Luận án tiến sĩ các bất đẳng thức lojasiewicz sự tồn tại và tính toán các số mũ

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC HỒNG PHI DŨNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWICZ: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TỐN CÁC SỐ MŨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC ———————- HỒNG PHI DŨNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWICZ: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TỐN CÁC SỐ MŨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Hình học tô pô Mã số: 46 01 05 Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Hà Huy Vui Hà Nội - 2021 TÓM TẮT Luận án nghiên cứu bất đẳng thức Łojasiewicz, bao gồm bất đẳng thức Łojasiewicz gradient nhằm khảo sát tô pô mầm hàm trường hợp địa phương tồn bất đẳng thức Łojasiewicz cổ điển trường hợp toàn cục Cụ thể hơn, trường hợp địa phương, luận án nghiên cứu bất biến tô pô kỳ dị đường cong phẳng sau: thương cực số mũ Łojasiewicz gradient Trong trường hợp toàn cục, luận án nghiên cứu tồn tại, ổn định cận sai số Holder, bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục mi liờn h vi cỏc ă giỏ tr Fedoryuk c biệt Bên cạnh đó, luận án nghiên cứu tồn cận sai số Holder bất đẳng thức ojasiewicz gradient cho hm nh ngha c ă cỏc cấu trúc o-tối tiểu Luận án gồm có bốn chương sau: Trong Chương 1, nhắc lại số kiến thức sở hàm giải tích, Định lý Puiseux, bất đẳng thức Łojasiewicz, hình học cấu trúc o-tối tiểu, tập nửa đại số số kết giải tích biến phân Trong Chương 2, chúng tơi trình bày khái niệm đa giác Newton tương ứng với cung phương pháp trượt để tính khai triển Newton-Puiseux địa phương Chúng tơi sử dụng phương pháp để tính thương cực số mũ Łojasiewicz gradient trường hợp phức Từ đó, chúng tơi chứng minh tập thương cực số mũ Łojasiewicz bất biến tô pô trường hợp kỳ dị đường cong phẳng phức không thiết thu gọn Một số ước lượng hiệu số mũ Łojasiewicz đưa chương Trong Chương 3, với f đa thức n biến thực, thiết lập số công thức tập Λ+ ( f ) tập giá trị có tập mức tương ứng có cận sai số Holder toàn cục thoả mãn Ngoài chúng tụi trỡnh by c trng ca cn sai ă s Holder trờn ă V1 :=   f xR : (x) = ∂xn n ii Chúng khảo sát mối liên hệ tập giá trị Fedoryuk với ổn định cận sai số Holder toàn cục Từ chúng tơi phân loại tồn cỏc kiu n nh ă ca cn sai s Holder tồn cục theo tập giá trị Fedoryuk Chúng tơi chng ă minh rng nu cỏc giỏ tr Fedoryuk hữu hạn tập Λ+ ( f ) khác rỗng Từ suy ra, trường hợp hai biến, tập Λ+ ( f ) khác rỗng Chúng đưa ví dụ đặc biệt đa thức mà không tồn giá trị mà tập mức tương ứng nhận cận sai số Holder tồn cục với tập giá trị Fedoryuk vơ ¨ hạn Ngồi ra, chúng tơi thiết lập quy trình tính tốn tập Λ+ ( f ) khai triển Newton-Puiseux vô hạn đường cong đại số Bên cạnh đó, chúng tơi tính số ví dụ minh hoạ cho số kiểu ổn định phân loại Về bất đẳng thức Łojasiewicz tồn cục, chúng tơi xác định công thức tường minh tập Λ( f ), tập giá trị t mà thớ nhận bất đẳng thức Łojasiewicz tồn cục Chúng tơi ý đến giá trị biên tập Λ( f ), chúng giá trị Fedoryuk đặc biệt Hơn nữa, chúng tơi số ví dụ tập Λ( f ) Điển hình ví dụ đa thức hai biến mà khơng có giá trị t để f −1 (t) có bất đẳng thức Łojasiewicz tồn cục, nói cách khác Λ( f ) = ∅ Trong Chương 4, đưa tiêu chun tn ti ca cn sai s Holder cho ă hàm định nghĩa được, liên tục cấu trúc o-tối tiểu mối liên hệ cận sai số Holder với điều kiện Palais-Smale Và sau cùng, chúng tụi nghiờn cu ă bt ng thc ojasiewicz gradient cnh thớ trường hợp hàm định nghĩa được, liên tục cấu trúc o-tối tiểu iii ABSTRACT The thesis studies Łojasiewicz inequalities, they are Łojasiewicz gradient inequality for investigating the topology of function germs in the local case and the existence for classical Łojasiewicz inequality in the global case Explicitly, in the local case, the thesis investigates topological invariants of plane curve singularities: Polar quotients and Łojasiewicz gradient exponents In the global case, the thesis studies the existence, stability of global Holderian error bounds and ă global ojasiewicz inequality in the relationship with Fedoryuk values Besides, we study the existence of global Holderian error bounds and ojasiewicz gradiă ent inequality for definable functions in o-minimal structures The thesis consists of four chapters: In Chapter 1, we recall some basic results on analytic functions, Puiseux’s theorem, Łojasiewicz inequalities, geometry of o-minimal structures, semi-algebraic sets, variational analysis and required properties In Chapter 2, we recall the Newton polygon relative to an arc and use sliding method to compute local Newton-Puiseux expansions We use sliding method to compute polar quotients and Łojasiewicz gradient exponent in the complex case Consequently, we prove that the set of polar quotients and Łojasiewicz gradient exponent are both topological invariants for plane curve singularities (not necessarily reduced) In Chapter 3, firstly, assume that f is a real polynomial in n variables, we give some formulas for Λ+ ( f ) which is the set of values t such that its sub-level set admits a global Holderian error bound Moreover, we give a characterization of ă global Holderian error bound on the set ă   f n V1 := x ∈ R : (x) = ∂xn Next, we investigate the relationship between the set of Fedoryuk values and stability of global Holderian error bounds We prove that if the Fedoryuk set is finite, ă iv then Λ+ ( f ) is non-empty set This implies that, in the case of two variables, the set Λ+ ( f ) is always non-empty set We give a special example of a polynomial, where the Fedoryuk set is infinite and there not exist any value such that its sub-level set admits a Holderian error bound Moreover, we classify all of the ă types of stability of global Holderian error bounds Moreover, we give a proceă dure for computing of Λ+ ( f ) by using Newton-Puiseux expansions at infinity of algebraic curves Besides, we compute an explicit example to illustrate some types of stability About global Łojasiewicz inequality, we give some explicit formulas for Λ( f ) which is the set of value t such that its fibre f −1 (t) admits global Łojasiewicz inequality We notice the values of boundary of the set Λ( f ), they are special Fedoryuk values Moreover, we point out some interesting examples about it Specially, we give a polynomial in two variables satisfies: There is no value t such that f −1 (t) admits the global Łojasiewicz inequality, i.e Λ( f ) = ∅ In Chapter 4, we give a criterion for the existence of global Holderian error ă bounds for definable functions in o-minimal structures and the its relation to Palais-Smale condition In conclusion, we study Łojasiewicz gradient inequality near the fiber for continuous, definable functions in o-minimal structures v LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hồn thành hướng dẫn PGS TSKH Hà Huy Vui Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 12 năm 2021 Tác giả luận án Hoàng Phi Dũng vi LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Viện Tốn học hướng dẫn thầy tôi, PGS TSKH Hà Huy Vui Thầy dành nhiều công sức kiên nhẫn để dẫn tơi bước vào Hình học đại số thực Lý thuyết Kỳ dị, giúp làm quen với bất đẳng thức Łojasiewicz, khai triển Puiseux đường cong đại số, kỳ dị vô hạn với cách làm tốn cách tư hình học Bên cạnh đó, Thầy đặt tốn gợi ý liên tục cho tơi q trình làm việc chung với Thầy Thầy dìu dắt tơi q trình dài từ thời đại học, cao học nghiên cứu sinh Được làm việc hướng dẫn Thầy may mắn lớn đời tôi, để tơi hiểu cách nghiêm túc việc học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc đến Thầy Hà Huy Vui Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Phạm Tiến Sơn TS Nguyễn Hồng Đức thảo luận, góp ý giúp đỡ quý báu Trong q trình học tập, hai anh giúp tơi hiểu kỳ dị đường cong phẳng, cấu trúc o-tối tiểu khái niệm đa giác Newton tương ứng với cung Hơn nữa, anh đồng tác giả cơng trình chung luận án Tác giả trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, phòng chức Viện Tốn học cho tác giả mơi trường học tập nghiên cứu lý tưởng để hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn phịng Hình học tơ pơ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả tham gia sinh hoạt khoa học hội thảo thường niên phịng từ 2010 đến Trong suốt q trình học tập, tác giả nhận giúp đỡ động viên anh Đinh Sĩ Tiệp, Nguyễn Tất Thắng, Vũ Thế Khôi, Trần Giang Nam, Lê Quý Thường, Trần Nam Trung, Đỗ Trọng Hoàng, Đoàn Thái Sơn, Hồ Minh Toàn, Phạm Hùng Quý chị Nguyễn Thị Thảo Tác giả xin chân thành cám ơn Ngoài ra, tác giả xin cảm ơn số nghiên cứu sinh anh Hùng, Tâm, vii Kiên, Quyết, Bình, học tập nghiên cứu Viện Toán học trao đổi, chia sẻ q trình học Viện Tốn học Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám đốc, Ban chủ nhiệm Khoa Cơ đồng nghiệp Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng tạo điều kiện thuận lợi để tác giả vừa hoàn thành việc học tập, vừa đảm bảo công việc giảng dạy Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới hai người mẹ anh chị em gia đình ln động viên, kiên nhẫn, chờ đợi kết học tập Đặc biệt người vợ Thanh Nga gái Thảo Nguyên, người hy sinh nhiều, lo lắng, mong mỏi tiến ngày Luận án xin dành tặng cho người mà yêu thương xin tưởng nhớ đến người Cha cố viii MỤC LỤC Các ký hiệu xi Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các bất đẳng thức Łojasiewicz Định lý Puiseux 1.1.1 Hàm giải tích nhiều biến 6 1.2 1.1.2 Các bất đẳng thức Łojasiewicz 1.1.3 Định lý Puiseux Một vài kết cấu trúc o-tối tiểu hình học nửa đại số 11 1.3 Một số kết giải tích biến phân 15 Chương Bất biến tô pô kỳ dị đường cong phẳng: Các thương cực số mũ Łojasiewicz gradient 17 2.1 Đa giác Newton tương ứng với cung 18 2.2 2.3 Tính bất biến tô pô thương cực 21 Các số mũ Łojasiewicz gradient vài ước lượng hiệu 26 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Số mũ Łojasiewicz gradient mầm hàm giải tích phức 27 Số mũ Łojasiewicz gradient mầm hàm giải tích thực 32 Ước lượng hiệu số mũ Łojasiewicz 35 Chương Sự tồn ổn định cận sai s Holder, bt ng thc ă ojasiewicz ton cc giá trị Fedoryuk đặc biệt 39 3.1 3.2 Cận sai số Holder toàn cục tập mức 42 ă Mi liờn h gia cỏc giá trị Fedoryuk với tồn cận sai số Holder toàn cục 50 ă 3.3 Cỏc kiu n nh cận sai số Holder toàn cục 57 ă 3.3.1 Trường hợp tập Fedoryuk tập rỗng 58 3.3.2 3.3.3 Trường hợp tập Fedoryuk tập hữu hạn khác rỗng 59 Trường hợp tập Fedoryuk tập vô hạn 61 ix y2 2 + b2 + b2 − − ( a b ) y ( a b ) n n n n n n n n Do bn → 0, bn abn2 → a + ǫ Mặt khác → nên yn ( an bn − 1)2 + bn2 abn2 ≤ a ( an bn − 1)2 + bn2 56 Điều dẫn đến mâu thuẫn Trường hợp bn < suy luận tương tự, cần thay (3.19)   b n ≤ − Mbn ( a n bn − ) − − yn suy mâu thuẫn Do đó, dist(wn , Φ−1 ( a)) → +∞ (n → ∞) Chú ý wn ∈ Φ−1 ( a + ǫ) nên dist(wn , Φ−1 ( a)) = dist(wn , [Φ ≤ a]) Khẳng định Từ ta có dist(wn , [Φ ≤ a]) → +∞ (n → ∞) suy a ∈ F+ chứng minh với a > Từ t < a t ∈ F2 Do Từ Khẳng định 5, ta có a ∈ F+ + = R, h = + ∞ Vậy Λ ( Φ ) = ∅ inf f = −∞ nên ta F+ + + Ví dụ cho ta nhận thức sâu cn sai s Holder ton cc C th l ă trường hợp tập Fedoryuk vơ hạn khái niệm v cn sai s Holder ton ă cc cú th trở nên khơng cịn hữu dụng 3.3 Các kiểu ổn nh ca cỏc cn sai s Hăolder ton cc T cấu trúc nửa đại số chiều công thức tập Λ+ ( f ) (Định lý 3.1.4), ta đến định nghĩa sau tất kiu n nh ca cn sai s Holder ton ă cục Định nghĩa 3.3.1 Cho t ∈ [inf f , +∞) f đa thức n biến thực Ta nói t y-ổn định t ∈ Λ+ ( f ) tồn ǫ > cho (t − ǫ, t + ǫ) ⊂ Λ+ ( f ); t y-ổn định phải t ∈ Λ+ ( f ) tồn ǫ > cho [t, t + ǫ) ⊂ Λ+ ( f ) (t − ǫ, t) ∩ Λ+ ( f ) = ∅; t y-ổn định trái t ∈ Λ+ ( f ) tồn ǫ > cho (t − ǫ, t] ⊂ Λ+ ( f ) (t, t + ǫ) ∩ Λ+ ( f ) = ∅; 57 t y-cô lập t ∈ Λ+ ( f ) với ǫ > đủ nhỏ [(t − ǫ, t) ∪ (t, t + ǫ)] ∩ Λ+ ( f ) = ∅; t n-ổn định t ∈ / Λ+ ( f ) tồn ǫ > cho (t − ǫ, t + ǫ) ∩ Λ+ ( f ) = ∅; t n-ổn định phải t ∈ / Λ+ ( f ), tồn ǫ > cho [t, t + ǫ) ∩ Λ+ ( f ) = ∅ (t − ǫ, t) ⊂ Λ+ ( f ); t n-ổn định trái t ∈ / Λ+ ( f ), tồn ǫ > cho (t − ǫ, t] ∩ Λ+ ( f ) = ∅ (t, t + ǫ) ⊂ Λ+ ( f ); t n-cô lập t ∈ / Λ+ ( f ) với ǫ > đủ nhỏ [(t − ǫ, t) ∪ (t, t + ǫ)] ⊂ Λ+ ( f ) Ta xét trường hợp tương ứng tập giá trị Fedoryuk 3.3.1 Trường hợp tập Fedoryuk tập rỗng Từ Hệ 3.2.6 Định nghĩa 3.3.1, ta có hệ sau e∞ ( f ) = ∅ t ∈ [inf f , +∞) kiểu sau: Hệ 3.3.2 Nếu K (i) Trường hợp inf f > −∞: • Nếu t ∈ (inf f , +∞), t y-ổn định • Nếu t = inf f f −1 (inf f ) 6= ∅ t y-ổn định phải • Nếu t = inf f f −1 (inf f ) = ∅, t n-ổn định trái (ii) Trường hợp inf f = −∞: t y-ổn định với t ∈ R Nhận xét 3.3.3 Định lý C [32] chứng tỏ f đa thức đủ tổng e∞ ( f ) = ∅ từ Hệ 3.3.2, ta có qt (về tính đủ tổng quát, xem [35]) K hai trường hợp kiểu ổn định 58 3.3.2 Trường hợp tập Fedoryuk tập hữu hạn khác rỗng Bây ta phân loại kiểu ổn nh ca cn sai s Holder trng hp ă tập giá trị Fedoryuk hữu hạn khác rỗng e∞ ( f ) tập hữu hạn, khác rỗng t ∈ [inf f , +∞) Khi t Định lý 3.3.4 Cho K kiểu ổn định sau: Trường hợp A Nếu h+ = inf f inf f > −∞ 1; (i) t y-ổn định t > h+ t ∈ / F+ (ii) t y-ổn định phải t = h+ ∈ Λ+ ( f ) f −1 (inf f ) 6= ∅; / Λ+ ( f ) f −1 (inf f ) = ∅; (iii) t n-ổn định trái t = h+ ∈ (iv) t n-cô lập t ∈ F+ Trường hợp B Nếu h+ > inf f > −∞ h+ hữu hạn 1; (i) t y-ổn định t > h+ t ∈ / F+ (ii) t y-ổn định phải t = h+ h+ ∈ Λ+ ( f ); (iii) t n-ổn định inf f ≤ t < h+ ; / Λ + ( f ); (iv) t n-ổn định trái t = h+ ∈ (v) t n-cô lập t > h+ t ∈ F+ e∞ ( f ) tập hữu hạn khác rỗng, ta Chứng minh Chú ý từ giả thiết tập K tập hữu hạn có tập F+ Xét trường hợp A: h+ = inf f > −∞ Từ Định lý 3.1.4, ta có 1 Λ+ ( f ) = [inf f , +∞) \ F+ Λ+ ( f ) = (inf f , +∞) \ F+ toàn cục với t > h+ t ∈ / F+ Suy [ f t] cú cn sai s Holder ă Xét trường hợp B: h+ giá trị hữu hạn h+ > inf f > −∞ Từ Định lý 3.1.4, ta có 1 Λ+ ( f ) = [ h+ , +∞) \ F+ (h+ , +∞) \ F+ Quan sát công thức tập Λ+ ( f ), ta được: 59 , suy khẳng định (i); • t y-ổn định t ∈ (h+ , +∞) \ F+ t = h y-ổn định phải, từ ta có khẳng • Nếu Λ+ ( f ) = [h+ , +∞) \ F+ + định (ii); Từ (inf f , h ) ⊆ F2 kéo theo t • inf f < t < h+ t ∈ F+ + + n-ổn định inf f ≤ t < h+ Ta có khẳng định (iii); , điều kéo • t = h+ h+ ∈ / Λ+ ( f ) Λ+ ( f ) = (h+ , +∞) \ F+ theo (h+ − ǫ, h+ ] ∩ Λ+ ( f ) = ∅ Do t = h+ n-ổn định trái, ta có khẳng định (iv); nên điểm tập lập Do t • Bởi tính hữu hạn tập F+ Ta có khẳng định (v) n-cơ lập t ∈ F+ Nhận xét 3.3.5 Ở đây, ta có khẳng định (ii), tức t y-ổn định phải ta khơng thể có khẳng định (iv) (tức t n-ổn định trái) ngược lại Nói khác trường hợp kiểu ổn định loại trừ Bây giờ, ta đưa ước lượng số thành phần liên thông tập Λ+ ( f ) C ( f ) < + ∞ e∞ Mệnh đề 3.3.6 Cho f : R n → R đa thức bậc d Khi đó, #K số thành phần liên thơng Λ+ ( f ) bị chặn (d − 1)n−1 + C ( f ) Khi đó, theo [44, Định lý 1.1], ta có e∞ e∞ ( f ) ⊂ K Chứng minh Dễ thấy K C e∞ ( f ) ≤ #K e∞ ( f ) ≤ ( d − 1) n −1 #K Do đó, từ Định lý 3.1.4 Mệnh đề 3.2.3, ta có số thành phần liên thông Λ+ ( f ) bị chặn (d − 1)n−1 + 60