Đối đồng điều của đại số lie toàn phương thấp chiều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Hà Thị Ngọc Phượng

ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIETOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀUChuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:TS DƯƠNG MINH THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi Mọi sựkế thừa và phát huy các kết quả của các nhà khoa học đều được trích dẫn rõràng và đúng quy định Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìmhiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung và yêucầu của đề tài cần nghiên cứu.

Học viên

Hà Thị Ngọc Phượng

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhậnđược sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thànhphố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè.

Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Dương Minh Thành.Thầy đã luôn quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫnđể giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quátrình học tập Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy BùiTường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, thầy Trần Tuấn Nam,cô Phạm Thị Thu Thủy, quý thầy cô đã tận tình dạy bảo và mở mang cho tôinhiều kiến thức về Toán học, đặc biệt là kiến thức về chuyên ngành Đại số,làm nền tảng vững chắc để tôi học tập và nghiên cứu.

Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số và Lý thuyết số Khóa 27 cũngnhư bạn bè và người thân đã hết lòng động viên giúp đỡ tôi trong quá trìnhhọc tập và làm luận văn.

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi Gia đình tôi luôn là nguồn động viêntinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2019

Hà Thị Ngọc Phượng

Không gian các đồng cấu trên không gian vector V

Đại số Lie các ma trận vuông cấp n trên trường

Đại số Lie các ma trận vuông cấp n có vết bằng 0 trên trườngKhông gian các ánh xạ k - tuyến tính phản xứng từ g   g vào

Vspan X , Y

3 g* 

Không gian sinh bởi cơ sở X , Y

Số chiều của không gian vector g

Không gian đối ngẫu của đại số Lie gTổng trực tiếp

Tổng trực tiếp trực giao

Không gian các 3 - dạng phản xứng trên

1.2 Đại số Lie toàn phương 7

1.3 Đối đồng điều đại số Lie 12

Chương 2 Đại số Lie toàn phương thấp chiều 15

2.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương đến 4 chiều 15

2.2 Đại số Lie toàn phương cơ bản và đại số Lie toàn phương giải được 7chiều 17

Chương 3 Tính toán về họ đối đồng điều đại số Lie 24

3.1 Mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của đại số Lie 24

3.2 Tính toán trực tiếp nhờ toán tử đối bờ 40

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

Các không gian vectơ được xét trên trường số phức và hữu hạn chiều Trong Lý thuyết đại số Lie, bài toán nghiên cứu đối đồng điều của cácđại số Lie là một bài toán lý thú nhưng mức độ giải quyết cho đến nay vẫncòn khá hạn chế Cụ thể, một bài toán đơn giản trong lĩnh vực này là mô tảcác nhóm đối đồng điều của một đại số Lie cho trước cũng mới chỉ giải quyếtđược trên một số ít các họ đại số Lie hoặc chỉ mới dừng lại ở việc mô tả sốchiều của các nhóm đối đồng điều trong một số trường hợp đơn lẻ nào đó Đốivới trường hợp đơn giản nhất là các nhóm đối đồng điều ( , ℂ) với là mộtđại số Lie cho trước và số chiều của các nhóm này hiện vẫn tồn tại nhiều câuhỏi.

Một trong những kết quả đầu tiên được nhiều người nhắc đến là công thức số Betti, tức sốchiều của nhóm đối đồng điều ( , ℂ), của đại số đại số Lie Heisenberg 2n+1 chiều h2n1 được L.J Santharoubane tìm ra năm 1983:

1  h2n1  g  Z 0

tác động tầm thường trên tâm z W của h2n1 Đặt f  g

/ z Khi

k  0, k 1,2  k  n,k  n 1,

n  2  k  2n,

k  2n  1, k  2n  2.

và đã dùng kết quả này để tìm ra công thức tính số Betti cho hai họ đại số Lie:

 g sinh bởi cơ sở xi, yi, w, z , 1  i  n, z , xi yi , xi , yi w . g sinh bởi cơ sở xi , w, z, 1  i  2n

các đại số Lie toàn phương là trong trường hợp là một đại số Lie toàn

phương, thì việc tính toán 2( , ℂ) và số chiều của nó sẽ trở nên đơn giản hơn và có nhiều cách hơn nhờ các kếtquả được đưa ra trong [7] “New Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras,and Cohomology” của tác giả G Pinczon và R Ushirobira năm 2007 (J of Lie Theory) Cụ thể hơn, ta sẽ thu đượcnhóm 2( , ℂ) và số chiều của nó thông qua hai cách: mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của hoặc tính toántrực tiếp nhóm 2( , ℂ) nhờ toán tử đối bờ  bây giờ

chỉ đơn giản là    I , vớiI là 3- dạng liên kết với và  ., là tích Super– Poisson được định nghĩa trên không gian Λ( ∗) chứa các dạng đa tuyến tính phản xứng trên Việc mô tả tường minh các nhóm đối đồng điều giúp cung cấp thêm các thông tin về các đạisố Lie toàn phương, từ đó giúp hiểu biết thêm về lớp đại số này.

Phần nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương Chươngđầu tiên dành chủ yếu để giới thiệu những định nghĩa và một số kết quả cơbản trên đại số Lie và đại số Lie toàn phương Chương hai chủ yếu dành đểkhảo sát các đại số Lie toàn phương cơ bản và phân loại đại số Lie toàn

phương đến 7 chiều dựa trên kết quả của bài báo khoa học [8] Chương ba sẽ

trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài báo khoa học[9] của tác giả Dương Minh Thành Trong đó tập trung tính toán về họ đối

đồng điều của đại số Lie, mô tả nhóm đối đồng điều 2( , ℂ) và số chiều của nó bằng hai phương pháp chính Đối với đại số Lie thông thường ta sẽ mô tả không giancác đạo hàm phản xứng từ đó tính số chiều của 2( , ℂ) Đối với

đại số Lie toàn phương cơ bản ta tính toán trực tiếp nhờ toán tử đối bờ.

Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc hoàn thành luận văn nhưng do sựhạn hẹp trong kiến thức cũng như thời gian nên chắc chắn luận văn vẫn còncó những sai sót không mong muốn Rất mong nhận được sự đánh giá, nhậnxét và phản hồi từ quý thầy cô và các bạn.

Chương 1 Đại số Lie và đại số Lie toàn phương, đối đồng điềucủa đại số Lie và đại số Lie toàn phương

1.1 Đại số Lie

Định nghĩa 1.1.1 Cho g là một không gian vector trên trường Khi đó, g

được gọi là một đại số Lie nếu trên g được trang bị một phép toán (gọi là tíchLie hay móc Lie).

 

: g  g  g.,.

thỏa mãn tính chất sau:

i Phép toán .,. là một ánh xạ song tuyến tính;

ii Phép toán .,. là phản xứng, tức là X , X 0 , với mọiiii.  X , Y , Z   Y , Z , X    Z , X , Y  

0,X , Y , Z g

X g;

(Đồng nhất thức Jacobi).Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của không gian vector g

không gian vector trên trường F Ta xác định tích Lie trên gl V  như sau:

x, y   x y  y x vớix, y gl V  trong đó kí hiệu cho tích hai ánh xạ.

Định nghĩa 1.1.2 Cho g là một đại số Lie Một không gian vector con A của

g được gọi là một đại số Lie con của g nếu X , Y  A với mọi X , Y g

Định nghĩa 1.1.3 Cho g là một đại số Lie Một không gian vector con I củag được gọi là ideal của g nếu X , Y I với mọi X g,Y I (tính hút).

Ví dụ: Cho đại số Lie g ta kí hiệu g,g X , Y  X , Y

g một ideal của g và được gọi là ideal dẫn xuất của đại số Lie g

Định nghĩa 1.1.4 Cho g là một đại số Lie Một ideal con I của g

thì g,g làđược gọi là

ideal thuộc tâm của nếu I , g 0.

Kí hiệu Zg X gX , Y 0,Y g là một ideal của g và được gọi làideal tâm của g

Định nghĩa 1.1.5 Cho g là một đại số Lie và a là ideal của g Khi đó khônggian thương g / a là một đại số Lie thương Trong đó tích Lie trong idealthương được cho bởi X  a , Y  a    X , Y  a với X , Y g

Định nghĩa 1.1.6 Cho một đại số Lie g trên trường Ta kí hiệu:

Ta kí hiệu Rad g là ideal giải được lớn nhất của g .

Định nghĩa 1.1.7 Cho một đại số Lie g trên trường Ta kí hiệu:

rằng nếu g là một đại số Lie lũy linh thì hiển nhiên g giải được.

Định nghĩa 1.1.8 Cho g1 , g2 là hai đại số Lie trên trường Khi đó ánh xạtuyến tính :g1 g2 được gọi là một đồng cấu đại số Lie nếu nó bảo toàntích Lie, tức là 

ý đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie Cụ thể hơn, người ta không phân biệt

cũng là một đại số Lie với tích Lie [ f , g ]  fg  g fvới mọi f , g V

Ta nói  là một biểu diễn của gtrong V nếu  là đồng cấu đại số Lie

đi từ g vào End V , tức là:

X,Y X,  Y , X , Y g

Trong trường hợp này, Vđược gọi là một g  module Với mỗi số

nguyên k  0 , kí hiệu C k g,V  là không gian các ánh xạ k  tuyến tính phản

Xét tích Lie: ad X , adY  ad XadY  adadY

 0 0

 gl 2,

Thật ra ta có thể chứng minh được kết quả tổng quát rằng

adX,Y   ad X , adY, X , Y g đúng với mọi đại số Lie Do đó ánh xạ ad

thỏa mãn tính chất ad X , Y    ad  X , ad Y  của một đồng cấu đại số

được gọi là biểu diễn đối

1.2 Đại số Lie toàn phương

Định nghĩa 1.2.1 Cho một không gian vector phức g Một dạng song tuyến

tính B : g  , được gọi là:

i Đối xứng nếu B  X , Y   B  Y , X  với mọi X , Y g ii Không suy biến nếu B X , Y   0 với mọi Y g thì X 0 iii Bất biến (hay còn gọi là kết hợp) nếu:

 X , Y 

, Z

 B X, Y,Z ,X , Y , Z g

Một đại số Lie g trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng,không suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương Đại sốLie toàn phương thường được kí hiệu là g, B.

Ta có một số ví dụ về đại số Lie toàn phương:

Ví dụ 1.2.2 Trong 3với tích Lie là tích có hướng, dạng toàn phương là tíchvô hướng.

Ví dụ 1.2.3 Cho g  span X , Y trong đó tích Lie cho bởi X , Y  0

Dạng song tuyến tính đối xứng B cho bởi B  X , Y  1, các trường hợp cònlại bằng 0.

Ví dụ 1.2.4 Cho g  span X , P, Q, Z trong đó tích Lie cho bởi X , P  

P , X , Q   Q , P, Q   Z , các trường hợp còn lại bằng 0 Khi đó g

được gọi là đại số Lie kim cương Đại số này cũng là một đại số Lie toàn

phương với dạng song tuyến tính được cho bởi: B  X , Z   B  P, Q 1,các trường hợp còn lại bằng 0.

Định nghĩa 1.2.5 Cho g, B là một đại số Lie toàn phương và V là một

không gian vector con của g Khi đó ta định nghĩa thành phần trực giao của

BX,YVV 

 0.

với mọi X,Y V Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có

Ta có một số tính chất khá lí thú của các đại số Lie toàn phương như sau:

Mệnh đề 1.2.6 Cho g, B là một đại số Lie toàn phương Định nghĩa ánh xạ

Mệnh đề 1.2.7 Cho g, B là một đại số Lie toàn phương.

a) Nếu I là một ideal củag Khi đó I  cũng là một ideal của g Hơnnữa, nếu thu hẹp của B trênI  I không suy biến thì thu hẹp củaB trên

I   I  cũng không suy biến,  I , I  0 và I  I  0 , g  I  I

dim Z g   dimg, g  dimg. g thìZ g  g, g và

B A, X , Y BA, X , Y  0 với mọi Y I (do I là ideal của g ) Do

đó: A,XI  Suy ra I là ideal của g

Nếu I , I là các ideal của g thì      

B I,I  , X BI,I , X   0 với

nên  I , I  0

không suy biến trên I nên

X 0 Do đó I  I 0.Ta có: 0  I  I   

Nếu thu hẹp của B trên I  I không suy biến thì ta gọi I là một ideal

không suy biến của g và g I  I  Vì tổng trực tiếp này là tổng trực

tiếp trực giao nên ta dùng kí hiệu sau: g  I  I 

Định nghĩa 1.2.8 Một đại số Lie toàn phương g là bất khả phân nếu g phân

tích thành hai ideal g g g thì g  0 hoặc g  0

Định nghĩa 1.2.9 Cho g,Bg, B và g', B 'đẳng cấu

nữa, l không giao hoán.

ii.Tâm Z l của ltự đẳng hướng hoàn toàn, tức là Z l  l , l, và

ở đây z '  Az thuộc tâm, l ' 

Az , Z l' tự đẳng hướng hoàn toàn, l và l'đẳng cấu với nhau Hơn nữa, nếu A là một đẳng cấu đẳng cự thì lvà l' đẳng

Định nghĩa 1.2.11 Một đại số Lie toàn phương g khác 0 được gọi là mộtđại số Lie rút gọn nếu nó có tâm tự đẳng hướng hoàn toàn.

đại số Lie, biểu diễn của

X , Y  X

V là một không gian vector vàtrong V , tức là

Y , X , Y g

Nói một cách khác,  là một đồng cấu đại số Lie từ g vào đại số

End V  chứa các tự đồng cấu trên V Trong trường hợp này,V là một

g  module Với mỗi số nguyên k  0 , kí hiệu C k g,V  là không gian các

ánh xạ k tuyến tính phản xứng từ g  g   g vào V nếu k 1 và

 1iji  j

Ta có thể kiểm

  k nếukhông quan tra

được

r ằng tâm đến chỉ số.

kk 1Khi đó

Thông thườngta kíhiệuthỏa mãn tính chất  2

 0

Định nghĩa 1.3.2 Ta nói rằng f Ck g,V  là một k  đối chu trình nếu f  0 và f là một k  đối bờ nếu có g Ck 1g,V  sao cho f   g

Kí hiệu Zk g,V là tập hợp các k  đối chu trình và B kg,V  là tập hợp

các k  đối bờ, tức là Zk g,V   Kerk

và Bkg,V   Imk 1 Công thức 2  0 chứng tỏ Bk g,V   Zk g,V  và do đó ta có không gian thương

Zk g,V  / Bkg,V  Không gian thương này được kí hiệu là H k g,V  vàđược gọi là nhóm đối đồng điều thứ k của g trong V Mỗi phần tử thuộc

Hk g,V  cũng được gọi là một k  đối chu trình.

Hiện nay sự hiểu biết về nhóm đối đồng điều của các đại số Lie vẫn chưanhiều Bài toán chúng tôi đặt ra ở đây là tìm cách mô tả tường minh các nhómđối đồng điều của một đại số Lie g cho trước hoặc ít nhất tính được chiều của

Hkg,V  Một công thức thường được sử dụng để tính số chiều

dim Hk g,V  như sau:

dim Hkg,V   dim Ker   dimKer   m n

k 1    2  1

Định nghĩa 1.3.3 bkg dimHk g,  được gọi là số Betti thứ k của

Ví dụ 1.3.4 Với mỗi n , kí hiệu hnlà đại số Lie Heisenberg 2 n

khi đó, J Santharoubane đã chứng minh được trong [1] rằng:

 2 n 

  2n  , với mọi 0  k  n

bkhn     2

 k   k

.chiều,

Định nghĩa 1.3.5 Cho không gian vector phức V hữu hạn chiều được trang bị

một dạng song tuyến tính đối xứng B (ta còn gọi V , B là một không gian

vector toàn phương) Năm 2007, G Pinczon và R Ushirobira đã giới thiệu

khái niệm tích super-Poisson trên không gian V * chứa các dạng songtuyến tính phản xứng trên V như sau:

Chương 2 Đại số Lie toàn phương thấp chiều

2.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương đến 4 chiều

Sau đây chúng ta nhắc lại các kết quả phân loại các đại số Lie toànphương giải được có số chiều bé hơn hoặc bằng 4 trong [8].

Mệnh đề 2.1.1 (Phân tích Witt)

Cho V là một không gian vector phức hữu hạn chiều được trang bị mộtdạng song tuyến tính không suy biến B Giả sử U là một không gian con tựđẳng hướng hoàn toàn của A Khi đó tồn tại một không gian con tự đẳnghướng hoàn toàn W và một không gian con F không suy biến của A sao cho

là nếusở Y1

4 và g không giao hoán thì g đẳng cấu đẳng cự với đạisố Lie kim cương.

 3 thì g

Chứng minh: Vì g giải được nên g, g  g Do đó nếu dim g

phải giao hoán và ta nhận được khẳng định (i) Nếu dim g  4 và g khônggiao hoán, ta sẽ chứng minh g rút gọn Thật vậy, nếu g không rút gọn thì tồn

tại một vector X nằm trong tâm của g để B  X , X   0 Điều này chứng tỏ

I  X là một ideal không suy biến của g và do đó:

g  I  I 

Theo mệnh đề 1.2.7 chú ý rằng I  là một đại số Lie toàn phương giải

được 3 chiều nên I  phải giao hoán Do đó g giao hoán Mâu thuẫn này

chứng tỏ g phải rút gọn, tức là Z g   g, g.

Vì g, g  g và dim g, g 3 nên dim g, g  3 Do đó, dim Z g 1.Tagiả sử Z g sinh bởi vector Z Vì Z g tự đẳng hướng hoàn toàn nên theophân tích Witt tồn tại một không gian con một chiều tự đẳng hướng hoàn toàn

W và một không gian con 2 chiều F không suy biến của g sao cho:

 X , P   a1 Z  b1 P  c1Q

 X , Q   a2 Z  b2 P  c2Q

 P , Q   a3 Z  b3 P  c3Q

Hơn nữa từ B X , P  , Q   B X , P , Q   B X , Q  , P  nên ta có

b1   c2  a3  0 .

X , P   P , X , Q   Q và P, Q   Z Chú ý rằng phép đổi cơ sở này là một

phép đẳng cấu đẳng cự nên g đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie kim cương.Trong trường hợp g không giải được thì chỉ có 2 trường hợp g  o3

3  X (trường hợp này g không rút

(đại số Lie đơn 3 chiều) hoặc g  ogọn).

2.2 Đại số Lie toàn phương cơ bản và đại số Lie toàn phương giải được7 chiều

Mệnh đề 2.2.1 Cho g, B là một đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều

bất khả phân Khi đó tồn tại một cơ sở Z1 , Z 2, T , X 1 , X2 của g sao choB X i , Z j  ij , 1  i  2

,B  T , T  1, các trường hợp còn lại bằng 0 và tíchLie được xác định bởi X 1 , X 2 T,X 1 ,T Z2 vàX 2 ,TZ1 , các trườnghợp còn lại bằng 0.

Chứng minh: Giả sử g, B là đại số Lie toàn phương giải được 5 chiềubất khả phân Hiển nhiên, g phải là một đại số Lie toàn phương rút gọn Khiđó, chỉ có 2 trường hợp: dim Z g 1 và dim Z g  2 Ta sẽ lần lượt

xem xét hai trường hợp này:

i dim Z g 1 Giả sử Z g Z Khi đó, tồn tại một vector tự

chọn một cơ sở 1, các trường hợp

ở đây ai,bi

 Từ tính

a2  b6  a3

b2 ,

 X ,Q

x, y , z , w

xX wX

 yQ ,

 yZ ,

 zX  yPY , Q

X , P    wQ

Dễ dàng kiểm tra được rằng vector zZ  xQ  yP Z g Hơn nữa 3 số

x , y , z không đồng thời triệt tiêu Điều này dẫn tới dim Z g 1 và do đótrường hợp này không xảy ra.

hoàn toàn, dạng song tuyến tính đối xứng B được xác định bởiB X i , Z j  ij

, 1  i , j  2 , BT,T 1 , các trường hợp còn lại bằng 0.Vì g, g  Z g

nên g, g span Z1 , Z 2 ,T Do đó ta có thể giả sử rằng:

bất biến nên ta có thể dễ dàng suy ra X 1, X 2 xT , 

 c Z, ở đâyx  b  c 0 Đổi cơ sở bằng cách đặt

Định nghĩa 2.2.2 g, B là một đại số Lie toàn phương cơ bản nếu 3 - dạng

phản xứng liên kết với nó khả phân.

Mệnh đề 2.2.4 Cho g, B là một đại số Lie toàn phương cơ bản không giao

hoán Khi đó g là tổng trực tiếp trực giao của các ideal z và l , ở đây z làideal thuộc tâm và l đẳng cấu đẳng cự với một trong các đại số Lie sau:

a) dim   3,

d) dim l  

6, l = span Z1 , Z2, Z3,T,X1 , X2, X3 dạng song tuyếntính đối xứng B được xác định bởiB X i , Z j  ij , 1  i

trường hợp còn lại bằng 0 và tích Lie cho bởi X 1, X 2Z3,

X 2, X 3Z1 và X 2, X 1 Z2 , các trường hợp còn lại tầm thường.Chứng minh:

Giả sử g, B là một đại số Lie toàn phương cơ bản không giao hoán Khi đóg là tổng trực tiếp trực giao của các ideal z và l , ở đây z là ideal thuộc tâmvà l là một đại số Lie toàn phương rút gọn Hơn nữa l , l   g, g.

Ta có:

  

 2dim

 và

3 , tức là l  l , l Trong trường hợp này l là một đại số Lieđơn và phân loại của chúng đã biết trong lí thuyết Lie, đó là l  sl 3 

i  l , l Ngoài ra tồn tại không gian con tự đẳng hướng hoàn toàn i ' thỏa

mãn l  i  i ' Cho i  span Z , P, i ' span X , Q với Z l  Z vàB  Z , X   B  P, Q 1, B  Z , Q  B  X , P 0 Ngoài

Do I l khả phân nên Il P  Q* * X *, bằng Q và có thể chọn 1 Khi đó:

Thay P bằng 1 P , Q A,B P P* Q*  X*Q QP* Q*  X*P X P* Q*  X*Z,A,B

Tính tương tự ta có X,Q Q,P,Q Z,Z, X Z,PZ,Q 0.

c) dim l  5 Ta có dim  Z l 

 2

nên tồn tại một không gian con tự

Khi đó, ta có thể tìm được cơ sở

Z1, Z2 của Z l, cơ sở X 1,X2 của l và cơ sở T của l'' thỏa mãn

B Z i , Xj ij , với1i,j2vàBT,T1 Ngoài ra:

 

l

, với mọi

X , Y l Từ đó ta tính được X1,X2T , X1,T  Z2 và X 2 ,T  Z1 , cáctrường hợp còn lại bằng 0.

d) dim l  6 Ta có Z l  3, nên Z l   l , l   Z l 

Từ đó ta cókhông gian con tự đẳng hướng hoàn toàn l ' thỏa mãn l = Z l  l ' Do 

toàn phương giải được 6 chiều.

Giả sử g bất khả phân và g  span Z1 , Z 2 , Z 3 , X 1 , X 2 , X3, dạng songtuyến tính đối xứng B được xác định bởi B Xi , Zj   ij , 1  i , j  3 Khiđó g đẳng cấu với một trong các đại số Lie sau đây:

i. g6,1 : X 1 , X 2  Z3 , X 2 , X 3  Z1 và X 3 , X 1  Z2

ii g6,2: X 3,Z1

Z1 , X 1 Z3 và Z2, XTrong trường hợp này,

Z1,X 3,Z2Z3với

Z2 ,X3, X1 X1,X3, X2 X2,0

2 đẳng cấu nếu và chỉ nếu 1 2

hoặc 1 iii g6,3

: 

.X , Z Z , X , Z Z Z , X , XX

2)Nếu g bất khả phân thì tồn tại cơ sở X1,X2, X3,T,Z1,Z2,Z3 của

g sao cho dạng song tuyến tínhBđược xác định B  X i , Z i   B  T , T  1.

Khi đó g đẳng cấu đẳng cự với các đại số Lie sau:i. g7,1 : X 3 , X 2

X2,Z1 Z3 , T,Z2 Z3.X

X 3 ,, Z 2X1

Z3 .X

, X3, X

 

T ,X

2,

Chương 3 Tính toán về họ đối đồng điều đại số Lie

3.1 Mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của đại số Lie

Định nghĩa 3.1.1 Cho g, B là một đại số Lie toàn phương Ánh xạ tuyến

tính D : g  g được gọi là một đạo hàm của g nếu:

đạo hàm ứng với mỗi X g thường gọi là đạo hàm trong.

 Kí hiệu Der g là không gian các ánh xạ đạo hàm và ad g là không

gian các đạo hàm trong Khi đó hiển nhiên ad g   Der g.

 Nếu D  Der g thỏa

, X , Y gthì D

được gọi là đạo hàm phản xứng của g

Ta kí hiệu Derag là không gian các đạo hàm phản xứng của g , hiển

nhiên nó là đại số con của đại số Der gchứa các đạo hàm của g

Dễ thấy B ad XY , Z   B  Y , ad XZ  nên các đạo hàm trong của mộtđại số Lie toàn phương đều là đạo hàm phản xứng.

Ta kí hiệu Derag là không gian các đạo hàm phản xứng của g , hiểnnhiên nó là đại số con của đại số Der g chứa các đạo hàm của g

Nên: ad g   Derag   Der

Ví dụ 3.1.2 Giả sử C 2g,V  là một 2-đối chu trình Khi đó  : g  gV

là một ánh xạ song tuyến tính phản xứng, đồng thời với X 0 , X 1, X2 g:X0,X1,X2 X0X1,X2 X1X2,X0 X2X0,X1

Trong thực tế, người ta thường xét cho từng trường hợp cụ thể của V và

 Chẳng hạn, nếu V  g,   ad là biểu diễn phụ hợp của g trong g , tức là

X Y   X , Y  Theo như Ví dụ 1.3.3, nếu D : g  g là một ánh xạ tuyến

tính thì  D  0

, X

1 