.11) Vì thời gian khả hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy bạn góp ý dẫn thêm để luận văn trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Atiyah M.F., Macdonald I.G (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Bahmanpour K., Faramrzi S.O and Naghipour R (2009), “Finiteness properties of local cohomology modules and generalized regular sequences”, World Scientific, 315-325 Bahmanpour K and Naghipour R (2009), “Cofiniteness of local cohomology modules for ideal of small dimension”, J.Algebra 321, 1997-2011 Brodmann M.P and Nhan L.T (2008), “A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules”, Comm Algebra 36, 1527-1536 Brodmann M.P and Sharp R.Y (2013), Local cohomology An algebraic introduction with geometric applications (Second edition), Cambridge University Press, New York Chiriacescu G (2000), “Cofiniteness of local cohomology modules”, Bull London Math Soc 32, 1-7 Divaani-Aazar K and Mafi A (2006), “Associated primes of local cohomology modules of weakly Laskerian modules”, Communications in Algebra 34, 681-690 Grothendieck A (1967), “Local cohomology”, Lecture Notes in Mathematics, Vol.41 Springer, Berlin Hellus M (2001), “On the set of associated primes of a local cohomology modules”, J.Algebra 237, 406-419 10 Khashyarmanesh K (2006), “On the finiteness properties of AssR Ext Rn ( R / a i , M ) ”, Commutative, Algebra 34, 779-784 11 Lyubeznik G (1993), “Finiteness properties of local cohomology modules (An application of D-modules to commutative algebra)”, Inv, Math.113, 41-55 42 12 Matsumura H (1986), Commutative ring theory, Cambridge Univ.Press, Cambridge, UK 13 Matsumura H (1980), Commutative algebra (Second edition), Nagoya University, Nagoya, Japan 14 Melkersson L (2005), “Module cofinite with respect to an ideal”, J.Algebra 285, 649-668 15 Nhan L.T (2005), “On generalized regular sequences and Finiteness for associated primes of local cohomology”, Comm Algebra 33, 793-806 16 Rotman J.J (2008), An Introduction to Homological Algebra (Second edition), Springer 17 Schenzel P (1998), “On the use of local cohomology in algebra and geometry”, Six Lectures on Commutative Algebra (Bellaterra, 1996), 241-292, Progr.Math, 166, Birkhuser, Basel 18 Strooker J (1990), Homological Questions in Local Algebra, Cambridge University Press ... ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG 17 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương môđun cofinite 17 2.2 Dãy quy suy rộng độ sâu suy rộng 25 2.3 Các tính chất hữu hạn đối đồng địa phương. .. số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương mơđun cofinite Tiếp theo phần nói khái niệm vài tính chất dãy quy suy rộng độ sâu suy rộng Cuối cùng, chúng tơi đưa tính chất hữu hạn đối đồng điều địa. .. cấu với 17 Chương CÁC TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG Từ trở sau R vành Noether giao hoán với đơn vị ≠ 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương môđun cofinite