Đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngơ Minh Hồn Vũ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngơ Minh Hồn Vũ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan trình bày luận văn nghiên cứu, tìm tịi thân hướng dẫn tận tình thầy Trần Tuấn Nam Mọi kết nghiên cứu, ý tưởng tác giả trích dẫn đầy đủ cụ thể Đề tài luận văn đến chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020 Ngơ Minh Hồn Vũ LỜI CẢM ƠN Trước trình bày phần nội dung luận văn này, xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt thầy chuyên ngành Đại số lý thuyết số Các thầy giúp đỡ tận tình tơi q trình học tập mang lại cho tơi kiến thức bổ ích để giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người hướng dẫn PGS.TS Trần Tuấn Nam Thầy nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi cảm ơn gia đình, bạn bè, học trị ln bên cạnh tơi nguồn động lực to lớn để tơi hồn thành chương trình thạc sĩ Cuối cùng, luận văn tơi, có nhiều cố gắng hạn chế thiếu sót điều khơng thể tránh khỏi Tơi mong nhận đóng góp, ý kiến từ quý thầy cô bạn đọc giả để giúp tơi hồn thiện luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020 Ngơ Minh Hồn Vũ MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Danh mục kí hiệu CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất vành, iđêan, mơđun 1.2 Dãy quy- Độ sâu 1.3 Số chiều- Chiều xạ ảnh 1.4 Hàm tử dẫn xuất phải 1.5 Giới hạn thuận 1.6 Dãy phổ 10 1.7 Môđun đối đồng điều địa phương 17 CHƯƠNG 2: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN 19 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan 19 2.2 Tính artin mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan 28 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 LỜI MỞ ĐẦU Cho 𝑅 vành Noether giao hốn, có đơn vị khác khơng 𝑀 𝑅-mơđun Trong [6], tác giả Takahashi, Yoshino Yoshizhawa giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan (𝐼, 𝐽) Các tác giả định nghĩa mơđun (𝐼, 𝐽)- xoắn 𝑅-mơđun, kí hiệu Γ𝐼,𝐽 (𝑀), sau: Γ𝐼,𝐽 (𝑀 ) = {𝑥 ∈ 𝑀|𝐼𝑛 𝑥 ⊂ 𝐽𝑥 với 𝑛 nguyên dương đó} Dựa vào ý tưởng môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan (𝐼, 𝐽) trên, nhà tốn học xây dựng, phát triển thành mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng Đây đề tài thú vị nhận quan tâm nhà tốn học giới Do đó, tơi định chọn đề tài “ Đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan” để tìm hiểu nghiên cứu khái niệm tính chất chúng Trong luận văn này, ta tìm hiểu định nghĩa, tính chất tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương phần kết luận CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, tơi trình bày khái niệm, tính chất, kết có vành, iđêan, mơđun môđun đối đồng điều địa phương để phục vụ cho chứng minh chương CHƯƠNG 2: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chương này, chia phần gồm: 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan 2.2 Tính artin mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan Trong 2.1, phần đầu tơi trình bày khái niệm mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan (𝐼, 𝐽) thông qua định nghĩa 2.1.2 nghiên cứu tính chất tập iđêan ngun tố liên kết thơng qua hệ 2.1.8 Tiếp theo, ta tìm hiểu 𝑖 ( tính chất Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) từ mệnh đề 2.1.9 đến 2.1.12 Cuối định 𝑖 ( lý 2.1.13, ta thông qua phức Cech để đánh giá 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑖 Trong 2.2, ta tìm hiểu tính Artin môđun đối đồng điều địa phương 𝐻𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) từ định lý 2.2.1 tới mệnh đề 2.2.7 Ta bắt đầu phần với việc trình bày tính Artin 𝑟+𝑑 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑀, 𝑁 hữu hạn sinh với 𝑟 = pd(𝑀) 𝑑 = dim(𝑁) thông qua định 𝑖 ( lý 2.2.1 kết thúc với việc 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Artin với 𝑖 ≥ 𝑀 hữu hạn sinh 𝑁 Artin Danh mục kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa 𝐀𝐛 Phạm trù Abel 𝑀𝔭 Địa phương hóa mơđun 𝑀 theo tập 𝑅 ∖ 𝔭 Spec(𝑅) Tập iđêan nguyên tố vành 𝑅 Ann𝑅 (𝑆) Tập linh hóa tử 𝑆 𝑅 Ass(𝑀) Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun 𝑀 Supp(𝑀) Tập iđêan nguyên tố 𝔭 vành 𝑅 mà 𝑀𝔭 ≠ Min(𝑀) Tập 𝔭 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐 (𝑅) cho ∀𝔮 ∈ Supp(𝑀): 𝔮 ⊆ 𝔭 ⇒ 𝔮 = 𝔭 Hom𝑅 (𝑀, 𝑁) Tập 𝑅-đồng cấu từ 𝑀 vào 𝑁 Ext 𝑖𝑅 (𝑀, 𝑁) Hàm tử mở rộng thứ 𝑖 hai 𝑅-môđun 𝑀, 𝑁 Tor𝑖𝑅 (𝑀, 𝑁) Hàm tử xoắn thứ 𝑖 hai 𝑅- môđun 𝑀, 𝑁 (𝑅, 𝔪) Vành địa phương 𝑅 với iđêan tối đại 𝔪 V(𝐼) Tập iđêan nguyên tố chứa iđêan 𝐼 depth𝑀 Độ sâu môđun 𝑀 dim𝑅, dim𝑀 Chiều Krull vành 𝑅 môđun 𝑀 pd(𝑀) Chiều xạ ảnh môđun 𝑀 lim 𝑀𝑖 ⟶ Giới hạn thuận hệ thống thuận tập 𝐼 Tot(𝑀) Phức tổng song phức 𝑀 𝐸 (𝑁 ) Bao nội xạ môđun 𝑁 Γ𝐼 (𝑀),𝐻𝐼𝑖 (𝑀) Môđun, hàm tử đối đồng điều địa phương theo 𝐼 𝑖∈𝐼 Γ𝐼 (𝑀, 𝑁), 𝐻𝐼𝑖 (𝑀, 𝑁) Môđun, hàm tử đối đồng điều địa phương suy rộng theo 𝐼 𝑖 ( ) Γ𝐼,𝐽 (𝑀), 𝐻𝐼,𝐽 𝑀 Môđun, hàm tử đối đồng điều địa phương theo 𝐼, 𝐽 CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các kiến thức chương lấy từ sách tác giả tiếng đại số giao hoán đồng điều [1],[2],[3],[4],[5] báo [6],[7],[8] 1.1 Một số định nghĩa tính chất vành, iđêan, mơđun Các kiến thức phần tham khảo từ sách [1],[3],[4],[5] Trong toàn luận văn này, vành 𝑅 vành Noether giao hốn, có đơn vị khác không Định nghĩa 1.1.1 Vành 𝑅 gọi Noether (Artin) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: i Mọi dây chuyền tăng (giảm) iđêan 𝑅 dừng ii Mọi họ khác rỗng iđêan có phần tử tối đại ( tối tiểu) iii Mọi iđêan 𝑅 hữu hạn sinh Chú ý vành thương vành Noether (Artin) vành Noether (Artin) Định nghĩa 1.1.2 Cho 𝑀 𝑅-môđun Khi đó: Spec(𝑅) tập iđêan nguyên tố vành 𝑅 Với 𝑆 tập khác rỗng 𝑀, ta định nghĩa Ann𝑅 (𝑆) = {𝑟 ∈ 𝑅|𝑟𝑆 = 0} Iđêan nguyên tố 𝔭 𝑅 gọi iđêan nguyên tố liên kết 𝑀, kí hiệu Ass(𝑀), tồn 𝑥 ∈ 𝑀\{0} cho 𝔭 = Ann(𝑥) Ta định nghĩa tập: Supp(𝑀) = {𝔭 ∈ Spec(𝑅): 𝑀𝔭 ≠ 0} với 𝑀𝔭 địa phương hóa môđun 𝑀 theo tập 𝑅∖𝔭 Min(𝑀) = {𝔭 ∈ Spec(𝑅)|∀𝔮 ∈ Supp(𝑀): 𝔮 ⊆ 𝔭 ⇒ 𝔮 = 𝔭} Với 𝐼 iđêan 𝑅, ta định nghĩa V(𝐼) = {𝔭 ∈ Spec(𝑅)|𝐼 ⊆ 𝔭} Mệnh đề 1.1.3 Cho 𝑀 𝑅-mơđun, đó: Min(𝑀) ⊆ Ass(𝑀 ) ⊆ Supp(𝑀) Mệnh đề 1.1.4 Cho 𝑀 𝑅-môđun hữu hạn sinh 𝑁 𝑅-mơđun Khi Ass(Hom𝑅 (𝑀, 𝑁)) = Supp(𝑀) ∩ Ass(𝑁) Mệnh đề 1.1.5 Cho 𝑀 𝑅-mơđun hữu hạn sinh Khi đó, tồn dây chuyền môđun 𝑀: = 𝑀0 ⊂ 𝑀1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑀𝑛 = 𝑀 cho với 𝑖, ta có 𝑀𝑖 /𝑀𝑖−1 ≅ 𝑅/𝔭𝑖 với 𝔭𝑖 ∈ Supp(𝑀) Mệnh đề 1.1.6 Cho 𝑅 vành Noether Nếu 𝐼 iđêan 𝑅 Supp(𝑅/𝐼) = V(𝐼) Định nghĩa 1.1.7 Cho 𝑀 𝑅-môđun 𝑀 gọi mơđun Noether (Artin) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: i Mọi dây chuyền tăng (giảm) môđun 𝑀 dừng ii Mọi họ khác rỗng môđun 𝑀 có phần tử tối đại ( tối tiểu) iii Mọi môđun 𝑀 hữu hạn sinh Chú ý cho 𝑁 môđun môđun Noether (Artin) 𝑀 𝑁 𝑀/𝑁 mơđun Noether (Artin) Mệnh đề 1.1.8 Cho dãy khớp ngắn → 𝑀′ → 𝑀 → 𝑀′′ → Khi đó: 𝑀′ 𝑀′′ môđun Artin ⇔ 𝑀 môđun Artin Mệnh đề 1.1.9 Cho 𝑀 𝑅-môđun hữu hạn sinh 𝑁 mơđun Artin Khi Hom(𝑀, 𝑁), Ext 𝑖 (𝑀, 𝑁), Tor𝑖 (𝑀, 𝑁) môđun Artin với 𝑖 ≥ 1.2 Dãy quy- Độ sâu Trong [5] Chương 16, ta tìm hiểu khái niệm dãy quy độ sâu Định nghĩa 1.2.1 Cho 𝑀 ≠ 𝑅-môđun hữu hạn sinh 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝑅 Ta nói 𝑎1 , … 𝑎𝑛 tạo thành dãy 𝑀-chính quy 𝑀 ≠ (𝑎1 , … 𝑎𝑛 )𝑀 với 𝑖 = 1, … , 𝑛, phần tử 𝑎𝑖 không ước không 𝑅-môđun 𝑀/(𝑎1 , … 𝑎𝑖−1 )𝑀 Độ dài dãy 𝑀-chính quy số phần tử dãy Dãy 𝑀-chính quy rỗng xem dãy với độ dài Định nghĩa 1.2.2 Cho 𝑀 ≠ 𝑅-môđun hữu hạn sinh 𝐼 iđêan 𝑅 cho 𝑀 ≠ 𝐼𝑀 Cho (𝑎1 , … 𝑎𝑛 ) dãy 𝑀-chính quy phần tử 𝐼 Ta nói (𝑎1 , … 𝑎𝑛 ) dãy 24 Chứng minh Ta chứng minh bốn phần đầu, phần lại chứng minh tương tự i Kết hợp Mệnh đề 2.1.3, Định nghĩa 2.1.2 [6, 1.4] phần i, ta có: Γ𝐼,𝐽 (Γ𝐼′ ,𝐽′ (𝑀, 𝑁)) = Γ𝐼,𝐽 (Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼′ ,𝐽′ (𝑁))) = Γ𝐼,𝐽 (𝑀, Γ𝐼′ ,𝐽′ (𝑁)) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (Γ𝐼′,𝐽′ (𝑁))) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼′ ,𝐽′ (Γ𝐼,𝐽 (𝑁))) = Γ𝐼′,𝐽′ (Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁)) ii Kết hợp Mệnh đề 2.1.3 [6, 1.4] phần ii ta có: Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝑁)) ⊇ Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼′,𝐽 (𝑁)) = Γ𝐼′ ,𝐽 (𝑀, 𝑁) iii Kết hợp Mệnh đề 2.1.3 [6, 1.4] phần iii ta có: Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝑁)) ⊆ Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽′ (𝑁)) = Γ𝐼,𝐽′ (𝑀, 𝑁) iv Kết hợp Mệnh đề 2.1.3, Định nghĩa 2.1.2 [6, 1.4] phần iv, ta có: Γ𝐼,𝐽 (Γ𝐼′,𝐽 (𝑀, 𝑁)) = Γ𝐼,𝐽 (Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼′ ,𝐽 (𝑁))) = Γ𝐼,𝐽 (𝑀, Γ𝐼′,𝐽 (𝑁)) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (Γ𝐼′,𝐽 (𝑁))) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼+𝐼′,𝐽 (𝑁)) = Γ𝐼+𝐼′,𝐽 (𝑀, 𝑁)  Bổ đề 2.1.10 Nếu 𝐸 𝑅-mơđun nội xạ Γ𝐼,𝐽 (𝐸 ) nội xạ Chứng minh Theo kết [6, 3.2], ta có: Γ𝐼,𝐽 (𝐸 ) ≅ lim Γ𝔞 (𝐸 ), ⟶ ̃ (𝐼,𝐽) 𝔞∈𝑊 ̃ (𝐼, 𝐽) tập ideal 𝔞 𝑅 thỏa 𝐼𝑛 ⊂ 𝔞 + 𝐽 với 𝑛 nguyên dương 𝑊 Theo Mệnh đề 1.7.5, 𝐸 𝑅-môđun nội xạ nên Γ𝔞 (𝐸 ) nội xạ Hơn nữa,theo Mệnh đề 1.5.7, giới hạn thuận môđun nội xạ nội xạ Vậy ta có điều phải chứng minh  25 Ta biết 𝐻𝐼𝑖 (𝑀, 𝑁) ≅ Ext 𝑖𝑅 (𝑀, 𝑁), 𝑁 𝐼-xoắn 𝑅-mơđun Kết sau cho ta kết tương tự 𝑁 (𝐼, 𝐽)-xoắn Mệnh đề 2.1.11 Cho 𝑁 (𝐼, 𝐽)-xoắn 𝑅-mơđun Khi 𝑖 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) ≅ Ext 𝑖𝑅 (𝑀, 𝑁) với 𝑖 ≥ Chứng minh Từ [6, 1.12], tồn phép giải nội xạ 𝐸  𝑁 cho thành phần 𝑅-mơđun (𝐼, 𝐽)-xoắn Khi đó, theo Định nghĩa 2.1.4 ta có: 𝑖 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) ≅ 𝐻 𝑖 (Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝐸  ))) ≅ 𝐻 𝑖 (Hom𝑅 (𝑀, 𝐸  )) = Ext 𝑖𝑅 (𝑀, 𝑁) với 𝑖 ≥  Khi 𝑁 𝐽-xoắn 𝑅-mơđun, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.12 Cho 𝑀 𝑅-môđun hữu hạn sinh 𝑁 𝐽-xoắn 𝑅-mơđun, đó: 𝑖 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) ≅ 𝐻𝐼𝑖 (𝑀, 𝑁) với 𝑖 ≥ Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh Γ𝐼 (𝑁) = Γ𝐼,𝐽 (𝑁) Ta dễ dàng có Γ𝐼 (𝑁) ⊂ Γ𝐼,𝐽 (𝑁) Thật vậy, lấy 𝑥 ∈ Γ𝐼 (𝑁) Khi 𝑥 ∈ 𝑁 tồn 𝑛 nguyên dương cho 𝐼𝑛 𝑥 = Do 𝑥 ∈ 𝑁 = Γ𝐽 (𝑁) nên tồn 𝑘 nguyên dương cho 𝐽𝑘 𝑥 = Từ ta có 𝐼𝑛 𝑥 = 𝐽𝑘 𝑥 ⊂ 𝐽𝑥 hay 𝑥 ∈ Γ𝐼,𝐽 (𝑁) Tiếp theo ta chứng minh Γ𝐼,𝐽 (𝑁) ⊂ Γ𝐼 (𝑁) Lấy 𝑥 ∈ Γ𝐼,𝐽 (𝑁), ta có 𝑥 ∈ 𝑁 tồn 𝑛 nguyên dương cho 𝐼𝑛 𝑥 ⊂ 𝐽𝑥 Lại có 𝑥 ∈ 𝑁 = Γ𝐽 (𝑁) nên tồn 𝑘 nguyên dương cho 𝐽𝑘 𝑥 = Do 𝐼𝑛𝑘 𝑥 = Suy 𝑥 ∈ Γ𝐼 (𝑁) Vậy Γ𝐼 (𝑁) = Γ𝐼,𝐽 (𝑁) 26 Bây ta cần chứng minh Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) ≅ Γ𝐼 (𝑀, 𝑁) Thật vậy, từ Mệnh đề 2.1.3 kết hợp Bổ đề 1.7.9, ta có: Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝑁)) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼 (𝑁)) ≅ Γ𝐼 (𝑀, 𝑁) 𝑖 ( Từ tính chất hàm tử dẫn xuất, ta có 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) ≅ 𝐻𝐼𝑖 (𝑀, 𝑁) với 𝑖 ≥  𝑖 (  Trong [6, 2.4], ta có đẳng cấu tự nhiên 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) ≅ 𝐻 𝑖 (𝐶𝑎,𝐽 ⊗𝑅 𝑀) , 𝑎 = {𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑟 } dãy phần tử 𝑅 sinh 𝐼 Bây giờ, ta lấy phép giải tự 𝑀 gồm môđun tự hữu hạn sinh: 𝐹 : … → 𝐹2 → 𝐹1 → 𝐹0 → 𝑀 → Áp dụng hàm tử Hom𝑅 (−, 𝑁) vào phép giải trên, ta có phức: Hom𝑅 (𝐹 , 𝑁): → Hom𝑅 (𝑀, 𝑁) → Hom𝑅 (𝐹0 , 𝑁) → Hom𝑅 (𝐹1 , 𝑁) … 𝑝  Khi ta có song phức 𝐶𝑎,𝐽 ⨂𝑅 Hom𝑅 (𝐹 , 𝑁) = {𝐶𝑎,𝐽 ⨂𝑅 Hom𝑅 (𝐹q , 𝑁)}, 𝑝  𝐶𝑎,𝐽 nằm vị trí thứ 𝑝 phức Cech 𝐶𝑎,𝐽 Do đó, ta có phức tổng Tot(𝑀, 𝑁)  song phức 𝐶𝑎,𝐽 ⨂𝑅 Hom𝑅 (𝐹 , 𝑁): 𝑝 Tot(𝑀, 𝑁)𝑛 =⊕𝑝+𝑞=𝑛 𝐶𝑎,𝐽 ⨂𝑅 Hom𝑅 (𝐹q , 𝑁) Để phục vụ việc chứng minh định lý phía sau, ta nhắc lại kết có [6, 2.3] phần 5: "Cho 𝑎 ∈ 𝑅 Nếu √𝐼 = √(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑠 ) dãy sau khớp: 𝑠 → Γ𝐼,𝐽 (𝑀) → 𝑀 → ∏ 𝑀𝑎𝑖 ,𝐽 " 𝑖=1 Định lý 2.1.13 Cho 𝑀 𝑅-môđun hữu hạn sinh Khi đó, với 𝑅-mơđun 𝑁 𝑛 ≥ 0, 𝑛 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) ≅ 𝐻 𝑛 (Tot(𝑀, 𝑁)) 27 Chứng minh 𝑛 ( Ta có {𝐻 𝑛 (Tot(𝑀, −))}𝑛 {𝐻𝐼,𝐽 𝑀, −)}𝑛 dãy nối phải khớp hàm tử ( Tiếp theo ta chứng minh 𝐻 (Tot(𝑀, 𝑁)) ≅ 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Xét đồng cấu 𝑑 : Tot(𝑀, 𝑁)0 → Tot(𝑀, 𝑁)1 Do 𝐶𝑎,𝐽 = 𝑅, ta có: 𝑑0 𝐻 (Tot(𝑀, 𝑁)) ≅ Ker (Hom𝑅 (𝐹0 , 𝑁) → Hom𝑅 (𝐹1 , 𝑁) ⨁ (𝐶𝑎,𝐽 ⨂𝑅 Hom𝑅 (𝐹0 , 𝑁))) Do theo [6, 2.3] phần 5, ta có được: 𝐻 (Tot(𝑀, 𝑁)) = Hom𝑅 (𝑀, 𝑁)⋂Γ𝐼,𝐽 (Hom𝑅 (𝐹0 , 𝑁)) ( = Γ𝐼,𝐽 (Hom𝑅 (𝑀, 𝑁)) = 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Ta hoàn thành việc chứng minh cách 𝐻 𝑛 (Tot(𝑀, 𝐸 )) = với 𝑛 > 𝑅-môđun nội xạ 𝐸 Từ Mệnh đề 1.6.24, ta có dãy phổ: 𝑝,𝑞 𝐸2  = 𝐻 ′′𝑝 𝐻 ′𝑞 (𝐶𝑎,𝐽 ⨂𝑅 Hom𝑅 (𝐹 , 𝐸 )) ⇒ 𝐻 𝑛 (Tot(𝑀, 𝐸 )) 𝑝 Chú ý 𝑝,𝑞 𝐸1  = 𝐻 𝑞 (𝐶𝑎,𝐽 ⨂Hom𝑅 (𝐹𝑝 , 𝐸))  Từ chứng minh [6, 2.4], ta có 𝐻 𝑖 (𝐶𝑎,𝐽 ⨂𝑅 𝐸) = với 𝑖 > 𝑅- mơđun nội xạ 𝐸 Lại có, Hom𝑅 (𝐹𝑝 , 𝐸) 𝑅- môđun nội xạ với 𝑝 ≥ 𝐹𝑝 môđun tự 𝐸 mơđun nội xạ Do 0, 𝑝,𝑞 𝐸1 ={ 𝑞 > 0, 𝑟 Ker (Hom𝑅 (𝐹𝑝 , 𝐸) → ∏ Hom𝑅 (𝐹𝑝 , 𝐸)𝑎 ,𝐽 ) , 𝑞 = 𝑖 𝑖=1 Kết hợp [6, 2.3] phần Mệnh đề 2.1.3, ta được: 𝑟 Ker (Hom𝑅 (𝐹𝑝 , 𝐸) → ∏ Hom𝑅 (𝐹𝑝 , 𝐸)𝑎 ,𝐽 ) ≅ Γ𝐼,𝐽 (Hom𝑅 (𝐹𝑝 , 𝐸)) 𝑖=1 𝑖 ≅ Hom𝑅 (𝐹𝑝 , Γ𝐼,𝐽 (𝐸 )) 28 Điều dẫn đến 𝑝,𝑞 𝐸2 𝑝,𝑞 Ta có 𝐸2 0, ={ 𝑞 > 0, 𝐻 𝑝 (Hom𝑅 (𝐹 , Γ𝐼,𝐽 (𝐸 ))) , 𝑞 = = với 𝑞 > nên dãy phổ suy biến theo trục 𝑝 Từ Mệnh đề 1.6.25 phần ii, ta có được: 𝐻 𝑛 (Tot(𝑀, 𝐸 )) ≅ 𝐸2𝑛,0 Theo Bổ đề 2.1.10, Γ𝐼,𝐽 (𝐸 ) 𝑅- mơđun nội xạ nên ta có dãy khớp sau: Hom𝑅 (𝐹 , Γ𝐼,𝐽 (𝐸 )) : → Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝐸 )) → Hom𝑅 (𝐹0 , Γ𝐼,𝐽 (𝐸 )) → Hom𝑅 (𝐹1 , Γ𝐼,𝐽 (𝐸 )) → ⋯ 𝑝,0 Do đó, 𝐸2 = với 𝑝 > Kết hợp điều trên, ta có được: 𝐻 𝑛 (Tot(𝑀, 𝐸 )) ≅ 𝐸2𝑛,0 = với 𝑛 > Vậy chứng minh hoàn thành  2.2 Tính artin mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan Đầu tiên ta nhắc lại định lý có [10, 2.1] [6, 4.7] sử dụng kết để chứng minh định lý 2.2.1 Trong [10, 2.1], ta có định lý sau: “Giả sử (𝑅, 𝔪) vành địa phương 𝑀 𝑅-môđun hữu hạn sinh với dim𝑀 = 𝑑 Khi 𝑑 ( ) 𝐻𝐼,𝐽 𝑀 Artin.” Trong [6, 4.7], ta có định lý sau: 𝑖 ( ) “Cho 𝑀 𝑅- môđun hữu hạn sinh Khi 𝐻𝐼,𝐽 𝑀 = với 𝑖 > dim𝑀.” Định lý 2.2.1 Giả sử (𝑅, 𝔪) vành địa phương 𝑀, 𝑁 𝑅-môđun hữu hạn sinh với 𝑟 = pd(𝑀) 𝑑 = dim(𝑁) Khi đó: 29 𝑟+𝑑 ( 𝑑 ( ) 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) ≅ Ext 𝑟𝑅 (𝑀, 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 ) 𝑟+𝑑 ( Hơn nữa, 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑅-môđun Artin Chứng minh Đặt 𝐺 (−) = Γ𝐼,𝐽 (−) 𝐹 (−) = 𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑀, −) hàm tử từ phạm trù 𝑅-mơđun vào Khi 𝐹𝐺 = Γ𝐼,𝐽 (𝑀, −) 𝐹 khớp trái Với môđun nội xạ 𝐸, theo Bổ đề 2.1.10, ta có Γ𝐼,𝐽 (𝐸 ) 𝑅-mơđun nội xạ Do đó: 𝑅𝑖 𝐹(𝐺 (𝐸 )) = 𝑅𝑖 Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝐸 )) = Ext 𝑖𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝐸 )) = với 𝑖 > Do 𝐹 khớp trái 𝐺(𝐸) 𝐹-tuần hoàn phải nên theo Định lý 1.6.27, ta có dãy phổ góc phần tư thứ ba: 𝑝,𝑞 𝐸2 𝑝 𝑞 𝑝+𝑞 = Ext 𝑅 (𝑀, 𝐻𝐼,𝐽 (𝑁)) ⇒ 𝐻𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) 𝑝 Bây ta xét đồng cấu dãy phổ 𝐸𝑘𝑟−𝑘,𝑑+𝑘−1 → 𝐸𝑘𝑟,𝑑 → 𝐸𝑘𝑟+𝑘,𝑑+1−𝑘 𝑞 𝑝,𝑞 Ta có 𝐻𝐼,𝐽 (𝑁) = với 𝑞 > 𝑑 theo [6, 4.7] Suy 𝐸2 𝑝,𝑞 Mệnh đề 1.3.6, ta có 𝐸2 𝑝,𝑞 𝐸2 𝑝 = với 𝑞 > 𝑑 Theo 𝑞 = Ext 𝑅 (𝑀, 𝐻𝐼,𝐽 (𝑁)) = với 𝑝 > 𝑟 = pd(𝑀) Tóm lại, ta có = 𝑞 > 𝑑 hay 𝑝 > 𝑟 𝑟,𝑑 Vì 𝐸𝑘𝑟−𝑘,𝑑+𝑘−1 = 𝐸𝑘𝑟+𝑘,𝑑+1−𝑘 = với 𝑘 ≥ Suy 𝐸𝑘+1 = 𝐸𝑘𝑟,𝑑 với 𝑘 ≥ Do ta có: 𝑟,𝑑 𝐸2𝑟,𝑑 = 𝐸3𝑟,𝑑 = ⋯ = 𝐸∞ 𝑟,𝑑 𝑟+𝑑 ( Việc lại ta cần chứng minh 𝐸∞ ≅ 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Thật vậy, tồn lọc Φ 𝑟+𝑑 ( 𝐻 𝑟+𝑑 = 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) cho 𝑟+𝑑 ( = Φ𝑟+𝑑+1 𝐻 𝑟+𝑑 ⊆ Φ𝑟+𝑑 𝐻 𝑟+𝑑 ⊆ ⋯ ⊆ Φ1 𝐻 𝑟+𝑑 ⊆ Φ0 𝐻 𝑟+𝑑 = 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑖,𝑟+𝑑−𝑖 𝐸∞ = Φ𝑖 𝐻 𝑟+𝑑 /Φ𝑖+1 𝐻 𝑟+𝑑 , ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 + 𝑑 𝑟+𝑑−𝑖 ( ) Từ chứng minh trên, ta có 𝐸2𝑖,𝑟+𝑑−𝑖 = Ext 𝑖𝑅 (𝑀, 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 ) = với 𝑖 ≠ 𝑟 30 Do Φ𝑟+1 𝐻 𝑟+𝑑 = Φ𝑟+2 𝐻 𝑟+𝑑 = ⋯ = Φ𝑟+𝑑+1 𝐻 𝑟+𝑑 = 𝑟+𝑑 ( Φ𝑟 𝐻 𝑟+𝑑 = Φ𝑟−1 𝐻 𝑟+𝑑 = ⋯ = Φ0 𝐻 𝑟+𝑑 = 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Dẫn đến 𝑟,𝑑 𝑟+𝑑 ( 𝐸∞ ≅ Φ𝑟 𝐻 𝑟+𝑑 /Φ𝑟+1 𝐻 𝑟+𝑑 ≅ 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑑 ( ) 𝑟+𝑑 ( 𝑑 ( ) Do Ext 𝑟𝑅 (𝑀, 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 ) ≅ 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Từ [10, 2.1] ta có 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 𝑅-môđun 𝑑 ( ) Artin với 𝑑 = dim(𝑁) Theo Mệnh đề 1.1.9, Ext 𝑟𝑅 (𝑀, 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 ) Artin Vì 𝑟+𝑑 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑅-môđun Artin  𝑖 ( ) 𝑖 ( Tiếp theo, kết nối tính Artin 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) định lý sau Định lý 2.2.2 Cho 𝑀 𝑅-môđun hữu hạn sinh 𝑁 𝑅-môđun Cho 𝑡 số nguyên 𝑖 ( ) dương Nếu 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 Artin với 𝑖 < 𝑡, đó: i 𝑖 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Artin với 𝑖 < 𝑡 ̃ (𝐼, 𝐽) ii Ext 𝑖𝑅 (𝑅/𝔞, 𝑁) Artin với 𝑖 < 𝑡 với 𝔞 ∈ 𝑊 Chứng minh i Ta sử dụng quy nạp theo 𝑡 Với 𝑡 = 1, theo Mệnh đề 2.1.3, ta có Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝑁)) Theo giả thiết, Γ𝐼,𝐽 (𝑁) Artin nên theo Mệnh đề 1.1.9, ta có Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝑁)) Artin Từ đẳng thức trên, ta có định lý với 𝑡 = Xét 𝑡 > Ta giả sử định lý với 𝑡 − 𝑅-mơđun 𝑁 Kí hiệu 𝐸 (𝑁) bao nội xạ 𝑁 Tác động hàm tử Γ𝐼,𝐽 (−) Γ𝐼,𝐽 (𝑀, −) vào dãy khớp ngắn → 𝑁 → 𝐸 (𝑁) → 𝐸 (𝑁)/𝑁 → 0, ta 31 𝑖 ( ( ) 𝑖+1 ( ) 𝐻𝐼,𝐽 𝐸 𝑁 /𝑁) ≅ 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 𝑖 ( 𝑖+1 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝐸 (𝑁)/𝑁) ≅ 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑖 ( ) với 𝑖 > Theo giả thiết, 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 Artin với 𝑖 < 𝑡 Điều dẫn đến 𝑖 ( ( ) 𝐻𝐼,𝐽 𝐸 𝑁 /𝑁) Artin với 𝑖 < 𝑡 − Theo giả thiết quy nạp 𝐸 (𝑁)/𝑁, 𝑖 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝐸 (𝑁)/𝑁) Artin với 𝑖 < 𝑡 − Từ đẳng cấu thứ hai, ta đến kết luận 𝑖 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Artin với 𝑖 < 𝑡 ii Ta chứng minh theo quy nạp 𝑡 Với 𝑡 = 1, dãy khớp ngắn → Γ𝔞 (𝑁) → 𝑁 → 𝑁/Γ𝔞 (𝑁) → cảm sinh dãy khớp → Hom𝑅 (𝑅/𝔞, Γ𝔞 (𝑁)) → Hom𝑅 (𝑅/𝔞, 𝑁) → Hom𝑅 (𝑅/𝔞, N/Γ𝔞 (𝑁)) → ⋯ Theo Bổ đề 1.7.4, ta có 𝑁/Γ𝔞 (𝑁) 𝔞-không xoắn Suy Hom𝑅 (𝑅/𝔞, 𝑁/Γ𝔞 (𝑁)) = Khi Hom𝑅 (𝑅/𝔞, 𝑁) ≅ Hom𝑅 (𝑅/𝔞, Γ𝔞 (𝑁)) Chú ý Γ𝔞 (𝑁) ⊂ Γ𝐼,𝐽 (𝑁) Thật vậy, lấy 𝑥 ∈ Γ𝔞 (𝑁), 𝑥 ∈ 𝔞 tồn 𝑛 nguyên ̃ (𝐼, 𝐽) nên tồn 𝑚 nguyên dương cho 𝐼𝑚 ⊂ dương cho 𝔞𝑛 𝑥 = Do 𝑥 ∈ 𝔞 ∈ 𝑊 𝑎 + 𝐽 Từ ta có 𝐼𝑚𝑛 ⊂ (𝑎 + 𝐽)𝑛 ⊂ 𝑎𝑛 + 𝐽, suy 𝐼𝑚𝑛 𝑥 ⊂ 𝐽𝑥 Vậy 𝑥 ∈ Γ𝐼,𝐽 (𝑁) Từ giả thiết ta có Γ𝔞 (𝑁) 𝑅-mơđun Artin nên theo Mệnh đề 1.1.9, Hom𝑅 (𝑅/𝔞, Γ𝔞 (𝑁)) 𝑅-môđun Artin Đẳng cấu cho ta Hom𝑅 (𝑅/𝔞, 𝑁) Artin Vậy định lý với 𝑡 = Việc chứng minh cho 𝑡 > tương tự i  Trong [10, 2.4], tác giả chứng minh được: "Khi (𝑅, 𝔪) vành địa phương 𝑁 𝑅-mơđun hữu hạn sinh, ta có đẳng thức: 𝑖 ( ) inf{𝑖| 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 không Artin} = inf{depth 𝑁𝔭 | 𝔭 ∈ 𝑊 (𝐼, 𝐽)\{𝔪} } " Từ đó, ta có hệ sau: 32 Hệ 2.2.3 Cho (𝑅, 𝔪) vành địa phương Nếu 𝑀, 𝑁 𝑅-mơđun hữu hạn sinh 𝑖 ( inf{depth 𝑁𝔭 | 𝔭 ∈ 𝑊 (𝐼, 𝐽)\{𝔪} } ≤ inf{𝑖| 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) không Artin} Chứng minh Từ Định lý 2.2.2 phần i, ta suy bất đẳng thức 𝑖 ( ) 𝑖 ( inf{𝑖| 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 không Artin} ≤ inf{𝑖| 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) không Artin} Do ta có điều phải chứng minh theo [10, 2.4]  Định lý 2.2.4 Cho 𝐼, 𝐽 hai iđêan vành địa phương (𝑅, 𝔪) cho √𝐼 + 𝐽 = 𝔪 Giả sử 𝑀, 𝑁 hai 𝑅-môđun hữu hạn sinh với dim(𝑁) < ∞ 𝑡 số nguyên không âm 𝑖 ( 𝑡 ( 𝑡 ( Nếu 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑅-môđun Artin với 𝑖 > 𝑡 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁)/𝐽𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑅- môđun Artin Chứng minh 𝑖 ( 𝑖 ( Kết hợp Mệnh đề 2.1.9.vi 2.1.9.vii, ta 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) = 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁) với 𝑖 ≥ Do khơng tính tổng qt, giả sử 𝐼 = 𝔪 Bây ta chứng minh quy nạp theo dim(𝑁) = 𝑑 Khi 𝑑 = 0, 𝑁 𝔪-xoắn nên 𝑁 (𝔪, 𝐽)- xoắn Từ Mệnh đề 2.1.11, ta có đẳng cấu 𝑖 ( 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁) ≅ Ext 𝑖𝑅 (𝑀, 𝑁) với 𝑖 ≥ Theo Mệnh đề 1.3.4, dim(𝑁) = 𝑁 hữu hạn sinh nên 𝑁 môđun Artin Do 𝑁 Artin nên theo Mệnh đề 1.1.9, dẫn đến 𝑖 ( Ext 𝑖𝑅 (𝑀, 𝑁) môđun Artin với 𝑖 ≥ Đẳng cấu cho ta 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁) Artin với 𝑖 ≥ Do định lý với 𝑡 = Xét 𝑑 > Ta giả sử định lý với 𝑅 môđun 𝑁 với dim(𝑁) < 𝑛 Dãy khớp ngắn → Γ𝐽 (𝑁) → 𝑁 → 𝑁/Γ𝐽 (𝑁) → cảm sinh dãy khớp dài 𝛼 𝛽 𝛾 𝑡 𝑡 ( 𝑡 (𝑀, Γ𝐽 (𝑁)) → 𝐻𝔪,𝐽 (𝑀, 𝑁/Γ𝐽 (𝑁)) → … 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁) → 𝐻𝔪,𝐽 33 Theo Bổ đề 1.7.4, Γ𝐽 (𝑁) 𝑅-môđun 𝐽-xoắn nên ta có đẳng cấu: 𝑖 (𝑀, Γ𝐽 (𝑁)) ≅ 𝐻𝔪𝑖 (𝑀, Γ𝐽 (𝑁)) 𝐻𝔪,𝐽 theo Mệnh đề 2.1.12 Từ Định lý 1.7.10, ta có 𝐻𝔪𝑖 (𝑀, Γ𝐽 (𝑁)) mơđun Artin với 𝑖 (𝑀, Γ𝐽 (𝑁)) Artin với 𝑖 ≥ 𝑖 ≥ Suy 𝐻𝔪,𝐽 Từ dãy khớp dài trên, ta có hai dãy khớp ngắn: 𝑡 ( → Im𝛼 → 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁) → Im𝛽 → 𝑡 (𝑀, 𝑁/Γ𝐽 (𝑁)) → Im𝛾 → 0 → Im𝛽 → 𝐻𝔪,𝐽 Hai dãy khớp cảm sinh dãy khớp dài 𝑡 ( 𝑡 ( … → Im𝛼/𝐽Im𝛼 → 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁)/𝐽𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁) → Im𝛽/𝐽Im𝛽 → … → Tor1𝑅 (𝑅/𝐽, 𝐼𝑚𝛾 ) → Im𝛽/𝐽Im𝛽 𝑡 𝑡 (𝑀, 𝑁/Γ𝐽 (𝑁)) /𝐽𝐻𝔪,𝐽 (𝑀, 𝑁/Γ𝐽 (𝑁)) → Im𝛾/𝐽Im𝛾 → → 𝐻𝔪,𝐽 Chú ý Im𝛼 Im𝛾 𝑅-mơđun Artin Do đó, việc chứng minh hoàn 𝑡 𝑡 (𝑀, 𝑁/Γ𝐽 (𝑁)) /𝐽𝐻𝔪,𝐽 (𝑀, 𝑁/Γ𝐽 (𝑁)) 𝑅-môđun thành ta 𝐻𝔪,𝐽 Artin ̅ = 𝑁/Γ𝐽 (𝑁) Theo Bổ đề 1.7.4, 𝑁 ̅ 𝐽-không xoắn Do tồn phần tử 𝑥 ∈ 𝐽 Đặt 𝑁 ̅ theo Mệnh đề 1.7.3 không ước không 𝑁 Dãy khớp ngắn 𝑥 ̅ →𝑁 ̅→𝑁 ̅/𝑥𝑁 ̅→0 0→𝑁 cảm sinh dãy khớp dài 𝑓 𝑔 𝑡 ( 𝑡 ( 𝑡+1 ( ̅) → 𝐻𝔪,𝐽 ̅/𝑥𝑁 ̅) → 𝐻𝔪,𝐽 ̅) → ⋯ … → 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁 𝑀, 𝑁 𝑀, 𝑁 𝑖 ( ̅/𝑥𝑁 ̅) Artin với 𝑖 > 𝑡 Do dim(𝑁 ̅/𝑥𝑁 ̅) ≤ Từ giả thiết, ta suy 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁 𝑡 ( 𝑡 ( ̅/𝑥𝑁 ̅)/𝐽𝐻𝔪,𝐽 ̅/𝑥𝑁 ̅) Artin 𝑑 − nên theo giả thiết quy nạp ta có 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁 𝑀, 𝑁 34 Bây ta xét hai dãy khớp cảm sinh từ dãy khớp dài trên: 𝑡 ( ̅/𝑥𝑁 ̅) → Im𝑔 → 0 → Im𝑓 → 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁 𝑥 𝑡 ( 𝑡 ( ̅) → 𝐻𝔪,𝐽 ̅) → Im𝑓 → 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁 𝑀, 𝑁 Do đó, ta có hai dãy khớp dài 𝑡 ( 𝑡 ( ̅/𝑥𝑁 ̅)/𝐽𝐻𝔪,𝐽 ̅/𝑥𝑁 ̅) Tor1𝑅 (𝑅/𝐽, Im𝑔) → Im𝑓/𝐽Im𝑓 → 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁 𝑀, 𝑁 → Im𝑔/𝐽Im𝑔 → 𝑥 𝑡 ( 𝑡 ( 𝑡 ( 𝑡 ( ̅)/𝐽𝐻𝔪,𝐽 ̅) → 𝐻𝔪,𝐽 ̅)/𝐽𝐻𝔪,𝐽 ̅) → Im𝑓/𝐽Im𝑓 → 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁 𝑀, 𝑁 𝑀, 𝑁 𝑀, 𝑁 Do 𝑥 ∈ 𝐽 nên ta có 𝑡 ( 𝑡 ( ̅)/𝐽𝐻𝔪,𝐽 ̅) ≅ Im𝑓/𝐽Im𝑓 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁 𝑀, 𝑁 𝑡+1 ( ̅) 𝑅-mơđun Artin Vì Mặt khác, Tor1𝑅 (𝑅/𝐽, Im𝑔) Artin Im𝑔 ⊂ 𝐻𝔪,𝐽 𝑀, 𝑁 Im𝑓/𝐽Im𝑓 𝑅-môđun Artin chứng minh hoàn thành. Mệnh đề 2.2.5 Cho 𝑀, 𝑁 hai 𝑅-môđun hữu hạn sinh 𝑡 số nguyên dương cho 𝑡 ( 𝑡 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑅/𝔭) Artin với 𝔭 ∈ Supp(𝑁) Khi 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Artin Chứng minh Do 𝑁 hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 1.1.5, tồn chuỗi môđun 𝑁: = 𝑁0 ⊂ 𝑁1 ⊂ 𝑁2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑁𝑘 = 𝑁 cho 𝑁𝑖 /𝑁𝑖−1 ≅ 𝑅/𝔭𝑖 với 𝔭𝑖 ∈ Supp(𝑁) Với ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, dãy khớp ngắn → 𝑁𝑖−1 → 𝑁𝑖 → 𝑅/𝔭𝑖 → cảm sinh dãy khớp dài 𝑡 ( 𝑡 ( 𝑡 ( … → 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁𝑖−1 ) → 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁𝑖 ) → 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑅/𝔭𝑖 ) → ⋯ 𝑡 ( 𝑡 ( 𝑡 ( Ta có 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁1 ) ≅ 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑅/𝔭1 ) Từ dãy khớp trên, 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑅/𝔭𝑖 ) Artin 𝑡 ( nên ta có 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁𝑖 ) Artin với ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 Chứng minh hoàn tất  35 Từ mệnh đề trên, ta có hệ sau: Hệ 2.2.6 Cho 𝑀, 𝑁 hai 𝑅-môđun hữu hạn sinh 𝑡 số nguyên dương Giả sử 𝑡 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑅/𝔭) Arin với 𝔭 ∈ Supp(𝑁) i 𝑡 ( Nếu 𝐿 𝑅-môđun hữu hạn sinh cho Supp(𝐿) ⊂ Supp(𝑁) 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝐿) Artin 𝑡 ( ii Nếu 𝔞 iđêan 𝑅 cho V(𝔞) ⊂ Supp(𝑁) 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑅/𝔞) Artin Chứng minh i Lấy 𝔭 ∈ Supp(𝐿) Do Supp(𝐿) ⊂ Supp(𝑁) nên 𝔭 ∈ Supp(𝑁) Từ giả thiết ta có 𝑡 ( 𝑡 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑅/𝔭) Artin Vậy 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑅/𝔭) với 𝔭 ∈ Supp(𝐿) Theo Mệnh đề 𝑡 ( 2.2.5, suy 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝐿) Artin ii Theo Mệnh đề 1.1.6, ta có V(𝔞) = Supp(𝑅/𝔞) Từ giả thiết V(𝔞) ⊂ Supp(𝑁), ta có Supp(𝑅/𝔞) ⊂ Supp(𝑁) Lại có 𝑅/𝔞 hữu hạn sinh nên theo Hệ 2.2.6 𝑡 ( phần đầu, ta có 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑅/𝔞) Artin  𝑖 ( Cuối cùng, mệnh đề sau, ta nghiên cứu tính Artin 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) 𝑁 Artin Mệnh đề 2.2.7 Cho 𝑀 𝑅-môđun hữu hạn sinh 𝑁 𝑅-mơđun Artin Khi đó, 𝑖 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Artin với 𝑖 ≥ Chứng minh Ta sử dụng quy nạp theo 𝑖 Xét 𝑖 = Do Γ𝐼,𝐽 (𝑁) ⊂ 𝑁, 𝑁 Artin nên Γ𝐼,𝐽 (𝑁) Artin Từ Theo Mệnh đề 2.1.3, ta có Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) = Hom𝑅 (𝑀, Γ𝐼,𝐽 (𝑁)), suy Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) Artin theo Mệnh đề 1.1.9 Xét 𝑖 > Giả sử mệnh đề với 𝑖 − mơđun 𝑁 Kí hiệu 𝐸 (𝑁) bao nội xạ 𝑁 Ta có tính chất: 𝑁 ⊂ 𝐾 môđun thiết yếu 𝑁 Artin 𝐾 Artin Vì 𝐸 (𝑁) Artin 𝑁 Artin 36 Bây ta có dãy khớp ngắn → 𝑁 → 𝐸 (𝑁) → 𝐸 (𝑁)/𝑁 → cảm sinh dãy khớp dài 𝑖−1 ( 𝑖 ( 𝑖 (𝑀, 𝐸 (𝑁)) → ⋯ … → 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝐸 (𝑁)/𝑁) → 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) → 𝐻𝐼,𝐽 𝑖 (𝑀, 𝐸 (𝑁)) = với 𝑖 > nên ta có đẳng Theo tính chất ii Định lý 1.4.3, 𝐻𝐼,𝐽 cấu: 𝑖−1 ( 𝑖 ( 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝐸 (𝑁)/𝑁) ≅ 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) với 𝑖 > 𝑖−1 ( 𝑖 ( Ta có 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝐸 (𝑁)/𝑁) Artin theo giả thiết quy nạp Do 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) Artin  37 KẾT LUẬN Trong khuôn khổ luận văn, trình bày làm rõ số vấn đề sau: - Nêu định nghĩa trình bày số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương 𝑖 ( suy rộng theo cặp iđêan Γ𝐼,𝐽 (𝑀, 𝑁) hàm tử dẫn xuất phải thứ 𝑖 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, −) phần 2.1 𝑖 ( - Nghiên cứu tính Artin 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) số trường hợp cụ thể 𝑖 ( ) 𝑖 ( kết nối tính Artin của 𝐻𝐼,𝐽 𝑁 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) thông qua phần 2.2 Sau nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan, thấy đề tài nhiều vấn đề thú vị có nhiều hướng để nghiên cứu 𝑖 ( Chẳng hạn, mở rộng nghiên cứu tính Artin 𝐻𝐼,𝐽 𝑀, 𝑁) trường hợp tổng quát trường hợp đặc biệt khác 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M F Atiyah, I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, AddisonWesley, 1969 [2] J Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd edn (Springer, 2009) [3] H Matsumura, Commutative Ring Theory Cambridge: Cambridge University Press, 1987 [4] M P Brodmann and R Y Sharp, Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications (Cambridge University Press, 1998) [5] R.Y.Sharp, Steps in commutative algebra, (2nd ed.) (Cambridge University Press, 2001) [6] R Takahashi, Y Yoshino, and T Yoshizawa, “Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals,” J Pure Appl Algebr., vol 213, no 4, pp 582–600, 2009, doi: 10.1016/j.jpaa.2008.09.008 [7] K Divaani-Aazar, R Sazeedeh, and M Tousi, “On vanishing of generalized local cohomology modules,” Algebr Colloq., vol 12, no 2, pp 213–218, 2005, doi: 10.1142/S1005386705000209 [8] N Zamani, Generalized local cohomology relative to (I,J), Southeast Asian Bull Math 35 (2011) 1045–1050 [9] T T Nam, N M Tri, and N V Dong, “Some properties of generalized local cohomology modules with respect to a pair of ideals,” Int J Algebra Comput., vol 24, no 07, pp 1043–1054, Nov 2014, doi: 10.1142/S0218196714500453 [10] L C and Q Wang, “Some results on local cohomology modules defined by a pair of ideals,” Commun Algebr., vol 43, no 5, pp 2214–2230, 2009, doi: 10.1080/00927872.2014.891124 ... 1.7 Môđun đối đồng điều địa phương 17 CHƯƠNG 2: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN 19 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan 19... điều địa phương để phục vụ cho chứng minh chương CHƯƠNG 2: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chương này, chia phần gồm: 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan. .. iđêan 2.2 Tính artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan Trong 2.1, phần đầu tơi trình bày khái niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan (