Môđun minimax và đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRANG BÌA PHỤ Đặng Thị Hiệp MÔĐUN MINIMAX VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRANG BÌA PHỤ Đặng Thị Hiệp MÔĐUN MINIMAX VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài luận văn, bước đầu nhiều bỡ ngỡ bảo hướng dẫn nhiệt tình thầy, PGS.TS Trần Tuấn Nam, giúp làm quen với việc nghiên cứu hoàn thành luận văn thời hạn Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy giảng dạy lớp cao học Đại số lý thuyết số K24: PGS.TS Lê Hồn Hóa, PGS.TS Nguyễn Bích Huy, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, TS Trần Huyên, GS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Bùi Tường Trí, truyền đạt cho tơi kiến thức bổ ích làm tảng cho việc nghiên cứu đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện giúp tơi hồn thành luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Phịng Tổ Chức Hành Chính, Phịng Kế Hoạch – Tài Chính trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành đề tài Cảm ơn ThS Nguyễn Minh Trí giúp tơi trình tìm tài liệu, cảm ơn bạn lớp cao học giúp đỡ tơi q trình học tập cuối xin cảm ơn gia đình ln động viên tơi lúc khó khăn để tơi có tinh thần làm việc học tập Tuy cố gắng hoàn thiện luận văn thật tốt sai sót khó tránh khỏi, mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình q thầy bạn TP HCM, ngày tháng năm 2015 Đặng Thị Hiệp MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giá, iđêan nguyên tố liên kết iđêan nguyên tố đối liên kết 1.2 Mở rộng cốt yếu, môđun đơn môđun đế 1.3 Môđun Coatomic 1.4 Chiều 1.5 Dãy quy bậc 10 1.6 Đối đồng điều địa phương 11 Chương MÔĐUN MINIMAX VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 17 2.1 Môđun minimax 17 2.2 Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương 22 2.3 Tính hữu hạn, triệt tiêu không triệt tiêu 29 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 DANH MỤC KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa R : vành Nơte giao hoán ( R , m) : vành Nơte địa phương I : iđêan vành R HiI ( M ) : Môđun đối đồng điều thứ i tương ứng với iđêan I M Mp : mơđun địa phương hóa M iđêan nguyên tố p :M I := 0} { x ∈ M xI = Spec(R) : tập tất iđêan nguyên tố vành R Supp R ( M ) := { p ∈Spec(R) M p ≠ 0} MaxR : tập tất iđêan cực đại vành R Ann R ( M ) := 0} {a ∈ R aM = Ass R ( M ) : tập tất iđêan nguyên tố liên kết với R-môđun M E( M ) : bao nội xạ R-môđun M V( I ) := { p ∈ Spec( R) p ⊇ I } Att R ( M ) : tập tất iđêan nguyên tố gắn kết với R-môđun M Coass R ( M ) : tập tất iđêan nguyên tố đối liên kết với R-môđun M cd( I , M ) := sup {n ≥ H nI (M ) ≠ 0} I dim M := {x ∈ R ∃n ∈ } : x n ∈ I } : chiều Krull M MỞ ĐẦU Trong luận văn này, ta ln giả thiết R vành Nơte giao hốn Mục tiêu luận văn nghiên cứu số tính chất mơđun minimax cuối điều kiện xa kết tính hữu hạn, triệt tiêu tính Artin mơđun đối đồng điều địa phương HiI ( M ) cho R-môđun M tương ứng với iđêan I Nội dung luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương giới thiệu định nghĩa bản: Giá, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố đối liên kết môđun liên quan; môđun coatomic; đối đồng điều địa phương tính chất liên quan đến chứng minh nội dung chương Chương Môđun minimax đối đồng điều địa phương Phần đầu chương trình bày định nghĩa mơđun minimax mệnh đề tính cofinite mơđun minimax Nội dung chương mơ tả tính Artin, tính hữu hạn, triệt tiêu khơng triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương minimax coatomic HiI ( M ) • Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương Cho R vành Nơte, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh Nếu r ≥ số nguyên cho HiI ( M ) mơđun minimax với i ≥ r HiI ( M ) môđun Artin với i ≥ r • Điều kiện cho mơđun locally minimax môđun minimax Cho M R-môđun cho Supp R ( M ) ⊂ V( I ) M locally minimax Nếu 0:M I hữu hạn sinh M mơđun I-cofinite minimax Đặc biệt trường hợp này, tồn phần tử x ∈ I cho 0:M x I-cofinite mơđun I-cofinite • Ngun tắc địa phương hóa cho mơđun đối đồng điều địa phương minimax Cho I iđêan R, M R-môđun hữu hạn sinh t số nguyên không âm Các phát biểu sau tương đương: (i) HiI ( M ) R-môđun minimax với i ≤ t (ii) HiI ( M ) R-môđun I-cofinite minimax với i ≤ t (iii) HiI ( M )m R m -môđun minimax với m ∈ MaxR với i ≤ t • Định lí khơng triệt tiêu cho môđun coatomic Cho ( R, m) vành Nơte địa phương Nếu M R-mơđun coatomic khác có chiều n H nm ( M ) ≠ • Định lí triệt tiêu cho mơđun coatomic Cho R vành Nơte, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh Các phát biểu sau tương đương: (i) HiI ( M ) coatomic với i < n (ii) Coass R (HiI ( M )) ⊂ V( I ) với i < n (iii) HiI ( M ) hữu hạn sinh với i < n Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giá, iđêan nguyên tố liên kết iđêan nguyên tố đối liên kết Định nghĩa 1.1.1 Cho M R -môđun x ∈ M , linh hóa tử x Ann R ( x) =∈ 0} {r R rx = Linh hóa tử M Ann R ( M ) = 0} {r ∈ R rM = Mệnh đề 1.1.2 Cho M R-mơđun Giá M kí hiệu Supp( M ) hay Supp R ( M ), định nghĩa tập hợp { p ∈Spec(R) M p ≠ 0} Mệnh đề 1.1.3 Cho R vành giao hoán f g → L  → M  → N  →0  dãy khớp R -môđun R -đồng cấu Khi Supp( = M ) Supp( N ) ∪ Supp( L) Mệnh đề 1.1.4 Cho M R-mơđun Khi Supp( M ) = Var(Ann( M )) { p ∈ spec( R) p ⊇ (0: M )} = Mệnh đề 1.1.5 Nếu R vành Nơte I iđêan vành R Supp( R / I ) = V( I ) Mệnh đề 1.1.6 Cho R vành Nơte, M R -môđun hữu hạn sinh I iđêan vành R Khi Supp( M ) ⊂ V( I ) ⇔ ∃k ∈  : I k M =0 Định nghĩa 1.1.7 Cho R vành Nơte giao hốn, M R -mơđun Một iđêan nguyên tố p vành R gọi iđêan nguyên tố liên kết M thỏa điều kiện sau: (i) Có phần tử ≠ x ∈ M cho Ann( x) = p ; (ii) M chứa môđun đẳng cấu với R / p Tập hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M, kí hiệu Ass R ( M ) hay Ass( M ) Mệnh đề 1.1.8 P iđêan nguyên tố liên kết M M có môđun N cho N ≅ R / m Mệnh đề 1.1.9 Cho f g → L  → M  → N  →0  dãy khớp R -môđun R -đồng cấu Khi Ass( L) ⊆ Ass( M ) ⊆ Ass( L) ∪ Ass( N ) Mệnh đề 1.1.10 Nếu M R -mơđun hữu hạn sinh Ass( M ) tập hữu hạn Định lí 1.1.11 Cho M R-mơđun Khi Ass(M ) ⊂ Supp(M ) tất phần tử cực tiểu Supp( M ) thuộc Ass( M ) Định nghĩa 1.1.12 Cho M R -môđun, phần tử x ∈ R gọi ước M Ann M (x) ≠ Định nghĩa 1.1.13 Một môđun N M gọi p-nguyên sơ Ass( M / N ) = { p} 1.2 Mở rộng cốt yếu, môđun đơn môđun đế Định nghĩa 1.2.1 Cho L R-môđun M R-môđun L L gọi mở rộng cốt yếu M B ∩ M ≠ với môđun B khác không L Mở rộng cốt yếu L ⊇ M gọi tối đại không tồn R-môđun K ⊇ L ; K ≠ L đồng thời K mở rộng cốt yếu M Nếu L ⊇ M mở rộng cốt yếu M M gọi mơđun cốt yếu L, kí hiệu M ⊆e L Môđun N M gọi môđun đối cốt yếu M với mơđun N’ M ta ln có N + N ’ = M suy N’=M, kí hiệu N  M Định nghĩa 1.2.2 Cho R vành Nơte giao hốn có đơn vị, M R-mơđun L Môđun L gọi bao nội xạ M L vừa R-môđun nội xạ, vừa mở rộng cốt yếu M Định nghĩa 1.2.3 Một R-môđun M gọi môđun đơn M khác M khơng có mơđun khác M Một R-môđun M gọi nửa đơn môđun M hạng tử trực tiếp M Định nghĩa 1.2.4 Đế R-môđun M tổng môđun đơn M, tương đương với giao môđun cốt yếu M, kí hiệu Soc(M) Mơđun M gọi mơđun đế khơng có mơđun đơn hay Soc ( M ) = Soc(M) môđun nửa đơn lớn M M môđun nửa đơn M = Soc ( M ) 26 1.1.9, Ass R ( M n ) ⊂ Ass R (M ) = Ass R (0 :M I ) Ass R ( M n ) hữu hạn Do Supp R ( M n ) phải tập đóng X = Spec( R) Vì U n = X \ Supp R (M n ) dãy tăng tập mở X Với iđêan cực đại m , tồn n cho ∞ ( M n )m = , nghĩa m ∈U n , X =  n=0U n Theo tính tựa-compact X, ta có X = U n , với vài n Vậy M = 0:M I n hữu hạn sinh nên theo Định lí 2.1.6 M mơđun I-cofinite Mặt khác Ass R ( M n ) hữu hạn nên M môđun Lasker yếu M m Rm môđun minimax nên M R -môđun minimax Do M môđun I-cofinite minimax Đặc biệt, tồn phần tử x ∈ I cho 0:M x I-cofinite M mơđun I-cofinite  Định lí 2.2.8 sử dụng để chứng minh cho Hệ 2.2.9 Định lý 2.2.8 Cho n số nguyên không âm M R -môđun cho Ext iR ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i ≤ n Nếu HiI ( M ) I -cofinite với i < n Hom R ( R / I ,H nI ( M )) hữu hạn sinh Chứng minh Dùng phương pháp quy nạp theo n Với n = , ta có H 0I ( M ) = Γ I ( M ) Hom R ( R / I , Γ I ( M )) ≅ Hom R ( R / I , M ) Theo giả thiết, ta có Ext iR ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i ≤ n nên Ext 0R ( R / I ,H 0I ( M )) hữu hạn sinh Mặt khác, Hom R ( R / I ,H 0I ( M )) ≅ Ext 0R ( R / I ,H 0I ( M )) nên Hom R ( R / I ,H 0I ( M )) hữu hạn sinh, mệnh đề với n = Với n > , giả sử mệnh đề với n − 1, ta chứng minh với n 27 Đặt M = M / Γ I ( M ) Từ dãy khớp  → Γ I ( M )  → M  → M  →0 ta nhận dãy khớp dài cảm sinh  → Ext iR ( R / I , M )  → Ext iR ( R / I , M / Γ I ( M ))  → Ext iR+1 ( R / I , Γ I ( M ))  → mà Γ I ( M ) I -cofinite nên Ext iR ( R / I , Γ I ( M )) hữu hạn sinh với i ≥ Mặt khác, theo giả thiết Ext iR ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i < n nên Ext iR ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i < n Mặt khác, H 0I ( M ) = HiI ( M ) ≅ HiI ( M ) với i ∈  nên ta giả sử Γ I (M ) = Gọi E bao đóng nội xạ M đặt N = E / M Khi theo Mệnh đề 1.6.8, ΓI (E) = Hom R ( R / I , E ) = Từ dãy khớp  → M  → E  → N  →0 ta nhận dãy khớp cảm sinh Ext iR ( R / I , E )  → Ext iR ( R / I , N )  → Ext iR+1 ( R / I , M )  → Ext Ri +1 ( R / I , E ) HiI ( E )  → HiI ( N )  → Hi+ → HiI+1 ( E ) I ( M )  Theo cách chọn E , ta có Ext iR ( R / I , E ) = HiI ( E ) = với i ≥ Do có Ext iR ( R / I , N ) = Ext iR+1 ( R / I , M ) HiI ( N ) ≅ HiI+1 ( M ) với i ≥ Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có Hom R ( R / I ,H nI −1 ( N )) hữu hạn sinh nên suy Hom R ( R / I ,H nI ( M )) hữu hạn sinh Vậy ta có điều phải chứng minh  Hệ 2.2.9 sau mô tả mối quan hệ tính cofinite tính minimax đối đồng điều địa phương Hệ 2.2.9 Cho n số nguyên không âm M R-môđun hữu hạn sinh 28 Nếu HiI ( M ) I-cofinite với i < n H nI ( M ) mơđun locally (i) minimax I-cofinite minimax (ii) Nếu HiI ( M ) I-cofinite với i < n môđun locally minimax với i ≥ n HiI ( M ) I-cofinite với i Chứng minh (i) Vì M R-môđun hữu hạn sinh nên theo Bổ đề 1.6.14 ta có Ext iR ( R / I , M ) hữu hạn sinh Do theo Định lí 2.2.8 ta chứng minh Hom R ( R / I ,H nI ( M )) hữu hạn sinh, theo Hệ 1.6.18 Ext nR ( R / I , M ) hữu hạn sinh Do H nI ( M ) I-cofinite Vậy HiI ( M ) I-cofinite minimax (ii) Theo phần (i) dễ thấy HiI ( M ) I-cofinite với i < n môđun locally minimax với i ≥ n HiI ( M ) I-cofinite minimax với i Do HiI ( M ) I-cofinite  Định lí 2.2.10 sau kết mơ tả ngun tắc địa phương hóa hợp lí cho mơđun đối đồng điều địa phương minimax Định lí 2.2.10 Cho I iđêan R, M R-môđun hữu hạn sinh t số nguyên không âm Các phát biểu sau tương đương: (i) HiI ( M ) R-môđun minimax với i ≤ t (ii) HiI ( M ) R-môđun I-cofinite minimax với i ≤ t (iii) HiI ( M )m R m -môđun minimax với m ∈ MaxR với i ≤ t Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử HiI ( M ) R-mơđun minimax, theo Định lí 2.2.7, HiI ( M ) R- môđun I-cofinite minimax Do (i) (ii) tương đương 29 (ii) ⇒ (iii) HiI ( M ) R-môđun I-cofinite minimax với i ≤ t HiI ( M ) R-môđun minimax với i ≤ t Theo Mệnh đề 2.2.2 HiI ( M )m R m -môđun minimax với m ∈ MaxR với i ≤ t (iii) ⇒ (i) Chứng minh quy nạp theo t Khi t = , hiển nhiên Giả sử t > (iii) ⇒ (i) trường hợp t −1 Vì ta giả sử Như tồn x ∈ I cho dãy Γ I (M ) = x  → M  → M  → M / xM  →0 khớp Xét dãy khớp HiI ( M )m  → HiI ( M / xM )m  → Hi+1 I ( M )m kết hợp với (i) ⇔ (ii) Hệ 2.1.7 suy HiI ( M / xM )m Rm -môđun IRm cofinite minimax với i < t −1 Như theo giả thiết quy nạp (i) ⇔ (ii) , HiI ( M / xM )m R-môđun I -cofinite minimax với i < t −1 Dãy khớp x Hi-I ( M / xM )  → HiI ( M )  → HiI ( M ) Mệnh đề 2.1.7 : H Ii ( M ) x môđun I -cofinite minimax với i < t Thật theo Định lí 2.2.7, HiI ( M ) môđun I -cofinite minimax với i < t  Ví dụ 2.2.11 Giả sử tập Ω iđêan cực đại R hữu hạn Khi mơđun ⊕m∈Ω R / m địa phương hóa mơđun minimax, khơng mơđun minimax 2.3 Tính hữu hạn, triệt tiêu không triệt tiêu Bổ đề 2.3.1 Cho R vành Nơte, I iđêan R, M R-môđun Khi IM hữu hạn sinh M / ( :M I ) hữu hạn sinh 30 Chứng minh (⇒) Giả sử I = (a1 , , an ) Xét đồng cấu f : M  →( IM )n m  f (m) = (ai m)in=1 Ta có ker f = :M I nên môđun M / (0 :M I ) đẳng cấu với môđun ( IM )n Do IM hữu hạn sinh M / (0 :M I ) hữu hạn sinh → IM (⇐) Xét đồng cấu g : M n  n m  g ((mi )in=1) = ∑ mi i =1 Khi g tồn cấu (0:M I )n ⊂ ker g Do IM ảnh đồng cấu ( M / (0:M I ))n Đặc biệt, I = xR iđêan chính, mơđun xM ≅ M / (0:M x) Do M / (0 :M I ) hữu hạn sinh IM hữu hạn sinh  Định lí 2.3.2 (Định lí khơng triệt tiêu cho mơđun coatomic) Cho ( R, m) vành Nơte địa phương Nếu M R-mơđun coatomic khác có chiều n H nm ( M ) ≠ Chứng minh Nếu n = , tức dim M = Khi H 0m ( M ) ≅ Γ m ( M ) ≠ Giả sử n ≥ , từ Định lý 1.3.9 (i) ⇒ (iii) tồn số nguyên t ≥ cho mt M hữu hạn sinh Do theo Bổ đề 2.3.1 M / (0:M mt ) hữu hạn sinh Khi t dim R M / (0: = = n M m ) dim RM dim R (0:M mt ) = , suy Him (0 :M mt ) = với i ≥ (Theo định lí triệt tiêu 1.6.9) Xét dãy khớp g  →(0 :M mt )  → M  → M / (0 :M mt )  →0 31 có toàn cấu g : M  → M / (0 :M mt ) nên theo Hệ 1.6.7 suy H nm ( M ) ≅ H nm ( M / (0:M mt )) Do theo Định lí 1.6.10, M / (0:M mt ) hữu hạn sinh H nm ( M / (0:M mt )) ≠ Vậy H nm ( M ) ≠ nên  Bổ đề 2.3.3 Nếu R vành Nơte, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh có chiều n, (i) dim R H n-i I ( M ) ≤ i (ii) Nếu (R, m) vành địa phương, Supp R (H nI ( M )) tập hữu hạn bao gồm iđêan nguyên tố p cho dim R / p ≤ Chứng minh n-i n-i (i) Cho p ∈ Supp R (H n-i I ( M )) , ta có H I ( M ) p ≅ H IRp ( M p ) ≠ Theo Định lí 1.6.9 suy dim M p ≥ n − i dim R / p ≤ n − dim M p ≤ i (ii) Cho m = ( x1, , xr ) Khi dim M x ≤ n −1 với 1≤ i ≤ r Do theo Mệnh i n-1 đề 1.6.15 H n-1 IR ( M x ) ≠ Rx -môđun Artin Supp R x (H I ( M ) x ) hữu hạn xi i i i i Nếu p ∈ Supp R (H n-1 I ( M )) p ≠ m tồn i cho xi ∉ p , tức n-1 pRx ∈ Supp R x (H n-1 I ( M ) x ) Như Supp R (H I ( M )) phải hữu hạn i i i  Mệnh đề 2.3.4 Cho M mơđun coatomic có chiều n ≥ vành địa phương (R, m) cho I iđêan R Khi ta có (i) H nI Artin I-cofinite (ii) Att R (H nI ( M )) = n} {p ∈ Supp R (M ) / cd( I , R / p) = 32 (iii) Supp R (H n-1 I ( M )) tập hữu hạn bao gồm iđêan nguyên tố p cho dim R / p ≤ Chứng minh (i) Như chứng minh Định lí 2.3.2, ta có H nI ( M ) ≅ H nI (M / (0:M mt )) Vì M môđun coatomic tồn t ≥ cho mt M hữu hạn sinh Suy M / (0:M mt ) R-mơđun hữu hạn sinh Khi t dim R M / (0: = = n M m ) dim RM Do theo Hệ 2.1.8 H nI ( M ) Artin I-cofinite (ii) Đặt L = M / (0:M mt ) ý Supp R ( L) = Supp R ( M ) Theo [10, Định lí A], ta có Att R (H nI ( L)) = n} { p ∈ Supp R ( L) / cd( I , R / p) = khẳng định n} Att R (H nI ( M )) = { p ∈ Supp R (M ) / cd( I , R / p) = (iii) Vì M R-mơđun coatomic nên H nI ( M ) ≅ H nI (M / (0:M mt )) (theo chứng minh Định lí 2.3.2) Với t ≥ cho M / (0:M mt ) R-môđun hữu hạn sinh có t = = chiều n dim R ( M ) dim R ( M / (0:M m )) n Do M R- mơđun hữu hạn sinh Theo chứng minh phần (ii) Bổ đề 2.2.3, Supp R (H n-1 I ( M )) tập hữu hạn bao gồm iđêan nguyên tố p cho dim R / p ≤ Tuy nhiên n = , H nI ( M ) khơng Artin  Ví dụ 2.3.5 M = ( R / m)( ) m-xoắn môđun coatomic có chiều khơng artin 33 Thật M m-xoắn nên Γ m ( M ) = M mà Γ m ( M ) ≅ H 0m (M) không Artin Bổ đề 2.3.6 Cho M hữu hạn sinh R-môđun coatomic Khi = cd ( I , M ) ⇔ Supp R ( M ) ⊂ V( I ) Chứng minh (⇐) Giả sử Supp R ( M ) ⊂ V( I ) , theo Mệnh đề 1.6.21 ta có H0I ( M ) ≅ M HiI ( M ) = với i ≥ Do HiI ( M ) ≠ với i = Vậy cd( I , M ) = sup {n ≥ H nI ( M ) ≠ 0} = (⇒) Giả sử ( R, m) vành địa phương M hữu hạn Nếu Supp R ( M ) ⊄ V( I ) M =M / Γ I ( M ) ≠ Γ I ( M ) = Như ta có = r depth I ( M ) > , theo Định lí 1.6.11 ta có H rI ( M ) ≠ Mặt khác H rI ( M ) ≅ H rI ( M ) nên H rI ( M ) ≠ Do cd( I , M ) = sup {r > H rI ( M ) ≠ 0} > (mâu thuẫn giả thiết) Bây giả sử M coatomic Với r >0, ta có H rI ( M ) ≅ H rI ( M / (0:M mt )) với t ≥ cho M / (0:M mt ) hữu hạn sinh Mà Supp R ( M / (0:M mt )) = Supp R ( M ) sử dụng kết vừa cho mơđun hữu hạn sinh  Định lí 2.3.7 Cho N M R-môđun M hữu hạn sinh Nếu Supp R ( N ) ⊆ Supp R ( M ) cd( I , N ) ≤ cd( I , M ) Chứng minh Ta cd( I , M ) < i ≤ dim M + khẳng N định HiI ( N ) = R-môđun hữu với hạn i, sinh với với Supp R ( N ) ⊆ Supp R ( M ) Lập luận điều cần chứng minh theo quy nạp giảm dần Với i dim M + ( i > dim M ) theo định lí triệt tiêu Grothendieck (định lí 1.6.8) i = 34 ta có HiI ( M ) = , cd( I , N ) ≤ cd( I , M ) Từ Supp R ( N ) ⊆ Supp R ( M ) ta có chuỗi = N0 ⊂ N1 ⊂ N ⊂ ⊂ N k = N , cho N j / N j −1 ảnh đồng cấu tổng trực tiếp hữu hạn M Sử dụng dãy khớp ngắn, ta hạn chế tới trường hợp k = Khi ta có dãy khớp  → L  → M n  → N  → 0, với n ∈ R-môđun L hữu hạn sinh Điều kéo theo dãy khớp môđun đối đồng điều địa phương  → HiI ( L)  → HiI ( M n )  → HiI ( N )  → HiI+1( L)  → , theo giả thiết quy nạp, HiI+1( L) = Như HiI ( N ) = Vậy cd( I , N ) ≤ cd( I , M )  Mệnh đề 2.3.8 sau diễn tả định lí Mệnh đề 2.3.8 Cho I iđêan R M R-môđun coatomic Cho N môđun tùy ý cho Supp R ( N ) ⊂ Supp R ( M ) cd( I , N ) ≤ cd( I , M ) Chứng minh Giả sử ( R, m) vành địa phương Nếu cd( I , M ) = theo bổ đề 2.3.5 Supp R ( M ) ⊂ V( I ) Supp R ( N ) ⊂ Supp R ( M ) nên Supp R ( N ) ⊂ V( I ) Do HiI ( N ) = với i > Suy cd( I , N ) = Nếu cd( I , M ) ≥ Ta có H rI ( M ) ≅ H rI ( M / (0:M mt )) với t ≥ cho M / (0:M mt ) hữu hạn sinh Từ Supp R ( N ) ⊂ Supp R ( M ) = Supp R ( M / (0 :M mt )) , Từ Định lí 2.3.7 35 cd( I , N ) ≤ cd( I , M / (0:M mt )) = cd( I , M )  Tiếp theo chứng minh vài kết triệt tiêu hữu hạn cho đối đồng điều địa phương Định lí 2.3.9 Cho R vành Nơte, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh Các phát biểu sau tương đương: (i) HiI ( M ) coatomic với i < n (ii) Coass R (HiI ( M )) ⊂ V( I ) với i < n (iii) HiI ( M ) hữu hạn với i < n Chứng minh Theo Định lí 1.6.17 Định lí 1.6.7 ta giả sử ( R, m) vành địa phương (i) ⇒ (ii) Hiển nhiên theo định nghĩa môđun coatomic (ii) ⇒ (iii) Theo Mệnh đề 1.3.10 tồn t ≥ cho I t HiI ( M ) hữu hạn sinh với i < n Do tồn s ≥ t cho I s HiI ( M ) = với i < n , tức I ⊆ (0 : HiI ( M )) với i < n Khi áp dụng mệnh đề 1.1.16, ta có HiI ( M ) hữu hạn với i < n (iii) ⇒ (i) Mọi R-môđun hữu hạn sinh coatomic  Các kết sau sinh từ Mệnh đề 2.1.8 Định lí 2.3.10 Cho I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh cho r ≥ Các phát biểu sau tương đương: (i) HiI ( M ) = với i ≥ r (ii) HiI ( M ) hữu hạn sinh với i ≥ r (iii) HiI ( M ) coatomic với i ≥ r 36 Chứng minh (i) ⇒ (ii) hiển nhiên (ii) ⇒ (iii) Giả sử HiI ( M ) hữu hạn sinh với i ≥ r , theo Mệnh đề 1.3.4 suy HiI ( M ) coatomic với i ≥ r (iii) ⇒ (i) Sử dụng Mệnh đề 2.1.9 Định lí 1.6.7 ta giả sử ( R, m) vành địa phương Vì mơđun coatomic thỏa mãn bổ đề Nakayama Chứng minh tương tự Mệnh đề 2.1.9  Hệ 2.3.11 Cho M R-môđun coatomic Nếu HiI ( M ) coatomic với i ≥ r ≥ HiI ( M ) = với i ≥ r Chứng minh Giả sử ( R, m) vành địa phương Ta có H rI ( M ) ≅ H rI ( M / (0:M mt )) với t ≥ cho M / (0:M mt ) hữu hạn sinh Sử dụng (iii) ⇒ (ii) Định lí 2.3.10 ta điều phải chứng minh  Hệ 2.3.12 Cho I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh Nếu c = cd( I , M ) > HcI ( M ) khơng coatomic, đặc biệt không hữu hạn sinh Chứng minh Từ c = cd( I , M ) > , tức HcI ( M ) ≠ Khi theo [Định lí 2.3.10, (iii) ⇒ (i) ] suy HcI ( M ) khơng coatomic Theo Định lí 2.3.10 (ii) ⇒ (i) , HcI ( M ) không hữu hạn sinh Hệ 2.3.13 Nếu M coatomic r ≥ , điều sau tương đương: (i) HiI ( M ) = với i ≥ r (ii) HiI ( M ) hữu hạn sinh với i ≥ r (iii) HiI ( M ) coatomic với i ≥ r  37 Chứng minh Vì R-mơđun coatomic mơđun hữu hạn nên theo Định lí 2.3.10 ta có kết cần chứng minh  38 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày hệ thống lại nội dung báo: “Finiteness properties of minimax and coatomic local cohomology module, Arch Math 94 (2010), 519 – 528” TS M Aghapournahr TS L Melkersson Kết luận văn gồm phần sau: • Hệ thống lại kiến thức sở iđêan nguyên tố liên kết, đối liên kết, môđun coatomic số môđun liên quan • Củng cố số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương, mơđun minimax • Chứng minh làm rõ kết quan trọng báo tính artin, tính hữu hạn, triệt tiêu không triệt tiêu cho môđun đối đồng điều địa phương minimax môđun đối đồng điều địa phương coatomic Đây kết rộng môđun đối đồng điều địa phương HiI ( M ) cho môđun M tương ứng với iđêan I Vì thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót cịn số vấn đề chưa làm sáng tỏ, mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung q thầy bạn để luận văn hồn chỉnh 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO C Huneke and J Koh (1991), Cofinitess and vanishing of local cohomology modules, Math Proc Cambridge Philos Soc 110 , 421 – 429 Helmut – Zöschinger (1986), Minimax Moduln, J Algebra 102, – 32 Helmut – Zöschinger (1980), Koatomare Moduln, Math Z 170, 221 - 232 H Zöschinger (1988), über koassoziierte Primideale, Math Scand 63, 196 - 211 K I Yoshida (1974), Cofiniteness of local cohomology modules for ideals ò dimension one, Nagoya math J 147, 179 – 191 K Divaani-Aazar and A Mafi (2005), Associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc 133, 655 - 660 K Divaani-Aazar, R Naghipour, and M Tousi (2002) Cohomological dimension of certain algebraic varieties, Proc Amer Math Soc 133, 3537 -3544 L Melkersson (2005), Modules cofinite with respect to an ideal, J Algebra 285, 649 – 668 L Melkersson (1999), Properties of cofinite modules and applications to local cohomology, Math Proc Cambridge Philos Soc 125, 417 – 423 10 M T Dibaei and S Yassemi (2005), Attached primes of the top local cohomology modules with respect to an ideal, Arch Math 84, 292 – 297 11 M P Brodmann and R Y Sharp (1998), Local Cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge university press 12 M T Dibaei and S Yassemi (2004), Cohomological dimension of complexes, Comm Algebra 32, 4375 - 4386 40 13 M Aghapournahr and L Melkersson, A natural map in local cohomology, Ark Math 14 M Aghapournahr and L Melkersson (2010), Finiteness properties of minimax and coatomic local cohomology modules, Arch Math 94, 519 - 528 15 P Rudlof (1992), On minimax and related modules, Can J Math 44, 154 – 166 16 R Belshof and C Wickham (1997), A note on local duality, Bull, London math Soc 29, 25 - 31 17 S Yassemi (1995), Coasssociated primes, Comm, Algebra, 23, 1473 – 1498 18 T Marley (2001), The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math 104, 519 – 525 19 T Zink (1974), Endlichkeitsbedingungen für Moduln über einem Noetherschen Ring, Math, Nachr 164, 239 – 252 ... triệt tiêu khơng triệt tiêu cho môđun đối đồng điều địa phương minimax môđun đối đồng điều địa phương coatomic Đây kết rộng môđun đối đồng điều địa phương HiI ( M ) cho môđun M tương ứng với iđêan... đồng điều địa phương 11 Chương MÔĐUN MINIMAX VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 17 2.1 Môđun minimax 17 2.2 Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương 22 2.3 Tính hữu hạn, triệt... Chương MÔĐUN MINIMAX VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Môđun minimax Định nghĩa 2.1.1 Một R -môđun M gọi mơđun minimax có mơđun hữu hạn sinh N M cho M/N Artin Lớp môđun minimax bao gồm tất môđun